价格的发现

第2章

（近似）互替品、价格和稳定性

正规的经济学理论都是数学化的。它明确地列出基本概念（不用其他概念来定义的概念），并引入符号代表那些概念，用符号精确陈述其种种假设，最后导出一些逻辑含义。本书中的新内容都属于这一意义上的正规经济学理论。为了将这种新理论纳入一个背景框架，我们也回顾了一些比较旧的理论，但并不深究所有细节，而是做一些诠释性的解说。读者可以在各种标准的经济学教科书中找到那些未被提及的细节。

新古典均衡理论代表我们这套新学说最重要的起点。那套理论强调了市场出清价格在支持资源有效率配置上的作用。其最重要的假设是：每个消费者都只关心他自身的个人消费，以及每个厂商的产出都只受其所用资源的限制。该理论的主要发现被概括为如下三条定理：

•福利经济学第一定理认定，与竞争性均衡一致的任何资源配置都是符合帕累托效率的。这意味着，受某消费者较多偏好的任何可行资源配置都较少受另一消费者偏好。按照经济学的标准，我们用未加修饰的“效率”一词表示“帕累托效率”。

•竞争性均衡存在定理确定了能保证竞争性均衡结果存在的充分条件。我们不会在此探讨这些条件，但我们的模型要考察，在一组更契合我们所议问题的不同假设下，类似的结论是否也可以成立。

•福利经济学第二定理认定，在竞争性均衡存在定理所确定的相同条件下，任何有效率的配置都是对应于某种产权配置的竞争性均衡配置。

这些享有盛誉的定理，对亚当·斯密在其1776年的著作《国富论》中首次非正规地提出的一些核心理念，给出了漂亮的正规解说。斯密此书的部分背景是这样一种想法，即随着封建主义的衰落，再无领主指挥劳动者，一个人将如何得知该种地、钉马掌还是裁缝服装？而竞争性均衡存在定理则称，只要找到正确的价格，每种产品都会有人供应正好足够的数量以准确地满足需求！福利经济学第一定理还表明，如果能找到某些价格，就会导致某种符合帕累托效率的结果。也就是说，这种配置在很特殊的意义上是非浪费性的：某个消费者偏好的任何其他可行配置都一定较少受另一消费者偏好。因而不可能靠重新安排生产和分配使所有消费者都获得境遇改善。福利经济学第二定理则进一步指出，如果有人也许基于分配或公平的考虑而偏好一种不同的有效率结果，那么从理论上讲，重新安排不同消费者的所有权份额，就有可能使市场结果符合这个受偏好的结果。

尽管这些定理成就不俗，但它们也留有许多未解之谜。它们未说明，在一个分权化的经济系统中，竞争性均衡价格如何才能成为主流，乃至成为唯一的价格。如果存在很多市场出清价格，该理论能够做出的预测就相应地变弱了。

亚当·斯密在其最初的解说中提出过一个机制，它导致了理论的进一步发展。斯密的想法可以用现代术语表述如下：如果对一种商品的需求超过了它的供给，生产者就会发现自己可以提价，而提价同时会削减需求并鼓励生产者制造更多的该商品。不过，改变一种商品的价格还可以影响对另一种商品的需求，因此这个动态过程将如何完全实现并非一目了然。它会引致使所有市场都出清的价格吗？是否存在唯一的此类价格向量？瓦尔拉斯在其首次出版于1874年的著作《纯粹经济学要义》（Elements of Pure Economics）里，用公式阐释了竞争性均衡理论中的主要问题。被纳入其分析的是他称之为“试错摸索”的过程。在这个过程中，伴有过度需求（需求减供给的结果为正值）的商品，其价格会上升；而伴有过度供给（需求减供给的结果为负值）的商品，其价格会下降。

1959年，阿罗和赫维茨在这项研究上取得了重要进展。他们研究了全互替品（gross substitutes）的情形，其意思是提高一种商品的价格绝不会减少对另一种商品的需求。他们证明，在这样的情形中存在唯一的竞争性均衡价格向量，且无论初始价格如何，这种瓦尔拉斯式的试错摸索型价格调整过程都会引导价格变化，使之最终收敛于唯一的市场出清价格。

在市场设计问题中，目标不是要为经济体中的所有商品定价，而是要为构成一个市场的各种商品子集定价。对于此类问题，阿罗-赫维茨分析设定的背景过于宽泛，而关于瓦尔拉斯式试错摸索过程的理念，需要在保持所有其他物品价格不变的情况下，用一个仅针对某商品子集的拍卖过程使之收敛并取而代之。在下文用模型体现的这种拍卖中，相关物品的价格都从低点起步，从而每种物品都存在过度需求。其中的直观想法是，当一种物品存在过度需求时，其价格会被竞相抬高，所以该模型假设在这种情形下价格会上升，恰如在瓦尔拉斯式试错摸索过程中那样。

2.1 新古典模型中的互替品、价格和稳定性

如前所述的，由于此处的焦点在于市场设计，所以我省略了阿罗-赫维茨原始模型中的某些方面，即所有物品的价格都可变，以及所有物品都是互替品。这一省略的代价是丧失了存在唯一的市场出清价格这一结论。不过，如图2.1所示，许多方面依然保留，且阿罗和赫维茨提出的理念对拍卖分析具有重要启示。

图2.1展示了一个假设的世界。其中，一种物品——被称为“计价单位”——扮演着特殊的角色。它被用作表示价格的单位。例如，价格可以用黄金的盎司或者小麦的蒲式耳表示。为了使该图易于驾驭，在我们假设的世界中，除了作为计价单位的物品外，只包含两种其他物品，分别为物品1和物品2。在一个原始经济体中，它们可以是小麦和玉米。而在一个更先进的经济体中，它们可以是两个不同频率的无线频谱带宽量。图中所示的两种物品的逻辑可以被扩展至任意的更多种物品。在后面，我允许每种物品的净需求可以取决于双方的价格。例如，若小麦的价格上升了，消费者就可以购买较少的小麦和较多的玉米。无论如何，我都假设严格的需求法则有效。也就是说，每种物品的净需求都是随价格上升而递减的。之所以会发生这种情况，是因为小麦价格的上升会推动买家购买较少的小麦，或者推动卖家供应更多的小麦，或者两种情况同时出现。

图2.1 当物品都是“全互替品”时，拍卖的变动指引价格从（0，0）向上移向低价位竞争性均衡，或者向下从（P1，P2）移向高价位竞争性均衡

图2.1的两个坐标轴表示这两种物品的价格。图中展现了两条曲线。实线代表物品1在需求等于供给时的价格组合。由于净需求是严格递减的，在该实线右侧的点上，物品1处于过度供给之中；而在该实线左侧的点上，物品1处于过度需求之中。在该图中内嵌了一个假设：在过度需求和过度供给之间的边界线上，净需求恰好等于零。

对图中虚线有类似的解释。在低于该虚线的点上，存在对物品2的过度需求；在高于该虚线的点上，存在对物品2的过度供给。为了简化，假设这两条曲线都是连续的。

除了需求法则外，这一分析还采用了另外三个假设，它们限定了两除了需求法则外，这一分析还采用了另外三个假设，它们限定了两条曲线的范围和形状。首先，当价格充分接近零时，低价位的物品存在过度需求。因此，实线在正价位上触及横轴，而虚线在正价位上触及纵轴。其次，每种物品的价格达到图中的最高价时，该物品极其昂贵，以致存在过度供给，也就是说，当按计价单位来看价格变得足够高时，要么买家停止购买，要么卖家增加供给。由此，实线触及方框的上边界，而虚线触及右侧边线。根据这些假设，这两条曲线显然一定会在某些地方相交。在公式化表述中，这一结论是介值定理（intermediate value theorem）的一个结果。这两条曲线相交的点正位于这两条曲线上，因而它代表一对价格，在该价格上的任何一种物品都既无过度供给，也无过度需求。在这些价格上，两种商品的供给都等于需求。

第三个假设是，非计价单位物品都是全互替品。这导致了图2.1的一个特性，即两条曲线都向上倾斜，永远不会向下倾斜。结合需求法则的假设，即提高物品1的价格就会减少对该物品的净需求，只有在物品2的价格同样上升时，物品1的价格上升才可能使物品1的净需求为零。这解释了实线何以向上倾斜，而与之对称的论证则适用于虚线。

全互替品条件是许多市场设计问题的合理条件。例如，在一个咖啡豆市场中，提高肯尼亚咖啡豆的价格很可能增加对卢旺达咖啡豆的需求，因为买家会用较便宜的咖啡豆替换较贵的咖啡豆。不过，也有众多非互替品的例子。例如，如果飞往火奴鲁鲁的民航班机票价变得更贵了，就可以预见，对夏威夷酒店的需求会下降。航班和酒店是互补品，因为购买其中之一的旅行者通常也购买另一个。还有更多的可能性。有些物品在一种价格范围内看上去像是互替品，但在其他价格范围内却像是互补品，即物品1的价格上升对物品2的需求的影响并不是单调的。例如，汽油价格提升至某个水平有可能增加对节油轿车的需求，但油价的进一步显著上升则可能引导消费者增加拼车行为或更多地利用公共交通，而这又会减少对各类轿车的需求。

图2.1整合了上述假设，也阐释了我们的主要结论。第一个结论是，我们已经提到过的，任何两条具备上述特性的曲线必然会相交。所以，一定存在至少一对价格，使两种物品在这对价格上同时实现供给等于需求。在图2.1中，存在三对这样的价格。[1]

第二个结论是，在这些市场出清价格向量中，有一个向量在每个坐标上都是最低的，还有一个向量在每个坐标上都是最高的。实际上，每一个市场出清价格向量都位于实线上，且该实线上的所有点都是从最低到最高排序的，因而最低的相交点两个分量一定都是最低的。[2]

