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第16章 蝴蝶效应
美国土木工程师学会1951年发表了一篇题为《水库的长期库容量》的短论文，此时，旋风计算机项目还刚起步，杰伊·福里斯特也还没有开始研究经济的稳定性问题。那篇短论文的作者是水文学者H·E·赫斯特，他自1907年以来一直在为尼罗河大坝项目工作。从这篇文章的标题来看，它与福里斯特后来所发展的经济周期模型之间应该没有什么瓜葛，然而，实际上它们之间是有联系的。赫斯特最初的目的是找出计算大坝库容量的方法。然而，水库系统所发生的情况和我们所遇到的经济中的库存量问题之间，存在着有趣的相似性——就像福里斯特的游戏那样。
赫斯特的问题实际并不简单。最重要的是预测来自流域内的每条河流与每个湖泊的泄水量的自然波动情况。显然，这里有许多统计问题，包括降雨量、径流量以及支流的来水量等。赫斯特描述了自1904年以来的泄水量，但是，他如何能够确信这么有限时间段的情况也能代表未来呢？一旦大坝决堤，那会发生什么样的灾难呢？
肥尾问题
大多数具有统计学基础知识的人可能一开始就会面临类似这样的简单问题：
自然现象一般符合高斯分布——即所谓的钟形曲线分布。泄水量也必定符合这种分布，现在已经有超过40年的观测值，就很容易计算出其均值和标准差。把这些参数代入高斯分布方程，就可以计算出任何超出临界水平的波动的可能性。
解决方案就是这么干净利落而且简单明了。但是，赫斯特知道还是有问题，因为许多自然现象与高斯分布比较起来，存在比期望的高点还要高的“肥尾”。这就意味着存在出现极端结果的倾向。
赫斯特相信自然系统一般有三个特征。第一，存在正向反馈。从这个意义上说，任何初始的随机事件都有“自我放大”的倾向。这能够解释事件趋向极端结果的问题。第二，存在意外的成分。第三，存在某些阻断趋势演化的“断路器”。他发明了一个简单的卡片游戏来演示这类行为，而这个游戏的结果表明肥尾问题确实存在。此后，他决定发明一个数学方法来检验具有这种行为的系统，他把这种方法称为“重标定域”分析。他采用了三个基础变量和一个常量：
N，观测值的个数，例如天数、年数或者其他。
R，在所记录的N个观测值中最高值与最低值之间的距离（“域”）。
S，标准差，即每个观测值与所有观测值的均值之间的平均差异。
a，一个常数，表示所调查的任何自然案例的个体特征。
而后，他介绍了下面的关系式：
R/S=（a×N）H
方程中的“H”揭示了系统中存在的反馈现象。正常的高斯分布的“H”值为0.5。具有无限负向反馈系统的“H”值为0，而具有无限正向反馈系统的“H”值则为1。赫斯特用这套方法对许多自然系统的行为作了检验，发现多数的“H”值高于0.5。换句话说，多数自然系统具有较强的正向反馈过程，因此存在肥尾问题。
贝诺·曼德伯
另一位受到肥尾问题困扰的科学家是贝诺·曼德伯。当赫斯特正在埃及，临近日暮小酌一番，或者远眺开罗满是灰尘的街景之时，曼德伯可能正在赶往位于美国约克镇高地IBM公司的高科技研究中心。曼德伯涉足各种数学问题，无意中发现了与赫斯特完全一样的问题：在大多数令人惊奇的地方存在着肥尾现象。哈佛大学的亨德里克·霍撒克的办公室黑板上就有这样一个例子。1960年，曼德伯被邀请来这里作一次演讲，当他走进霍撒克的办公室时，他注意到黑板上画着带有两个肥尾的钟形曲线。霍撒克解释说，这个图形表示棉花价格变化的统计分布。
在某种程度上，棉花可以作为理想的统计测试对象，因为其每天的价格数据都是准确的，而且可以追溯的历史很长。曼德伯演讲结束后离开的时候，带走了一个箱子，其中装有霍撒克用来记载棉花数据的计算机卡片。后来，他又从农业系拿到了更多数据，这些数据包括1900年以来的棉花价格变化情况。通过对这些数据的分析，他发现不管是每日数据还是月度数据，都存在肥尾分布的现象。
法老与经济周期
曼德伯对两种动态性质作了区分：
·“诺亚效应”或者“无限方差综合征”。很小的移动被暴力阻断，由于干扰而造成不连续的跳跃。
