价格的发现

第3章

维克里拍卖与互替性

尽管人们运用拍卖已有千年，但经济学对拍卖的理论研究要晚近得多。这可追溯至威廉·维克里（1961）所做的工作，他还为某些棘手的资源配置问题引入了一种新型拍卖。维克里想知道是否能清除拍卖中的博弈行为，使结果更为确定并使参与者更易于投标。格罗夫斯（Groves,1973）和克拉克（Clarke,1971）扩展了维克里的理论创意，使之适用于各种公共品问题。而一种逆构法[1]使维克里的工作得以推广，目前它在多数场合是以“维克里拍卖”而闻名的。

维克里拍卖是一种“直言机制”，这是指它要求投标者报告其所知的信息，即报告他们的“类别”（type）。例如，在一次购买某单件物品的拍卖中，某投标者的类别可以是愿意为该物品支付的最高价，且会要求他报出该最高价。维克里拍卖的出人意料之处在于，对每个投标者来讲，无论其他投标者会报告什么，自己诚实地报告永远是最优的。具有该特性的拍卖被视为具有反谋略。

使维克里拍卖能反谋略的神奇之处在于其支付方式，即按报价来决定支付。在维克里拍卖中，最著名的一种拍卖适用于单件物品待售的时候。它要求每个潜在买家报告或“报出”其愿意支付的最高价。与读者或许了解的最常见拍卖——所谓的“密封投标”——不同，在维克里拍卖中，获胜投标者支付的价格并不等于他曾给出的报价。拍卖品归于最高报价者，但价格被定在次高报价上。任何以前从未见过这种拍卖的读者，建议全面理解此处的逻辑，即要看到两个方面：其一，从每个投标者的角度看，诚实报告确实是最优的；其二，为什么这样的实情对实际投标者来讲并非一目了然，从而在这样一种拍卖中时常会犯错误。

如何才能将该发现推广至有多件异质物品待售的情形？后面我们将正式地探讨这个问题，但就直觉而言，抽象的维克里拍卖运作如下：要求每个投标者提交信息或“报价”，以描述他对每一种适宜结果的估价。然后，拍卖师会视报告的信息为真实，并利用这种信息计算有最高可能价值的结果。最后，拍卖师确定支付。这种维克里支付是使维克里拍卖别具一格的最重要因素。试想，如果投标者n不参与拍卖，其他投标者得到的物品总价值会是π-n。如果投标者n参与拍卖并赢得了什么，他得到的总价值会是某个较小的量π′-n。在维克里拍卖中，投标者n支付π-n-π′-n，它刚好足够，从而包括拍卖师在内的其他人所获得的总价值就依然是π-n，即投标者n的参与对这个总价值无影响。

以这样的方式设定投标者n的支付后，无论投标者n对拍卖师的最终选择会有什么影响，都不可能改变其他所有人的总收益。结果，投标者要想使其收益最大化，就必须说服拍卖师让所有参与者的总收益（包括投标者n的实际回报）最大化。在给定拍卖师选择结果的方式后，投标者可以靠诚实地报告自己的估价来实现这一点。

在下一节的公式化阐述中，有两个对分析的限制是显而易见的。其一，n的成本只取决于n所知之事，绝不取决于任何他人的所知之事。这被称为“私人价值”假设，且对分析至关重要。其次，n的成本只取决于n的所获之物，不取决于他人的所获之物。这一限制并非公式化分析所必需，但它使讲述这种拍卖如何运行变得更容易。

3.1 维克里拍卖的模型、定义和反谋略性

我提供了一个普适而抽象的拍卖问题，该拍卖中有一个拍卖师，他可以是一个买家，也可以是一个卖家。具体地，我们假定拍卖师是一个买家，且存在N个投标者（卖家），他们被标为n=1,…,N。每个卖家都能为出售物品或服务报价xn∈xn。例如，如果卖家n能提供一个红色饰物或一个绿色饰物（并非两个一起），或者什么都不提供，我们就用模型将他设为xn={R,G,∅}。如果该卖家能够提供零个、一个或两个绿色饰物以及零个或一个红色饰物，或者提供这两种物品的任意组合，就总共有六种可行的组合，我们能够设立xn={∅,（0,1）,（1,0）,（1,1）,（2,0）,（2,1）}。其中，∅代表（0,0）。xn的符号标记是非常灵活的，但我们要使集合xn是有限的[2]并包含∅，一个表示不提供任何东西且引发成本为零的“零”元素（“null”element）。

