期权、期货及其他衍生产品（原书第9版）

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• 1

  推荐序一

  多年来，中国出口位列全球首位，但在贸易强国的背后，企业参与期货市场套期保值的程度较低，市场产品种类少，支柱产业缺乏整体竞争力和抗风险能力，尤其是在大宗商品及衍生品市场方面，我们还都处于起步较晚、发展水平较低的阶段。 2008年的金融危机给我国带来的一个宝贵启示：我们要正确理解金融衍生品，改变对金融衍生品认识的传统观念，引导企业参与、利用衍生品市场，充分发挥衍

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• 2

  推荐序二

  2007年的美国次级债风暴，特别是2008年9月中旬美国雷曼公司申请破产引发的美国以致全球金融危机为全球上了一堂难得的金融衍生产品知识的普及课，该课程目前仍在继续，案例仍在增加。即使在金融非常发达的北美和西欧，金融衍生产品，特别是银行间的各类金融衍生产品，都仅仅是少数专业人士才能够明白的专业知识。对于次级债风暴和金融危机中涉及的房产按揭抵押证券、债务抵押债券

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• 3

  译者序

  在20年以前刚刚进入金融领域不久，我们有幸在约翰·赫尔教授的课上学习衍生产品理论。课堂上，赫尔教授利用通俗易懂的语言和数学工具对衍生产品领域中许多艰涩的概念进行了精彩的描述。我们为赫尔教授出色的表达力所折服。《期权、期货及其他衍生产品》一书延续了赫尔教授课程的风格，在书中，赫尔教授采用了直观的形式将复杂的衍生产品结构和金融数学问题解释给读者，同时他分析问题的

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• 4

  前言

  有时连我自己都难以相信此书出版于1988年的第1版只有13章，篇幅只有330页！我必须不断扩充本书的内容来跟上衍生产品市场的迅速发展趋势。 与本书的前几版类似，这一版的读者有几类。该书可作为商学、经济学、金融数学以及金融工程专业的研究生教材，也可以作为高年级中具有较好定量数学背景的大学生教材。还有，许多衍生产品市场的从业人员会发现该书是一本很有用的参考书。购

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• 5

  作者简介

  约翰·赫尔（衍生产品及风险管理教授） 约翰·赫尔教授在衍生产品以及风险管理领域享有盛名。他的研究领域包括信用风险、雇员股票期权、波动率曲面、市场风险和利率衍生产品。他和艾伦·怀特教授研发出的Hull-White利率模型荣获Nikko-LOR大奖。他曾为北美、日本和欧洲多家金融机构提供金融咨询。 约翰·赫尔教授著有《风险管理与金融机构》（Risk Manage

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• 6

  译者简介

  王勇（博士，CFA，FRM） 1985年毕业于西安交通大学，1994年获加拿大达尔豪斯大学博士学位，同年加盟加拿大皇家银行，持有CFA和FRM证书，现任光大证券首席风险官，主管公司的全面风险管理体系的建设。王勇博士曾任加拿大皇家银行集团副总裁，全球风险定量分析部董事总经理，主管全行的定量分析。 王勇博士著有风险管理专著《金融风险管理》和《现代西方商业银行核心

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• 7

  1.1 交易所市场

  在衍生产品交易所市场中，人们所交易的是经过交易所标准化之后的衍生产品。衍生产品交易所已经存在了很久。为了将农场主和商人联系起来，芝加哥交易所（Chicago Board of Trade，CBOT）于1848年成立。CBOT在最初的主要职能是将所交易的谷物进行数量和质量标准化。几年以后，在CBOT开发了最初的期货类合约（当时这类合约也称为将至合约（to-ar

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• 8

  1.2 场外市场

  并不是所有的衍生产品交易都是在交易所里进行的，场外市场（over-the-counter，OTC）上也有许多交易。银行与其他大型金融机构、基金经理以及一些大公司都是衍生产品场外市场的主要参与者。一旦同意了场外交易，双方可以将交易递交到中央交易对手（central counterparty，CCP）或进行双边清算，中央交易对手的作用如同交易所的清算中心：它介于

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• 9

  1.3 远期合约

  一种比较简单的衍生产品是远期合约（forward contract），它是在将来某一指定时刻以约定价格买入或卖出某一产品的合约。远期合约可以与即期合约（spot contract）对照，即期合约是指立刻就要买入或卖出资产的合约，远期合约常常是金融机构之间或金融机构与其客户之间在场外市场进行的交易。 在远期合约中，同意在将来某一时刻以约定价格买入资产的一方被称

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• 10

  1.4 期货合约

  与远期合约类似，期货合约（futures contract）也是在将来某一指定时刻以约定价格买入或卖出某一产品的合约。与远期合约不同的是，期货合约交易是在交易所进行的。为了能够进行交易，交易所对期货合约做了一些标准化。期货合约的交易双方并不一定知道交易对手，交易所设定了一套机制来保证交易双方会履行合约承诺。 世界上最大的期货交易所是芝加哥交易所（CBOT）和

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• 11

  1.5 期权合约

  期权产品在交易所市场和场外市场里均有交易。期权产品可以分成两种基本类型：看涨期权（call option）的持有者有权在将来某一特定时间以某一特定价格买入某种资产，看跌期权（put option）的持有者有权在将来某一特定时间以某一特定价格卖出某种资产。合约中所说的特定价格叫执行价格（exercise price）或敲定价格（strike price）；期权

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• 12

  1.6 交易员的种类

  衍生产品市场已经非常成功，其中主要原因是这些市场吸引了许多不同类型的交易员，而且市场具有极强的流动性。当一个投资者想进入某个交易的一方时，通常可以很容易地找到想进入交易另一方的投资者。 交易员可以粗略地分为三大类：对冲者（hedger）、投机者（speculator）以及套利者（arbitrageur）。对冲者采用衍生产品合约来减小自己所面临的由于市场变化而

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• 13

  1.7 对冲者

  在这一节中，我们将说明对冲者如何利用远期合约和期权来减小他们所面临的风险。 1.7.1 利用远期进行对冲 假定今天是2013年5月6日，一家美国进口公司ImportCo得知在2013年8月6日因买入商品将向一家英国供应商支付1000万英镑。表1-1列出了金融机构关于美元/英镑汇率的报价。ImportCo可以从金融机构买入3个月期限、汇率为1.5538的英镑（

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• 14

  1.8 投机者

  我们接下来考虑投机者如何利用期货和期权。对冲者是想避免面对将来资产价格不利波动的风险敞口，而投机者却要建立头寸：他们或者对资产价格上涨下注，或者对资产价格下跌下注。 1.8.1 利用期货进行投机 在2月份，一位美国投机者认为英镑（相对美元）在今后两个月会升值。投机者的一种做法是在即期市场买入250000英镑，然后希望在今后以更高的价格卖出这些英镑（买入的英镑

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• 15

  1.9 套利者

  套利者是期货、远期以及期权市场的第3种重要参与者。套利包括同时进行两种或更多的交易来锁定无风险盈利。在后面的章节中，我们将会论述当某一个资产的期货价格与其即期市场价格不协调时，如何会产生套利机会。我们也将描述如何在期权市场中应用套利。在这一节里，我们用一个简单的例子来说明套利的概念。 我们考虑在纽约交易所（NYSE，www.nyse.com）和伦敦股票交易所

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• 16

  1.10 危险

  衍生产品变化莫测，它们可以被用来对冲、投机和套利。正是因为产品的变幻莫测才可能会带来巨大危害。有时一些被指定只能对冲或套利的交易员会在有意或无意之中变成市场投机者，而投机的后果有时是灾难性的。法国兴业银行（SociétéGénéral）的杰洛米·科维尔（Jerome Kerviel）给我们提供了一个典型的反面教材（见业界事例1-4）。 业界事例1-4 200

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• 17

  小结

  在过去的40年中，衍生产品市场的迅猛增长是金融市场中最令人鼓舞的发展之一。在许多情形下，对冲者和投机者都会发现交易衍生产品比直接交易标的资产本身更为方便。有些衍生产品的交易是在交易所里，有些衍生产品的交易是在金融机构、基金经理和企业资金部之间的场外市场进行，还有一些衍生产品被嵌入在债券或股权之中。本书的目的是为了给出一套对衍生产品定价的统一框架，而不是仅仅对

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• 18

  练习题

  1.1 远期合约多头与远期合约空头的区别是什么？ 1.2 仔细解释对冲、投机以及套利之间的区别。 1.3 解释以下交易的不同之处（a）当期货价格为50美元时，进入期货的多头；（b）进入1份执行价格为50美元的看涨期权的多头。 1.4 仔细解释卖出一个看涨期权同买入一个看跌期权之间的差别。 1.5 一个投资者进入了一个远期合约的空头：在该合约中，投资者能够以1

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• 19

  作业题

  1.29 如表1-2所示，在2013年5月8日谷歌股票的即期卖出报价为871.37美元，而执行价格为880美元的9月份看涨期权卖出报价为41.60美元。某交易员在考虑两种不同策略：买100只谷歌股票，或者买100份9月份看涨期权。对每种选择计算（a）交易费用，（b）当9月份股票的价格是950美元时交易的总回报，（c）当9月份股票的价格是800美元时交易的总损

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• 20

  2.1 背景知识

  在第1章里我们看到，期货合约在世界各地的交易都很活跃。芝加哥交易所（Chicago Board of Trade）、芝加哥商业交易所（Chicago Mercantile Exchange）和纽约商品交易所（New York Mercantile Exchange）合并而成立了CME集团（CME Group，www.cmegroup.com）。其他大型交易所

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• 21

  2.2 期货合约的规格

  当开发一种新合约时，交易所必须详细注明双方协议中的具体条款，尤其是资产品种、合约规模（即每一合约所交割的标的资产确切数量）、交割地点以及交割时间。 有时在合约中会指明交割资产备选方案，包括交易标的资产的等级或其他交割地点等。一般的规则是期货的空头方（即同意卖出产品的一方）可以在备选方案中做出选择。[1]当合约空头方准备选择交割时，要向交易所填写交割意向通知书

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• 22

  2.3 期货价格收敛到即期价格

  随着期货合约交割月份的逼近，期货价格会逐渐收敛到标的资产的即期价格。在到达交割期间时，期货价格会等于（或非常接近）即期价格。 为了说明原因，我们首先假定在交割期间内期货的价格高于即期价格，这时，交易员有明显的套利机会： （1）卖出一份期货合约（即持有空头）； （2）买入资产； （3）进行交割。 以上交易一定会盈利：其金额等于期货价格和即期价格的差价。当交易员

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• 23

  2.4 保证金账户的运作

  如果两个投资者通过直接接触而同意在将来某时刻按约定的价格交易某一资产，很明显这笔交易中存在风险：投资者的一方可能对该交易感到后悔并想退出交易。另外，投资者也可能没有财力来履行承诺。交易所的一个关键职责是组织交易使违约避免发生，这正是设定保证金账户的目的。 2.4.1 每日结算 为了说明保证金的运作方式，我们假定一位投资人在某天与经纪人联系，准备买入两份CME

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• 24

  2.5 场外市场

  第1章介绍的场外市场是指公司之间不通过交易所而进行衍生产品交易的市场。信用风险通常是场外市场的一个特征。考虑两家公司A和B之间进行的一些衍生产品交易。当交易的净价值对B为正值时，如果A违约，B将会受到损失；类似地，当交易的净价值对A为正值时，如果B违约，A将会受到损失。为了减小信用风险，场外市场借用了交易所采用的一些机制，我们将讨论这些机制。 2.5.1 中

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• 25

  2.6 市场报价

  在交易所和互联网上可以得到有关期货行情的报价。根据CME集团提供的数据，表2-2是关于一些商品在2013年5月14日中午的期货报价。在第3章、第5章和第6章中将分别给出有关股指期货、外汇期货以及利率期货的报价。 在表2-2中每部分的前面列有期货合约标的资产、期货的规模以及报价方式。第1项资产为黄金，期货规模为100盎司，报价方式为每盎司的美元价格。期货的到期

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• 26

  2.7 交割

  在本章前面我们曾提到过，在开仓后只有很少的期货合约会导致标的资产的最终交割，大多数合约会被提前平仓。尽管如此，正是由于有最后交割的可能性而决定了期货价格，因此理解交割过程是非常重要的。 可以交割的时间段是由交易所定义的，不同合约的交割时间段也不尽相同。具体交割时间是由期货的空头方来决定，在这里我们将这个投资者记为A。当投资者A决定交割资产时，A的经纪人会向交

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• 27

  2.8 交易员类型和交易指令类型

  执行交易的有两种交易员：一种是期货佣金经纪人（futures commission merchants，FCM），另一种是自营经纪人（local）。佣金经纪人执行其他人的指令并收取佣金；自营经纪人用自己账户中的资金进行交易。 我们可以像第1章中讨论的那样将持有头寸的人（无论是自营经纪人还是佣金经纪人的客户）划分为对冲者、投机者或套利者。投机者可分为短期投机者

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• 28

  2.9 制度

  当前美国的期货市场是由联邦政府级机构，即商品期货交易委员会（Commodity Futures Trading Commission，CFTC，www.cftc.org）来监管。这一委员会成立于1974年。 CFTC要维护的是大众利益，该组织的职责是确保有关价格的信息会传递给公众，当期货交易者的头寸超出某一水平时，他们必须报告其所持有的未平仓期货头寸。CFT

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• 29

  2.10 会计和税收

  有关期货合约的会计（accounting）与税务处理具体细节已超出本书范围，需要这方面知识的交易员可向专家咨询。在这一节里，我们只提供一些基本的背景知识。 2.10.1 会计 除了能够合格地用于对冲的情形，会计准则要求及时反映期货合约的市场价值变化。如果合约确实能够合格地归为对冲，在财会处理上，合约盈亏的确认时间可以与被对冲产品盈亏发生的时间相同。这种处理方

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• 30

  2.11 远期与期货合约的比较

  表2-3总结了远期合约与期货合约之间的主要区别。两种合约均是在将来特定时刻以某种价格买入或卖出某种资产的协议。远期合约的交易在场外市场进行，并且没有标准的合约规模与交割安排，这种合约通常会指定一个交割日期，并且一般会持到到期日，然后进行交割。期货合约是在交易所交易的标准合约，交割日期通常为一段时间，这种合约每天结算，并且一般在到期日之前会被平仓。 表2-3

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• 31

  小结

  大部分期货合约不会对标的资产进行实际交割。通过进入相反的头寸，这些合约在交割期到达之前就已经被平仓。但是，这种最后交割的可能性是确定期货价格的主要因素。对于每种期货合约，在一定的时间范围内能够进行资产交割，并且对交割的方式有明确的规定。对于其他（比如标的资产是股指）的期货合约，结算的方式是现金结算（而不是实物交割）。 制定合约的细则是交易所一个重要的职责。合

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• 32

  练习题

  2.1 说明未平仓合约数量与交易量的区别。 2.2 说明自营经纪人与佣金经纪人的区别。 2.3 假定你进入了1份纽约商品交易所的7月份白银期货合约的空头，在合约中你能够以每盎司17.20美元的价格卖出白银，期货规模为5000盎司白银。最初保证金为4000美元，维持保证金为3000美元。期货价格如何变动才会导致保证金的催付通知？你如果不满足保证金催付通知会有什

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• 33

  作业题

  2.27 交易员A进入3个月后以130万美元兑换100万欧元的期货多头；交易员B进入相应远期的多头。假设汇率（美元/欧元）在头两个月急剧下跌，然后在第3个月回升到1.3300美元/欧元。忽略每日结算，每个交易员的总盈利是多少？如果考虑每日结算的影响，哪个交易员的盈利更大？ 2.28 解释什么是未平仓量，为什么未平仓量通常在交割月之前的一个月中会下降？在某一天

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• 34

  3.1 基本原理

  当个人或公司选用期货产品来对冲风险时，目标是选择尽量使风险中性化的头寸。考虑这样一家公司，它已知在3个月后如果某商品的价格上涨1美分，公司将收入10000美元，但如果商品的价格下跌1美分，公司将损失10000美元。为了对冲风险，公司资金部主管应进入期货合约的空头来抵消风险：当商品价格上涨1美分时，期货将触发10000美元的损失；当商品价格下跌1美分时，期货将

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• 35

  3.2 拥护与反对对冲的观点

  支持对冲的观点非常明显，因此我们不再重述。大多数非金融公司的业务为制造业、零售业、批发业或服务业，这些公司没有预见利率、汇率以及商品价格变化的特殊能力。因此，对于这些公司而言，对冲由这些市场变量所引起的风险很有意义，因为这样公司可以集中精力发展自己的主要业务，而这些主要业务正是这些公司的特长。通过对冲，公司可以避免由于商品价格急剧上涨而使购买费用增大所带来的