第三个结论涉及在一个分权化的市场中价格如何动态演变，以及与之相关的是，在一个多套品拍卖中价格如何演变。

在试错摸索过程中，如同阿罗和赫维茨描述的过程那样，价格P（t）作为时间函数而连续变化。请设想，两种物品的价格都从低位起步（在图2.1中的左下角），然后我们考察价格会如何演变。由于两种物品都处于低价位上，两者都有过度需求，所以两者的价格都开始上升。在此价格调整过程中，如果价格抵达实线，则对物品1的过度需求为零，从而价格至少暂时停止上升。这表明价格P（t）绝不可能越过实线，同样，也绝不可能越过虚线。在P（t）抵达两条曲线上的最低相交点之前，价格只会上升，不会停下来，那个点就是最低的市场出清价格向量。我们需要添加一个假设以确保这个过程不会减速太多以致踟蹰不前，但这样一来的结论就是P（t）会单调收敛于最低的市场出清价格向量。

当这两种物品价格都在高位起步时，比如从图2.1的右上角起步，类似的分析仍然适用。那时，价格向量P（t）单调向下收敛于最高的市场出清价格向量。

在脑海中想象市场设计时，这种分析意味着，当物品都是互替品时，价格只朝一个方向变动，即单调向上或者单调向下的拍卖能够定位市场出清价格。在价格递增拍卖中，两种物品的价格都从低位起步，且每种物品的价格在该物品有过度需求时都逐步递增，因而这种拍卖能抵达最低的均衡价格向量。同样，在价格递减拍卖中，两种物品的价格都从高位起步，且每种物品的价格在该物品有过度供给时都逐步下降，因而这种拍卖能抵达最高的均衡价格向量。

总之，我们在这一节中的发现认定，根据前文所述的各个假设（需求法则适用；低价位上存在过度需求，高价位上存在过度供给；非计价物品都是全互替品），下列结论成立：

•存在市场出清价格向量。它们是导致每种物品的过度需求为零的价格向量。

•在诸多市场出清价格向量中，有一个最低的市场出清价格向量，其特性为，每一物品的价格都不高于任何其他市场出清价格向量中的对应价格。还有一个最高的市场出清价格向量，类似地其特性为，每种物品的价格都稍高于任何其他市场出清价格向量中的对应价格。

•价格递增拍卖在模型中被表述为一个连续过程。在该过程中，每种物品的价格都从低位起步，且只有当该物品处于过度需求状态时，才有某种正的价格增长率。该过程单调向上收敛于最低的市场出清价格向量。类似的表述也适用于从高价位起步且存在过度供给时价格递减、然后收敛于最高市场出清价格向量的拍卖。

2.2 离散物品中的互替品、价格和稳定性

虽然最初的阿罗-赫维茨模型假设物品都是可分的，但前面介绍的分析在展开时只使用了一幅价格图，未提及有关物品可分的任何假设。有人也许会问：这个论证中用到了可分物品假设吗？如果用到了，那么对诸如轿车和房屋之类的不可分物品，相同分析的某种版本还能适用吗？

要回答第一个问题，请回忆一下，我们曾假设，物品的需求是其价格的严格递减函数。这不可能适用于以离散数量出售的物品，且这意味着，过度需求为零的点集通常不是一条曲线。如果讨论的物品是一栋房屋或者另一种不可分物品，则使其需求等于供给的价格集经常表现为“粗的”（thick）曲线，因为在价格变化时，需求有时必须保持不变。此外，还存在边界问题：当一种物品的价格上升从而其需求量非连续地下降时，比如说从一单位降为零单位时，必然会有某些价位在消费者看来恰好是无差异的。比如某种夏威夷度假套餐，会有某个理性消费者愿意支付的最高价，但在这个价位上，该消费者也会同样开心地转向另一种度假选项。当有可能出现两种选择对消费者而言都为最优的情况时，需求就再也不可能靠一个单值函数准确表示了。

如后面论证的，尽管这些技术性差异都是现实的，但它们对主要结论并无大碍，而且只要对上述分析及主要结论做一些适度改动就能适应这些差异。尽管我们为适应这些差异而导入的细节引入了一些经济学上的表面差异，但前述分析中的核心思想还是基本不变。

凯尔索和克劳福德（1982）首次探索以这样一种方式将该理论扩展至离散数量的物品。他们构建了一个劳动力市场模型，其中，需求的对象不是物品，而是一个有限集合I中的劳动者。他们假设，劳动者不可能在诸企业之间分配他们的时间。需求来自一个有限集合J中的商务企业。每家企业都力争根据劳动者能够满足企业需要的程度以及成本高低来雇用劳动者。我在这里用的数学模型紧密地依托于凯尔索和克劳福德的模型。

让W表示一组任意企业在雇用任意劳动者时可提供的可能工资，即可能的工资集。一个劳动者通常会关心两个方面，即雇用企业的身份和付给他的工资。若给定企业身份，劳动者对工资永远就高不就低。在数学表达中，一份合同就是一个三维体（i,j,wji）。它规定了劳动者i和企业j的身份，以及企业j将付给劳动者i的工资wji。我们用符号∅i表示劳动者i不为任何企业工作的情形。为便于分析，我们将事件∅i称为一份合同，所以，可能的合同集就是（I×J×W）∪{∅i|i∈I}。

此后列举可能的工资是很方便的，所以我假设集合W是有限的。因此，每个劳动者i都可以将注意力集中在随其参与就业市场而来的J×W+1份可能合同：他可以按工资wji∈W受雇于一家企业j∈J，或者可以继续失业。我们假设，每个劳动者都能对这些替代项严格排序：任何两份可能合同对他都不是无差异的。我们说，对劳动者i来讲，如果他严格地选择一份合同而不要∅i，那份合同就是可接受的。

与劳动者类似，企业也关心两个方面，即他们雇用员工的身份以及他们须支付的工资。但与劳动者不同，企业能够缔结若干合同以雇用多名劳动者，且他们可能关心员工的组合。例如，一家百货店可能想要聘用一个售货员和一个美容师，以及一些可胜任这两种工作的劳动者。总体而言，企业偏好地制定合同集。给定企业j能考虑的成对劳动者-工资这个有限集合后，还会存在有限数量的子集，因此我们可以既合理又方便地假设企业在任意两个子集之间绝非无差异。尤其是，对给每个劳动者设定一笔工资的任意可能工资向量W，每个企业j都能识别要雇用的唯一最佳劳动者集合Dj（w）。在企业的劳动力需求上，一个更关键且更具限制性的假设是，劳动者都是全互替品。在非公式化表述中，提高一个或多个劳动者k的工资，绝不会降低该企业对另一个工资不变劳动者i的需求。而在公式化阐述中，该限制可表述如下：

定义

如果对所有的，有，则劳动者对企业j都是全互替品。[3]

2.2.1 与阿罗-赫维茨模型的比较

写并按升序给这些工资编号：。

为便于和阿罗-赫维茨模型相比较，我们还要在模型中引入另外两种工资。其一，，高到没有任何企业会支付，但任何劳动者都会接受；其二，，低到没有任何劳动者会接受，但任何企业都愿意提供。这两种工资分别类似于本章前文所讲的极高价格和极低价格，对前者而言永远存在过度供给，对后者而言永远存在过度需求。我们用表示这个扩展的工资集。

对我们的正规分析（formal analysis）来讲，可以方便地用函数n和函数p表示高一档工资（next higher wage）和低一档工资（next lower wage）。它们的定义如下：n（m）m+1（后一档工资，由工资中低于N+1的工资定义）,p（m）m-1（前一档工资，由工资中高于0的工资定义）。

2.2.2 匹配的定义和符号标识

为描述劳力市场的结果，我们引入匹配的概念。在非公式化表述中，这只是合同C的一致性集合，其中，每个劳动者i最多有一份合同。若在劳动者i和企业j之间存在一份集合C中的合同，我们就说，i被匹配给了j，并用Cj表示与企业j关联的合同集。与此相应的正规表述如下：

定义

1.一个匹配就是一个合同集C，从而（ⅰ）对每一个劳动者i，都至少存在一份合同（i,j,wji）∈C;（ⅱ）如果没有这样的合同，则∅i∈C。（这样，对每一个劳动者，C中都有一个与之对应的元素。）

2.如果（i,j,wji）∈C，我们就说，劳动者i和企业j在C中得到匹配。

3.如果在C中有∅i，我们就说，i在C中未得到匹配。

4.。

我们还采用下列定义，并伴有对应的非公式化陈述。

定义

2.以下两个条件中若有任何一个成立，匹配C就是非稳定的：

3.匹配C若不是非稳定的，就是稳定的。

对于定义1，非公式化的表述是，如果i和j都严格偏好签订某份合同，而非被动接受由匹配C规定的合同，则该匹配就被一对劳动者-企业（i,j）封占。对劳动者而言，这个相关条件是相当简单的：它是指劳动者i偏好的不是该匹配规定的合同，而是另一份替代合同。但对于企业来讲，这个条件更微妙，因为公司必须考虑，如果它与劳动者i签订了拟议合同，则公司必须考虑如何处理其他合同。在该定义中，企业j要考虑究竟是（ⅰ）与劳动者i签署另一份合同，同时还保留一部分或全部的其他合同，从而它签署的是一组合同S，还是（ⅱ）拒绝与劳动者i的拟议合同，只保留由匹配规定的合同集Cj。

对于定义2，非公式化的表述是，有两种途径使匹配成为非稳定的：它有可能被某未获满足的劳动者或企业拒绝，或者有可能被一对劳动者-企业封占。当某个劳动者i发现他（或她）的合同是不可接受的，从而宁可失业也不愿意与企业j签订合同时，就会出现第一种情况。它也可能发生在这样一种场合，即某个企业j宁可不要劳动者i并凑合接受一个较小的劳动者集合也不愿意接受与i的这份合同。第二种情况是，如前所述，这样的匹配有可能被一对劳动者-企业封占。如果该匹配在这两种情形的任何一种上都不是非稳定的，它就是稳定的。