每个卖家n都会有一些与供给物品或服务相关的成本。假设卖家清楚这种成本，但其他人可能不清楚。为了将每个卖家n的不确定性纳入模型，我引入一个随机变量θn，它从某个集合θn中取值，并决定该卖家成本函数的参数。这个随机变量θn被称为卖家的“类别”，拍卖中所有其他参与者都相信它，其特征取决于某个概率分布。因此，任何卖家n的成本都体现为一个参数化了的函数C:xn×θn→ℝ+。我使C标准化，从而对所有的θn都有C（∅,θn）=0。一个卖家因参与该机制并提供物品xn获得的收益πn，是他接受的总价格Pn减去其总成本：πn=pnC（xn,θn）。

定义

维克里机制是直言机制，其中：

1.每个投标者都向拍卖师报告信息θn。

2.拍卖师运用该报告信息选择一个结果。

3.拍卖师向投标者m支付的金额为：

如果m没有诚实报告，就可能导致引发变化的决策，而这会减少总剩余。既然归于其他人的总收益是不受影响的，那就只能有害于m。结果是卖家都有动力诚实地报告。

命题3.1

证明

3.2 适于反谋略机制的支付规则具有唯一性

我们为什么要如此强调巧妙的维克里支付规则？格林和拉丰（Green and Laffont,1977）有一个著名结论，霍姆斯特朗（Holmström,1979）对其做了扩展。该结果证明，就执行价值最大化决策x0∗（θ）的反谋略拍卖而言，在某些环境类型中，维克里支付是唯一与之一致的机制。尽管我们在前文已发现，贪婪阈限拍卖和截尾贪婪阈限拍卖都是反谋略的（恰如那些环境中的所有阈限拍卖），但那些机制都不是例外，因为原则上它们并不要求价值最大化决策。

在本节中，我们要验证，对任何配置规则α最多存在一种支付规则pα使直言机制（α,pα）是反谋略的。这个命题意味着格林-拉丰-霍姆斯特朗的结论，使有关阈限拍卖唯一性的论断正规化，并且对于为其他环境构建反谋略机制的可能性提供了某种指南。

在将我们的注意力限定于“拍卖”之前，我们就更大一类反谋略直言机制讨论这个结果。

定义

命题3.2

证明

在各种拍卖应用中，我们经常将注意力集中在每个投标者都能拒绝参与并由此获得零收益的情形。在该情形下建模时我们要添加一个限制，即存在某个类别，比如说类别0，以便报告该类别会导致卖家得到零收益（想必是因为其获得零偿付且产生零成本）。研究上面的证明，我们发现，这相当于添加β（θ-n）=0的限制，在这种情形下，最多能存在一个价格函数pα使（α,pα）是一个反谋略的直言拍卖机制。

命题3.3

如果省略路径相连假设，就能像下文那样构建一个具有多种支付规则的示例：假定N=1，且有一个单件物品待售。那个唯一的投标者在该物品上有供给成本，它要么为零，要么为一（因而可能的取值并不形成一个路径相连的集合）。请考虑这个直言机制，其中，只有报出的成本不到一半时，那个项才被购买，且在那种情形中，所付价格是一个p（0）∈（0,1）的数。每一个这样的价格都相当于一个不同的反谋略直言机制，因此在这个示例里，不存在唯一的反谋略价格。对于同样的结果函数α，如果可能的成本由给出，则使（α,pα）成为反谋略的唯一价格，在θ<1/2时是pα（θ）=1/2,在其他情况下就是pα（θ）=0。

尤其是，命题3.3证明，只存在一种支付，即pαn（θ），其导致的结果是，以某种反谋略的方式执行任何特定的胜者挑选规则。所以，在受制于有关拍卖环境诸假设条件下，维克里支付是唯一一类以反谋略方式实现有效率结果的机制。

3.3 作为竞争标准的核

在一个分散的复杂配置问题中，我们应以什么作为“好”结果的标准呢？一方面，效率是重要的：我们很想让一个选定的配置在可能的时候实现价值最大化，或者达到某种近似最大化的状态。另一个问题是价值该如何分享。如我们前面已看到的，以适宜的方式分享价值会鼓励创造价值的投资。而对于一个经济学家来讲，在如何做到这一点上，竞争性定价自然是首选。