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• 36

  3.3 基差风险

  到目前为止，我们所考虑的对冲例子都完美得令人难以置信。在这些例子中，对冲者可以确定将来买入资产的准确日期，从而可以利用期货合约来消除在那一天几乎所有由于资产价格变动而带来的风险。在实际中对冲时常常并没这么容易，部分原因如下： （1）需要对冲价格风险的资产与期货合约的标的资产可能并不完全一样； （2）对冲者可能无法确定买入或卖出资产的准确时间； （3）对冲者可

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• 37

  3.4 交叉对冲

  在例3-1和例3-2中，对冲时所用期货的标的资产与被对冲的资产是一样的。当两种资产不同时就会出现交叉对冲（cross hedging）。例如，某家航空公司对航空燃料油的未来价格有些担心，但是由于没有航空燃料油的期货，这家公司也许会利用民用燃料油期货合约来对冲风险。 对冲比率（hedging ratio）是指持有期货合约的头寸数量与资产风险敞口数量的比率。当期

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• 38

  3.5 股指期货

  我们接下来考虑股指期货，以及如何将其用于对冲或管理与股票价格有关的风险敞口。 股指（stock index）跟踪一个虚拟股票组合的价值变化，每个股票在组合中的权重等于股票组合投资于这一股票的比例。在很短一段时间区间里股指上升的百分比被设定为该虚拟组合价值变化的百分比。在计算中，通常不包括股息，因此股指是用于跟踪在这一组合上投资的资本增值/亏损（capital

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• 39

  3.6 向前滚动对冲

  有时对冲的期限要比所有能够利用的期货期限更长，这时对冲者必须对到期的期货进行平仓，同时再进入具有较晚期限的合约。这样可以将对冲向前滚动很多次。这种做法被称为向前滚动对冲（stack and roll）。考虑某家公司，它希望利用期货空头来减少在将来时刻T收到某个资产时所带来的风险。如果在市场上存在期货合约1，2，3，…，n（并不一定目前都存在），其到期日一个比

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• 40

  小结

  在这一章里我们讨论了公司采用期货来对冲资产价格风险的不同形式。如果资产价格上升公司会盈利，而当资产价格下跌公司会亏损的情况下，应当采用期货空头对冲。如果资产价格下跌公司会有盈利，而资产价格上升公司会有亏损的情况下，应当采用期货多头对冲。 对冲是减少风险的一种方法，因此应当受到多数高管的欢迎。在实际中，许多理论和实际方面的原因会使公司不进行对冲。从理论上讲，当

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• 41

  练习题

  3.1 在什么情况下采用以下对冲：（a）空头对冲，（b）多头对冲。 3.2 采用期货合约对冲会产生基差风险，这句话的含义是什么？ 3.3 什么是完美对冲？一个完美对冲的后果一定比不完美对冲好吗？解释你的答案。 3.4 在什么情况下使得对冲组合方差为最小的对冲是不做任何对冲？ 3.5 列举3种资金部经理选择不对冲公司风险敞口的理由。 3.6 假定某商品价格在每

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• 42

  作业题

  3.24 假定现在是6月，某公司想在9月卖出5000桶原油，决定采用CME集团10月期货来对冲价格风险，期货是关于1000桶轻质无硫原油。公司采用的头寸是什么？在建立头寸以后，公司还会面临什么样的价格风险？ 3.25 某公司决定采用60份期货合约来对冲其白银头寸，每份期货合约都是关于5000盎司白银。在对冲平仓时，基差为每盎司0.20美元。以下情形对于对冲者

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• 43

  附录3A 资本资产定价模型

  资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是一种将资产的回报期望值与回报风险联系起来的模型。资产回报的风险分成两个部分：系统风险（systematic risk）与将市场作为一个整体的回报有关，这一部分风险无法被分散掉；非系统风险（nonsystematic risk）是资产独有的并可以通过选取一个由不同资产组成的交

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• 44

  4.1 利率的种类

  利率定义了在一定情况下借入方承诺支付给借出方的资金数量。在任何货币中都会经常引用许多种类型的利率，其中包括住房抵押贷款利率、存款利率、最优客户利率（prime borrowing rate）等。特定情形下所用的利率与信用风险有关，信用风险是指因为借入方对偿还本金和利息的承诺违约而造成的风险，信用风险越大，借入方承诺的利率也越高。 我们经常会用基点来表示利率，

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• 45

  4.2 利率的度量

  银行注明1年的储蓄利率为10%，这句话听起来虽然非常直接并且含义清楚，但事实上这句话的精确含义依赖于利率的计算方式。 如果利率计算方式是1年复利1次，银行所说的10%利率是指100美元在年终会增长为 100×1.1=110（美元） 如果利率的计算方式为每半年复利1次，这表示每6个月会挣取5%的利息，而且利息也被用于再投资，这时100美元在1年后将会增长为 1

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• 46

  4.3 零息利率

  n年的零息利率是指在今天投入资金并连续保持n年后所得的收益率。所有的利息以及本金都在n年末支付给投资者，在n年满期之前，不支付任何利息收益。n年期的零息利率有时也叫作n年期的即期利率（spot rate），或者n年期零息率（zero rate），或者n年期的零率（zero）。假如5年期连续复利的零息利率是每年5%，这意味着今天的100美元在投资5年后会增长到

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• 47

  4.4 债券定价

  大多数债券提供周期性的票息，债券发行人在债券满期时将债券的本金（有时也称为票面值或面值）偿还给投资者。债券的理论价格等于对债券持有人在将来所收取的现金流贴现后的总和。有时债券交易者用单一贴现率对债券的所有现金流进行贴现，但更精确的办法是对不同现金流采用不同的零息贴现率。 为了说明这一点，假设零息利率由表4-2给出（我们在今后将说明如何计算这些值），表中的利率

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• 48

  4.5 确定国库券零息利率

  确定像表4-2里所示零息利率的一种方法是通过观测票息剥离产品（strips）所对应的利率，这些产品是由交易员将国库券的本金和票息分开卖出时人工生成的无息证券。 表4-3 票息剥离法数据 ①票息每半年支付一次。 另一种确定零息收益率的方法是通过一般的短期国债和国库券，最流行的方法是所谓的票息剥离方法（bootstrap method）。为了说明这一方法，考虑表

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• 49

  4.6 远期利率

  远期利率（forward interest rate）是由当前零息利率所隐含的对应于将来时间区间的利率。为了说明远期利率的计算方式，我们假设如表4-5中第2列所示的一组零息利率。假设这些利率是按连续复利，因此，1年期3%年利率意味着今天投资100美元，在1年后投资者将得到100e0.03×1=103.05美元；2年期4%年利率意味着今天投资100美元，在2年

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• 50

  4.7 远期利率合约

  远期利率合约（FRA）是一种场外交易，这种交易的目的是锁定在将来一段时间借入或借出一定数量资金时的利率。在FRA合约中，借入和借出资金的利率常常设为LIBOR。 如果合约中约定的固定利率大于对应于同一时间段的LIBOR利率，借入方要支付借出方的数量等于固定利率与LIBOR利率的差乘以面值；在相反情形下，借出方要支付借入方，数量等于LIBOR利率与固定利率的差

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• 51

  4.8 久期

  顾名思义，债券的久期（duration）是指投资者收到所有现金流所要等待的平均时间。一个n年期零息债券的久期为n年，而一个n年带券息（coupon-bearing）债券的久期小于n年，这是因为持有人在n年之前就已经收到一些现金付款。 假定债券在ti时刻给持有人提供的现金流为ci（1≤i≤n）。债券价格B与收益率y（连续复利）之间的关系式为 债券久期D的定义是

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• 52

  4.9 曲率

  久期仅适用于当收益率变化很小的情形。图4-2显示了两个具有相同久期的交易组合价值百分比变化与收益率变化之间的不同形式。这两条曲线在原点的斜率相同，这意味着，当收益率的变化很小时，两个交易组合价值变化的百分比相同，这与式（4-16）一致。但当利率变化较大时，两个组合价值变化不同。组合X与收益率之间关系的曲率比组合Y要大。一种叫作曲率（convexity）的变量

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• 53

  4.10 利率期限结构理论

  我们很自然会问是什么因素决定了零息利率曲线的形状。为什么有时曲线向下倾斜，有时向上倾斜，而有时会部分向下倾斜与部分向上倾斜。关于这一点有几种理论，其中最简单的是预期理论（expectations theory）：这一种理论假设长期利率应该反映所期望的未来短期利率。更精确地讲，这一理论认为对应于将来某一段时间的远期利率等于这一段时间在未来的即期利率的期望值。另

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• 54

  小结

  对于衍生产品交易员来讲，国债利率和LIBOR利率是两个非常重要的利率。国债利率是当政府借入自身货币的资金而支付的利率，LIBOR利率是银行在行业之间为借入短期资产而支付的利率。 利率的复利频率定义了度量利率的单位。1年复利1次的利率与1年复利4次的利率差别可以类比为英里同公里的差别。在分析期权及更复杂的衍生产品时，分析员常常采用连续复利的形式。 在金融市场中

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• 55

  练习题

  4.1 一家银行的利率报价为每年14%，每季度复利一次。在以下不同的复利机制下对应的利率是多少？（a）连续复利，（b）1年复利1次。 4.2 LIBOR与LIBID的含义是什么？哪一个更高？ 4.3 6个月期与1年期的零息利率均为每年10%。一个剩余期限还有18个月，券息率为8%（刚刚付过半年1次的券息）的债券，收益率为10.4%的债券价格为多少？18个月期

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• 56

  作业题

  4.25 一个按年复利的利率为11%，当利率按以下复利计算时，数量分别为多少？ （a）每半年复利一次，（b）每季度复利一次，（c）每月复利一次，（d）每周复利一次，（e）每天复利一次。 4.26 下表给出了零息国债的零息利率及现金流，零息利率为连续复利。 （a）债券的理论价格为多少？ （b）债券的收益率为多少？ 4.27 一个5年期的债券提供每年5%的票息，

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• 57

  5.1 投资资产与消费资产

  在考虑远期合约与期货合约时，区分投资资产（investment asset）和消费资产（consumption asset）是很重要的。投资资产是投资者为了投资目的而持有的资产。股票与证券显然是投资资产，黄金和白银也属于投资资产。注意投资资产并不是只能用来投资（例如，白银也有一些工业用途）。但是，投资资产的一个条件是有足够多的投资者持有它的唯一目的就是为了投

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• 58

  5.2 卖空交易

  本章所讨论的套利策略有时会涉及卖空（short selling）。这种交易是指卖出你并不拥有的资产。对有些投资资产是可以卖空的，但并不是所有投资资产都可以卖空。我们用卖空股票来说明如何进行这种交易。 假设某投资者想通过经纪人来卖空500股公司X的股票，经纪人往往是通过借入其他客户的股票，并将股票在市场上卖出来执行投资者的指令。只要经纪人可以借到股票，投资者想

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• 59

  5.3 假设与符号

  在这一章里，我们假定对于某些市场参与者而言，以下假设全部成立： （1）市场参与者进行交易时没有手续费。 （2）市场参与者对所有交易净利润都使用同一税率。 （3）市场参与者能够以同样的无风险利率借入和借出资金。 （4）当套利机会出现时，市场参与者会马上利用套利机会。 注意，我们并不要求这些条件对于所有市场参与者均成立。我们只要求这些条件对像大型衍生品交易商这样

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• 60

  5.4 投资资产的远期价格

  最容易定价的远期合约是不提供任何中间收入的投资资产上的合约。无股息股票和零息债券都属于这一类资产。 考虑一个购买1只无股息股票的3个月期远期合约。[1]假定股票的当前价格为40美元，3个月期的无风险利率为每年5%。 首先假定远期价格相对较高，为43美元。套利者能够以5%的无风险利率借入40美元来购买1只股票，并同时进入3个月期远期合约的空头（即在远期合约中将

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• 61

  5.5 提供已知中间收入的资产

  在这一节里，我们考虑当资产给持有者提供完全可以预测的收入时的远期价格。这样的例子包括提供已知股息的股票以及带券息债券。我们采取与上节相似的方式首先考虑数值例子，然后再进行正式讨论。 考虑一个买入当前价格为900美元的带息债券远期合约的多头。假定远期合约的期限为9个月。我们假定在4个月后将有40美元的券息付款，并且假定4个月期和9个月期的无风险利率（连续复利）

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• 62

  5.6 收益率为已知的情形

  我们现在考虑远期合约标的资产支付已知的收益率（而非现金收入的情形）。这意味着在中间收入的数量是当时资产价格的百分比。假定某资产预计所支付的收益率为每年5%。这可能是指每年支付一次中间收入，数量是资产价格的5%，这时收益率为5%按年复利；它也可能是指对收入的支付是一年两次，每次支付收入的数量等于当时资产价格的2.5%，而这时收益率为每年复利两次。在4.2节里我

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• 63

  5.7 对远期合约定价

  在刚刚进入远期合约时，其价值为0。但在进入合约之后，远期合约价值可能为正也可能为负。对银行或其他金融机构来讲，每天计算这些合约的价值是非常重要的（这叫对合约按市场定价）。采用前面引入的符号，假设K是以前成交的合约的交割价格，合约的交割日期是在从今日起T年之后，r是期限为T年的无风险利率，变量F0表示目前的远期价格，即假如在今天成交的话，合约的交割价格。我们还

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• 64

  5.8 远期和期货价格相等吗

  在网页www.rotman.utoronto.ca/~hull/TechnicalNotes里的Technical Note 24中，我们以套利的方法证明了当无风险利率对所有期限均为常数时，具有同一期限的远期价格与期货价格是一样的。其中的结论可以推广到利率为时间已知函数的情形。 当利率变化无法预测时（正如现实世界中那样），从理论上讲远期价格与期货价格会有所不

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• 65

  5.9 股指期货价格

  在3.5节里我们介绍了股指期货，并指出股指期货是管理股权组合非常有用的工具。表3-3给出了一些不同股指上的期货价格。我们现在考虑如何确定股指期货价格。 股指一般可以被看成支付股息的投资资产，[1]投资资产为构成股指的股票组合，股息等于构成资产所支付的股息。通常假定股息为已知收益率（而不是现金收入）。如果q为股息收益率，式（5-3）给出的期货价格F0为 这说明

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• 66

  5.10 货币的远期和期货合约

  我们现在从美国投资者的角度来考虑外汇的远期和期货合约，这里的标的资产为1单位的外币。定义变量S0为1单位外币的美元即期价格，F0为1单位外币的美元远期或期货价格。这种定义S0和F0的方式与其他标的资产上远期和期货的形式是一致的。但是，正如2.11节所述，这种形式并不一定对应于外汇市场上即期和远期汇率的报价方式。除英镑、欧元、澳元和新西兰元之外，主要货币的即期

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• 67

  5.11 商品期货

  接下来考虑商品期货，我们首先考虑类似黄金与白银这类投资资产的商品期货价格，[1]然后考虑消费资产的期货价格。 5.11.1 收入和贮存费用 如业界事例3-1所示，黄金生产商的对冲策略会造成一部分投资银行需要借入黄金。类似于像中央银行这样的黄金拥有者在借出黄金时会索取所谓黄金租借率（gold lease rate）形式的利息。对于白银也是一样。因此，黄金和白银

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• 68

  5.12 持有成本

  期货价格与即期价格之间的关系式可由持有成本（cost of carrying）这一术语来描述。持有成本包括贮存成本加上资产的融资利息，再减去资产的收益。对于无股息的股票而言，持有成本为r，这是因为股票既没有贮存费用也没有中间收入；对于股指而言，持有成本为r-q，因为股指收益率为q。对于货币而言，持有成本为r-rf；对于提供中间收益率q和贮存成本率为u的资产而

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• 69

  5.13 交割选择

  远期合约中的交割时间通常约定为将来的某一天，而期货合约通常允许合约的空头方在将来某一特定时间段之内选择任意时间进行交割（一般来讲，空头方应提前几天给出交割意向通知）。这种选择权使得期货定价更加复杂。期货合约的到期日为交割期的开始、中间还是末尾呢？虽然大多数期货合约在到期前会被平仓，但了解交割的发生时间对计算期货的理论价值仍然是十分重要的。 如果期货价格是期货

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• 70

  5.14 期货价格与预期未来即期价格

  我们将市场对于在将来某时刻资产即期价格的一般观点称为资产在这一时刻的即期价格期望值（expected spot price）。假定现在是6月份，9月份的期货价格为350美分。这时我们会想知道：9月份的即期价格期望值是多少？这一价格是等于350美分，高于350美分，还是低于350美分呢？如图2-1所示，期货价格在到期时会收敛到即期价格。如果即期价格期望值小于3