2.2.3 与阿罗和赫维茨的联系

稳定匹配和市场均衡之间的联系就隐藏在我们已描述的这个标准中，因为这两种阐释看似差异极大。在市场均衡中，决策由个人做出，而且如果某人想要买卖的东西比规定的更多或与规定的不同从而改变其需求，那么某一价格和配置就无法检验该均衡。如前文阐述的，某个匹配，有可能被一对劳动者-企业而非某一个人封占，从而是非稳定的。如何才能调和这两种看似不同的方法呢？

从非公式的角度看，调和涉及两种思路。第一种思路是用一种新方式描述稳定匹配条件的特征。在我们的非公式化处理中，让我们只关注最有问题的部分，即描述封占合同（blocking contract）的特征。要使一份包含劳动者i和企业j的封占合同存在，各当事方必须能够找到某种工资，使最终合同受到双方的偏好。将这个条件调转过来，如果有某种工资wji，其数量是企业j不愿支付而劳动者i却非它不可的，就不可能存在任何包含劳动者i和企业j的封占合同。这个阐述把证明不存在两个当事方都可接受的工资这一问题转换为另一个问题，即找到能满足刚才所述条件的工资。

第二种主要思路是，用更多的价格（工资）而非仅用双方实际所签合同中的价格（工资），以重构我们对市场结果的描述：也就是说，我们将所有其他成对劳动者-企业的工资也都包括进来，以描述那些从未得到匹配的成对劳动者-企业中曾被提出和拒绝的要约的特征。为了做到这一点，我引入了增广匹配（augmented matching）概念（w,C）。其中，C是一个匹配，而规定了那些未曾涉及的工资。我要再次强调，这里包括的工资不只属于那些得到匹配的成对劳动者-企业，而是属于每一对劳动者-企业的全部工资。

我们先导入这个正规的理念，然后做非公式化讨论。

定义

在第一个定义中，如已讨论过的，增广匹配（w,C）通过纳入适于所有成对劳动者-企业的工资，扩展了标准的匹配概念。但此处仍需注意，因为C已经包括了得到匹配的成对劳动者-企业的工资。增广匹配定义中的“使得”条件要求两种工资规定必须一致。

第二个定义使前面描述的直觉想法正规化了。在非公式化阐述中，它是说，若某增广匹配明确，每个企业j都将在通行工资条件下聘用其最喜欢的劳动者，而每个劳动者，在假设未与之匹配的其他企业都不愿意支付wji工资的情况下，都将选择其最喜欢的合同，则该增广匹配就是稳定的。

尽管稳定匹配和稳定增广匹配的稳定性定义在形式上相当不同，但它们是密切相关的（请回忆以下符号标识。

命题2.1

当且仅当存在工资使得增广匹配（w,C）是稳定的，匹配C才是稳定的。

证明

反过来，设想（w,C）是一个稳定增广匹配。我们必须证明C不是非稳定的，即在非稳定性定义中的条件2a和条件2b都未得到满足。条件2a未得到满足是因为（w,C）的稳定性意味着C中的任何受雇劳动者i都偏好合同而不要∅i，且每一家企业分得的全部劳动者都是从C中索取的。条件2b也得不到满足，是因为（w,C）的稳定性意味着在任何涉及i和j的封占合同中，工资都必须满足两个矛盾的条件：它必须同时至少是wji（被劳动者i偏好）且不超过p（wji）<wji（被企业j偏好）。

下一步就是描述一个出清劳动力市场的拍卖程序，并考察该程序在类似于阿罗和赫维茨所用的全互替品条件下会如何导致稳定增广匹配（w,C）。

2.2.4 对出清劳动力市场的拍卖做非公式化描述

非公式化地讲，在我们描述的过程中，每一个劳动者都对自己实施价格递增拍卖，以招徕企业竞拍他的服务。在普通商品拍卖中永远是开价最高的竞拍者获胜。但我们此处描述的拍卖不同，拍卖师是在乎买家身份的劳动者，因后者将成为他们的雇主。因此，我们的劳动者拍卖师选择胜者的根据是其最偏好的合同，而不单纯是最高的工资报价。为避免问题复杂化，我们的拍卖规则规定，在每个竞拍回合t中，企业j只能向劳动者i提供一种工资，我们用wji（t）表示。毫无疑问，在拍卖的某一回合中，企业可以选择不向任何特定劳动者提供新报价。因此，描述了各企业考虑要在回合t中提供的工资。

工资向量w（t）描述各回合拍卖的进展，其方式与阿罗-赫维茨模型中描述市场演化的价格向量P（t）非常相似。阿罗-赫维茨模型也有差异。在旧的模型中，物品都是可分的；价格在一定区间内可以是任意数值；且试错摸索式的价格调整过程被表述为时间上的连续进程。而在这个拍卖模型中，所有这些方面都以不同的方式呈现。劳动者都是不可分的，只能要么为一家企业干，要么不为任何企业干；价格（工资）被限制在一个特别的有限集合内；且拍卖都发生在一系列离散的回合之中，恰如下例中说明的那样。

拍卖始于第1回合，对所有i和j有wji（1）1：企业在第1回合中只考虑最低的可能报价。在每一回合t中，每家企业j都按照当时允许的工资在其最偏好的集合Dj（wj（t））中向劳动者发出，而对于不在其偏好集合中的劳动者则不发要约。因此，在任何回合t中，有些劳动者获得了多份工作要约，有些只获得一份工作要约，而其余的则没得到任何工作要约。

在获得要约后，每个劳动者都要评估所有面向自己的要约，要考虑工资和要约企业的身份。他会运用自己的偏好排序，拒绝所有在偏好上劣于失业的要约。如果在那之后仍有任何要约留存，他就会抓住最好的并拒绝所有其余的要约。在回合t结束时，每家企业都得知它的哪份要约遭到了拒绝。如果劳动者i拒绝了企业j的要约，则j在下一回合中的可能工资报价就会提高一档，即wji（t+1）=n（wji（t））；否则，对下一回合的可能报价会与当前回合保持不变，即wji（t+1）=wji（t）。

2.2.5 公式化表述

每个劳动者i，在其可能的合同{（i,j,wji）|j∈J,wji∈}上，都被赋予一种完整的、可传递的、非对称的双值偏好关系。在这里，非对称性是指劳动者在任何两两各异的合同之间都不是无差异的。在确定了企业的情况下，劳动者还偏好更高的工资：如果，劳动者i肯定偏好（）而不是（）。

为了解释这个分析，我们可以认为每个企业j的合同集合为，而它的可行合同为该集合中的一个子集S，而企业j的特征就体现为它在S上的严格偏好关系。要使集合S对j可行，它可以为每个劳动者i最多包含一份合同。恰如劳动者都偏好工资较高的合同一样，企业都偏好工资较低的合同。给定任何一个可供选择的合同集，企业都会挑出其最偏好的可行子集。给定工资向量后，下面用需求函数Dj（wj）描述企业j的选择，该需求函数从中识别出与企业j最偏好的合同集相关的劳动者i。该正式分析只使用Dj，并不依赖企业的严格偏好关系。

该拍卖过程的特征体现为两个函数F和G。定义函数G:如下：

请设想，在该拍卖程序下，w是当前回合中各企业能够向劳动者提供的工资向量。我接下来要论证，Gji（w）是企业j在当前回合中实际提供给劳动者i的工资。

请考虑两种情形。在第一种情形下，劳动者i拒绝了企业j的合同要约，且在这种情形中，wji是高一档工资，而p（wji）是该劳动者已拒绝的工资。如果企业j即使按当前较高的工资仍要雇用劳动者i，条件i∈Dj（wj）就能得到满足，而企业j将提供工资Gji（w）=wji。否则，如果该企业不想按较高的工资雇用i，它就不会提高工资报价，而会让工资报价停在Gji（w）=p（wji）。无论是哪种情形，Gji（w）都表示在当下回合中企业j将为劳动者i提供的工资。在第二种情形中，劳动者i没有拒绝j的前一个工资报价，从而（通过全互替品）条件i∈Dj（wj）得到满足。Gji（w）仍然是该企业将提供的工资。用Gji（w）0描述j未向i做任何报价的情形，我们将零报价（null offers）纳入这个公式化阐述。

请注意，如果j∈Ri（w），则i∈Dj（wj），这内含着存在某个n≤N，使wji=n。由此，为F设定的值都处于适当的范围内。

2.2.6 与连续性竞争均衡的相关性

这种离散模型中的稳定增广匹配和连续模型中的竞争均衡之间有什么相关性呢？在竞争均衡（x,p）中，所有主体都是在考虑价格p和市场出清的情况下谋求最大化。而在这个离散模型中，企业按价格w（T）谋求最大化，它们需要的都恰好是想要雇用的劳动者。而劳动者都按价格G（w（T））谋求最大化，每人都采取他的最优选择。但与竞争均衡相反，所有主体考虑的价格并不相同：总体上，G（w（T））< w（T）。[4]不过，尽管这些工资并不相同，它们仍尽量地接近，也就是说，在可能工资的有限集合中它们都离得很近。因此，如果按很小的工资差异构建这个模型，那么在稳定增广匹配和竞争均衡之间就不存在明显的经济学差异。