在本节中，我要论证，核（core）作为联盟博弈论[3]的一个标准概念，对于各种拍卖问题来讲，是关于竞争性收益的适宜概念。这个概念，不仅表明结果是有效率的，而且还指明参与者之间的竞争会限制每个人能向他人索求的量。

直觉上，核结果的特征是为若干参与者的服务展开竞争，而这些参与者都拥有在待售拍卖品上创造价值的技能或资源。在一个竞争市场中，如果拍卖中卖家和买家都可被一组外部当事方（或者彼此）雇用，则市场出清的竞争性价格——当事方除雇用各参与者的成本外还不得不提供的固定支付——就正好是该联盟博弈的核内收益向量。要用公式表述这一点，我们需要明确某些细节。

局外人可以从获得买家和某个卖家集合S所能创造的最大化价值，被概括为联盟价值函数（coalition-value function）：[4]

在这样的竞争性市场中，买家和卖家为使市场出清的市场拍卖价格是多少？假设局外人承诺，（除参与者因服从局外人的指令而发生的任何成本之外还）向每个受雇参与者支付πn。竞争必然推动局外人的利润趋于零，所以在均衡状态中，雇用买家和任意供给者集S不可能有严格的正利润：

并且，由于一个局外人雇用每个人都是有效率的，在均衡状态中这么做必然导致利润恰好为零：

这为核代表一组竞争性收益的论断提供了正式理由。

为了随后的分析，介绍一个等价公式有时会有帮助。在这个公式中，各约束条件都被表述为任意投标者集的总收益上界。在有关核的定义中，下列等式是其第一部分：

3.4 不在核中的维克里收益

维克里拍卖并不总导致核中的收益。

示例

买家需要获得两个拍卖品，且必要的话愿意为它们支付至25。单件的拍卖品对该买家无任何价值。

有三位卖家，其中每人都能以10的成本创建一台机器制造这两件拍卖品。不过，卖家1和卖家2都各有一件存货，它们在其他情况下都毫无价值。所以，对于两位卖家来讲，供给一件拍卖品的成本为零，而对卖家3来讲，供给一件拍卖品的成本为10。

给定这些成本后，维克里结果x0选择卖家1和卖家2各供给一件拍卖品，因为关联的成本为零。然而，付给每个卖家的维克里价格是10，所以买家的总成本是20，收益是5。

这个维克里结果很麻烦。因为，如果买家已决定只向一个供给者购买并接受按一对拍卖品给出的报价，则每个卖家都会报告成本为10，总价格也会是10，该买家的收益将是15。在为一对拍卖品进行的价格递减拍卖中，同样的结果会是其均衡结果。在这种拍卖中，当前失利的卖家有机会降低其价格以更具竞争力，直至再无卖家愿意把价格降得更低。买家的维克里收益似乎低得不具竞争性，而卖家的收益则似乎太高。

我们还可以运用核这个概念来分析竞争性定价问题。买家和卖家1、卖家2能自行达到有效率配置，所以c（1,2）=c（1,2,3）=25。因此，根据核的定义，我们有π0+π1+π2+π3=25，以及π0+π1+π2≥25和π3≥0。所以，这个不等式是紧的，它隐含着π3=0。还有，π0+π3≥c（3）=15，因此π0≥15。译成文字的话，就是在核中，买家的收益必须至少为15，而两件拍卖品对买家的成本必须不超过10。

总之，维克里结果不在核中，其原因是给拍卖师（在这些例子中是买家）的收益太低了。随后奥苏贝尔和米尔格罗姆（Ausubel and Milgrom,2002）报告了以下关于该结果的一般性陈述。

命题3.4

证明

3.5 维克里拍卖和投资激励

维克里拍卖的一个优点是，在他人投资既定的情况下，它能为个人投标者的投资提供极好的激励。但总的来看，维克里拍卖仍然会出现因投标者之间的各种协调问题导致的无效率投资。

命题3.5

在维克里拍卖中，在给定其他投标者类别的情况下，如果单个投标者m的投资恰好能增加所有参与者的总价值，则该投资将获益。公式如下：

关于命题3.5的直观理解再次凸显了维克里支付的性质。对这些支付的计算使得即使m将其所报类别从θm改为θ′m，也不会对其他参与者的总收益有丝毫影响。结果，第一行中m的收益差等于第二行中的总收益差。