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• 71

  小结

  在大多数情况下，具有确定交割日期的期货合约可以被看作具有相同交割日期的远期合约。理论上可以证明，当利率在完全可以预测的情况下，两种合约价格应完全一致。 在理解期货（或远期）价格时，为了方便起见我们将期货合约分成两类：一种合约的标的资产被众多投资者所拥有，另外一类合约的标的资产主要是为了消费。 对于投资资产，我们主要考虑了3种不同情形： （1）资产不提供收入；

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• 72

  练习题

  5.1 说明当投资者卖空1只股票时，会有什么情况发生。 5.2 远期价格与远期合约价值有什么不同？ 5.3 假定你签署了一个无股息股票上6个月期限的远期合约，股票当前价格为30美元，无风险利率为12%（连续复利），远期价格为多少？ 5.4 一个股指的当前价格为350，无风险利率为每年8%（连续复利），股指的股息收益率为每年4%。4个月期的期货价格为多少？ 5

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• 73

  作业题

  5.26 在2012年年初，瑞士法郎与美元之间的汇率是1.0404（每法郎对应的美元数）。美国和瑞士的利率分别是每年0.25%和0（连续复利）。3个月期限的远期汇率是1.0300（每法郎对应的美元数）。这时存在什么套利机会？如果汇率是1.0500（每法郎对应的美元数），你的答案会如何改变？ 5.27 指数为1200，3个月的无风险利率为每年3%，以后3个月的

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• 74

  6.1 天数计算和报价惯例

  在这里我们将考虑天数计算和报价惯例等预备知识，这些知识适用于债券和其他与利率有关的证券产品。 6.1.1 天数计算 天数计算定义了在一段时间内利息累计的方式。一般来讲，我们知道在一段参考区间内的利息（例如，介于息票支付时间间隔内的利息），在这里，我们感兴趣的是对于某个其他时间期限内的利息累计方式。 一般惯例是将天数计算表达成X/Y的形式。当我们计算两个日期之

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• 75

  6.2 美国国债期货

  表6-1是2013年5月14日利率期货的报价。市场上最流行的长期利率期货合约之一是CME集团交易的长期国债利率期货。在这种合约里，从交割月份的第1天算起，任何期限介于15年与25年之间的债券均可以用于交割。自2010年开始，CME集团引入超级国债（untra T-bond）期货，任何期限超过25年的国债均可以用于交割。 表6-1 2013年5月14日的CME

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• 76

  6.3 欧洲美元期货

  在美国市场里最流行的利率期货是CME集团交易的3个月期限的欧洲美元期货。欧洲美元是存放于美国本土之外的美国银行或外国银行的美元。欧洲美元利率是银行之间存放欧洲美元的利率，这一利率与第4章引入的伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）基本上是一样的。 3个月期限欧洲美元期货的标的变量是在将来某3个月里（某个按欧洲美元利率借款）100万美元上所付的利息。这使得交易员可

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• 77

  6.4 基于久期的期货对冲策略

  我们在4.8节中曾讨论了久期。假定我们持有一个与利率有关的资产组合（例如，债券组合或货币市场证券）。我们现在考虑如何利用利率期货来对这个资产组合进行对冲。 定义 VF：1份利率期货合约的价格； DF：期货合约标的资产在期货合约到期日的久期值； P：被对冲的债券组合在对冲到期日的远期价值（在实际中，通常假定该价值等于债券组合的当前价值）； DP：被对冲的证券组

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• 78

  6.5 对于资产与负债组合的对冲

  金融机构常常通过确保其资产平均久期等于其债务平均久期来对冲所面临的利率风险（负债可以被认为等同于债券的空头）。这种策略被称为久期匹配（duration matching），或证券组合免疫（portfolio immunization）。在实施这种策略以后可以保证利率的微小平行移动不会对资产与负债组合的价值产生太大的影响，即资产的收益（损失）与负债的损失（收益

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• 79

  小结

  在美国有两种最流行的利率期货：国债期货和欧洲美元期货。在国债期货中，空头方有以下几种有趣的交割选择。 （1）在交割月份的任意一天均可进行交割； （2）在交割时，有多种不同债券可作为选择； （3）在交割月中的任意一天，基于下午2点成交价格的交割意向通知可以在当天更晚时候发出。 这些选择往往会降低期货价格。 欧洲美元期货是关于在交割月份的第3个星期三前两天开始的

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• 80

  练习题

  6.1 一个美国长期国债在每年1月7日和7月7日支付券息，券息率为7%，对于面值为100美元的美国国债，从2014年7月7日至2014年8月8日之间的应计利息为多少？如果这一债券为企业债券，你的答案会有什么不同？ 6.2 假定现在是2015年1月9日。券息率12%并在2030年10月12日到期的美国长期国债的报价为102-07。这一债券的现金价格为多少？ 6

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• 81

  作业题

  6.23 今天是2014年4月7日，每年券息为6%（半年付息一次）的美国国债报价为120-00，该国债的到期日为2023年7月27日，该债券的现金价格为多少？如果该债券为企业债券，你的答案会有什么变化？ 6.24 某国债期货的报价为103-12，3个可交割债券的价格分别为115-06、135-12及155-28，债券相对应的转换因子分别为1.0679、1.2

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• 82

  7.1 互换合约的机制

  在利率互换中，一家公司同意向另一家公司在今后指定的若干年内支付在指定名义本金上、由指定的固定利率所产生的现金流。作为回报，这家公司将从另一家公司收取在相同时间内和相同名义本金上按浮动利率产生的现金流。 7.1.1 LIBOR 大多数利率互换合约中的浮动利率是第4章中引入的伦敦同业银行间拆借利率（LIBOR）。这一利率是指具有AA信用等级的银行可以从另一家银行

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• 83

  7.2 天数计算惯例

  在6.1节中我们曾讨论了天数计算惯例。天数计算惯例影响互换中支付利息的数量，但我们所给的例子中利率并没有完全反应天数计算惯例。例如，我们考虑由表7-1中6个月LIBOR利率所决定的利息，因为这里的利率为货币市场利率，因此6个月LIBOR的天数计算惯例为“实际天数/360”。表7-1中的第1个浮动利息支付为210万美元，这一利息所对应的LIBOR利率为4.2%

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• 84

  7.3 确认书

  在互换中的确认书（confirmation）是由交易双方的代表鉴置的法律文件。确认书的初稿由总部在纽约的国际互换与衍生产品联合会（International Swaps and Derivatives Association，即ISDA，www.isda.org）提供。ISDA已经制定了一些主协议（Master Agreement）。这些主协议定义了合约的一

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• 85

  7.4 相对优势的观点

  一种对互换合约在市场上如此流行的解释是所谓的相对优势（comparative-advantage）。考虑利用利率互换转换负债形态的例子：某些公司在固定利率市场贷款具有相对优势，而另一些公司在浮动利率市场贷款具有相对优势。当需要一笔新的贷款时，公司会进入自身有相对优势的市场。因此，本想借入固定利率贷款的公司可能会借入浮动利率贷款，而本想借入浮动利率贷款的公司可

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• 86

  7.5 互换利率的本质

  我们现在可以考虑互换利率的本质以及互换市场与LIBOR市场之间的关系。在4.1节里我们曾经指出，LIBOR利率是具有AA信用级别的银行向其他银行借入长到12个月期限资金的利率。而如表7-3所示，互换利率等于以下两个利率的平均值：（a）做市商在互换合约中收入LIBOR，并准备付出的固定利率（买入利率），（b）做市商在互换合约中付出LIBOR，并准备收入的固定利

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• 87

  7.6 确定LIBOR/互换零息利率

  使用LIBOR利率的一个问题是我们所能直接观察到的利率期限都不超过12个月。如6.3节所述，一种将LIBOR零息曲线延长到长于12个月的方法是利用欧洲美元期货。一般来讲，欧洲美元可以用来将LIBOR零息曲线延长到2年，有时会长达5年，然后交易员利用利率互换将LIBOR零息曲线再进一步延长。所得零息曲线有时称为LIBOR零息曲线，有时称为互换零息曲线。为了不引

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• 88

  7.7 利率互换的定价

  我们现在考虑利率互换的定价问题。在合约刚开始时，利率互换的价值接近于0。随时间的变化，利率互换的价值可能为正，也可能为负。当LIBOR/互换利率被用作贴现利率时，利率互换有两种定价方式：第1种方式将利率互换作为两个债券的差；第2种方式将利率互换作为由FRA所组成的交易组合。DerivaGen 3.00可以用来计算以LIBOR或OIS贴现时的互换价值。 7.7

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• 89

  7.8 期限结构的效应

  在互换合约刚刚开始时，互换的价值接近于0。这意味着在开始时，互换中所有FRA的价值总和为0，但这并不意味着每个FRA的价值为0。一般来讲，有些FRA的价值为正，而有些FRA的价值为负。 考虑表7-1中所示微软与英特尔之间互换中的FRA： 当远期利率＞5.0%时，对于微软，FRA价值＞0； 当远期利率=5.0%时，对于微软，FRA价值=0； 当远期利率＜5.0

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• 90

  7.9 固定息与固定息货币互换

  另外一种较为流行的互换是固定息与固定息货币互换（fixed-for-fixed currency swap），这是将一种货币下的固定利息和本金与另外一种货币下的固定利息和本金进行交换。 货币互换合约要求指明在两种不同货币下的本金数量。互换中通常包括开始时和结束时两种货币下本金的交换。通常货币本金数量的选取是使得在互换开始时的兑换率下，两种本金价值大致相同。但

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• 91

  7.10 固定息与固定息货币互换的定价

  与利率互换类似，固定息与固定息货币互换可以被分解成两个债券的差或一组远期货币合约的组合。 7.10.1 以债券形式进行定价 如果我们定义Vswap为收入美元并支付外币的货币互换的美元价值，那么 其中BF为互换中外汇现金流所对应的债券以外币计价的价值，BD为互换中本国货币现金流所对应的债券以美元计价的价值，S0为即期汇率（表达形式为1单位外币所对应的美元数量）

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• 92

  7.11 其他货币互换

  另外两种较为普遍的货币互换具有以下形式： （1）一种货币下的浮动利率与另一种货币下的固定利率交换； （2）一种货币下的浮动利率与另一种货币下的浮动利率互换。 第1种互换的一个例子是支付700万英镑面值按英镑LIBOR利率与收入1000万美元面值按3%固定利率之间的交换，期限为10年，每半年交换一次。类似与固定息与固定息的货币互换，该互换也涉及最初和最末的本金

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• 93

  7.12 信用风险

  像互换合约这样由两家公司私下达成的合约会包含信用风险。考虑与两家公司达成了相互抵消的互换合约的金融机构（见图7-4、图7-5或图7-7）。如果两家公司均不违约，金融机构完全处于对冲状态。其中一个互换合约价值的下降会被另一个合约价值的上升所抵消。然而，当互换交易的某一方陷入财务困境并违约时，金融机构仍然需要保持对另一方合约中的承诺。 假设图7-4中的合约在签署

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• 94

  7.13 其他类型的互换

  在这一章里我们已经讨论了LIBOR与固定利率交换的利率互换交易以及一种货币下的固定利率与另一种货币下的固定利率进行交换的货币互换合约。市场上也有其他形式的互换交易。我们将在第25章、第30章及第33章中对其中一些互换进行详细讨论。我们在这里只提供一个概述。 7.13.1 标准利率互换的变形 在固定利率与浮动利率进行交换的互换合约中，LIBOR是最普遍的浮动参

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• 95

  小结

  市场上最常见的两种互换为利率互换和货币互换。在利率互换中，一方同意向另一方支付对应于一定本金的固定利息，作为回报，这一方同时收入对应于同一本金与期限的浮动利息。在货币互换中，一方同意支付一种货币下一定本金数量上的利息，而作为回报，收入对应于另一种货币下一定数量本金上的利息。 在利率互换中，本金并不进行交换。在货币互换中，本金通常在互换的开始与结束时要进行交换

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• 96

  练习题

  7.1 公司A和公司B可以按以下利率借入2000万美元5年期的贷款： 公司A想得到浮动利率贷款；公司B想得到固定利率贷款。设计一个互换，使作为中介的银行有0.1%的净收益，并且同时对两家公司而言，这一互换具有同样的吸引力。 7.2 公司X希望以固定利率借入美元，公司Y希望以固定利率借入日元。经即期汇率转换后，双方所需要的金额大体相等。经过税率调整后，两家公司

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• 97

  作业题

  7.20 （a）公司A可以拿到如表7-3所示的利率，它可以按6.45%的固定利率借款3年，那么通过互换，它可以将这个固定利率交换成什么样的浮动利率？ （b）公司B可以拿到如表7-3所示的利率，它可以按LIBOR加75个基点借款5年，那么通过互换，它可以将这个浮动利率交换成什么样的固定利率？ 7.21 （a）公司X可以拿到如表7-3所示的利率，它可以以5.5%

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• 98

  8.1 证券化

  传统的银行经营模式是吸收存款和发放贷款。在20世纪60年代，随着住房按揭贷款需求的日益增加，美国银行发现传统的模式已经无法跟上步伐，从而导致了按揭抵押证券（MBS）市场的发展。各类按揭贷款组合由此产生，其现金流（利息和本金）被打包成债券卖给投资人。美国政府在1968年创立了政府国家住房按揭协会（GNMA，又叫吉利美（Ginnie Mae））。吉利美有偿地担保

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• 99

  8.2 美国住房市场

  图8-4展示了从1987年1月至2010年3月的标准普尔/凯斯-席勒10城市房价指数（S&P/Case-Shiller Composite-10index）。这个指数跟踪的是美国10个都市里的房产价格。该图表明大约从2000年开始，房产价格的增长速度远远超过了前一个10年的增长速度。2002~2005年的低利率是造成价格增长的一个重要原因，但住房市场价格泡沫

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• 100

  8.3 问题出在哪里

  “非理性繁荣”是美联储前主席格林斯潘用来描述20世纪90年代牛市投资人的行为。这也适用于描述信用危机之前的年头。按揭贷款发行人、住房按揭ABS和ABS CDO的投资人以及那些出售份额保护的公司都认为好时光会永远持续下去，他们认为美国的房价将会持续上升，在一两个地区房价也许会下跌，但是如图8-4所示大幅度下跌的可能性是大多数人没有预料到的。 2007年开始的危

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• 101

  8.4 危机的后果

  在危机以前，监管当局对于场外衍生品市场基本上没有设定专门的监管条例。最近该市场出现了很多变化。如前面的章节所述，目前已经要求标准场外衍生产品必须要通过中央交易对手的形式来进行结算。这意味着对这些产品的处理就像交易所里的期货产品一样。银行一般都是一家或多家CCP的会员，在交易标准衍生产品时，他们要向CCP支付初始保证金和变动保证金，还需要支付违约基金。对于双边

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• 102

  小结

  银行通过证券化的方式把贷款和其他产生收入的资产打包成证券，然后卖给投资者。这样做可以将贷款从银行的资产负债表中消除，从而使银行能比以前更快地发展贷款业务。第一批被证券化的贷款是20世纪六七十年代美国的房屋按揭贷款。由于政府国家住房按揭协会的担保，购买房屋抵押证券的投资者没有贷款人违约的风险。之后，汽车贷款、公司贷款、信用卡应收款以及次级贷款纷纷被证券化。很多

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• 103

  练习题

  8.1 吉利美在20世纪70年代的按揭抵押证券市场中所扮演的角色是什么？ 8.2 解释概念（a）ABS，（b）ABS CDO。 8.3 什么是中层份额？ 8.4 证券化瀑布式现金流是指什么？ 8.5 表8-1中针对以下损失率的数字分别是多少？（a）12%，（b）15%。 8.6 什么是次级贷款？ 8.7 你为什么认为2000~2007年间的房价增长是一个泡沫

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• 104

  作业题

  8.16 假定如图8-3所示的ABS和ABS CDO中，分配给高级、中层、股权份额的本金比例分别为70%、20%、10%，这对表8-1产生什么影响？ 8.17 “再次证券化是一个非常糟糕的业务模式，由证券化中层份额资产来作为抵押品所派生出的AAA级份额比一般资产抵押证券AAA级份额的违约率要更高。”讨论这个观点。 8.18 类似于图8-3，假定由ABS CD

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• 105

  9.1 无风险利率

  对于衍生产品定价的标准程序是建立无风险组合，在没有套利的前提下，该组合的回报应当等于无风险利率。在4.7节里对远期利率合约（FRA）的定价和5.7节里对远期合约的定价为这种方式提供了简单的例子，互换是远期利率合约或远期合约的一种组合，其价值同样依赖于无风险利率贴现。事实上，随着我们对于衍生产品理解的提高，我们将看到几乎所有的衍生产品定价都会涉及无风险利率贴现