鉴于这种相似性，拍卖过程也会相似吗？现在，让我们更正式地分析离散动态的某些特性。

第一个结果是，该拍卖过程确实是收敛的。

命题2.2

这种离散拍卖过程终结于数目有限的回合中，即T<∞。

证明

只存在有限量的不同工资，且在最后回合前的每一回合中都有w（t+1）>w（t）。因此，只能存在有限量的拍卖回合。■

第二个结果是，当劳动者都是互替品时，企业在回合t+1中总是重复在回合t中未被拒绝的任意报价。命题2.3对我们的主张做出了公式化的概述。

命题2.3

证明

这个命题因两个理由而意义重大。第一，它对我们设定函数F的方式有微妙的影响。由于在实际拍卖中，先前的最优报价永远会被重复，我们可以将F构建成仿佛劳动者能够选择召回先前的报价，无须担心劳动者接受的报价会是企业想要撤回的报价。第二，连续性模型中有一种说法，即价格会永远留在每种物品的需求略超过供给的区域内，而离散模型中的这一陈述的经济学内涵与该说法大体相同。该命题意味着，在这个离散模型中，在一个劳动者i宁愿接受它也不愿失业的工资水平上，一旦有了对该劳动者的任何工资报价，该工资报价向量w（t）就会永远地停留在至少有一家企业j会持续地需要该劳动者的区域内。

与连续模型类似，最后一个重要的经济学结论是，这些拍卖过程都收敛至与任何稳定匹配相关联的最低工资。

命题2.4

假设劳动者对各企业而言是全互替品。于是，对任何稳定增广匹配（w′,C′），有w（T）≤w′。

其证明基于下述引理，而该引理的证明又基于全互替品条件和F的构建。

引理2.5

假设所有劳动者对各企业而言是全互替品。然后，函数F是单调的：对任意两个工资组合（wage profiles）w、w′∈WI×J，若w′≥w，则F（w′）≥F（w）。

后面给出该引理的证明。现在我们用它来证明命题2.4.

命题2.4的证明

首先，通过对F的构建注意到对任何稳定匹配（w′,C′）,w′= F（w′）必定为真。而且，根据这一拍卖的初始条件，有w（1）≤w′。假设对某个t，有w（t）≤w′。于是，由于F是单调的，w（t+1）= F（w（t））≤F（w′）=w′，从而，w（T）≤w′。■

引理2.5的证明

固定任意劳动者i∈I和企业j∈J。由于F的域和范围都是有限集合的乘积，这足以表明，当任何成分自变量wji被增至下一档数值n（wji）时，因其他成分保持不变，成分函数Fji（w）不下降。我们用w\n（wji）标识变化了的向量，并考虑四种穷举情形（exhaustive cases）。

在离散模型和连续模型之间存在四种导致分析变化的技术性差异。首先，凯尔索-克劳福德模型的分析采用的不是连续时间中的连续价格过程，而是离散的价格，并在离散的时间中推进。其次，卖家（劳动者）并不单凭价格选择买家（企业），他们还在乎企业的身份。再次，由于仅参照一种工资不可能识别出劳动者的最优机会，该算法需要追踪适合于每个劳动者的多种工资。我们在这里的公式化阐述表明了要如何对待这前三种差异。最后，各企业和劳动者都以略有差异的工资作为其决策基础，而在竞争性均衡中，所有当事方都采用相同的价格向量。尽管有这些差异，但这两种模型的分析和结果是相似的。

本节讨论了企业视劳动者为全互替品时的离散模型，以下概括了我们有关这种模型的基本发现。

•存在稳定增广匹配。对每个稳定增广匹配（w,C）而言，企业都雇用最优的劳动者集，仿佛它们将工资向量w视为既定；而劳动者都选择最优的就业岗位，仿佛他们都设定可得的工资由另一个工资向量G（w）给定，两者的关系描述如下：若i被匹配于j，则Gji（w）=wji；否则，Gji（w）=p（wji）。

•在成为某稳定增广匹配（w,C）组成部分的各工资向量w中，存在一个最低工资向量，其中，每个劳动者的工资至少与任何其他稳定增广匹配中的一样低（还存在一个最高工资向量，此处不做分析）。

•价格递增拍卖在模型中体现为一个离散过程。在该过程中，众企业为它们在该拍卖中的当前通行价位上最可能雇用的劳动者报价。这种拍卖中的工资报价单调向上收敛于最低工资向量。

2.3 背包问题中的近似互替品、价格和效率

前面各节都以经济学的标准方式处理价格，因为与效率和市场出清结果相关。这可能有很大的局限性。因为在现实世界的拍卖设计中，物品常常是离散的，但不是全互替品，且不能保证存在市场出清价格。实际上，米尔格罗姆（2000）以及米尔格罗姆和斯特鲁洛维奇（Milgromand Strulovici,2009）都表明，如果投标者在拍卖中的可能估价不仅包括了所有可加偏好，还包括某种不满足全互替品条件的偏好，就永远会有市场出清价格不存在的情况。

尽管有这样的局限性，但拍卖及拍卖产生的价格仍有助于我们发现接近于最优解的资源配置，尤其当物品为“近似互替品”时更是如此。请回忆一下，如果在一个特定模型中，提高任何一种物品的价格从不减少对其他任何物品的需求，这组物品就满足了互替品条件。当我说物品是近似互替品时，是指有一个相近的模型，有些约束在其中会被收紧，而在物品都是严格互替品[5]的模型中，那些约束会被放松。我们将在后文探讨“近似”一词的恰当意义。对这套想法的最朴素探讨利用了丹齐格（1957）分析过的著名的“背包问题”。

2.3.1 背包问题和贪婪算法

请想象有一个容器，即一个“背包”和一些被编号为n=1,…,N的离散物品。每个物品n都有相应的体积sn和价值vn。所谓背包问题就是：挑出一组物品，在满足装入包中之物的总体积不超过背包体积S这一约束条件的前提下，使装入物的总价值最大化。为了只专注于重要问题，我假设包中没有足够空间容纳所有物件，即。

要做的决策用变量xn描述，它表示物品n是否被装进背包。令xn=1表示该物品要被装进背包，而xn=0表示该物品不被装进背包。于是，x={x1,…,xn}∈{0,1}N是一个向量，它描述每一物品是否被装入背包。令。装入最高价值的物品集的问题，以及相应的最优价值在数学上可描述如下：

假设，向量x给定并认定它是（1）式的最优解。根据复杂性理论，验证背包问题的解x为最优，是一个NP完全问题，就是说，这个问题极难。[6]大体而言，该问题如此难的原因在于，对于N个项（item）的组合，任何算法可能都需要逐一核查其中的相当大一部分，以确定哪些项适于装入背包，以及该组合是否比已提出的解x价值更高。由于组合的数目随着这些项的数目N呈指数式增长，即使在N还不很大时，任何系统性算法的求解时间也已长得让人无法承受。

尽管在找出并检验一个最优解上存在困难，但通过研究放松了的背包问题，仍能取得某种实践上的进步。在这种背包问题中，我们假设物品都是可分的。以下是对这种放松了的背包问题的公式化表述。

从数学上看，原来的背包问题和放松了的背包问题之间是有差异的，在（1）式中，选项是向量（从而每个物品都必然是被装入或不被装入）；而在（2）式中，选项是向量（从而物品可以被零散地装入）。该放松了的背包问题是一个线性规划问题，其最优解的特征可以用下述价格来描述：

（2）式的任何最优解都按下列条件给定：

并且，对任意项。如果（2）式的解是唯一的，则被零散地装入那个解中的物品n′就只有一个。即使存在多个解，它们中仍会有某个解只将一个物品以零散的方式装入背包。

放松了的背包问题是一个易解的问题。事实上，在定位最优解时有一种单调算法，它以一次一个的方式处理式中的各个项，无须事先计算^p。它根据价值/体积比率vn/sn依次安排所有的项，并依照从最高到最低的顺序处理它们，直至遇到一个装不进剩余空间的项。当遇到这样一个项时，该算法将包括那个项中刚好能进入背包的那一部分，然后结束。稍加反思就能使读者确信，在这种物品皆可分的假设情形中，这种算法确实做到了最优装包。

关键在于，有一种相似的算法可用来以试探方式求解实际的、未被放松的背包问题。它用与前面相同的方式给物品排序，即按照价值/体积比率vn/sn从最高排到最低。然后，它不断地装入包外的项n，直至遇到一个无法装入包中剩余空间的项。这是此算法不同于前一种算法的地方。即当有一个项装不进去时，该算法将其搁在一边，并继续试装下一个项，直至所有项都被试过一遍。

从理论上讲，这种简单的试探法找到的不是一个最优解。例如，假设有两个项和一个体积S=2的背包。第一个项的体积为1，价值为1.1；第二个项的体积为2，价值为2。该试探算法从装入第一个项起步（因为v1/s1=1.1，而v2/s2=1.0）。接下来它会发现再无可容纳第二个项的空间，并就此终止装包，它找到的是一个价值1.1的解。但最优解是装入第二个项，该解的价值是2。凭直觉可知，这种试探法无法找到最优解，因为它贪婪地往包里加项，却全然不顾在后面才会虑及的项以及眼下的选择对装入后面那些项的能力会有何影响。这类试探法被称为“贪婪算法”。

在通常的情形中, 此处提出的贪婪算法运行步骤如下。对每个项n=1,…,N, 计算其每单位体积的价值。如果必要, 对这些项重新编号，使。[7]从第一个项n=1开始装包并依次推进。假设，若；否则, xn=0。这用公式表述了先前叙述的思想，即这种试探法按价值/体积比率的排序考虑各项，对每个项都在背包仍有空间时将其装入，否则就将其搁一边, 在将所有的项都试过一遍时结束。

命题2.6

该命题中的（ⅱ）是指，（ⅰ）中给出的的下界很“紧”，在这个界限上添加任何正值ε都会使总的结果为假。而（ⅰ）中的上界在所有项的体积相同时随等式而成立，所以它也是紧的。