为了聚焦于投标者的投资，我们用公式阐述一种简化的博弈。在此博弈中，每个投标者都被赋予某投资选择权并选择是否行使它。每个投标者都面临两个选择：投资或者不投资。这个模型直接计算收益，而省略了维克里拍卖中的投标者报告其选择，就像每个博弈者肯定都采用其维克里拍卖中的占优策略一样。在这种博弈中，一种策略组合是一个元素σ∈{投资，不投资}N。令σ∗表示使总收益最大化的投资决策组合。于是，命题3.5直接意味着如下判断。

命题3.6

有效率的投资组合σ∗是该投资博弈中的纯纳什均衡。

尽管有这样的肯定性结果，但仍有一个问题：在该投资博弈中也可能存在无效率的纳什均衡。

示例1

假设有一个买家想要购买两个单位的某物品，且对物品的估价为10，而对其他任何事物的估价为零。卖家1和卖家2各自不可能单独生产任何东西。不过，每个卖家都能够通过投资1获得以成本2生产一单位该物品的能力。这样，如果两个卖家都投资并诚实报价，就能实现数额为4的最大总价值，在这种情形中，维克里价格是8和8。然而，除非另一个卖家也投资，否则两个卖家就都会认为投资是无利可图的。

在标准的形式中，该博弈看上去如下表所示。行对应于卖家1的决策，列对应于卖家2的决策。每个格子中的第一个数是卖家1的收益，第二个数是卖家2的收益，第三个数是买家的收益。

沿该收益矩阵的主对角线存在两个纯纳什均衡：（投资，投资）和（不投资，不投资）。这个模式是典型的“协调失败”，且在这个例子中，它会导致投资不足。请注意，随之而来的（投资，投资）维克里价格太高（每个卖家为5），使买家在交易中损失6：他支付的总价格是16，但得到的物品在他看来只值10。这是一个核外收益向量的例子。

除了这两个纯均衡外，该博弈还有一个混合均衡。其中，每个卖家都按1/6的概率投资；且在此均衡中，每个卖家的期望收益都为零。

在示例1中，这两个卖家提供了互补投入，这些投入只有在被一起使用时才有价值，而其结果则是有几乎得不到投资的均衡。另一种无效率也是可能的，且即使在物品为互替品时仍可能出现这种情况。下面就是这样的一个示例。

示例2

假设买家想要获得一单位的某物品，并对其估价为10。卖家1和卖家2若不进行投资就不能单独生产任何东西，或者，两卖家中的任何一方都可以投资以成本2生产一单位该物品。投资的成本对卖家1是1，对卖家2是2，所以，有效率的结果是卖家1投资，卖家2不投资。如前面的例子一样，卖家1是行博弈者，卖家2是列博弈者，而第三个数字是买家的收益。

同样，存在两个纯纳什均衡，不过这次它们占据了相反的对角线。因此，在这两个均衡中都有一方投资，另一方不投资。在这个均衡中，卖家2的投资成本较高，使他的投资成为浪费：它无法实现总收益最大化。除了这两个纯均衡外，还存在一个混合均衡。在该混合均衡中，卖家1的投资概率为3/4，卖家2的投资概率为7/8，且在均衡中两个卖家的期望收益均为零。

因此，我们对投资激励措施的一般结论是混杂的。在有限的意义上，个体激励指向正确的方向，即在给定其他人投资的情况下，每个卖家会以符合总收益最大化的方式选择自己的投资。但这些示例彰显了无效率以某种方式发生的两个途径。在第一个示例中，各方的投资是互补的，而每个投资者都对另一方没有把握。如果一个博弈者预料另一方会规避投资，那么他也会规避投资，从而导致无效率的结果。在第二个示例中，存在着只适于一个投资者的空间，从而若某一方进行投资，竞争就会使第二个人进行同样的投资变得无利可图。在第二个示例中，可能是错误的一方进行了投资，且没有任何有效的力量避免或矫正这种无效率。

3.6 互替品条件下的维克里收益

在我们的核外收益示例中，除非卖家2也有存货，否则卖家1的存货对该系统就毫无价值，因为他们的物品是互补品。这并非偶然：因为我们已证明，当维克里收益能够“确保”处于核内时，互替品才是决定拍卖特征的恰当条件。严谨的陈述都不易把握，需要仔细量化，所以有经验的读者应注意后面所述命题中的细节。