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• 106

  9.2 OIS利率

  如4.1节里解释的那样，联邦基金利率（Fed funds rate）是美国金融机构之间的无抵押隔夜拆借利率。经纪商通常促成借贷者与放贷者之间的交易，由经纪商所促成交易的加权平均利率（以交易规模作为权重）被称为有效联邦基金利率（effective federal funds rate）。其他国家也有与美国类似的体制，例如，英国由经纪商所促成的隔夜拆借平均利率称

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• 107

  9.3 当用OIS贴现时互换和远期利率合约的价值

  一旦确定了OIS零息利率曲线，我们就可以假定OIS零息利率为无风险利率。例如，式（5-4）给出了远期合约的价值，其中r即为期限为T年的OIS零息利率。（注：为了采用式（5-4），我们要用到对应于期限为T的远期价格F0，一般计算F的方法是对在市场上观察到的远期价格进行插值。）对互换和FRA定价时，我们需要做更多的工作。首先要做的是计算与OIS贴现一致的远期LI

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• 108

  9.4 OIS还是LIBOR：哪一个正确

  我们在前面提到过，许多衍生产品交易商对有抵押的衍生产品（带有类似于2.5节里描述的抵押协议的衍生产品合约）定价时，采用的是OIS贴现利率；而对于没有抵押协议的衍生产品定价时，采用的是LIBOR利率。[1]对这种做法最普遍的解释是与资金费用有关：有抵押的衍生产品的资金费用取决于抵押品，而联邦基金利率（如我们以前所述，该利率与OIS利率相关）是隔夜贷款利率，这是

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• 109

  9.5 信用风险：CVA和DVA

  应该强调，在衍生产品定价时，贴现率并不是用来反映信用风险的。我们到目前为止所描述的估值方法（无论是利用OIS，还是LIBOR来进行贴现）都是用于计算在假定交易双方都不会违约前提下的衍生产品价值（被称为衍生产品的无违约价值（no-default value）），若要将信用风险考虑在内，还需要进行单独的计算。我们现在讨论这些计算的本质，在本书的第24章中将会给出

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• 110

  9.6 融资费用

  假定无风险利率为5%，某银行的平均融资费用为7%，当一个无风险的项目回报率为6%时，该银行是否应该对项目进行投资？答案在这里是肯定的：银行应该对该项目进行投资。对于项目中现金流的贴现率应该使用5%，而当采用这一利率时，该项目的贴现值为正。如果认为银行的资金费用为7%，因此必须投资于回报率高于7%的项目，这种想法是不对的。平均而言，银行投资项目的回报率应该高于

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• 111

  小结

  在前面的章节里我们看到，由于2007年开始的信用危机，对于场外衍生产品的监管比原来更加严格。在这一章里我们了解到信用危机也促使衍生产品的参与者以更加谨慎的态度来检验自己的业务。在信用危机以前，常常将LIBOR作为对于无风险利率的一种合理估计（这样做会带来很多方便。如第7章所示，这种做法简化了LIBOR与固定利率互换的估值过程）。在信用危机之后，市场参与者已经

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• 112

  练习题

  9.1 解释（a）3个月LIBOR和（b）3个月OIS利率的含义，这两个利率哪个更高？为什么？ 9.2 “当银行不再愿意将资金借给其他银行时，3个月期限的LIBOR-OIS溢差将会上升。”解释这一现象。 9.3 假设在例9-2中用LIBOR利率对3年期LIBOR与固定息互换进行贴现。假定3年期LIBOR与固定息的互换利率为7%，相应的3年期的LIBOR/互换

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• 113

  作业题

  9.12 假定1年期的LIBOR利率为4%，2年、3年和4年期限LIBOR与固定息的互换利率分别为4.2%、4.4%和4.5%，互换的利息支付为每年一次，所有的利率均为按年复利。 （a）如果贴现时用LIBOR利率，2年、3年、4年期限的LIBOR/互换零息利率分别为多少？ （b）如果用LIBOR贴现，第2年、第3年、第4年的1年期LIBOR远期利率分别为多少

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• 114

  10.1 期权类型

  如第1章所述，期权有两种基本类型：看涨期权（call option）给期权持有者在将来某个日期以一定价格买入某资产的权利，看跌期权（put option）给期权持有者在将来某个日期以一定价格卖出某资产的权利。期权合约中注明的日期叫到期日（expiration date）或满期日（maturity date），合约中所注明的价格叫执行价格（exercise p

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• 115

  10.2 期权头寸

  任何一个期权合约都有两方：一方为期权的多头（即买入期权方），另一方为期权的空头（即卖出期权或对期权进行承约方（written the option））。卖出期权的一方在最初收入期权费，但这一方在今后有潜在的义务，承约方的盈亏与买入期权一方的盈亏刚好相反。图10-3和图10-4分别是图10-1和图10-2的变形，它们显示了期权承约人的盈亏与最终股票价格之间的关

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• 116

  10.3 标的资产

  在这一节里我们将简单介绍标的资产为股票、货币、股指和期货等的期权是如何在交易所中交易的。 10.3.1 股票期权 大部分股票期权的交易是在交易所进行的。在美国主要交易股票期权的交易所包括芝加哥期权交易所（www.cboe.com）；NYSE Euronext（www.euronext.com，在2008年收购美国股票交易所）；国际证券交易所（www.iseo

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• 117

  10.4 股票期权的细节

  在本章的以下内容里我们将着重讨论股票期权。前面讲过，美国交易所内的股票期权为可以购买或出售100只股票的美式期权。关于合约的细节，例如，到期日、执行价格、股息处理方式、投资者的头寸限额等均由交易所来确定。 10.4.1 到期日 用于描述股票期权的一个术语是到期日所在的月份。因此1月份IBM看涨期权的到期日为1月份的某一天。精确地讲，到期日为到期月份的第3个星

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• 118

  10.5 交易

  传统上，交易所必须要给投资者提供了一个见面并进行期权交易的空间，但这种情况有所变化。大多数衍生产品交易所为完全电子化，因此交易员之间并不需要见面。国际证券交易公司（International Securities Exchange，www.iseoptions.com）在2000年5月推出了第1个将股票期权交易完全电子化的市场。芝加哥期权交易所95%的交易由

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• 119

  10.6 佣金

  投资者向经纪人发出的期权交易指令形式同期货交易（见2.8节）类似。市场指令可以马上执行，限价指令是当市场出现合适价格才被执行的指令，等等。 对于零售投资者来讲，不同经纪人的佣金会很不同。折扣经纪人（discount broker）的收费要比提供全面服务经纪人（full service broker）要低。实际收费常常等于一个固定数量再加上交易量的百分比。表1

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• 120

  10.7 保证金

  在美国购买股票时，投资者可以支付现金也可以通过在保证金账户中借入至多不超过50%的资金来买入股票（这种作法叫以保证金购买（buying on margin））。当股票价格下跌速度很快并使贷款远远高于当前股票价值的50%时，将会触发保证金催付。保证金催付要求投资者在经纪人处存入现金。如果投资者不能满足保证金催付的要求，经纪人会变卖股票。 当购买期限小于9个月的

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• 121

  10.8 期权结算公司

  在期权市场中期权结算公司（OCC）的职能与期货市场中结算中心的职能很相似（见第2章），它确保出售期权的一方按照期权合约的规定来履行义务，同时结算公司也要记录多头方和空头方的状况。期权结算中心拥有一些会员，所有的期权交易必须通过其会员来结清。如果经纪人公司本身并不是期权结算公司的会员，那么该经纪人必须通过期权结算公司的会员来结清交易。会员必须满足资本金的最低限

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• 122

  10.9 监管制度

  期权市场受到多种形式的监管。交易所与期权结算公司都制定了监管其交易员行为的制度。另外，对于期权市场还存在州际与联邦监管机构。一般来讲，期权市场还表现出自律倾向。到目前为止，期权结算公司还没有出现大的丑闻或成员违约事件。投资者对于期权市场的运作应当有很强的信心。 证券交易委员会（SEC）是在美国联邦层次上负责监管股票、股指、外汇和债券期权市场的组织。商品期货交

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• 123

  10.10 税收

  关于期权策略的税收规定比较复杂，因此对于税收规则有疑问的投资者应当尽量去咨询税务专家。在美国，一般规则是（除非纳税人为专业交易员）：为了征税的目的，股票期权的收益被当作资本损益（capital gains or losses）。在2.10节中，我们讨论了资本损益在美国的征税方式。对于股票期权持有方和承约方而言当（a）期权到期而没有执行（b）期权已经被出售平仓

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• 124

  10.11 认股权证、雇员股票期权和可转换债券

  认股权证（warrants）是由金融机构或非金融机构发行的期权。例如，一家金融机构可以发行关于100万盎司黄金的看跌认股权证，并同时建立关于这些权证的市场。为了行使权证，投资者需要同金融机构取得联系。非金融机构一般在发行债券时才会使用权证产品。一家公司可以发行关于自身股票的看涨权证，并将这些权证附加在债券上，以使债券更能吸引投资者。 雇员股票期权（emplo

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• 125

  10.12 场外市场

  本章的大部分内容是关于交易所交易的期权市场。自20世纪80年代初，场外期权市场已经变得十分重要，现在这一市场的规模已经超过了交易所交易市场。如第1章所述，金融机构、企业资金部主管与基金经理通过电话在场外市场进行交易。期权交易的标的产品范围很广。场外市场的外汇和利率期权十分流行。场外市场的一个最大缺点是期权的承约方可能会违约，这意味着期权买入方会承担信用风险。

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• 126

  小结

  期权可分为两类：看涨期权和看跌期权。看涨期权持有者有权在将来某时刻以指定价格买入标的资产，看跌期权持有者有权在将来某时刻以指定价格卖出标的资产。期权市场上有4种可能的交易头寸：看涨期权多头、看涨期权空头、看跌期权多头、看跌期权空头。进入期权的空头也称为对期权承约。期权市场的标的资产包括股票、股指、外汇、期货以及其他资产。 交易所必须要阐明交易期权合约的条款，

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• 127

  练习题

  10.1 某投资者以3美元的价格买入欧式看跌期权，股票价格为42美元，执行价格为40美元，在什么情况下投资者会盈利？在什么情况下期权会被行使？画出在到期时投资者盈利与股票价格之间的关系图。 10.2 某投资者以4美元的价格卖出1份欧式看涨期权，股票价格为47美元，执行价格为50美元，在什么情况下投资者会盈利？在什么情况下期权会被行使？画出在到期时投资者盈利与

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• 128

  作业题

  10.23 计算表1-2中2013年9月看涨期权中间价格（买入卖出价格的平均）的内涵价值和时间价值，对于表1-3的2013年9月看跌期权进行同样计算。在计算中假定标的资产当前价格的中间价为871.30美元。 10.24 某交易员持有关于某股票的看跌期权，期权是关于100份股票，执行价格为60美元。以下情形发生会对期权有什么样的影响？ （a）宣布2美元股息。

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• 129

  11.1 影响期权价格的因素

  有6种因素会影响股票期权的价格： （1）当前股票价格，S0； （2）执行价格，K； （3）期权期限，T； （4）股票价格的波动率，σ； （5）无风险利率，r； （6）期权期限内预期支付的股息。 在这一节里我们将考虑当其中一个因素发生变化时（假定其他因素保持不变），对于期权价格的影响。表11-1总结了这些关系。 表11-1与表11-2给出了欧式看跌和看涨期权价

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• 130

  11.2 假设与记号

  在这一章中我们采用与第5章中推导远期与期货价格时类似的假设。假定市场上存在一些像大型投资银行这样的参与者，从而使下面的假设成立： （1）没有交易费用； （2）所有交易盈利（减去交易损失）的税率相同； （3）投资者可以按无风险利率借入与借出资金。 我们假定在市场上一旦出现套利机会时，参与者马上会利用这些机会。正如在第1章与第5章中所述，这意味着任何套利机会都会

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• 131

  11.3 期权价格的上限与下限

  在这一节里我们将推导期权价格的上下限。这里的上下限不依赖于对11.1节中所述因素的假设（r>0除外）。当期权价格大于上限或者小于下限时，就会出现套利机会。 11.3.1 上限 美式看涨期权或欧式看涨期权给其持有者以指定价格买入1只股票的权利。无论发生什么情况，期权的价格都不会超出股票价格。因此，股票价格是看涨期权价格的上限 如果以上的不等式不成立，那么套利人

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• 132

  11.4 看跌-看涨平价关系式

  我们现在推导具有同样执行价格与期限的欧式看跌期权与看涨期权价格之间的一个重要关系式。考虑下面两个在前一节里已经用过的组合。 组合A：一个欧式看涨期权加上在时间T收益为K的零息债券。 组合C：一个欧式看跌期权加上1只股票。 我们仍然假设股票不支付股息，看涨期权与看跌期权具有相同的执行价格K与期限T。 像在上一节里那样，组合A中的零息债券在时间T的价值为K。如果

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• 133

  11.5 无股息股票上看涨期权

  在这一节里，我们将说明在到期之前行使无股息股票上美式看涨期权永远不会是最佳选择。 为了说明问题的基本原理，考虑一个不付股息而且期限为1个月的美式看涨期权，股票价格为70美元，期权的执行价格为40美元。这一期权实值程度很大，期权的持有者可能会很想马上行使期权。但是，如果投资者计划在行使期权后将所得股票持有1个月以上，那么这不会是最佳策略。更好的方案是持有期权并

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• 134

  11.6 无股息股票上看跌期权

  提前行使无股息股票上看跌期权有时可能是最优的。事实上，在期权期限内的任一给定时刻，当期权的实值程度足够大时都应该提前行使期权。 为了说明这一点，考虑以下极端情形：假定执行价格为10美元，股票价格几乎为0。通过立即行使期权，投资者可以马上得到近10美元。如果投资者选择等待，行使期权的盈利可能低于10美元，但不可能高于10美元，这是因为股票的价值不可能为负值。不

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• 135

  11.7 股息对于期权的影响

  到目前为止，本章里的结论都是建立在假设标的股票不付任何股息的前提下得到的。在这一节里我们考虑股息对于期权的影响。我们假设在期权期限内股息的支付时间与数量都是已知的。因为大多数在交易所交易期权的期限都不超过1年，所以在大多数情况下这个假设并不是太不合理。我们用D来表示期权期限内股息的贴现值。在计算D时，我们假定股息是在除息日付出的。 11.7.1 看涨期权与看

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• 136

  小结

  影响股票期权价值的因素有6种：股票的当前价格、执行价格、期限、股票价格波动率、无风险利率以及在期权期限内所预期的股息。当股票的当前价格、期限、波动率以及无风险利率增长时，看涨期权的价值也会增加；当执行价格与预期股息增长时，看涨期权价值会减小。当执行价格、期限、波动率和预期股息增加时，看跌期权价值一般也会增加；当股票的当前价格与无风险利率增加时，看跌期权的价值

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• 137

  练习题

  11.1 列出影响股票期权价格的6个因素。 11.2 无股息股票上看涨期权的期限为4个月，执行价格为25美元，股票的当前价格为28美元，无风险利率为每年8%，期权的下限是多少？ 11.3 无股息股票上欧式看跌期权的期限为1个月，执行价格为15美元，股票的当前价格为12美元，无风险利率为每年6%时，期权的下限为多少？ 11.4 列举两个原因来说明为什么无股息股

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• 138

  作业题

  11.22 在交易所，看涨期权比看跌期权被更早引入，在看涨期权被引入而同时看跌期权还没有被引入时，对于一个无股息股票，你将如何由看涨期权来构造欧式看跌期权？ 11.23 假定关于某无股息股票的看涨和看跌期权的价格分别为20美元和5美元，期权期限为12个月，执行价格为120美元，当前股票价格为130美元，由以上信息隐含得出的无风险利率为多少？ 11.24 同一

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• 139

  12.1 保本债券

  在零售市场上，期权常常被用来构造保本债券（principal-protected notes），这种产品对保守的投资者很有吸引力。投资人收益依赖于单个股票、股指或其他风险资产的表现，但是本金却没有风险。下面的例子说明了如何构造简单的保本债券。 例12-1 假设连续复利的3年期利率为6%，这说明1000e-0.06×3＝835.27美元在3年后将增长为1000

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• 140

  12.2 包括单一期权与股票的策略

  为了方便起见，我们假设在本章剩下部分内所考虑的期权标的资产是股票。（对其他标的产品，同样可以建立类似的交易策略。）我们也按通常的做法来计算盈利，即最后的收益减去最初的费用，并且忽略贴现效应。 包括单个股票期权和股票本身的策略有多种不同的形式，这些盈利的形态显示在图12-1中。在本图以及本章的其他图形中，虚线代表组合中单个证券的盈利与股票价格之间的关系，而实线

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• 141

  12.3 差价

  差价是指将相同类型的两个或多个期权（由两个或更多个看涨期权或两个或更多个看跌期权）组合在一起的交易策略。 12.3.1 牛市差价 差价中最流行的一种是牛市差价（bull spread），这种差价可以通过买入一个具有某一确定执行价格的欧式股票看涨期权并卖出一个在同一股票上具有较高执行价格的欧式股票看涨期权组合而成，两个期权的期限相同。该策略显示在图12-2中。