命题2.6的证明

就（ⅰ）而言，第一个不等式是显而易见的，而第二个不等式已在前文中得到证明。

在这种放松了的背包问题中，物品都是互替品：由于m≠n，所以提高任何项n的价值绝不会增加对任何xm的最优选择。在这个意义上，实际的背包问题抓住了物品都是近似互替品这个概念。但是，这个近似互替品条件与互替品条件很不相同，后者在前文研究的企业-劳动者离散模型中出现过。在那种离散模型中，如果企业利润最大化，则要求一家企业提高某劳动者的工资有可能导致该企业在两件事情中择一而行：它可以终止对劳动者的需求，并且其需求不会有任何改变；或者它可以在对其他劳动者的需求中恰好增加一个人来替换眼前的劳动者。[8]别无任何其他可能性。我们可以将这一点表述如下：离散模型劳动者之间的互替率永远要么为0，要么为1。而在放松了的背包模型中，对所有项之间的替代率没有任何限制。用若干小项替换背包中一个大项，或者用一个大项替换若干小项，都可以是最优的。在劳动力市场中，这相当于一个企业可以选择雇用工作两个半天的劳动者或雇用工作一个全天的劳动者。但劳动力市场模型并未纳入这种可能性，因为对企业来讲，这样的偏好并不满足该分析依托的互替品约束。两个非全日制劳动者可以是互补品而非互替品，因为提高一个非全日制劳动者的工资有可能引发企业撤回它提供给另一个非全日制劳动者的工作岗位，转而雇用一个全日制劳动者。

于是，在离散背包模型和先前分析的离散互替品模型之间存在重要的差异，即背包模型在最优解或者贪婪解中，对项与项之间的替代率无须任何限制。

要理解本节和随后各节中的数学思想，记住一点是有益的，即互替品有一种单调性。当一种物品的价格上升增加了对另一种物品的需求时，它们就是互替品。“上升”和“增加”这两个词表明，我们只诉诸需求的一种排序特性（order property of demand）。本节和后面几节中的数学都揭示了一点，即这种经济单调性是与某种单调算法的良好表现相关的。贪婪算法拥有若干带有单调性的特性。较明显的一点是，它向背包内添加项，却从不往外取出项。很快，我们就会认识到它的另一种单调性。价格递增拍卖也是单调的；它们在有过度需求时提高价格，却从不再降低价格。有多个命题解释了某些算法在物品为互替品或近似互替品时会表现良好，而在本书中，这些命题自始至终都有赖于某些严格的或近似的单调性特性。

2.3.2 基于贪婪算法的拍卖

要想把背包问题作为一个拍卖问题处理，可以想象一下不同的人各自拥有不同物品的情形。每个人只有在为其物品获得了背包内的空间时，才能享受该物品的价值。假设一个项的所有者/投标者n和拍卖师都能观察到这个项的体积sn，但只有所有者知道自己对该项的估价vn。[9]我们想要展现的是，存在某种拍卖背包内空间的办法，使得若价值向量v已知，拍卖中的胜出者就是被该贪婪算法选中之项的所有者。

令αGreedy（v）表示一个项集，它们在价值由向量v给定时都会被贪婪算法装入包中。理论上，有关背包问题的任何算法都决定了一个函数α（·），所以当被报出的价值为v时，被装入背包的项就都是集合α（v）中的那些项。因考虑的是拍卖，我们也可以称这个函数为胜者挑选规则（winner selection rule）。要使投标者易于选择他们的报价而无须猜测别人会如何报价，拍卖就应当是“反谋略的”。它的大体意思是，无论每个投标者预料到其他投标者将做什么，他都应该持有不变的最优报价。

该正式分析的关键是要认识到，胜者挑选规则αGreedy（v）拥有一种特别的单调性，它与先前描述的那种不同。这种单调性是，一个获胜投标者即使提高其报价却依然是胜者。该特性意味着，存在某个有限的或无限的“阈限价格”（threshold price），使投标者若至少按该阈限价格报价，他就胜出，否则就失败。如果该拍卖规则规定，任何获胜投标者都必须支付其报出的阈限价格，该拍卖就被称为“阈限拍卖”（threshold auction）。如我们将看到的，阈限拍卖永远都是反谋略的。而且，它们是唯一的反谋略拍卖。

下面是相应的公式化展开。

定义

对贪婪算法来讲，一个价值为vn的项n，当且仅当整个处理过程轮到它时仍有适于它的空间，它才会被装进背包。如果将项n的价值增至v′n>vn，它就不会更晚地出现在处理过程中。因此，如果贪婪算法在项n的价值为vn时将其装进背包，那么当这个项的价值为v′n时也一定会装入它。这一论证意味着，胜者挑选规则αGreedy是单调的。

阈限拍卖中一个很著名的例子就是广为人知的次优价拍卖（secondprice auction）[10]，它可被用于出售单件物品。在次优价拍卖中，胜出投标者的阈限价格是最高的出局报价（losing bid）。许多读者都熟知次优价拍卖具有反谋略性的证明。可以按常规扩展该证明以证实下面这个结果。

命题2.7

与任何单调的胜者挑选规则对应的阈限拍卖都是反谋略的。

证明

我们在此处用表格说明一投标者由于在报告和v-n上的各种条件而诚实地报告vn或不诚实地报告v′n得到的回报。可以看出，在每一种情形中，诚实报告带来的回报至少与虚假报告带来的回报一样多，这就证明了该命题。

在第3章中，我们将用公式阐述并证明一个命题，它的含义几乎与命题2.7相反。它断言，由于任意的单调胜者挑选规则α，并伴有另外的限制：（ⅰ）适于每个投标者n的可能价值集是一个区间；（ⅱ）投标者可以选择报出一个永远会出局的报价；（ⅲ）出局的报价总是导致零支付，阈限支付规则pg是唯一的规则，从而（α,pg）是反谋略的。而且，对于任何非单调的胜者挑选规则α，没有任何定价函数使得（α,p）是反谋略的。[11]

表2.1

莱曼等人（Lehmann、O'Callaghan and Shoham,2002）基于贪婪胜者挑选规则αGreedy引入了一种阈限拍卖并确认它是反谋略的。如前所论证的，αGreedy是单调的，所以他们的命题派生于上一个命题。

命题2.8

贪婪胜者挑选规则αGreedy是单调的，而与之关联的“贪婪阈限拍卖”是反谋略的。

2.3.3 投资和拟均衡

对背包问题的通常分析只研究哪些项会获选入包。这可以是一个重要问题，但是，单个的资源配置问题常常可以被更有益地构想为某个更大问题的一部分。在这个更大的问题中，肯定要配置其他相关资源或者要做出其他相关决策。就装包问题而言，一个常见的重要决策是有多少投资用于改善项的本身，例如使它们更小或更值钱，以及扩大背包的容量，使它更大。导论中的飞行空域实例就阐述了这个论题。在那个例子中，要做关于一个新宇航中心的规模和地点的各种决策，但这肯定会影响后面关于商业航天发射的决策，而这接下来又会扰乱其他的商业用途。设定恰当的价格有助于决策制定者对其决策终将给其他用户带来的成本切实承担责任，并鼓励最大手大脚的用户寻求使用更少资源的方法，如发现好的替代方案和/或干脆减少价值最低的资源运用。

在本节，我考察价格能在背包问题上起到的双重作用，即不仅服务于引导有效率的装包，而且服务于引导近乎有效率的投资。对我的分析，用新古典均衡理论中的福利经济学第一定理这个透镜来观察会很有帮助，但是，要用市场近似出清假设来取代市场完全出清假设。按照福利经济学第一定理，如果一个价格向量，它引导作为价格接受者的决策制定者对资源的需求，使所有市场中的供给量和需求量正好相等，那么这些决策就导致了有效率的最终配置。而在这个近似问题中，需要有另外一个条件，以确保近似地出清市场的价格也为投资提供大体不错的激励。

在背包问题中，各种项的不可分性历来阻碍市场的恰好出清，即背包中仍留有一些未满的空间，所以较早的理论并不完全适用。不过，单件的项的所有者都会预料他们须为背包中的空间支付多少，且他们在这方面的理解引导着他们就项的体积做出各种决策，对这一点并不难用公式阐述。当缩减各项的成本低于节约背包内空间的成本时，每个所有者都会选择缩减项。在这样一个背包模型中，同样的价格可以用来引导该背包中近似有效率的投资和近似有效率的装包吗？

这一讨论的最后结果是，除了反谋略性和近似有效率外，适于这种背包问题的拍卖机制还有另一个非常可取的特性，即它会生成一种空间价格，很好地引导物品的所有者进行投资。最简单的这类机制会确定一种价格p∗，其发挥的作用类似于市场出清价格。也就是说，会就背包内的空间向获胜的投标者收取每单位p∗的价格，而获胜者都是已准备支付p∗以上价格的所有者。在通常情形中，在价格p∗时背包内仍会留有空间，所以p∗并非市场出清价格。我们称p∗为拟均衡价格（pseudo-equilibrium price,Milgrom and Strulovici,2009），并根据任一特定项的价值和体积，运用下列函数计算这个价格：

根据构建，在低于p∗=P（v,s）的价位上都存在对背包内空间的过度需求。出清的价格通常不存在，因而在高于p∗的价位上都存在绝对的过度供给。如果在这个问题上确有恰好出清的价格，那就是p∗。

同样的价格p∗还有一种与放松了的背包问题相关的解释，在放松了的背包问题里，它相当于背包内空间的边际价值。相反，对于离散背包问题，增加少量空间的边际价值永远为零。所以，按边际价值定价，尽管在市场恰好出清的情形中能发挥良好的作用，但在离散背包问题中却无助于影响和引导有效率的节省空间的投资。

在背包问题中验证各种投资水平有无效率是很难的。验证这一点可能需要求解多重背包问题（对应于不同的投资模式），从而导致这种验证至少与单一背包问题中的最优性一样难。如果我们尝试让物品的所有者像价格接受者那样行事，并借助拟均衡价格p∗引导投资，以达到简化问题的目的，则会出现什么情况呢？