后面的结果都用一个公式来表述。在该公式中，各卖家提供的物品可以不同，也可以相同，而买家则寻求购得某类物品。因有L种不同的物品类别，所以这种分类就由一个向量代表，而卖家n供给一个向量。买家对各物品有一个估价向量，它被标识为。这可以代表该买家为自己生产或以非拍卖方式采购每件物品的成本，或者可以代表该买家用其他物品替代时的机会成本，或者可以代表该买家在无法获取该物品时因缩减运营规模而蒙受的损失。

与先前公式化阐述的模型不同，在这个模型中，各卖家可以提供多种物品，且有的种类可以由一个以上的卖家提供。

3.6.1 伴有物品的维克里公式

我们发现，当物品对投标者而言是互替品时，该维克里结果是在核内的，所以在这样的情形中，卖家的收益并非低得不具竞争性。要正式得出这一结果并理解在何种程度上需要如互替品那样的条件，我们还需要两个定义。第一个定义源于一种想法，即维克里收益有可能取决于哪些投标者实际参与拍卖。如我们在前文已看到的，单靠将维克里支付代入该收益公式，我们就能将投标者n的维克里收益写成πn。我们将为其他投标者集写出相同的公式。同样，我们要定义一个条件，它认定，当我们扩大投标者集时，这个差是递减的。

定义

1.如果用S来标识参与某拍卖的投标者集，则投标者n∈S的维克里收益就是。

2.将联盟价值视为投标者子模块（bidder submodular）的条件是，对于任意的投标者集S和任意一对投标者n、n′∈S，有c（S）-c（S-{n}）≤c（S-{n′}）-c（S-{n,n′}）（或者等价地，n∈S⊂T内含π∗n（t）≤πn∗（S））。

与这些定义相关联的两个主要结果都来自奥苏贝尔和米尔格罗姆（Ausubel and Milgrom，2002）。

命题3.7

当且仅当联盟价值都是投标者子模块时，在伴有物品的维克里公式中，对每一个S⊆，都有π∗（S）∈core（S∪{0},c）。

因此，投标者子模块条件是充分条件，且在某种特殊意义上它还是必要条件。给定一组投标者，如果我们不能确定哪些投标者会参与拍卖，则只要联盟价值是投标者子模块，我们就能确定维克里结果将在核内。

命题3.8

在伴有物品的维克里公式中，若在每个卖家的成本函数中物品都是互替品，则联盟价值就是投标者子模块。

如我（2004）提出的，命题3.8也有一个逆命题，但我们不在此处讨论。

我们用初等方法证明命题3.7。对命题3.8的最简单证明采用对偶理论，且对初等处理来讲可以被略过。

命题3.7证明

引理3.9

引理3.10

引理3.11

命题3.8证明

第一个不等式来自引理3.10，第二个不等式来自引理3.11。接下来，引理3.9告诉我们，对于每一个k,uk都是非递减的，并有递减的差，所以

引理3.9的证明

引理3.10的证明

引理3.11的证明

我们只需要扩展

3.7 维克里拍卖的其他缺点

我们已经观察到，维克里拍卖的一个缺点是，它在有些示例中会导致拍卖师的低收益。也就是说，拍卖师若是买家，会有高成本；若是卖家，会有低收益。奥苏贝尔和米尔格罗姆（2006）还给出了其他的相关缺点。在这里，我们考虑一些至今较少被注意的缺点。

3.7.1 报告的复杂性

在维克里拍卖中，要求每个投标者对可能被分配的每一拍卖品束报告其报价。在一场有N件拍卖品的拍卖中，存在2N种可能的组合，这个数随着N的上升很快就会变得难以处理。

不过，有的时候，在一定情况下，如采用某种简洁的语言表述偏好，是有可能进行某种实用性封标拍卖（sealed bid auction）的。在这里，我们不展开投标语言方面的理论。有兴趣的读者，若想了解陈述替代品偏好的投标语言，可以参考哈特菲尔德和米尔格罗姆等人研究（Hatfield and Milgrom,2005;Milgrom,2009）；若想了解某种表达偏好（包括特定互补性）的简洁术语，应参考埃拉特和米尔格罗姆（Eilat and Milgrom,2011）。