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• 142

  12.4 组合

  组合（combination）是一种包括同一股票上看涨与看跌期权的交易策略。我们将要考虑的组合包括跨式组合、序列组合、带式组合以及异价跨式组合等。 12.4.1 跨式组合 一种比较流行的组合形式是跨式组合（straddle）。该组合是买入具有同样执行价格与期限的一个欧式看涨期权和一个看跌期权，盈利形式显示在图12-10中。这里执行价格为K。在期权到期时，如果

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• 143

  12.5 具有其他收益形式的组合

  在本章里，我们展示了期权所生成的盈利与期权标的股票价格之间几种有趣的关系。如果对到期日T，任何执行价格的欧式期权均可以交易，那么从理论上讲，在时间T，我们可以取得任何形式的收益。说明这一点最简单的方式会涉及蝶式差价：蝶式差价可以通过买入具有执行价格K1与K3的期权同时卖出两个执行价格为K2的期权来实现，其中K1<K2<K3并且K3－K2=K2－K1。图12-

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• 144

  小结

  保本债券可以通过零息债券与欧式看涨期权生成。这些产品对某些投资人很有吸引力：因为不管期权标的股票的表现如何，产品的发行者会保证投资人的本金。 一些普通交易策略包括单个期权产品与标的股票。例如，卖出一个备保看涨期权包括购买股票与卖出这一股票上的看涨期权；保护看跌期权包括买入一个股票并同时买入这一股票上的看跌期权。前者类似卖出一个看跌期权；后者类似于买入一个看涨

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• 145

  练习题

  12.1 什么是保护看跌期权？什么样的看涨期权头寸能等价于保护看跌期权？ 12.2 解释熊市差价的两种构造方式。 12.3 对投资者而言，什么是购买蝶式差价的良好时机？ 12.4 有效期为3个月的看涨期权执行价格分别为15美元、17.5美元和20美元，相应的期权价格分别为4美元、2美元及0.5美元。解释如何运用这些期权构造蝶式差价。做图表来说明蝶式差价的盈利

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• 146

  作业题

  12.20 某交易员通过卖出6个月期限执行价格为25美元的看跌期权，同时买入6个月期限执行价格为29美元的看跌期权来产生熊市差价，卖出期权的价格为2.15美元，买入期权的价格为4.75美元，交易员最初的投资为多少？当股票为以下价格时，此熊市差价的最终的回报为多少？（不考虑最初投资）（a）23美元，（b）28美元，（c）33美元。 12.21 某交易员通过卖出

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• 147

  13.1 一步二叉树模型与无套利方法

  我们由一个非常简单的例子入手。假设一个股票的当前价格为20美元，并且我们已知在3个月后股票的价格将会变为22美元或18美元。我们希望对3个月后能够以21美元买入股票的期权定价。这个期权在3个月后的价值将为以下两者之一：如果股票价格变为22美元，期权价值将为1美元；如果股票价格为18美元，期权价值将为0。这些情形如图13-1所示。 图13-1 13.1节例子中

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• 148

  13.2 风险中性定价

  我们现在可以引进关于衍生产品定价的一个重要原理，即所谓的风险中性定价（risk-neutral valuation）：对衍生产品定价时，我们可以假设投资者是风险中性（risk-neutral）的。这个假设是指投资的风险增长时，投资人并不需要额外的预期回报率。所有投资者都是风险中性的世界叫作风险中性世界（risk-neutral world）。当然，我们所生活

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• 149

  13.3 两步二叉树

  我们可以将以上的分析推广到图13-3所示的两步二叉树情形。这时股票起始价格为20美元，在树中的任意一步之间，股票价格或上涨10%或下跌10%。假定树中每一步的步长为3个月，无风险利率为12%。像前面一样，我们所考虑期权的期限为6个月，执行价格为21美元。 这里分析的目的是计算在起始点时的期权价格。我们可以重复利用上一节里的定价原理对这个期权定价。图13-4与

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• 150

  13.4 看跌期权例子

  本章所描述的方法既可以用于对看涨期权定价也可以用于对看跌期权定价。考虑一个两年期执行价格为52美元的欧式看跌期权，股票的当前价格为50美元。我们假定股票价格服从步长为1年的两步二叉树。在二叉树的每一步上，股票价格或者上涨20%，或者下跌20%，我们假定无风险利率为5%。 二叉树如图13-7所示，这里u=1.2，d=0.8，Δt=1及r=0.05。由式（13-

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• 151

  13.5 美式期权

  到目前为止，我们考虑的期权都是欧式期权。接下来我们考虑如何利用像图13-4或图13-7中所描述的二叉树来对美式期权进行定价。定价的过程是从树的末尾出发以倒推的形式推算到树的起始点，在树的每一个节点上我们都需要检验提前行使期权是否为最优。在树的最后节点上，期权的价格等于欧式期权的价格，之前任何一个节点上期权的价格等于以下两个数量的最大值： （1）由式（13-5

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• 152

  13.6 Delta

  我们现在引进Delta，这个变量（有时称为希腊值）在期权定价以及对冲过程中是个很重要的参数。 一个股票期权的Delta（Δ）为期权价格变化同标的股票价格变化之间的比率，它是当我们卖出一份期权时，为了构造无风险组合而需要持有的标的股票数量。这一数量与本章前面所引入的Δ相同。构造无风险投资组合有时也被称为Delta对冲（delta hedging）。看涨期权的D

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• 153

  13.7 选取u和d使二叉树与波动率吻合

  为了构造一个步长为Δt的二叉树，我们需要确定3个参数：u，d和p。一旦u和d确定之后，我们在选取p时要确保预期回报等于无风险利率r，我们已经证明 参数u和d的选取要确保波动率的吻合。股票（或任何资产）价格波动率σ的定义是使得为股票价格在一个长度为Δt的时间区间上收益的标准差（有关进一步的讨论，见第15章）。与此等价，回报的方差为σ2Δt。变量X的方差定义为E

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• 154

  13.8 二叉树公式

  上一节里的分析表明，当二叉树上的步长为Δt时，为了与波动率相吻合，我们取 和 而且由式（13-6） 其中 式（13-15）~式（13-18）定义了叉树。 我们再考虑图13-8中的美式看跌期权，其中股票价格为50美元，执行价格为52美元，无风险利率为5%，期权期限为2年，二叉树包含两步。这时Δt=1。假定波动率为30%，由式（13-15）~式（13-18），我

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• 155

  13.9 增加二叉树的步数

  到目前为止我们所列举的二叉树简单得不切实际。显而易见，如果假定在期权期限内价格变化由一步或两步二叉树来表达，那么由此得出的期权价格将会只是一个非常粗略的近似。 在实际应用二叉树时，期权的期限通常会被分割为30个或更多的时间步。在每一个时间步里，股票价格的变动由一个一步二叉树来表达。在30个时间步中，总共有31个终端股票价格，并且有230，即大约10亿种可能的

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• 156

  13.10 使用DerivaGem软件

  DerivaGem 3.00对读者了解二叉树非常有用。用户可以根据书末的说明将软件装在自己的电脑上，然后可以采用“Equity_FX_Indx_Fut_Opts_Calc”工作页来进行计算，在计算中选择“股权”（Equity）作为“标的资产类型”（Underlying Type），选择“二叉树美式”（Binominal American）作为“期权类型”（O

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• 157

  13.11 其他标的资产上的期权

  在第10章里我们介绍了股指期权、货币期权和期货期权，在第17章和18章中我们还要进一步讨论这些期权。事实上，我们可以采用几乎和构造股票期权一样的方法来构造二叉树，唯一的变化是对概率p的计算有所改变。像对于股票期权定价时那样，我们仍采用式（13-2），即每一个节点上的期权价值（在提前行使期权的可能性被考虑之前）等于p乘以股票价格上涨时所对应的期权价值加上1-p

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• 158

  小结

  本章简要介绍了对于股票与其他标的资产上期权的定价过程。对于在期权期限内股票价格服从一步二叉树的简单情形，我们可以构造一个由期权与股票所构成的无风险投资组合。在无套利机会的前提下，无风险投资组合的收益率一定等于无风险利率，由此我们可将股票期权的价格用标的股票价格来表示。值得注意的是，我们对于股票在每个节点上涨与下跌的概率无须做任何假设。 如果股票价格的变化由多

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• 159

  练习题

  13.1 股票的当前价格为40美元，已知在1个月后股票的价格将可能变为42美元或38美元，无风险利率为每年8%（连续复利），执行价格为39美元、1个月期限的欧式看涨期权价值是多少？ 13.2 用一步二叉树说明无套利方法与风险中性定价方法对于欧式期权的定价过程。 13.3 股票期权Delta的含义是什么？ 13.4 股票的当前价格为50美元，已知在6个月后这一

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• 160

  作业题

  13.19 一个无股息的生物科技股票的当前价格为140美元，波动率为25%，无风险利率为4%，对于3个月步长： （a）价格上升的百分比为多少？ （b）价格下跌的百分比为多少？ （c）在风险中性世界里价格上升的概率为多少？ （d）在风险中性世界里价格下跌的概率为多少？ 利用两步二叉树，即采用3个月步长来对一个6个月期限的欧式看涨和看跌期权来定价，这里的期权执行

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• 161

  附录13A 由二叉树模型推导布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价公式

  推导著名的布莱克-斯科尔斯-默顿欧式期权定价公式有许多方法，其中一种是在二叉树模型中令步数趋于无穷大。 假设我们利用n步二叉树对执行价格为K，期限为T的欧式看涨期权定价。每步的时间长度是T/n，如果在树上股票价值有j次向上移动，n－j次向下移动，最后的股票价格等于S0ujdn－j，其中u是价格上涨的比例，d是下跌的比例，S0是开始时的股票价格。欧式看涨期权的

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• 162

  14.1 马尔科夫性质

  马尔科夫过程（Markov process）是一个特殊类型的随机过程，其中只有标的变量的当前值与未来的预测有关，而变量的历史值以及变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。 通常被假设股票价格服从马尔科夫过程。假定IBM股票的当前价格为100美元，如果股票价格服从马尔科夫过程，那么1个星期以前、1个月以前或1年以前的股票价格不会影响我们对将来价格的预测，而

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• 163

  14.2 连续时间随机过程

  我们考虑一个服从马尔科夫过程的变量，假定其当前值为10，在1年内该变量变化的分布为φ（0，1），其中φ（μ，v）代表正态概率分布，期望值为m，方差为v。[1]变量在2年内变化的概率分布是什么？ 变量在2年内的变化等于两个正态随机变量的和，这里每一个变量的期望值均为0，方差均为1.0。因为此变量满足马尔科夫性质，所以这里的两个分布是相互独立的。将两个相互独立的

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• 164

  14.3 描述股票价格的过程

  在这一节里我们讨论通常对无股息股票的价格所假设的随机过程。 我们可能会想假设股票价格服从广义维纳过程，也就是说，它具有不变的漂移率期望值和不变的方差率。但是，这一模型却没有抓住股票价格的一个关键特性，即投资者所要求的预期收益率与股票价格无关：如果投资者在股票价格等于10美元时要求预期收益率为14%，那么在其他条件相同时，投资者在股票价格等于50美元时也同样会

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• 165

  14.4 参数

  本章所建立的描述股票价格的过程涉及两个参数：μ和σ。参数μ为投资者在很短一段时间里赚取的收益率期望值（按年计）。大多数投资者在承担更大风险时将会要求更高的预期收益，因此μ将会依赖于股票收益的风险，[1]μ的取值也应该与经济体系中的利率水平有关，利率水平越高，投资者对股票的预期收益也会越高。 幸运的是我们并不需要关心计算μ的细节，因为与股票有关的衍生产品价值一

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• 166

  14.5 相关过程

  到现在为止，我们所考虑的是如何表示单变量的随机过程，我们现在将这些分析推广到涉及两个或更多相关变量的随机过程。假设两个变量x1和x2分别服从以下随机过程 其中dz1和dz2为维纳过程。 如前面所述，这些过程的近似离散形式是 其中ε1和ε2是标准正态分布φ（0，1）的样本。 对变量x1和x2，我们可以像在14.3节里所讲的那样进行模拟。如果它们互不相关，用来描

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• 167

  14.6 伊藤引理

  股票期权的价格是标的股票价格和时间的函数。更一般地讲，任意一种衍生产品的价格都是某些标的随机变量和时间的函数。想认真学习衍生产品定价的学生应该对随机变量函数的性质有所了解。在这个领域中的一个重要结论是数学家在1951年发现的伊藤引理。（注：见，“On Stochastic Differential Equations，”Memoirs of the Amer

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• 168

  14.7 对数正态分布的性质

  接下来，我们利用伊藤引理来推导当S服从式（14-13）时，lnS所服从的随机过程。我们定义 因为 由式（14-14）得出，G满足 因为μ和σ为常数，以上方程说明G=lnS满足一个广义维纳过程，其漂移率为常数μ－σ2/2，方差率为常数σ2。因此lnS在0与T时刻之间的变化服从正态分布，期望值为（μ－σ2/2）T，方差为σ2T。这意味着 或者 其中ST为股票在T

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• 169

  小结

  随机过程描述了变量值随时间变化的概率分布。在马尔科夫过程中，只有变量的当前值与将来的预测值有关。变量的历史以及如何演变到当前值的方式与预测值无关。 维纳过程dz是一个描述正态分布变量变化的马尔科夫过程。该过程在单位时间的漂移率为0，方差率为1.0。这意味着，如果变量在0时刻的初始值为x0，那么该变量在T时刻服从期望值为x0、标准差为的正态分布。 广义维纳过程

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• 170

  练习题

  14.1 如果我们说一个地区的温度服从马尔科夫过程，这里的含义是什么？你认为温度确实可以服从马尔科夫过程吗？ 14.2 基于股票价格历史数据的交易策略的收益是否会总是高于平均收益？讨论这一问题。 14.3 假定一家公司的现金头寸（用百万美元来计）服从广义维纳过程，现金头寸的漂移率为每季度0.5，方差率为每季度4.0。公司的初始现金头寸要多高才能使得其在1年后

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• 171

  作业题

  14.13 假定股票的收益率期望为每年16%，波动率为每年30%。当股票价格在某一天末的价格为50美元时，计算 （a）在下一天股票价格的期望值。 （b）在下一天股票价格的标准差。 （c）在下一天股票价格的95%置信区间。 14.14 假定一家公司的现金头寸（以百万美元计）服从广义维纳过程，漂移率为每月0.1，方差率为每月0.16，初始现金头寸为2.0。 （a

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• 172

  附录14A 伊藤引理的推导

  在这个附录中我们将说明如何将伊藤引理看成一些简单结论的推广。考虑一个连续可微的x的函数G。如果x很小的变化为Δx，相应G的变化为ΔG，微积分里的一个著名结论是 换句话讲，ΔG大约等于G对x的导数乘以Δx。误差项包括高阶项Δx2。如果需要更精确的表达式，我们可以运用ΔG的泰勒展开式 如果连续可导函数G有两个变量x和y，那么与式（14A-1）类似的结果为 相应的

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• 173

  15.1 股票价格的对数正态分布性质

  布莱克、斯科尔斯和默顿用来描述股票价格行为的模型正是我们在第14章中建立的模型。该模型假设无股息股票在一短时间内的百分比变化具有正态分布。定义 μ：股票每年的期望收益率； σ：股票价格每年的波动率。 在Δt时间内股票收益的均值和标准差分别近似地等于μΔt和。因此 其中ΔS为股票价格在Δt时间内的变化，φ（m，v）代表期望为m，方差为v的正态分布。（这正是式（

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• 174

  15.2 收益率的分布

  由股票价格服从对数正态分布的性质出发，我们可以得出0与T之间连续复利收益率的概率分布。将0与T之间以连续复利的收益率计为x，那么 由式（15-2）得出 因此，连续复利收益率服从正态分布，其期望值与标准差分别为μ－σ2/2和。当T增大时，x标准差减小。为了理解这一点，我们可以考虑T=1和T=20两种情形，我们相信对于在20年内的年平均收益估计比1年的年平均收益

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• 175

  15.3 收益率期望

  投资者从一个股票中所寻求的收益率期望μ与股票的风险有关：风险越大，收益率期望也会越高。它还依赖于经济中的利率：当利率越高时，投资人对股票所要求的收益率期望也会越高。庆幸的是，我们不需要关心决定μ的任何细节。事实上，当利用标的股票价格来表示期权价格时，期权价格与μ毫不相干。尽管如此，股票收益率期望的一个性质常常引起混淆，因此我们特别解释这个性质。 式（15-1