·“约瑟夫效应”或者“H光谱综合征”。它是指价格按照趋势移动的内在倾向，像赫斯特所描述的那样。
他看到棉花的价格变动反映了这两种效应，部分出于偶然，部分出于必然。当经济系统受到外在的、没有预见到的事件摆布的时候，就会发生诺亚效应。至于约瑟夫效应，用曼德伯的话来说，当“统计相关性缓慢衰退”的时候，就会出现这种效应。约瑟夫效应意味着，在时间持久的情况下，每个观测值在统计上依赖于此前的若干观测值。在为这种动态性质选择名称时，仍然是《圣经》给了他灵感：
“约瑟夫效应”这个术语，当然是来自于《圣经》中7个丰年与7个歉收年的故事。法老一定很清楚长久以来尼罗河水量每年的高低变化，所以其变化表现出很强的长期依赖性以及类似经济周期的形态，但是其中含有或明显、或隐匿的正弦曲线成分。
计算机困惑
曼德伯并不是唯一探究非线性行为的科学家。在麻省理工学院，气象学家爱德华·洛伦茨曾经在电子管计算机上编制程序来模拟天气预报。这台“皇家麦克比”计算机完成了一项所有计算机都非常擅长的工作：链式计算。首先，他输入每天天气状况的数据，例如风速、气压、温度和湿度。在输入这些数据之后，皇家麦克比就会计算出第二天的天气情况数据，然后再利用这些数据来计算第三天的天气情况，依此类推。只需大约一分钟的时间，皇家麦克比就能够模拟24小时的天气变化情况。
1961年的一天，也就是在同一个机构的杰伊·福里斯特开始研究系统动力学之后5年，洛伦茨看着计算机的模拟结果，却后悔过早将其中断了。于是他决定继续这项模拟，这就需要作一小段的重复计算，以检查、确认它是对上次模拟的继续。为此，他把数据打印出来，并把每天的数据仔细地复制到计算机中。然后，他让计算机开始模拟运算，自己下楼喝咖啡去了。一小时之后他回到屋子，发现了颇为奇怪的事情：两次计算的重复部分，实际上并没有像原本所设想的那样出现重叠。系统中的每一部分完全是预先决定好的：输入的数据和方程式都是他自己控制的，而且在两次运算中也是完全相同的。但是模拟结果出现了差异，开始的时候很小，后来就很大。哪儿出错了呢？
问题在于打印纸张的尺寸。这张纸上仅能打印三个小数位，因为没有空余的地方打印更多的小数位。他把仅仅带有三位小数的数字复制到计算机的程序中，尽管程序的运行实际上只有六个数据。因此，重复部分计算结果出现差异是因为初始数据是带有四位小数的数字。他对此想得越多，越是觉得难以置信：显然，无法进行长期的天气预报，除非知道带有四个甚至更多小数位的温度之类的气象数据。如果某个地方某天的温度是21.563摄氏度，或者如果它实际上就是21.563975摄氏度，那我们还是不足以知道长期的气象状况。要想获得全部这类数据，并且是覆盖全球的数据，那绝对是不可能的。没考虑要引起公众的注意，洛伦茨便把他的观察结果发表在《大气科学杂志》上，文章的题目是《确定性非周期流》。
如果有人读过这篇文章，他们并不会觉得大惊小怪。在此后的10年时间里，它被其他作者引用的次数还不到10次。但是，在1972年，马里兰大学物理科学与技术研究所的一位科学家看到了这篇文章，感到非常兴奋。他把文章复制下来并且发给所有对此有兴趣的人。有一天，他把文章发给了在同一个机构工作的数学家詹姆斯·约克。约克理解这个信息的重要价值：长期不可预测性可能是非线性系统的内在性质。1975年，他发表了关于这个主题的论文。这篇文章刊载在知名的《美国数学月刊》上，题目就是谁也无法忽略的《周期3意味着混沌》。
后来，人们采用文章标题的最后一个词来表述那些确定的，但又复杂而不可预测的现象。当我们用标准的统计方法来检验系统行为时，它表现出随机性，但实际上它也具有确定性——因此根本没有随机性的系统，所以通常就用“确定性混沌”来描述它。
蝴蝶效应