3.7.2 计算上的复杂性

维克里拍卖的第二个缺点是，它需要的计算对于某些应用来讲有可能是无法实现的。首先，仅仅计算维克里结果x0∗（θ）就需要求解一个最优化问题。当拍卖参与者的选项是离散的且物品又都不是互替品时，最优化有可能极难。在这样的情形中，按照（8）式为每个胜出者m计算一个维克里价格需要一个次优化来确定π-m（θ-m）。

当不可能做到精确计算时，通过将近似最优化代入维克里公式来确定分配和价格的拍卖，是否有可能与维克里拍卖几乎同样有效地运作呢？在大量无法实现最优化的问题中，答案经常是“不可能”。例如，请考虑在一次拍卖中有大量投标者N，其中有或多或少固定比例的投标者会胜出。最优价值按比例与N同步增长，但要支付给每个胜出投标者的价格基本上保持不变。这样，因遗漏一个投标者而在最优价值估计上出现1%的误差就相当于N%的定价误差。同样的认识也适用于任何既定大小的误差。即使凭借极好的近似最优化，在估计维克里价格上的误差仍会随问题的变大而难以承受地增大。

这是互替品条件能有助益的另一种情形。因为，当物品为互替品时，一种模拟第2章中凯尔索-克劳福德模型的算法能快速地算出稳定（从而是有效率）的配置。

3.7.3 伴有财务约束的投标者

在我们的维克里拍卖模型中，我们假设投标者都是卖家，而买家的情形是对称的。在最简单的模型中确实如此，但财务约束的作用可能因买家和卖家而不同，且有可能颠覆关于反谋略性方面的结论。所以，仅在这一节中，让我们假设，投标者是买家，并思考能购买一两件某物品的投标者面临的一个问题。该投标者拍得一件物品能获得数额为10的利润，两件物品能获得数额为20的利润。但是，资金出借人只愿意向参与拍卖者借出数额为10的资金。如果该投标者对任何成套拍卖品的报价都不可能超过10，他该如何报价？对两件拍卖品组合报价为10永远是最优的，但对刚好一件拍卖品该报价多少呢？重要的结论是，答案取决于别人如何报价，即该投标者没有任何占优策略。

为此假设，只有一个参与竞争的投标者。我们考虑两种情形。在第一种情形中，竞争者对单件拍卖品报价为5，对两件拍卖品不报价。在这种情形下，第一个投标者的最佳结果是以数额为5的价格购得两件拍卖品。他只需对单件拍卖品报出低于5的价格即可。但在第二种情形中，竞争者对单件拍卖品报价12，对两件拍卖品报价18。那时，第一个投标者的最佳结果是以数额为6的价格购得一件拍卖品，而这只能靠对一件拍卖品报出高于6的价格实现。这两种最佳反应的要求是不相容的，所以该投标者没有任何占优策略。

如果卖家不接受足够高的价格就不能为一定的可盈利项目筹到资金，则财务约束同样会影响卖家。这一示例与前面投标者为买家的示例很相似。

3.7.4 理解规则

在实际的拍卖设计中，一个重要议题是创建投标者能够理解并吸引投标者参与的规则。从这个角度看，维克里拍卖的一个重要缺点是其价格有可能很难解释，或者，如前面所说，它的价格甚至难以计算和证实。然而，这个问题还不限于那些在计算上很复杂的拍卖。即使在单件拍卖品的次优价拍卖中，实验室中的人类投标者也屡屡无法按其占优策略报价（Kagel et al.,1987;Kagel and Levin,1993;Li,2015）。向投标者解释规则可能很难：在实验中，即使在向次优价拍卖中的投标者解释了优势所在之后，他们仍可能继续采用劣势策略（dominated strategies）。在维克里拍卖中，最优报价活动的逻辑有可能很难理解，且在更多的情形中将变得更难。

3.7.5 合伙背离

最后，各种维克里拍卖都难以抗拒有利可图的合伙背离（joint de-viations），即使背离由失利投标者发起亦然。例如，假设买家可以向卖家1购买，也可以向卖家2和卖家3购买。在这两种情形中，买家购得所需之物得到的价值都是100。假定，在供给其物品上，卖家1有一笔数额为15的成本，而卖家2和卖家3则各有一笔数额为10的成本。这个维克里结果是卖家1获胜并接受数额为20的价格。