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• 176

  15.4 波动率

  股票的波动率σ用于度量股票所提供收益的不确定性。股票的波动率通常介于15%与60%之间。 由式（15-7）可知股票价格的波动率可以被定义成按连续复利时股票在1年内所提供收益率的标准差。 当Δt很小时，式（15-1）表明σ2Δt近似地等于在Δt时间内股票价格变化百分比的方差。这说明近似地等于在Δt时间内股票价格变化百分比的标准差。例如，一家股票的价格为50美元

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• 177

  15.5 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念

  布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程是每一个依赖于无股息股票的衍生产品价格必须满足的方程式。我们将在下一节推导这个方程，在这里我们考虑布莱克-斯科尔斯-默顿方法的特征。 这种方法与第13章中利用二叉树来描述股票价格变动时的无套利方法类似。在定价的过程中需要构造一个由期权与标的股票所组成的无风险交易组合，在无套利的条件下，这一交易组合的收益率必须为无风险利率r，由此

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• 178

  15.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导

  在本节里的记号与书中其他地方不一样，我们考虑衍生产品在一时间t（而不是时间0）时的价格。如果T是到期日，那么期权的期限是T－t。 我们假设股票价格服从在14.3节所建立的过程，即 假定f为关于S的看涨期权，或其他依赖于S的衍生产品价格。变量f必须是S和t的函数。因此，由式（14-14）得出 式（15-8）和式（15-9）的离散形式为 和 其中ΔS与Δf为S与

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• 179

  15.7 风险中性定价

  在第13章中我们曾利用二叉树模型引入了风险中性定价的方法。毫无疑问，这是在衍生产品定价分析中一个最重要的工具。这个结果是由布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的一个关键的性质而来：布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程不涉及任何受投资者风险偏好影响的变量，在方程中出现的变量包括股票的当前价格、时间、股票价格波动率和无风险利率，而它们均与风险选择无关。 如果布莱克-斯科尔斯

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• 180

  15.8 布莱克-斯科尔斯-默顿定价公式

  微分方程式（15-16）最著名的解是关于看涨期权与看跌期权的定价公式，这些公式为 和 其中 函数N（x）为标准正态分布的累积概率分布函数。换言之，这一函数等于服从标准正态分布φ（0，1）的随机变量小于x的概率（见图15-3）。我们对方程中的其他记号应当很熟悉：c与p分别为欧式看涨与看跌期权的价格，S0为股票在时间0的价格，K为执行价格，r为连续复利的无风险利

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• 181

  15.9 累积正态分布函数

  在计算式（15-20）与式（15-21）时，我们需要计算标准正态分布的累积函数N（x）。这一函数也可以通过Excel中的函数NORMSDIST来计算。 例15-6 考虑一个6个月期限的期权。股票当前价格为42美元，执行价格为40美元，无风险利率为年率10%，波动率为每年20%，也就是说S0=42，K=40，r=0.1，σ=0.2，T=0.5，因此 以及 如果

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• 182

  15.10 权证与雇员股票期权

  行使一个公司的普通看涨期权对于在市场上交易的公司股票数量没有任何影响。如果期权承约者不拥有公司的股票，那么他在期权被行使时必须在市场上按通常的方式买入股票，然后按执行价格卖给期权的持有者。如在第10章解释的那样，权证和雇员股票期权与一般看涨期权不同的是，在权证与雇员股票期权被行使时，公司必须首先发行更多的股票，然后再以执行价格卖给期权持有者。由于执行价格低于

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• 183

  15.11 隐含波动率

  在布莱克-斯科尔斯-默顿定价公式中，不能直接观察到的参数只有股票价格的波动率。在15.4节中我们已经讨论了如何由股票的历史价格来估计波动率。在实际中，交易员通常使用所谓的隐含波动率（implied volatility）。这一波动率是指由期权的市场价格所隐含的波动率。[1] 为了说明隐含波动率是如何计算的，假设一个不付股息股票的欧式看涨期权价格为1.875，

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• 184

  15.12 股息

  到目前为止，我们一直假设期权的标的股票不付任何股息。在本节中，我们对布莱克-斯科尔斯-默顿模型加以修改，以便考虑股息。我们假设在期权的有效期内，股息的数量与付出时间均可以被准确地预测到。对于短期限的期权来说，这个假设并不是不合理（对于长期限的期权，我们通常假设已知的是股息率，而不是股息的现金数量，这时可以按我们在第17章中所述的方法对期权定价）。股息付出日期

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• 185

  小结

  在这一章里，我们首先考虑了在第14章中引入的股票价格过程的性质，这意味着在给定当前价格的前提下，股票价格在将来时刻的分布为对数正态分布。这也意味着，在一段时间内股票连续复利的收益为正态分布。我们展望的时间越远，未来股票价格的不确定性也越大。股票价格对数值的标准差与展望时间长度的平方根成比例。 为了以实证的形式来估计股票价格波动率σ，我们应当以固定的时间区间观

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• 186

  推荐阅读

  关于股票价格变化的分布 关于布莱克-斯科尔斯-默顿分析 关于风险中性定价 关于波动率

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• 187

  练习题

  15.1 布莱克-斯科尔斯-默顿股票期权定价模型中对于1年后股票价格概率分布的假设是什么？对于1年内连续复利收益率分布的假设是什么？ 15.2 股票价格的波动率为每年30%，在一个交易日内价格百分比变化的标准差为多少？ 15.3 解释风险中性定价原理。 15.4 计算一个3个月期的无股息股票欧式看跌期权的价格，这里期权执行价格为50美元，股票当前价格为50美

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• 188

  作业题

  15.26 某股票的波动率为每年18%，计算在以下时段价格变动的标准差（a）1天，（b）1周，（c）1个月。 15.27 某股票的当前价格为50美元。假定股票的预期收益率为18%，波动率为30%，在两年后股票价格的概率分布是什么？计算分布的期望值与标准方差，并确定95%的置信区间。 15.28 假定在连续15个周末所观察的股票价格（以美元计）为： 估计股票价

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• 189

  附录15A 布莱克-斯科尔斯-默顿公式的证明

  在证明布莱克-斯科尔斯-默顿公式之前，我们先证明一个重要关系式，在今后的章节中我们也将会用到这一结论。 重要关系式 如果V服从对数正态分布，lnV的标准差为w，那么 其中 这里E代表期望值。 关系式的证明 定义g（V）为V的概率密度函数，因此 lnV服从正态分布，标准差为w，由正态分布的性质得出，lnV的均值为m，其中[1] 定义一个新的变量 Q服从正态分布

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• 190

  16.1 合约的设计

  雇员股票期权常常延续10~15年，执行价格一般设成股票在授予日的价格，因此在最初时期权是平价的。雇员股票期权方案常常含有以下特点： （1）有一段等待期（vesting period），在此期间期权是不能被行使的。这段等待时间可以延续长达4年。 （2）在等待时间内，当雇员离开公司（志愿或非志愿）时，期权将会作废。 （3）在等待期之后，当雇员离开公司（志愿或非志

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• 191

  16.2 期权会促进股东与管理人员利益的一致吗

  使投资者对资本市场具有信心的一个重要因素是股东与管理人员的利益是比较一致的。这意味着在制定决策时，管理人员会以股东的利益出发。管理人员是股东的代理人，如第8章所述，经济学家将由于管理人与股东的利益不一致时所遭受的损失叫作代理费用（agency costs）。 雇员期权有助于使雇员的利益与股东一致吗？这个问题的答案并非直截了当。毫无疑问，对新企业来讲，期权起到

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• 192

  16.3 会计问题

  像其他形式的报酬一样，雇员股票期权对公司来讲是一种费用，而对雇员来讲是获益。尽管对许多人来讲这一点是显然的，但这却很有争议。许多高管似乎认为除非期权是实值，否则是没有价值的。因此，他们认为对公司而言，平值期权并不是一种费用。事实上，如果期权对雇员是有价值的，那么对公司的股东与公司而言，这肯定是一种费用，因为不存在免费的午餐。期权对公司的费用来自于公司已经同意

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• 193

  16.4 定价

  在雇员股票期权定价方面，会计准则给予公司很大的选择余地。在本节中，我们将叙述其中的几种方法。 16.4.1 快捷而粗略的方法 常被使用的一种方法是基于所谓的预期期限（expected life），这是指雇员在行使期权或期权到期之前所持期权的平均时间。预期期限可以大致地从记录雇员提前行使期权的历史数据来估计，并且反映等待期、雇员离开公司的影响以及像在16.1节

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• 194

  16.5 倒填日期丑闻

  如果在讨论雇员股票期权时不提及倒填日期（backdating）丑闻，那么这样的讨论是不完全的。倒填日期是将文件的发行日期写成早于目前日期的行为。 假设一家公司决定在4月30日当股票价格为50美元时向其雇员授予平值期权。如果在4月3日股票价格是42美元，这时比较诱人的做法是企图将期权当成是在4月3日被授予的，并且使用42美元的执行价格。只要公司在4月30日决定

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• 195

  小结

  在过去的20年里，企业高管的报酬迅猛增长，而且大部分的增长来自于行使被授予高管的股票期权。直到2005年，授予平值股票期权是很受欢迎的薪酬方式。这些期权对利润表毫无影响，对雇员却很有价值。现在的会计准则要求将期权作为费用。 对雇员股票期权的定价有许多不同的方法。第1种普通的做法是利用布莱克-斯科尔斯-默顿模型，将期权的有效期设成等于行使期权或期权作废的平均时

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• 196

  练习题

  16.1 为什么在2005年之前授予平值期权的做法很受公司欢迎？在2005年改变了什么？ 16.2 典型的雇员股票期权与交易所或场外市场所交易的美式期权之间有哪些主要区别？ 16.3 解释为什么在无股息股票上的雇员期权常常在有效期之前被行使，而关于这种股票的交易所交易的看涨期权却永远不会被提前行使。 16.4 “股票期权很好，因为它提供了使高管为股东的最佳利

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• 197

  作业题

  16.14 在例16-2中，雇员股票期权的（风险中性）预期期限是多长？在布莱克-斯科尔斯-默顿公式中使用预期期限时期权的价格是多少？ 16.15 一家公司向其雇员授予了200万份期权。股票价格与执行价格均为60美元，期权延续8年，在2年后生效。公司决定使用的预期期限为6年，波动率为每年22%，股票每年支付1美元的股息，在每年的中间付出。无风险利率是5%。在利

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• 198

  17.1 股指期权

  有若干家交易所交易股指期权。这些股指中有的反映市场的整体走向，而其他一些是基于某个行业的行情（例如，计算机技术、原油与天然气、交通或电信等行业）。芝加哥期权交易所（CBOE）交易的股指期权包括标普100指数上的美式与欧式期权（OEX与XEO），标普500指数上的欧式期权（SPX），道琼斯工业平均指数上的欧式期权（DJX）以及纳斯达克100指数上的欧式期权（N

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• 199

  17.2 货币期权

  货币期权主要在场外市场上交易，该市场的优点是交易者可以进行大额交易，并且该市场可以对产品的执行价格、到期日以及其他特征进行特殊设计来满足公司资金部的需要。虽然美国纳斯达克OMX也进行货币期权交易，但对于这类期权，交易所交易市场的规模远小于场外市场。 一个欧式看涨期权的例子如下：期权持有人有权以汇率1.3000的价格买入100万欧元（即1欧元兑换1.3美元）。

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• 200

  17.3 支付已知股息率的股票期权

  在这一节里我们会建立一个简单规则，利用这一规则我们可以将无股息股票上欧式期权公式的结果推广到支付已知股息率的股票期权，然后我们将说明如何利用这些结果来推导关于股指与货币期权的定价公式。 股息会使得股票价格在除息日的价格下跌幅度等于股息量。股息收益率q会使得股票价格增长幅度比无股息的同样股票价格增长幅度减少q。如果支付股息收益率q，股票价格从S0增长到T时刻的

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• 201

  17.4 欧式股指期权的定价

  在第5章里对股指期货定价时，我们曾假设可以将股指看作支付已知股息收益率的股票。在对股指期权定价时，我们也可以采用类似的假设。这意味着不等式式（17-1）与式（17-2）提供了关于欧式股指期权的下限；式（17-3）是关于欧式股指期权的看跌-看涨期权平价关系式；式（17-4）和式（17-5）可用来对欧式股指期权定价；二叉树可以用来对美式期权定价。在所有情形下，S

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• 202

  17.5 欧式货币期权的定价

  为了对货币期权进行定价，我们定义S0为即期汇率。精确地讲，S0为一个单位的外币所对应的美元数量。在5.10节中我们曾讲过，外币与支付股息收益率的股票相似，外币持有者收入的股息收益率等于外币无风险利率rf（以外币计）。将不等式式（17-1）和式（17-2）中的q由rf替代，我们得出欧式看涨期权c和欧式看跌期权q的下限 将式（17-3）中的q由rf替代，我们可以

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• 203

  17.6 美式期权

  如第13章中所述，二叉树可以用来对美式股指和货币期权定价。与无股息股票的情形相同，我们将决定价格上涨幅度的参数u取为，其中σ为波动率，Δt为时间步长，决定价格下跌幅度的参数。对于无股息股票，价格上涨所对应的概率为 其中a=erΔt。对于股指和货币期权，计算p的公式不变，但是要将a的定义做些变化。对于股指期权 其中q为股息收益率。对于货币期权 其中rf为外国的

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• 204

  小结

  在交易所里交易的股指期权以现金结算。在行使股指看涨期权时，期权持有人的收入为100乘以股指超出执行价格的数量。与此类似，在股指看跌期权被行使时，期权持有人收入为100乘以执行价格超出股指的数量。股指期权可用来对证券组合进行保险。如果证券组合与股指有类似的收益，我们可以对于证券组合中每100S0美元的价值买入1份看跌期权。如果证券组合与股指的收益不同，对于证券

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• 205

  练习题

  17.1 一个当前价值为1000万美元的证券组合的β值为1.0，某个指数的当前值为800。解释如何利用执行价格为700，标的资产为该指数的看跌期权来为证券组合提供保险。 17.2 “一旦我们知道了如何对支付股息收益率股票上的期权定价，那么我们也就知道了如何对股指和货币期权定价。”解释这句话的含义。 17.3 一个股指的当前值为300，股指的股息收益率为每年3

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• 206

  作业题

  17.23 道琼斯工业平均指数在2007年1月12日为12556，而对于3月份到期、执行价格为126的看涨期权（March 126Call）价格为2.25美元。利用DerivaGem软件来计算期权的隐含波动率，在计算中假定无风险利率为5.3%，股息收益率为3%，期权到期日为2007年3月20日。估计3月份到期，执行价格为126的看跌期权价格。由这一期权价格得

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• 207

  18.1 期货期权的特性

  期货期权给予持有者权利（而非义务）在将来某一时刻以一定的期货价格进入期货合约。具体地讲，看涨期货期权给持有者在将来某时刻以一定期货价格持有合约多头的权利；看跌期货期权给持有者在将来某时刻以一定期货价格持有期货合约空头的权利。大多数期货期权为美式期权，也就是说期权持有者在合约有效期内随时可以行使期权。 当看涨期货期权被行使时，期权持有者进入一个期货合约的多头，

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• 208

  18.2 期货期权被广泛应用的原因

  人们很自然会问，为什么有人会选择交易期货期权而不是交易关于标的资产的期权呢？主要原因似乎是在大多数情形下，期货合约要比标的资产的流动性更好，而且容易交易。还有，在交易所很容易马上获得期货的价格，而标的资产的价格并不一定很容易取得。 考虑长期国债。长期国债的期货市场要比任何个别的国债市场都活跃得多，而且马上可以从交易所的交易中得到长期国债期货的价格。与此相比，

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• 209

  18.3 欧式即期期权和欧式期货期权

  执行价格为K的欧式看涨即期期权收益为 其中ST为期权到期时资产的即期价格。具有同样执行价格K的欧式看涨期货期权收益为 其中FT为期权到期时的期货价格。如果期货与期权同时到期，那么FT=ST，这时两个期权等价。类似地，当期货与期权同时到期时，欧式即期看跌期权与欧式期货看跌期权等价。 大多数市场交易的期货期权为美式期权。但是我们会看到，研究欧式期货期权仍会很有用

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• 210

  18.4 看跌-看涨期权平价关系式

  在第11章里我们得出了欧式股票期权的看跌-看涨期权的平价关系式。我们现在采用类似的方法来推导对于欧式期货期权的看跌-看涨平价关系式。考虑具有相同执行价格K与期限T的两个欧式看涨和看跌期货期权。我们可以构造以下两个交易组合 组合A：一份欧式看涨期货期权加上数量为Ke－rT的现金； 组合B：一份欧式看跌期货期权加上一份期货合约多头，再加上数量为F0e－rT的现金