定义

在拟均衡的这个定义中，条件（ⅰ）意味着，所有者从他们的可用选项中做出最优选择，其行为就像价格p∗不受其选择的影响。在这一假设中，所有者可能出错，因为如函数P表明的，空间的价格有赖于他们总体的投资选择。条件（ⅱ）则描述了这种依赖性。它说，背包空间的价格由一个短期的拟市场出清条件决定；在给定既有投资决策的情况下，该价格就是该背包装不满或装得过满时的“最低”价格。非公式化地讲，条件（ⅰ）和条件（ⅱ）合在一起意味着，p∗也是长期的拟市场出清价格，即那些“长期”选项c∗也都有赖于p∗。

理论上，每个所有者对空间的“长期”需求有赖于空间的市场价格，是该价格的非递增阶梯函数（nonincreasing step function）。对S的整体选择而言，没有任何价格支持市场恰好出清，但永远会有某个唯一的拟均衡价格。

拟均衡中所有者的空间缩减投资不会是普遍有效率的，而物品的所有者在这方面甚至有可能犯大错。有一个例示可以说明这一点。

图2.2 背包内空间的长期需求函数，作为价格的一种函数，这是一个阶梯函数，它由图中的垂直实线表示。对所有的背包体积S , 都存在唯一的拟均衡价格p∗ 。其特性是，在较高的价位上，需求少于或等于供给；在较低的价位上，需求绝对超过供给。

示例

有两件物品，N=2。背包内的总空间是S=2。对于第一件物品的所有者A来讲，可能的选项是CA={a1,a2}={（9,3,0）,（2,1,1）}。而对于第二件物品的所有者B来讲，可能的选项是CB={b1,b2}={（3,3,0）,（3,1,1）}。按照最优解，两个所有者都投资于缩减所有物品的体积，且两件物品都被装入包中。

在这个模型的唯一拟均衡状态中，空间的价格是p∗=3，且两个所有者都发现，投资为零是最优的。对两个所有者来讲，在给定空间价格的情况下，这些选择都使利润最大化。而且，在给定投资为零的情况下，没有一件物品进得了背包，所以短期的价格公式表明，价格必须是3。在拟均衡状态中，背包始终是空的。

要在普适意义上评价拟均衡状态的效率，我们将拟均衡配置中的总价值V∗与有投资背包问题中的最优价值做比较。这两个价值由公式（4）和公式（5）给出：

和

命题2.9

命题2.9的证明：

这个拟均衡价格公式取价值vn∗和体积sn∗为给定，但这些都是前瞻性投资选择带来的结果，而这类投资选择都视价格为给定。在该拟均衡状态中，任何不会被装进背包的物品n的所有者都不投资（选择最低水平的in），而这决定了某个体积和价值，并选择xn=0。

命题2.9为拟均衡中的无效率提供了一个有趣的范围。我们先前已经发现，在这一简单的背包问题中，可以用类似方法算出的均衡价格和背包内空余空间的乘积，紧紧地框定因无效率装包而导致的最糟情形损失（worst-case loss）。而在伴有投资的背包问题中，情况看似更糟，因为损失可以由两个途径产生：无效率的装包和无效率的投资决策。我们前面的示例的确表明，投资决策有可能很糟。不过，根据命题2.9，这两种无效率的最糟情形损失总量的限度依然有同样的乘积形式。这是否表明了“还算可以”的投资激励，关键在于解读。在这方面，各种示例与各种定理一样，也扮演着有益的角色。

2.3.4 对背包内空间的统一价格拍卖

拟均衡的结构非常简单，但它并未告诉我们价格是如何被发现的。而我们的目标是，基于对贪婪算法的某种改变，用反谋略直言机制找出价格。我们将贪婪算法的这个变种称为“截尾贪婪算法”（truncated greedy algorithm），因为它遵循贪婪算法但结束得较早，从而相对于标准贪婪算法装入的那些物品，它只装入了一个子集。

尽管截尾贪婪算法从不装入会被标准贪婪算法排除的物品，但其最糟情形的表现范围（performance bound）是相似的。

命题2.10

对它的证明实质上与命题2.6的证明完全相同。

这个胜者挑选规则的另一个吸引力在于它的阈限价格模仿了拟均衡中的阈限价格。

命题2.11

与截尾贪婪算法相联系的胜者挑选规则αTrunc是单调的。与其对应的阈限拍卖对任何获胜者n都按P（v,s）sn定价。这种截尾贪婪阈限拍卖是反谋略的。

证明

因此，在这种无投资选择的特殊情形中，截尾贪婪阈限拍卖为参与者算出拟均衡配置和拟均衡价格。

2.3.5 纳什均衡投资

到此为止，我们只是在拟均衡中研究投资选择。其中，所有者都被假设为价格接受者。支持该假设的部分理由是，在物品的所有者必须为自己的物品被装入包中而支付阈限价格的情况下，没有任何所有者能够靠操纵价值报告来改变这种阈限价格。然而，所有者能够通过自己的投资影响空间价格。函数P（v,s）刻画的正是这种影响。

标准的经济学范式主张，在阐释背包问题时，不是将它作为一个挑选哪些物品装入包中的问题，而是决定给每个投标者配置多少空间的问题。从这个视角看，物品的所有者不过是购买者，他们购买的是按某种特定价格提供的同质商品，即背包内的空间。

如在买家极少的市场中常见的那样，买家有动力人为削减其空间需求，以实现空间价格相对于拟均衡价格的下降。不过，对这一推理有两点需要注意。第一个注意点源于一个事实，即每个所有者都只有一件物品要装包。一个隐忍其需求的所有者能降低价格，但并不能因这样的较低价格而获益。这个反论倒是留出了一种可能性，即该所有者可以靠某种缩减空间的投资获益。因此，我们可以预期，买家会受此诱惑而在节约空间上做出超过最优水平的投资。

第二个注意点是，拟均衡价格是由一个不成功买家确定的，而这个买家，即使要求他投资于能使总价值最大化的配置，亦无动力为其所有物品的质量和价值投资。这些注意事项给正式陈述增添了微妙性。

要想从数学上研究该投资问题，我要采用博弈论的公式框架。考虑到有的读者不熟悉或不擅长博弈论，此处偏离主题，介绍一下我要用到的博弈论概念。

博弈论概念介绍

定义

在有些博弈中，可以存在一种显然适合某博弈者采用的策略，其原因在于对该博弈者而言，无论其他博弈者选取什么策略，该策略都比任何其他策略更有利。这样的策略被称为“占优的”。关于占优性的正式定义要更为精细，因它允许一项占优策略有时候只是刚好与其他策略一样好，只要它从不比其他策略更糟且有时还能更好即可。

定义

我们前文刚讨论过反谋略机制的定义，而占优策略的定义与反谋略机制的定义是密切相关的。一种机制要能反谋略的条件是，在（通过改变博弈者的价值而建立的）各关联博弈中，诚实地报告永远是占优策略。

就策略式博弈（strategic form games）而言，最著名的就是约翰·纳什（John Nash,1950）提出的解决方案。

定义

给定博弈, 如果对于每一个博弈者n∈ , 有 , 则策略就是一个纯纳什均衡。[12]

在给定其他博弈者也都采用均衡策略的情况下，当一项策略s∗是一个纯纳什均衡时，每个博弈者的策略就是他为实现自身收益最大化能做出的最优选择。实践中对纳什均衡的解读，以及它何时能很好地描述行为，都得到了博弈论专家的极大关注。对于新接触博弈论的读者，有人会警告说，这个领域充满争论，纳什均衡博弈总是可以预期的或者每一种纳什均衡都有同样可能性的说法肯定不正确。不过，对这些问题的讨论超出了本书范围。

回到投资博弈

在博弈模型中，博弈者是背包问题中的各种物品的所有者。请注意，在博弈者已经做了投资且到了报告估价的时候，该机制的剩余部分是反谋略的：诚实地报告对所有博弈者来讲都是占优策略。为了将正式分析放在投资激励上，我在假设每个博弈者都视投资为唯一策略性决策且诚实地报告的情况下，对无价值报告变动（value-reporting move）的博弈做公式化阐释。

在这个博弈公式中，我们的主要发现是，前文介绍的简单经济学直觉对这个问题给出了不完备的解说：它遗漏了存在多重纳什均衡的可能性，即有多种策略组合，它们全都是纳什均衡。其中的某些均衡状态或许包含投标者在某些互利结局上的协调失败。这里有一个示例可以说明这一点。

示例

有两件物品，N=2。背包中的总空间是S=2。对第一件物品的所有者A，可能的选项是CA={a1,a2}={（12,3,0）,（2,1,1）}，而对第二件物品的所有者B，可能的选项是CB={b1,b2}={（9,3,0）,（3,1,1）}。

这场博弈中有两个纯纳什均衡：（a1,b1）和（a2,b2）。在第一个均衡中，两件物品的所有者投资都为零且他们拥有的物品对背包而言都太大。均衡状态是没有任何物品被装入包中。对于所有者B来讲，没有任何单边背离是有利可图的。因为在背包中不装A的物品时，B的物品也不可能装进去，并且也不可能超过A的价值/体积比（等于4）。所有者A可以做数量为1的投资以使他的物品变得更小（价值也更低），但那样的话B在此截尾贪婪算法中处于第一位置，并结束装包，因为B的物品装不进背包。

在第二种纳什均衡中，这两件物品的所有者都进行数量为1的投资，且两件物品都能装入背包。在这个均衡状态中，每一方为其所获空间支付的价格都是零。

有关纳什均衡的存在定理（Nash,1950；或有关当代教科书的处理，Fudenberg and Tirole,1991）仅承认，每一种有限博弈者、有限策略的博弈都至少有一种混合均衡，但下面的这个命题将注意力限制在纯纳什均衡上。