在这种情形中，如果失利的卖家2和卖家3串通起来，达成分别报价X和Y的协议，会出现什么情况呢？如果X+Y<15，那么这两个合谋者就赢得了这次拍卖。并分别接受数额为15-Y和15-X的价格。例如，如果X=Y=1，那么这两个合谋者胜出并各自接受一个数额为14的价格：对他们来讲，这是一笔好买卖，尽管对买家并非如此！请注意，这笔交易确实增加了这两个合谋投标者的收益，且实际上没有要求其中的任何一方向另一方付款。有利可图的合谋若需要现金转移，就可能留下某种可被发现的货币痕迹，从而抑制这类交易。然而，对无须转移就能起作用的合谋，发现和证明起来就要难得多。有可能发生这类合谋是维克里机制的一个潜在弱点，在任何实际应用中都需要评估这个问题的重要性。

3.7.6 价值的私密性

最后一个问题是维克里拍卖都要求投标者提交高机密的信息。投标者有可能抵制维克里拍卖，因为投标者的估价都是高度机密的（Rothkopf et al.,1990）。其原因在于，他们的报告影响的可能不只限于拍卖价格；这些信息还可以在后续谈判中被劳动者、供应商和合伙人用来从投标者那里获取更好的条件。

3.8 总结

维克里拍卖因其引人瞩目的特性，使经济学对它早有研究。

•维克里拍卖使诚实报告对投标者而言最优，并能选出实现价值最大化的配置。

•维克里拍卖是唯一具备两种特性的拍卖机制。

•当物品是互替品时，维克里支付导致在核内的结果。而我们已证明，这意味着该类结果在相当意义上是竞争性的。

•然而，在有些示例中，维克里支付导致不在核内的结果。这样的结局总是使拍卖师的收益绝对低于其在任何核内配置中的收益，同时使每个投标者的收益略高于他们在任何核内配置中的收益。

•当一个投标者，即卖家单独做出一笔投资时，使所有参与者总收益最大化的同样选择也会使该单独投标者的收益最大化。

•当有多个投标者-卖家能投资以减少其成本时，就存在该投资博弈的一个纳什均衡。在该均衡中，每一个卖家的投资都是有效率的。

•不过，也可能存在伴有无效率投资的其他纯纳什均衡，这要么是因为投资水平不当（过低或者过高），要么是因为错误的投标者进行了投资。

•尽管有种种优点，维克里拍卖也有若干可能很重要的缺陷：

°拍卖师的维克里收益有可能非常低，即使有失利的投标者愿意提供更好的交易时亦然。

°在封标机制中，投标者可能不得不就数目很大的组合确定估价，这可能令人生畏。

°在有的情形中，投标者受制于财务约束（如信贷限制或预算限制），使他们能给出的报价水平受到限制。在这些情形中，维克里拍卖不拥有任何占优策略属性。

°计算一次维克里拍卖中的配置需要求解一次最优解，这在某些情形中可以是极具挑战性的。为每个获胜投标者计算价格都需要另外求解一次最优解，所以，若有k个获胜者，拍卖师就必须求解k+1次最优解。在实践中，这些计算有可能使维克里拍卖难以被投标者理解，从而有可能使他们采用劣势策略或使他们全然丧失投标的勇气。

°在维克里拍卖中，出局投标者有时能够进行有利可图的合谋以变成获胜投标者。而且，合谋有可能对所有相关当事方都完全有利，从而无须合谋者进行可能被察觉的现金转移。

°维克里拍卖要求投标者如实地报告估价，但投标者也许想要隐瞒那样的信息，因为那些信息可能会影响未来的谈判。这种动机有可能毁灭该机制的如实报告特性。

[1] “Back-formation”，亦称“逆构词法”，系词源学术语。逆构法是一种创造新词的方法，其主要做法是从已有的词中去除实际的或假设的词缀，由此产生的新词被称为“逆构词”（维基百科）。——译者注

[2] 当我们在后面用公式阐述最大化问题时，我们将假设，从一个有限集合中做选择就足以确保解的存在。在给定有其他办法确保所需最大值存在的条件下，随后的发展中有很多发展即使没有该有限性假设也是有效的。

[3] “coalitional game theory”，亦称“cooperative game theory”，即合作博弈论（维基百科）。——译者注

[4] 这个符号标识中，联盟价值对买家存在的依赖被取消了，这使它不同于常见教科书中对联盟价值函数的定义。