洛伦茨1979年发表了一篇论文，题为《可预言：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？》。很显然，他也在向约克学习。如果以读者作为衡量成功的标准，那么他这一次成功了。混沌这个概念变得流行起来，科学家们也开始研究无所不在的混沌现象。洛伦茨的文章解释了在巴西的一只蝴蝶能够决定6个月之后在其他某个地方是否会发生一场龙卷风。假使气象学家掌握了这个世界的力量，而且决定把天气预报作为人类生活的主要目标，把气象站覆盖到整个地球表面，每隔一英尺就设立一个小的气象站并且延伸到大气层之外——即使这样，他们也无法进行长期的天气预报。即使数十亿个这样的气象站连续不断地把数据发送给一个巨型的中央计算机，这台计算机安装了完美的数学模拟软件，它也还是不能作长期的预报。因为可能会有一只蝴蝶在某两个测量站点之间轻轻飞过，引起了一阵很微弱的风，而气象站无法对其足够准确地加以记录——而且未被记录的空气运动的影响会通过正向反馈机制得到放大，以判断是否会发生一场龙卷风。至此，洛伦茨的观点已经阐释得很清楚：反馈系统对初始条件非常敏感——这个性质后来被称为“蝴蝶效应”。
靠不住的东西
不仅仅是经济学和气候学，生态学的反馈系统也臭名昭著。当罗伯特·梅1971年设计一个模拟鱼群数量的数学程序时，他遇到了一个奇怪的现象。他设计的方程式是为了计算一个鱼群在不同的假设条件下会成长到多大。当他把所选择的参数值输入计算机时，模型对鱼群生态系统的动态进行了模拟，直到鱼群数量达到某个固定水平时便逐渐稳定下来。如果他改变了参数，它又会在另一个新的均衡水平上稳定下来。
其中有一个变量是生育能力，就是鱼生子的能力。如果生育力非常低，鱼群显然会灭绝。在高生育力的情况下，它会达到不同的均衡点。奇怪的是，如果他输入一个很高的生育能力数值，模拟的结果却找不到均衡点，鱼群数量处于无休止的波动状态而没有任何明显的模式。造成这种混沌行为的一系列数学反馈可以用下面的方程式表示：
X（n+1）=r×X（n）×（1-X（n））
这个方程表达式非常简单。左边的意思是“下一期的X值”，这个下一期的X值要通过右边的算式计算出来，它是常数r与当前的X值相乘，再与1减去当前X值的差相乘的结果。这种微小（而且非常简单）的反馈机制在参数值很低的情况下会实现均衡，但在r值很高的情况下则会造成混沌。这很有趣，不仅仅让人觉得愉悦，而且在模拟许多动态系统时这种方程也是通用的，包括经济学。就像一个大的DNA分子中的一个小小的基因，这种算法隐藏在一个大的模拟方程中。除非用计算机对所模拟的系统作大量的因素分析，否则根本不会注意到它的影响。因此，正如查尔斯·巴贝奇早就预言的那样，计算机真正给科学带来了革命。
周期的同步
许多刚开始思考经济学问题的人当时并不是真正的经济学家。魁奈和朱格拉两人是医生，萨伊、瓦尔拉斯以及帕累托是工程师，而纽科姆则是一位数学家与天文学家。如今，正是来自其他学科的人员在触发混沌理论的研究。突然之间，我们发现世界各地的物理学家和数学家们正在作经济模拟。哥本哈根也在发生这样的情形，在埃里克·莫斯基尔德的领导下，一班人正在琢磨改进版本的福里斯特的经济周期模型。他们想要研究周期的同步性是否可能导致经济发生大萧条，就像熊彼特和福里斯特所指出的那样。考虑一下这种情况：如果存在几种周期现象，那你就不能把总产出仅看成是单个振荡运动的加总，就像熊彼特在1935年所画的图形阐释的那样。可能的结果要比这复杂得多，因为每一种周期现象可能会与其他周期现象产生相互影响与干扰。他们决定用康德拉季耶夫周期模型分别经受基钦和库兹涅茨周期振荡的情况来检验这个假设。图16-1说明了他们的康德拉季耶夫模型是如何变化的。
图16-1 一个康德拉季耶夫周期的模拟
结果，他们的康德拉季耶夫周期模型平均长度为47年，图中的3条曲线分别表示产能、产量与订单，其中订单首先改变，而后是产量，最后是产能。这个模型显示了由于资本货物部门的自我订购（资本货物生产部门自身订购资本货物，但存在着时滞）而使经济系统具有内在的不稳定性。