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• 211

  18.5 期货期权的下限

  看跌-看涨期权平价关系式式（18-1）给出了欧式看涨期权和看跌期权的下限。因为看跌期权的价格p不能为负值，由式（18-1）得出 即 类似地，因为看涨期权的价格c不能为负值，由式（18-1）得出 即 以上得出的下限与第11章中推导出的欧式股票期权的下限类似。当期权为深度实值状态时，欧式看涨和看跌期权会与它们的下限价格非常接近。为了说明这一点，我们重新考虑由式（

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• 212

  18.6 采用二叉树对期货期权定价

  在本节里我们将比在第13章中更正式地探讨如何用二叉树对期货期权定价。期货期权与股票期权的关键区别是进入期货合约时无须付费。 假定当前的期货价格为30，在1个月后，期货价格将上涨到33或者下跌到28。我们考虑对于在期货上执行价格为29的看涨期权。在分析过程中，我们忽略期货每日结算的性质。这一情形显示在图18-1中。当期货价格上涨到33时，期权的收益为4，同时期

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• 213

  18.7 期货价格在风险中性世界的漂移率

  我们可以利用一种更广义的结果来将17.3节中的分析用到期货期权上。这一结果是：在风险中性世界里，期货价格的变化等价于支付股息收益率为国内无风险利率r的股票。 期货二叉树上关于p的方程与股票二叉树上当q=r时的概率方程一致（比较式（18-6）与式（17-15）和式（17-16）），从这一现象中我们可以得出一些线索。另外一些线索是期货期权的看跌-看涨期权平价关系

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• 214

  18.8 期货期权定价的布莱克模型

  通过将以上结果进行推广，我们可以对欧式期货期权定价。费希尔·布莱克在1976年发表的一篇文章中首先证明了这一点。[1]假设标的期货价格服从式（18-7）中的对数正态过程，期货期权上的欧式看涨期权价格c和看跌期权p可以由在式（17-4）与式（17-5）中将S0由F0取代，同时令q=r而给出 其中 其中σ为期货价格的波动率。当持有费用和便利收益率均为时间的函数时

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• 215

  18.9 美式期货期权与美式即期期权

  在实际中，市场交易的期货期权通常为美式期权。假定无风险利率r为正，美式期货期权总是有被提前行使的可能性，因此，美式期货期权价格总是会高于相应的欧式期货期权的价格。 在当期权与期货具有相同期限时，美式期货期权的价格并不一定等于美式即期期权的价格。[1]例如，假定我们有一个正常市场（normal market），其中期货价格在到期前一直高于即期资产价格。这时，美

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• 216

  18.10 期货式期权

  有些交易所交易所谓的期货式期权（futures-style options），这是关于期权收益的期货合约。一般来讲，交易员在买入（卖出）即期或期货期权时要首先支付（收入）现金。与此不同的是，买入或卖出期货式期权的交易员要缴纳保证金，这一点与一般的期货交易没有什么两样（见第2章）。与其他期货一样，期货式期权要每天进行结算，而最终的结算为期权的收益。期货合约是对

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• 217

  小结

  期货期权在行使时需要交割标的期货。当看涨期权被行使时，期权持有者取得期货多头加上数量为期货价格超出执行价格的现金。类似地，当看跌期权被行使时，期权持有者取得期货空头加上数量为执行价格超出期货价格的现金。期货的到期日通常比期权的到期日要略晚。 期货价格与支付股息收益率等于无风险利率r的股票价格相似。这意味着当我们将期货价格取代股票价格，并同时令股息收益率等于无

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• 218

  练习题

  18.1 解释一个关于日元的看涨期权和日元期货上看涨期权的不同。 18.2 为什么债券期货期权比债券期权交易更为活跃？ 18.3 “期货价格类似于支付股息收益率的股票。”这里的股息收益率是多少？ 18.4 一个期货的当前价格为50，在6个月后，价格会或者变为56或者46，无风险利率为每年6%，6个月期限、执行价格为50的欧式看涨期权价格是多少？ 18.5 期

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• 219

  作业题

  18.22 某期货价格为40，已知在3个月末，价格会变为35或45。该期货上执行价格为42的3个月期欧式看涨期权的价格为多少？这里的无风险利率为每年7%。 18.23 关于某资产的期货价格为78，无风险利率为3%，期货上一个6个月期限、执行价格为80的看跌期权价格为6.5。假定看跌期权为欧式期权，一个具有同样执行价格和同样期限的欧式看涨和看跌期权的价格为多少

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• 220

  19.1 例解

  在以下几节里，我们将采用一家金融机构的头寸来作为例子：该金融机构以300000美元的价格卖出了100000份无股息股票的欧式看涨期权。我们假设股票价格为49美元，期权执行价格为50美元，无风险利率为每年5%，股票价格的波动率为每年20%，期权期限为20周（0.3846年），股票的收益率期望为每年13%。[1]采用惯用的符号，这意味着： 由布莱克-斯科尔斯-默

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• 221

  19.2 裸露头寸和带保头寸

  金融机构可采用的一种策略是对期权头寸不采取任何对冲措施，这种做法被称为持有裸露头寸（naked position）。在20周后，如果股票价格低于50美元，这种策略的收益会很好。期权在最终没有给金融机构带来任何费用，整个交易给金融机构带来净利润300000美元。如果在20周后期权被行使，这种策略的收益将不会这么好。在期权到期时，金融机构必须在市场上以市价买入1

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• 222

  19.3 止损交易策略

  止损交易策略（stop-loss strategy）是一个很有意思的对冲方法。为了解释这个方法，假定某金融机构卖出了一个看涨期权，期权持有者有权以价格K买进1只股票。止损交易策略的思路是这样的：在股票价格刚刚高于K时马上买入股票，而在股票价格刚刚低于K时马上卖出股票。这一对冲的核心思想就是当股票价格低于K时，采用裸露头寸策略，而当股票价格高于K时，采用带保头

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• 223

  19.4 Delta对冲

  大多数交易员采用的对冲策略要比我们前面所讨论的方法更为复杂，这包括计算Delta、Gamma、Vega等测度。在这一节里，我们将讨论Delta的作用。 在第13章里我们引入了期权的Delta（Δ），该变量定义为期权价格变动与其标的资产价格变动的比率。它是描述期权价格与标的资产价格之间关系曲线的切线斜率。假定某看涨期权Delta为0.6，这意味着当股票价格变化

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• 224

  19.5 Theta

  期权组合的Theta（Θ）定义为在其他条件不变时，投资组合价值变化与时间变化的比率。Theta有时称为组合的时间损耗（time decay）。对于一个无股息股票上的欧式看涨期权，计算Theta的公式可以从布莱克-斯科尔斯-默顿公式得出（见练习题15.17） 其中d1与d2由式（15-20）给出 为标准正态分布的密度函数。 对于一个股票上欧式看跌期权，计算Th

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• 225

  19.6 Gamma

  一个期权交易组合的Gamma（Γ）是指交易组合Delta的变化与标的资产价格变化的比率。这是交易组合关于标的资产价格的二阶偏导数 当Gamma很小时，Delta变化缓慢，这时为保证Delta中性并不需要做太频繁的调整。但是当Gamma的值很大（正值或负值）时，Delta对标的资产价格的变动就会很敏感，此时在一段时间内不对一个Delta中性的投资组合做调整都将

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• 226

  19.7 Delta、Theta和Gamma之间的关系

  无股息股票上单个衍生产品的价格必须满足微分方程式（15-16）。因此，由这些衍生产品所组成的资产组合Π也一定满足以下微分方程 因为 所以 对于其他标的资产，我们可以取得类似的结果（见练习题19.19）。 对于Delta中性交易组合，Δ=0，因此 这一公式说明当很大并且为正时，交易组合的Gamma也很大，但为负，这一结论反过来也成立。这与图19-8所示结果是一

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• 227

  19.8 Vega

  截止到目前为止，我们一直假设衍生产品标的资产波动率为常数。在实际中，波动率会随时间变化，这意味着衍生产品价格会既随着标的资产价格与期限的变化而变化，同时也会随波动率的变化而变化。 交易组合的是指交易组合价值变化与标的资产波动率变化的比率（注：Vega虽然是期权定价中“希腊值”的一个名称，但是并不对应于任何一个希腊字母。） 如果一个交易组合Vega绝对值很大，

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• 228

  19.9 Rho

  期权交易组合的Rho为交易组合价值变化与利率变化的比率 这一变量用于衡量当其他变量保持不变时，交易组合价值对于利率变化的敏感性。对于一个无股息股票上的欧式看涨期权，Rho由以下公式给出 其中d2由式（15-20）定义。对于欧式看跌期权 例19-7 如例19-1一样，考虑一个对于无股息股票上的看涨期权，其中股票价格为49美元，执行价格为50美元，无风险利率为5

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• 229

  19.10 对冲的现实性

  在一个理想世界里，金融机构的交易员可以随时调整对冲交易以确保投资组合的所有希腊值均为0，但在现实生活中这样做是不可能的。在管理依赖于某个单一资产的交易组合时，交易员通常是至少每天都重新平衡一次组合，以确保交易组合的Delta为0或接近于0。不幸的是，保证Gamma与Vega为0就没有那么容易，这是因为在市场上很难找到价格合理并且适量的期权或其他非线性产品来达

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• 230

  19.11 情景分析

  除了观察诸如Delta、Gamma和Vega等风险度量之外，期权交易员也常常做情景分析（scenario analysis）。这种分析包括计算在某一指定时间内不同情景下交易组合的盈亏，分析中时间长度的选择通常与产品的流通性有关，分析中所采用的情景可由管理人员选定，也可由模型来产生。 考虑如下情况。一家银行持有一个汇率期权组合，交易组合的价值取决于两个主要变量

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• 231

  19.12 公式的推广

  到目前为止，我们所推导出的Delta、Theta、Vega与Rho只适用无股息股票上的欧式期权。表19-6给出了当股票支付连续股息收益率q时，这些公式相应的形式，其中d1和d2与式（17-4）和式（17-5）中一样。将q取为股指的股息收益率时，我们可以得出欧式股指期权的希腊值；将q取为外币无风险利率时，我们可以得出欧式货币期权的希腊值；当取q=r时，我们可以

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• 232

  19.13 资产组合保险

  投资组合的管理人常常会想获取所其管理投资组合上的看跌期权。在市场下跌时，看跌期权会对投资组合提供保护，而在市场上涨时，投资组合仍有潜在的上涨空间。一种做法（在17.1节里曾有过讨论）是买入像标普500这样的股指看跌期权，而另外一种做法则是以合成的方式构造期权。 按合成的方式构造期权需要持有一定数量的标的资产（或标的资产的期货），所持资产头寸的Delta应当与

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• 233

  19.14 股票市场波动率

  在第15章里我们曾经讨论过究竟是纯粹由于新信息的出现还是交易本身也会引起股票波动率的问题。像以上所描述的这种投资组合保险交易策略有可能会使市场波动率增大。当市场下跌时，这些策略会使投资组合管理人要么卖出股票要么卖出指数期货。这两种交易都会加重市场的下跌幅度（见业界事例19-2）。抛售股票会直接导致股指进一步下跌，而卖出股指期货也往往会使期货价格下跌。根据指数

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• 234

  小结

  金融机构向其客户提供许多种类的期权产品。这些期权产品常常与交易所内交易的标准化期权有所不同。因此金融机构会面临对冲自身风险敞口的问题。裸露期权与带保头寸会使得他们面临的风险达到不可接受的水平。一种可以采用的策略是所谓的止损交易策略。这种交易策略在当期权为虚值状态时，持有裸露期权头寸；而当期权为实值状态时，马上进入带保期权头寸。虽然这种策略看起来很吸引人，但其

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• 235

  练习题

  19.1 解释如何实现对一个卖出的虚值看涨期权按止损策略进行对冲。为什么这种策略的效果并不好？ 19.2 一个看涨期权Delta为0.7的含义是什么？当每个期权的Delta均为0.7时，如何使得1000份期权的空头组合成为Delta中性？ 19.3 当无风险利率为每年10%，股票波动率为每年25%时，计算无股息股票上平值欧式看涨期权的Delta，其中期权的期

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• 236

  作业题

  19.24 某金融机构持有以下有关英镑的场外交易期权组合 某交易所里交易的期权Delta为0.6，Gamma为1.5，Vega为0.8。 （a）什么样的交易所内交易的英镑期权头寸和英镑头寸会使交易组合为Gamma与Delta中性？ （b）什么样的交易所内交易的英镑期权头寸和英镑头寸会使得交易组合为Vega与Delta中性？ 19.25 考虑作业题19.24中

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• 237

  附录19A 泰勒级数展开和对冲参数

  泰勒级数展开显示了在短时间内各个希腊值在交易组合价值变化中起的不同作用。如果标的资产的波动率为常数。作为标的资产价格S与时间t的函数，交易组合价值Π的泰勒展开式为 其中ΔΠ和ΔS分别对应于在短时间Δt内Π与S的变化。Delta对冲可将上式右端的第1项消除，第2项是一个非随机项，第3项可以在保证Delta中性且Gamma中性时被消除，其他项的阶数都高于Δt。

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• 238

  20.1 为什么波动率微笑对看涨期权与看跌期权是一样的

  在本节里将说明当欧式看涨期权和欧式看跌期权具有同样执行价格和期限时，它们的隐含波动率是一样的。这说明了欧式看涨期权对应于一个期限的波动率微笑和欧式看跌期权对应于这个期限的波动率微笑是一样的。这个结论会给我们带来方便：它说明当讨论波动率微笑时，我们没有必要去明确指明期权是看涨还是看跌。 在前面几章里我们讲过，当欧式看涨期权与看跌期权具有同样的执行价格和期限时，

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• 239

  20.2 外汇期权

  交易员所采用的外汇期权波动率微笑一般具有图20-1所示的形状。平值期权的隐含波动率相对较低，但隐含波动率随着期权实值程度或虚值程度的增大而逐渐升高。 在本章末附录里我们将说明，通过在某一时间到期的期权波动率微笑，我们可以确定在同一时间资产价格的风险中性概率分布。我们将这一概率分布称为隐含概率分布（implied distribution）。图20-1中的波动

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• 240

  20.3 股票期权

  在1987年前，市场上没有明显的波动率微笑现象。自1987年以来，交易员在股票期权（包括股指期权）定价中所采用波动率微笑的一般形式如图20-3所示，这种形式的波动率微笑也被称为波动率倾斜（volatility skew）。这时，波动率是执行价格的递减函数。低执行价格期权（也就是深度虚值看跌期权与深度实值看涨期权）所对应的隐含波动率要远高于高执行价格期权（也就

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• 241

  20.4 其他刻画波动率微笑的方法

  截止到目前，我们将波动率微笑定义为隐含波动率与执行价格之间的关系，这种关系与资产的当前价格有关。例如，图20-1中波动率微笑的最低点通常与当前汇率很接近。当汇率上涨时，波动率微笑往往向右移动；当汇率下降时，波动率微笑往往向左移动。类似地，在图20-3中，当股票价格上涨时，波动率微笑往往向右移动；当股票价格下降时，波动率微笑往往向左移动。[1]正是这个原因，波

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• 242

  20.5 波动率期限结构与波动率曲面

  交易员允许隐含波动率既依赖于执行价格，也依赖于期限。当短期限波动率在历史低位时，隐含波动率往往是期限的递增函数，因为这时人们认为波动率将会升高。类似地，当短期限波动率在历史高位时，波动率往往是期限的递减函数，因为这时人们认为波动率将会减小。 波动率曲面是将波动率期限结构与波动率微笑结合在一起所产生的表格，这一表格可用于对不同执行价格与不同期限的期权进行定价。

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• 243

  20.6 希腊值

  波动率微笑会使得希腊值的计算更加复杂。假设对于某个期限，期权的隐含波动率与K/S的关系保持不变。[1]当标的资产价格变化时，期权的隐含波动率也将会变化从而反映期权的在值程度（moneyness）（即期权的实值或虚值程度）。第19章中所给出的计算期权希腊值公式将不再成立。例如，看涨期权的Delta计算公式变为 其中cBS是以资产价格S和隐含波动率σimp为函数

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• 244

  20.7 模型的作用

  如果交易员对每一笔交易都准备采用不同的波动率，那么期权定价模型有多重要呢？我们可以认为布莱克-斯科尔斯-默顿模型只不过是交易员用来进行插值的工具。利用布莱克-斯科尔斯-默顿模型，交易员可以保证一个期权的价格与市场交易活跃的产品价格是一致的。假如交易员在某一天突然决定不再使用布莱克-斯科尔斯-默顿模型，而改用另一种合理的模型，这时波动率曲面会有所改变、波动率微