假设，如图2.2中那样，拟均衡并不恰好装满背包。而在纳什均衡中，不同于在拟均衡中，博弈中的每个所有者/博弈者都考虑一个事实，即他的投资选择可以影响他为背包空间必须支付的价格。而这种投资的回报只有那些在背包中赢得一定空间的物品才能获得，所以出局者n不做任何投资，即他们选择最低in值的cn。

请回忆一下，根据需求法则，需求曲线是向下倾斜的。也就是说，当价格上升时，买家对物品的需求就会变少。[13]结果是，当我们从拟均衡态开始且有一个所有者的空间需求增加时，新的拟均衡价格必然（至少是微弱地）上升，从而使其他所有者的空间需求量抵消性地下降。因此，如果一个获胜投标者缩减其所有物品的体积，从而需要较少的空间，拟均衡价格就必然（微弱地）下降。用公式表述就是，对于任何使n成为胜者的cn和c′n，以及sn<s′n，结论是P（cn,c∗-n）≤P（c′n,c∗-n）。

这些情况导致下面这个新的结论。

命题2.12

证明

直觉上看，我们关于背包问题有如下一些关键发现：

•由于不同的物品为背包内空间而竞争，背包问题要求具有某种近似的互替性。因为，物品在体积上可以大小不同，物品之间的互替率是无限制的。例如，或许可以用两个较小的物品替换背包中一个大的物品。这不同于凯尔索-克劳福德模型，因为在后者中，增加一个劳动者导致企业取代的其他劳动者要么是0个，要么是1个。

•背包问题在计算上都很有挑战性，它是一个NP难度级别的问题。

•但有很大一批背包问题，简单的贪婪算法常常就能定位一个解，这类解相当逼近最优态，且对这种解带来的最大损失进行了有效的限制。

•贪婪算法有一种关联的反谋略拍卖，它被称为“贪婪阈限拍卖”。

•对背包问题的一种扩展被称为“伴有投资的背包问题”，它研究的是，促使物品的所有者为使其所有物品更小和更值钱而投资的激励条件。

•拟均衡设定了唯一的价格，使背包在较高价位上被过度装填，在较低价位上装填不足。当空间可分时，拟均衡提供了与均衡模型的类比。

•在伴有投资的背包问题中，拟均衡结果为损失设置了界限，其采取的形式与无投资模型中的约束相同，这意味着投资激励弱导致的价值损失可以是低的。不过，拟均衡假设了物品所有者是价格接受者。

•拟均衡价格和拟均衡配置可以靠“截尾贪婪算法”算出，它是一种反谋略的直接拍卖机制。

•截尾贪婪拍卖造成的投资会导致价格略低于拟均衡时的价格。

2.4 分配约束和一对一互替品

在本节中，我们再次研究涉及单一拍卖师和多个投标者的问题：在此情形中，买家是单独一人，而卖家则有多人。在本节的这个模型和上一节的模型之间，存在两个关键差异。首先，对拍卖师可能存在很多约束，而不止单一的背包限制。其次，如在凯尔索-克劳福德模型中那样，这些约束条件内含的局部替代率（local rate of substitution）永远都是0或者1。也就是说，给定物品的一个集合S，我们希望向其中再多加一件物品n，如果从各物品中去除一个子集T⊆S就能为该物品腾出空间，那么存在某个m∈T，使刚好去除m这件物品便能腾出那样的空间。在背包的设定中，这将相当于所有物品体积都相同的情形。

为了说明这里的主要思想，请思考这样一种情形，一家企业需要雇用足够的劳动者来做一份工作，或者政府需要收购一批足够的电视播放站以便为它正计划的其他用途清出频谱。为简化起见，假设买家的目标是获取一批足够的物品以满足其需要并实现获取成本的最小化。[14]在我们的抽象模型中，无须区分卖家和他供给的东西，因而对这两者都用n表示。卖家n对其物品的估价为vn，其中0<vn<。我们令表示物品中的可接受分类集。即对于物品集S，当且仅当S∈时是可接受的。买家的目标是，在满足其约束条件的同时确定要购买的最便宜的商品。

迄今为止，这个构想是将背包问题作为一种特殊情形纳入进来，但与前一节相比，伴随着一种扭曲。如果这一构想中的物品有多种体积且如果一个可接受物品集S∈至少达到了某个特定的总体积（或者，等价地，它的补集SC至多是某个总体积），则挑选出局者的问题将会是一个背包问题。通过运用先前描述的贪婪算法，就能为这个问题找到一个近似最优解。

在本节中，我们允许有多重约束，这些约束条件是根据买家未购买的物品集给出的。例如，在激励性拍卖中，为了向无线宽带用途重新分配频率，政府需要向它不收购因此今后将继续播放电视信号的播放站分配频道。此外，对频道的分配必须做到信号不会相互干扰。这就潜在地涉及大量的独立约束。例如，对于纽约市和波士顿范围内的频道，能分配的电视播放站数目就受到独立约束的限制。另外，如果发送自纽约和波士顿的播放信号会干扰位于中间地带（比如康涅狄格州）的播放站，可能就要对存留于这两个城市内的播放站总数有一个总体限制。[15]

在数学中，具有特性（1）至（3）的分类被称为拟阵（matroid）。[16]从经济学的角度看，特性（1）意味着问题是可行的：买家有某种方式满足其需要（如全盘接受）。特性（2）表示，拥有更多的物品从不伤害买家，即如果买家能够通过拒绝S中的物品并获取SC中的物品来满足其需要，则他就能从拒绝较小的集S′并获取较大的集S′C做到这一点。特性（3）相当于经济学的一对一互替思想：任意集合S的所有最大独立子集都具有相同数目的元素。如果我们用同样的方式对背包问题做公式化表述，即规定由能被装入包中的物品集构成，则该条件就不会普遍地得到满足。原则上，一个背包可以被一件大的物品完全装满，也可以被若干较小的物品完全装满。

若干示例

1.设想N=15，买家需要收购至少10件物品，且任意10件物品都行。然后，由的所有子集构成，每个子集含有不超过5件物品。让我们就这个示例验证特性（1）~（3）。

a.包括空集（∅∈）。

b.如果S∈，则S最多拥有5个元素，所以任意子集S′⊂S都最多拥有4个元素，且S′∈。

c.如果S>S′，则（ⅰ）S′拥有的元素绝对少于5个；（ⅱ）存在某个元素n∈S-S′，所以S′可以通过添加n而增广，但仍拥有不超过5个的元素。

2.假设买家需要从一个N=15件物品的集合中获取至少10件物品，但这些物品中，至少有2件物品必须是蓝色的，有3件物品必须是红色的，而颜色是每件物品的固定特征。假设含有b≥2件蓝色物品和r≥3件红色物品。另外，由的所有子集构成，每个子集含有的项不超过5件；其中，最多有b-2件是蓝色的，最多有r-3件是红色的。

a.包括空集。

b.如果S∈含有不超过5件物品，且蓝色项不超过b-2件，红色项不超过r-3件，则任何子集S′⊂S都具有相同特性，所以S′∈。

c.关于增广性，设想S、S′∈，以及|S|>|S′|。与S′相比，集合S要么（ⅰ）包含较多蓝色物品，要么（ⅱ）包含较多红色物品，要么（ⅲ）包含较多既非蓝色亦非红色的物品。S′可以靠下列方式在满足所有约束条件的同时得到增广：（ⅰ）靠添加取自S的蓝色物品；（ⅱ）靠添加取自S的红色物品；（ⅲ）靠添加取自S的非蓝非红物品。

3.请假设一个运动队有K个位置，被标为{1,…,K}，每一位置上必须聘请一位运动员。潜在的新受聘者被标为{1,…,N}，且每个运动员n都有一组位置Pn是他能胜任的。如果对于每个位置k，运动员集合S⊆{1,…,N}都存在一套对运动员的位置分配α:S→{1,…,K}，使α（n）=k内含k∈Pn，那么该运动员集就是宜于接受的。一个集合R，如果其补集是宜于接受的，则它就是宜于拒绝的。让我们假设，运动员全体的集合{1,…,N}是宜于接受的。

上述三个特性体现了物品都是互替品这一特殊的经济配置问题的特征。不仅如此，这三个特性还体现了拟阵结构的特征，这是一种出自组合数学的著名结构。这个结构一再出现在不同类型的应用之中。随后一节要解释，下面这些标准的数学术语是如何与经济学应用中的术语相对应的。

拟阵理论术语[17]

•潜在可用物品的集合被称为基础集（ground set）。

•是可能被拒绝的物品集，中的集合都被称为独立集（independent sets）。

•当且仅当其具备特性（1）~（3）时，独立集的集合是一个拟阵。

•若S是的一个最大元素，即如果S∈且对于所有的S′⊆，有[S⊂S′]⇒[S′∉]，则S就是的一个基（basis）。

从该增广的特性很容易看出，中所有的基都具有相同的元素数目，这是后文要利用的一个特性。

当各约束条件形成一个拟阵时，贪婪算法的表现决定了拟阵对这项分析意义重大。下文将介绍的贪婪算法区分了被接受或被拒绝的物品。由此产生的两个结果集被标识为A（“被接受的”）和R（“被拒绝的”）。循此途径，在迭代n上的局部构造集（partially constructed sets）分别被标识为Rn和An。

贪婪拒绝算法

示例

直观上，该算法通过一系列步骤区分各个项；在每一步骤上，它总是评估代价最高的余留项，若宜于拒绝，就拒绝它，否则就接受它。例如，若宜于拒绝的集合在项的总数上都不超过K，该贪婪算法就拒绝K个最昂贵的项，接受余留各项，它们都是最便宜的项。

总之，我们现在研究的问题不是一个背包问题，因为对约束条件的设定不同，且程序是贪婪拒绝，而非贪婪装入。尽管如此，我们先前采用的相同论证几乎适用，且它再次意味着，贪婪算法是单调的。在这一情形中，降低一个项的价值论点会在以后考虑，且那时它就较少可能遭到拒绝。根据命题2.7，它意味下列判断：