这些研究者们现在继续创造一个模型来模拟库兹涅茨周期，结果发现周期的长度为22.2年。如果把库兹涅茨周期叠加到康德拉季耶夫周期上，又会发生什么情况呢？他们做了试验，结果发现康德拉季耶夫周期的长度自动拉长了大约40%，这样每个康德拉季耶夫周期就与3个库兹涅茨周期同步（见图16-2）。
他们还创造了一个模拟基钦周期的模型，计算机给出该周期长度的计算结果为4.6年。他们再次把基钦周期叠加到康德拉季耶夫周期上面进行试验，结果发现每个康德拉季耶夫周期自动与10个基钦周期同步。只要他们把固有的基钦周期长度设定在4.47～4.7年之间，就会完整地保持这个结果。但是，当基钦周期长度超出这个区间的时候，同步性就变得更加复杂。他们还证明了这个同步过程对振荡幅度具有敏感性。图16-3显示了基钦周期长度保持在4.6年时的同步情况。
图16-2 康德拉季耶夫周期与库兹涅茨周期之间的自动同步模拟。这个模拟由图16-1中的康德拉季耶夫周期模型与一个设定时长为22.2年（这大致相当于典型的库兹涅茨周期长度）的外部正弦曲线的振动合成。
图16-3 康德拉季耶夫周期与基钦周期之间的自动同步模拟
图16-4 康德拉季耶夫与外部周期同步的拓扑空间。图形显示当具有不同振幅与期限的周期叠加时，康德拉季耶夫模型是如何反应的。
在他们的实验中，图16-4所显示的情况看起来完全不同于引入混沌理论之前所作的任何经济模拟（而且可能用于心理学的测试——对作者来说，它看起来就像长颈鹿被帆船包围着）。这幅图形实际显示的就是所谓的“拓扑空间”。科学家们再次将他们的康德拉季耶夫模型用每次设定的周期振幅与期限叠加成其他周期。他们一次次重复这样的实验，直到所设定的振幅与期限覆盖了很广的范围。这个图形中的横轴表示周期的期限（从0到60年），纵轴表示振幅。图形中的每一个点都是完整模拟的结果，阴影区域表示康德拉季耶夫模型与外部周期产生同步时的结合，白色区域则是发生混沌时的结合。每个阴影中所写的比率则是每个康德拉季耶夫周期中所出现的外部周期的个数。
图16-5 周期同步性的费根鲍姆瀑布
让我们看一下最后一幅图形，见图16-5，这是所有图形中最奇特的一幅。它显示的是多次计算的结果。其中，在每次实验中，叠加的外部周期长达19.6年，但是每次计算的振幅（横轴）都有一点改变。这幅图中的纵轴刻度是实验所发现的资本形成的最大值。图形表明了如何从单一的答案演变成两个、四个、八个等答案，而且最终出现了混沌。
混沌的主要含义
混沌理论让我们了解到非线性系统是如何运行的。它也启迪我们在科学、工程、软件编程等许多方面发展出新工具。这类系统最重要的特征是：
·对初始条件极其敏感（爱德华·洛伦茨的“蝴蝶效应”）。这就意味着在长期预测方面存在着突出的障碍。
·自相似性（曼德伯“肥尾”处于不同的尺度范围内）。模型在不同的尺度范围具有看起来相似的趋势，但是永远不会自我复制成完全相同的微小模型。
·有多个吸引因素存在于某些参数间隔。在特定时间内，系统可能很容易有几个稳定的解决方案，而随机冲击可能会将其从一个稳定位置推到另一个稳定位置。
混沌理论家的工作使我们对某些经济与金融系统的性质有了基本的了解，这使我们更容易确定在各种不同的状态下，哪一组实用预测工具是有效的。就经济学的其他基本数学方法而言，系统动力学特别重要，例如在统计学、计量经济学、神经网络与人工智能方面。我们不妨想象一下，某人可能正在使用设定好的长期预测计量模型，现在我们运用混沌理论的工具来检验这个计量模型在政策空间内的行为，或许会发现它出现了混沌。在这种情况下，我们的结论可能是，要么模型总体上是不正确的，要么不能用它来预测这个系统。或者，它可能表明系统仅仅在某些边界内才能被预测。系统动力学能使我们对要处理的问题有一种更好的感觉。
混沌的这类含义让人有些难以置信。因此，当萨缪尔森在1939年揭开非线性动力学领域的面纱时，他无法作出预测（这也是由于缺少电子计算机）。当人们进行狂乱的投机时，他也没有发现人们心里在想些什么。这个问题我们留到下一章来研究。
要想更好地理解经济，就必须使用一种综合的分析工具。下表对一些最重要的数量分析工具进行了简明介绍：
（续）