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• 245

  20.8 当价格预计有大幅度跳跃时

  我们现在用一个例子来说明一种奇怪的波动率微笑如何会出现在股票市场上。假定股票的目前价格为50美元，今后几天的一个消息会使得股票价格或者上涨8美元或者下跌8美元（这一消息可能是关于一个并购计划的最终结果或者是关于一个重要法律诉讼的最终宣判）。股票价格在1个月以后的分布可能由两个对数正态分布叠加而成：一个对数正态分布对应于好消息，而另一个对数正态分布对应于坏消息

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• 246

  小结

  在布莱克-斯科尔斯-默顿模型及其推广形式中，我们总是假设资产价格在将来任意时刻的概率分布服从对数正态。但这与交易员所做的假设是不一样的。他们一般假定的股票价格分布比对数正态分布具有更肥的左端尾部与更瘦的右端尾部。他们也假定汇率的概率分布比对数正态分布具有更肥的左端尾部与更肥的右端尾部。 交易员采用波动率微笑来刻画非对数正态分布。波动率微笑定义了期权隐含波动率

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• 247

  练习题

  20.1 在下列情形下常常观察到的波动率微笑是什么形式？ （a）股票价格分布两端的尾部均没有对数正态分布肥大。 （b）股票价格分布右端的尾部比对数正态分布要肥大，左端尾部没有对数正态分布肥大。 20.2 股票的波动率微笑形式是什么？ 20.3 标的资产价格有跳跃时会造成什么样形式的波动率微笑？这种形式对于2年和3个月期限的期权中哪个更显著？ 20.4 一个欧

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• 248

  作业题

  20.19 一家公司股票价格为4美元。公司没有任何债务。分析员认为公司的结算价值至少为300000美元，公司的流通股数量是100000。这时你会看到什么样的波动率微笑？ 20.20 一家公司正在等待一个重要诉讼结果，而结果会在1个月后宣布。公司股票当前价格为20美元。如果诉讼结果对公司有利，1个月后股票会上涨到24美元；但如果结果对公司不利，1个月后股票会下

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• 249

  附录20A 由波动率微笑来确定隐含风险中性分布

  期限为T，执行价格为K的欧式看涨期权价格为 其中r为利率（假定为常数），ST为T时刻的资产价格，g为ST的风险中性概率密度函数。对K求导数，我们可以得出 再对K求一次导数，我们得出 因此，概率密度函数g由以下方程给出 这一结果最先由Breeden和Litzenberger在1978年得出，由此我们可以由波动率微笑来估算风险中性概率分布。[1]假定c1、c2和

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• 250

  21.1 二叉树

  我们在第13章中引进了二叉树方法，这一方法既可以用于对欧式期权定价，也可用于对美式期权定价。在第15章、第17章和第18章中给出的布莱克-斯科尔斯-默顿模型及其推广形式为欧式期权提供了解析定价公式，[1]但美式期权价格的解析公式却不存在。二叉树最有用的地方正是对美式期权定价。[2] 如第13章所述，在二叉树方法中，我们首先将期权的期限分成许多长度为Δt的很小

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• 251

  21.2 利用二叉树对股指、货币与期货合约上的期权定价

  像在第13章、第17章和第18章解释过的那样，当对股指、货币和期货上的期权定价时，我们可以将这些标的资产看成是提供已知收益率的资产。对于股指，收益率等于股指中股票组合的股息收益率；对于货币，收益率等于外币无风险利率；对于期货合约，收益率等于本国无风险利率。因此只要适当地选择式（21-7）中的q值，我们可以将二叉树用于对股指、货币和期货上的期权定价。 例21-

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• 252

  21.3 支付股息股票的二叉树模型

  我们现在考虑一个较为棘手的问题，即如何用二叉树来对支付股息的股票期权定价。如同在第15章指出的那样，为了方便我们的讨论，股息（dividend）一词是指在除息日由于股息而导致股票价格下跌的数量。 21.3.1 股息收益率是已知的情形 在考虑长期限股票期权时，有时为了方便而假定股票支付连续收益率为q的股息。对这种期权，可以采用和对股指期权同样的方法来定价。 为

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• 253

  21.4 构造树形的其他方法

  Cox、Ross和Rubinstein（CRR）方法并不是构造二叉树的唯一方法。在风险中性世界里，变量lnS在时间Δt内的变化的均值为（r-q-σ2/2）Δt，标准差为。这些均值与标准差可通过令p=0.5和 得到吻合。这种构造树形的方法与Cox、Ross和Rubinstein（CRR）的方法相比具有许多的优点：无论σ取什么值或步长是多少，树上的概率总是p=0

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• 254

  21.5 参数依赖于时间

  到目前为止，我们一直假定r、q、rf和σ均为常数。在实际中往往假设这些参数与时间有关。在时间t与t+Δt之间，一般假设这些参数等于其远期价值。[1] 在CRR二叉树上，为了使r和q（或rf）成为时间的函数，在时间t节点上令 其中f（t）为介于t与t+Δt之间的远期利率，g（t）为q介于t与t+Δt之间的远期值。因为u和d与a无关，所以这样的假设并不改变二叉树

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• 255

  21.6 蒙特卡罗模拟法

  我们现在讨论蒙特卡罗模拟法，这与二叉树法方法很不相同。业界事例21-1是关于如何在Excel中以蒙特卡罗随机抽样的思路来计算π的简单程序。 业界事例21-1 利用蒙特卡罗方法计算π 假定图21-13中方块的每一个边长度均为1。设想你向这一方块随机地投掷梭镖，并随后计算梭镖落在圆圈中的比率。你会取得什么结果呢？方块的面积为1.0，圆圈的半径为0.5，圆圈的面积

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• 256

  21.7 方差缩减程序

  假如像式（21-13）~式（21-18）所述的那样对衍生产品标的变量的随机过程进行模拟，在一般情况下，我们需要做很多次抽样才会使估计值达到合理的精确度。这从计算时间上讲是非常昂贵的。在这一节里我们将介绍几种方差缩减程序（variance reduction procedure），利用这些程序可以大大减少计算时间。 20.7.1 对偶变量技巧 对偶变量技巧（a

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• 257

  21.8 有限差分法

  有限差分法（finite difference）通过求解衍生产品价格所满足的微分方程来达到定价的目的，在求解过程中，微分方程被转换成一组差分方程。我们可以通过迭代的方式来求出差分方程的解。 为了说明这种方法，我们考虑如何用它来对一个股息收益率为q的股票上美式看跌期权进行定价。由式（17-6）得出，期权价格满足微分方程 假设期权的期限为T，我们将期限分成N个等

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• 258

  小结

  对于不存在解析解的衍生产品，我们列举了计算其价格的3种数值方法，包括树形法、蒙特卡罗模拟和有限差分法。 在二叉树法中，我们假设在每个很小时间区间Δt内，股票价格或按比例u上升，或按比率d下降。在选择u和d以及它们所对应的概率时，我们保证在风险中性世界里股票价格的变化具有正确的期望值和标准差。衍生产品的价格可以从二叉树的末端开始倒退计算得出。对于美式期权，在每

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• 259

  练习题

  21.1 在美式期权的希腊值Delta、Gamma、Vega、Theta和Rho中，哪一个可以通过构造单个二叉树来估计？ 21.2 计算一个3个月期限的美式看跌期权的价格，这里的标的股票不支付股息，其当前价格为60美元，执行价格为60美元，无风险利率为每年10%，波动率为每年45%，构造时间段为1个月的二叉树来为这一期权定价。 21.3 解释当采用树形结构对

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• 260

  作业题

  21.25 考虑一美式看跌期权，期权持有者有权在1年末以每瑞士法郎0.80美元的价格卖出瑞士法郎。瑞士法郎汇率的波动率为每年10%，美元的无风险利率为6%，瑞士法郎的无风险利率为3%，当前的汇率为0.81。采用3步二叉树给这一期权定价。利用你所构造的树形估计期权的Delta。 21.26 白银期货上1年期的美式看跌期权执行价格为9美元。期货的当前价格为8.5

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• 261

  22.1 VaR测度

  当考虑VaR测度时，分析员所关心的是通过如下形式所表达的结论： 我有X%的把握，在今后的N天内损失不会大于V。 这里的数量V就是投资组合的VaR。VaR是两个参数的函数：时间展望期（N天）和置信度（X%）。这一数量说明在今后的N天内，只有（100-X）%的概率，损失才会超出这个数量。银行监管人员要求银行在计算市场风险的VaR时采用N=10与X=99（见业界事

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• 262

  22.2 历史模拟法

  历史模拟法是计算VaR的一种流行方法，这种方法直接利用历史数据来预测将来可能发生的不同情形。假设我们采用过去501天的历史数据来计算某公司1天展望期、99%置信度的VaR（在计算市场风险VaR时，这样的展望期与置信区间是常用的选择。在选取数据时，最普遍的是选择501组数据。在下面我们将会看到，这对应于产生500个情形）。历史模拟法的第一步是选定影响投资组合的

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• 263

  22.3 模型构建法

  除了历史模拟法外，模型构建法（model-building）是另外一种计算VaR的主要方法。在介绍该方法细节之前，我们首先说明一下关于波动率计量的单位问题。 22.3.1 日波动率 对于期权定价，“年”通常被视为时间单位，所以资产的波动率度量单位往往是“年波动率”。当我们采用模型构建法计算市场风险VaR时，“日”被作为时间单位，因此资产波动率的度量单位往往是

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• 264

  22.4 线性模型

  以上讨论的例子是采用线性模型计算VaR的特例。假定我们持有的价值为P的投资组合中含有n个不同资产，在资产i（1≤i≤n）上投资资金的数量为αi。定义Δxi为资产i在1天内的回报，在1天内投资于资产i所产生的价值变化为αiΔxi，因此 其中ΔP为整个投资组合在1天内的价值变化。 在前一节所示例子中，第一项资产为价值1000万美元的微软股票，第二项资产为价值50

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• 265

  22.5 二次模型

  当投资组合中含有期权产品时，线性模型只是一个近似，其中不考虑投资组合的Gamma项。如第19章所述，Delta是投资组合价值变化随标的市场变量变化的比率，Gamma是投资组合Delta的变化随标的市场变量变化的比率。Gamma是测量投资组合价值与市场变量关系式中的曲率。 图22-4展示了非零Gamma对于投资组合价值概率分布的影响，当Gamma为正时，概率分

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• 266

  22.6 蒙特卡罗模拟

  除了上述方法，我们还可以在运用模型构建法时利用蒙特卡罗模拟法，由此来得到ΔP的概率分布。假如我们想计算投资组合展望期为1天的VaR，过程如下： （1）利用市场变量的当前值，按通常方式对投资组合进行定价。 （2）由Δxi服从的多元正态分布中进行一次抽样。[1] （3）由Δxi的样本值计算在交易日末的市场变量值。 （4）利用新产生的市场变量来对投资组合以通常方式

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• 267

  22.7 不同方法的比较

  我们讨论了两种计算VaR的方法：历史模拟法与模型构建法。模型构建法的优点是计算速度快，并且可以比较容易地与下一章里讨论的波动率更新方法相结合。模型构建法的主要缺点是假设市场变量服从多元正态分布。在实际中，市场变量每天变化分布的尾部往往与正态分布有很大差别（例如，见表20-1）。 历史模拟法的优点是历史数据决定了市场变量的联合分布，它也避免了现金流映射过程。历

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• 268

  22.8 压力测试与回顾测试

  除了计算VaR，许多公司也对其投资组合进行压力测试（stress testing），其目的是检验投资组合在过去10到20年所出现的某些极端市场条件下的表现。 例如，为了检测美国市场股票价格极端变化对于投资组合价值的影响，一家公司可能会假设所有市场变量的百分比变化与1987年10月19日市场变量的百分比变化相同（在这一天标普500的变化等于其标准差的22.3倍

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• 269

  22.9 主成分分析法

  主成分分析法（principal component analysis）是一种用来分析高度相关的市场变量风险的分析方法，这是一种在风险管理方面有许多应用的标准统计工具。该方法以市场变量的历史变化数据为依据，并试图从中找出解释这些变化的主要成分或因素。 解释这一方法的最好方式是通过以下这个例子。我们考虑的市场变量是期限为1年、2年、3年、4年、5年、7年、10

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• 270

  小结

  计算风险价值度（VaR）的目的是为了使管理人员对以下问题有一个清晰认识：“有X%的把握，在今后的N天，我们的损失不会超出V。”这里的变量V就是风险价值度，X%为置信度，N天为展望期。 一种计算VaR的方法为历史模拟法。在这一方法中，我们需要构造在一段时间内市场变量每天变化值的数据库。在模拟计算中，第1个抽样是假定市场变量的百分比变化等于数据库所覆盖的第1天数

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• 271

  练习题

  22.1 假定投资组合是由价值为100000美元的资产A与价值为100000美元的资产B所组成，假定两项资产的日波动率均为1%，两个资产回报的相关系数为0.3，投资组合5天展望期的99%VaR是多少？ 22.2 当利用模型构建法来计算VaR时，描述3种处理利率产品的不同方法。当采用历史模拟法时，你将如何对产品进行处理？ 22.3 一家金融机构拥有一个标的变量

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• 272

  作业题

  22.16 一家公司持有债券投资组合的价值为600万美元，投资组合的修正久期为5.2年，假定利率曲线的变化只有平行移动形式，并且利率曲线变动的标准差为0.09（利率以百分比计），利用久期模型来估计20天展望期的90%VaR，详细解释这里的VaR计算方式的缺点，给出两种更为准确的计算方法。 22.17 考虑由价值为300000美元的黄金投资与价值为500000

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• 273

  23.1 估计波动率

  定义σn为第n-1天所估计的市场变量在第n天的波动率，第n天波动率的平方为方差率（variance rate）。在第15.4节我们曾描述了如何从历史数据来估计σn的标准处理方法：假定市场变量在i天末的取值为Si，变量ui定义为在第i天（第i-1天末至第i天末）连续复利收益率 利用ui在最近m天的观察数据所计算出的日方差率的无偏估计为 其中为这些ui的平均值

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• 274

  23.2 指数加权移动平均模型

  指数加权移动平均模型（EWMA）是式（23-4）的一个特殊形式，其中权重αi随着时间以指数速度递减。具体地讲，在这里αi+1=λαi，其中λ是介于0于1之间的常数。 在以上假设下可以发现更新波动率公式具有非常简单的形式 变量在第n天的波动率估计值（在第n-1天估计）σn由第n-1天波动率估计值σn-1（在第n-2天估计）和变量在最近一天内变化的百分比un-1

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• 275

  23.3 GARCH（1，1）模型

  我们现在讨论由Bollerslev在1986年提出的GARCH（1，1）模型。[1]GARCH（1，1）模型与EWMA模型的区别与式（23-4）和式（23-5）的区别类似。在GARCH（1，1）中，是由长期平均方差VL，un-1和σn-1计算得出的。GARCH（1，1）表达式为 其中γ为对应于VL的权重，α为对应于的权重，β为对应于的权重。因为权重之和为1，

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• 276

  23.4 模型选择

  在实际中，方差值确实常常会具有均值回归的性质。GARCH（1，1）模型具有均值回归的特性，而EWMA却没有这种特性，从理论上讲，GARCH（1，1）比EWMA更吸引人。 在下一节里我们将讨论如何估计GARCH（1，1）中参数ω，α，β的最佳匹配（best fit）。当参数ω为零时，GARCH（1，1）退化为EWMA。在某些场合下，最佳匹配参数ω为负，这时对应

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• 277

  23.5 极大似然估计法

  我们现在讨论如何由历史数据来估计以上所讨论模型中的参数。这里将要讨论的方法称为极大似然方法（maximum likelihood method）。在参数估计过程中这一方法会涉及选择使数据发生的概率（likelihood）达到最大的参数。 我们引用一个简单例子来说明这种方法。在某一天我们随机地抽取10个股票的价格，我们发现其中一个股票价格在这一天下降了，而其他

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• 278

  23.6 采用GARCH（1，1）模型来预测波动率

  采用GARCH（1，1）模型，在n-1天结束时所估计的第n天方差率为 因此 在将来第n+t天，我们有 的期望值为，因此 其中E表示期望值。重复应用这一方程，我们得出 或 以上方程采用了在n-1天结束时所有可以利用的数据来预测第n+t天的波动率。在EWMA模型中，α+β=1，式（23-13）说明，将来方差率的期望值与目前方差率相等。当α+β<1时，方程中的最后

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• 279

  23.7 相关系数

  截至目前，我们仅仅是围绕对波动率的预测进行讨论。如第22章所示，在计算VaR时，相关性也起着很重要的作用。在这一节里我们将说明如何采用一种类似于对波动率进行更新的方法来估计相关系数。 两个变量X和Y之间的相关系数可以定义为 其中σX和σY分别为X和Y的标准差，cov（X，Y）为X和Y之间的协方差。X和Y之间协方差的定义为 其中μX和μY分别为X和Y的均值，E

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