命题2.13

前述适用于贪婪拒绝算法的胜者挑选规则是单调的，相应的阈限拍卖是反谋略的。

我们还突出了另外两个特性。第一个特性涉及贪婪算法对这组问题的表现。

命题2.14

如果是一个拟阵，则贪婪拒绝算法的输出R就是对问题（7）的最优解。

证明要靠归纳法，但只要思考一下贪婪算法的第一选择，就能轻松得出直觉。为什么选取最有价值的项是可行的？它不会阻碍未来的有价值选择吗？答案在于增广特性。设想具有k个项的集合S不包含最有价值的项。按照增广特性，我们就可以反复地从S中挑出项，与最有价值的项结合在一起，创建一个含有k个项的集合S′，它只在一个项上不同于S。根据构建，S′中多增的一项是最有价值的项，所以S′的价值高于S的价值。由此，最优集必然包含最有价值的项。

命题2.14证明

命题2.15

如果是一个拟阵，则问题（7）中的物品就是互替品。相反，如果具备特性（1）和特性（2），但不具备增广特性，则问题（7）中的物品就不是互替品。

证明

我们可以把本节的模型与前面研究过的凯尔索-克劳福德模型做比较。在凯尔索-克劳福德模型中，“企业”是买家，而“劳动者”是要被购买（雇用）的物品。在本节中，只有一个买家，相当于凯尔索-克劳福德模型中只有一家企业的特殊情形。为使公式阐述更加贴近，让我们假设，修改本节的模型，给买家增加一个明确的物品/劳动者估价。令该估价对任意可接受的物品/劳动者集合都相同，并使其至少为。对于不可接受的集合，该估价为零。在明确有一个可接受集合可用的情况下，这个设定确保一家企业购买/雇用该集合是最优的。命题2.15肯定，物品对企业而言都是互替品，恰如凯尔索-克劳福德模型要求的。所以，凯尔索-克劳福德关于价格递增拍卖的结论，即它实现了一种有效率配置，在这里也是适用的。在这一情形中，它是指其结果使总价值最大化。

在直觉上，本节研究的贪婪拒绝算法与凯尔索-克劳福德拍卖算法形成“对偶”。它的作用方式是拒绝最昂贵的物品直至不能再多拒绝，而凯尔索-克劳福德算法的作用方式则是雇用（“接受”）最可取的劳动者直至不再需要更多的劳动者。在本章介绍的所有模型中，互替品条件都使价格和价值有可能在两个方向之一上起作用，即要么从低价位/价值起步，然后提价直至有足够的报价被接受；要么从高价位/价值起步，然后降价直至足够的报价被拒绝。

我们在这一节中的主要发现如下：

•可以定义一种特殊的贪婪算法，使之适用于一组背包问题的超集（superset），并囊括任何的约束条件集。

°这种算法，只要可行，就依次拒绝最昂贵的余留项。

°该算法是单调的，而与之对应的阈限拍卖是反谋略的。

•当宜于拒绝的物品集分类被给定时，

°物品的互替品条件在特征上体现为被拒绝物品集的拟阵条件；且被用于该互替品情形的贪婪拒绝算法产生一种最优配置。

•由于该拟阵条件以互替品为特征，这个模型可以被视作凯尔索-克劳福德模型的特殊情形。它的专属特征如下，

°只存在单独一家企业（加上对企业需求的较详尽建模）。

°企业的约束决定着能予以接受或拒绝的项集。

°获取足量的个体项集具有极高的价值，但超量的个体项毫无价值。

°结果，企业力图使其所获诸项的“成本”或曰“价值”最小化，或者等价地，使其所拒诸项的成本或曰价值最大化。

[1] 与此不同，阿罗和赫维茨证明，对他们的模型来讲，唯一的市场出清价格向量是存在的。对这一差异的解释是，在他们的模型和此处介绍的模型之间有两点不同。首先，在阿罗-赫维茨模型中，市场出清包含一个条件，即对计价标准品的净需求为零，而此处介绍的模型则只要求对一个限定的物品集做到市场出清。其次，他们的模型假设，所有物品不只是非计价标准品，而且都是全互替品。这个额外的假设内含着，对非计价标准品给定任何两个价格向量，由于一个向量在每个分量上都大于另一个向量，则一定是在那个较高价格向量上对该计价标准品的净需求绝对更大。所以，这两种价格向量不可能都出清计价标准品市场。由此，在他们的模型中，只能存在一个市场出清价格向量。

[2] 即使具有两个以上的非计价标准品，仍会存在最高和最低的均衡价格向量。此处证明从略。

[3] 凯尔索和克劳福德提出了这种理论，但无须另外假设企业对不同的劳动者集合绝非无差异。没有这个假设，企业的需求就由一个多值函数Dj（·）描述。其中，Dj（wj）是各劳动者集合中的一个分类，其中的每个集合都是企业在工资向量wj上的最优选择。（对几乎所有的工资向量wj来讲，Dj（w）都将是一个单元素集（a singleton）,但是当企业是利润最大化追求者并考虑全套价格时，例外是难免的。）凭借这个公式，对一个具有需求Dj的企业来讲，劳动者都是全互替品。其条件是，有任何两个工资向量wj≤w′j（表示w′j的每一个成分都略大于wj的对应成分），若T⊂S∈Dj（wj），且对于所有的i∈T有wji=w′jj，就存在某个S′，使T⊆S′∈Dj（w′j）。

非公式化地表述的话，只被定义在那个受限工资域W上的单值需求函数是一种特殊情形，而关于互替品的这个定义有着与其恰好相同的解释。也就是说，提高有些劳动者的工资从来不会减少对工资保持不变的那群劳动者（T中那些人）的需求。

[4] 对于ℝN中各向量间的种种不等式，我们写x≤y以表示对于n=1,…,N有xn≤yn；写x<y以表示x≤y和x≠y；以及写x≪y以表示对n=1,…,N有xn<yn。

[5] 此处原文为“are exactly substitutes”，指物品严格地恰好可互替，而非近似地大致可互替。——译者注

[6] 运算研究者和计算机科学家正好对这个等级的问题能有多难做了特征描述，它属于一个被称为复杂性理论的数学分支。检验针对某背包问题提出的解^x是否为最优就是一个NP完全问题（Papadimitriou,1994）。对这一“难度”的特征描述，在理解上通常依托一个背景，即复杂性理论中的常见假说P≠NP。根据这个假说，称背包问题属于NP完全等级就是说对于任何求解算法和任何多项式函数F，都存在种种运算时长超过F（N）的背包问题。对该结论的一种非正公式化描述为，背包问题具有“指数式的”最糟运算时长。

[7] 在两个物品有相同价值/体积比的情形中，可以采用随机化来打破平局并确定排序。

[8] 在这个模型中，如果一家企业是利润最大化追求者，而劳动者都是互替品，就能够证明，提高工资不可能增加该企业聘用到的劳动者人数。这个属性被称为“总需求法则”（law of aggregate demand），由哈特菲尔德和米尔格罗姆（Hatfield and Milgrom,2005）创立。

[9] 投标者知道自己手中物品所值几何的假设对于许多拍卖来讲并非无懈可击。因为，有些物品产生的价值源自被感知的美好或真实，或者源自基于他人所知之事的转售价值。那些都可能是重要的议题，但它们不是本书的主要议题，所以我们通篇假设投标者确实了解其自己的估价。

[10] 这个概念目前国内多数论者将其按字面直译为“第二价格拍卖”，虽不能算错，似未能充分传达这个概念的全部含义。因它指称的拍卖包括价格递增拍卖和价格递减拍卖两类。在价格递增拍卖中，它是指仅低于最高报价的次高报价，而在价格递减拍卖中它是指仅高于最低报价的次低报价。为能在中译上兼顾这两种情形，本书取现在这个译文。——译者注

[11] 此处是证明。如果α（v）不是单调的，就意味着存在某个v，使n∈α（v），还存在某个v′n>vn，使n∉α（v′n,v-n）。在此情形中，当别人拥有类别总况v-n时，在类别vn或v′n中必有一个有动力谎报。因为，若类型vn没有这样的动力，就有vn-pn（v）≥pn（v′n,v-n）。在这样的情形中，如果n的类别是v′n却谎报其类别为vn，他（或她）就获胜并得到回报v′n-pn（v）>vn-pn（v）≥pn（v′n,v-n）。换言之，谎报的回报严格高于诚实报告的回报。'

[12] 还可以用一种类似的方式定义一个混合的纳什均衡，方法是允许博弈者在他们的各种策略之间随机化。但我们未在自己的模型中采用那种方法，故此处从略。

[13] 需求法则在我的设定中是适用的，因为博弈者收益的形式排除了任何“收入效应”。收入效应问题在微观经济学的很多标准导论性教科书中都有详尽的发挥。

[14] 以增加另外一些符号为代价，可将此扩展为这么一种情形，即买家对每个项有不同的估价，并在其成本最小化问题上，从成本中减去那些估价。

[15] 在这个应用中，实际的约束都要更复杂得多。我们在下一章中描述和分析那些约束。

[16] 关于拟阵，有大量的数学文献，并伴有在组合优化、网络理论、编码理论及其他理论中的种种应用。尽管我已努力使本章在内容上自成一家，但此处就拟阵所报告的全部结果都是众所周知的。要想了解拟阵理论的更多细节，请见奈尔和纽多尔（Neel and Neudauer,2009）,或者Oxley,（2011）。

[17] 拟阵理论为组合数学的一部分，它在几何学、拓扑学、组合最优化、网络理论和编码理论等领域中有广泛应用。赖虹建所著《拟阵论》（高等教育出版社，2002年）对拟阵理论有系统介绍。——译者注