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第10章 星际遨游
■期权理论的历史■结识并与费希尔·布莱克一起工作
■布莱克-德曼-托伊模型
华尔街从来就不是一个学术之地。但从1985年年底我进入高盛后，我就一直听人满怀敬畏之情谈论费希尔·布莱克（Fischer Black）。他是期权定价公式布莱克-斯科尔斯模型的共同开发者，也是高盛量化策略小组的负责人。我进入高盛不久后的几个月内，在一次会议上见过他，但直到债券期权交易部门的交易员为我们安排了一次会议前，我从没跟他说过话。
很多交易员鄙视模型，而有些交易员则过于盲目地依赖模型。我们的债券期权交易员知道，他们需要基于一个普遍使用的期权定价模型，分层构建并应用那些深奥的交易智慧和技巧。他们明白他们对模型的需求高于拉维最初设计的模型，于是他们就要费希尔继续研究下去。由于我刚来不久就发现并且解决了拉维模型中一个很小但却很重要的前后不一致的问题，并借此获得了一些名声，于是这些交易员们建议我加入费希尔的团队，尝试开发出一个更好的模型。
在我上29楼费希尔的办公室去找他之前，为了向他展示我已经做的工作，而且不方便说出来的是，我还想看看他是否愿意让我加入他的团队，我阅读了很多期权理论历史方面的材料。
20世纪70年代之前，没有人知道如何令人信服地给出期权价值的估计。股价上涨时看涨期权获得收益，这好像就是在赌马：你越对股价未来走势有信心，你就越愿意为看涨期权支付更多期权费。每个人都有自己认为的合理价格。
接下来在1973年的时候，费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）发表了以他们名字命名的用于期权估值的布莱克-斯科尔斯公式。同年，罗伯特·默顿对于这一公式中一个引起争议的地方给出了更为严密、见解更为深刻的解释。最后，默顿给出的公式代替布莱克和斯科尔斯的公式而成为标准形式。默顿和斯科尔斯由于这项工作而获得1997年诺贝尔奖，费希尔理应获得相同的荣誉，但因他在1995年去世而与诺贝尔奖失之交臂。如果他足够幸运能多活几年，那么他可能就会是诺贝尔奖的共同获奖人。
我一直觉得难以理解的是，为什么诺贝尔委员会不在费希尔去世之前为期权理论颁发诺贝尔奖。金融圈里的每个人都知道费希尔、斯科尔斯和默顿获得诺贝尔奖只是时间早晚的问题。而且，那几年大家也都知道费希尔得了致命的喉癌。我曾听有人推测说，诺贝尔委员会不愿意将诺贝尔奖颁给在业界工作的人，特别是一个在利润丰厚而又不搞理论研究的投资银行领域工作的人。
费希尔是哈佛大学毕业的应用数学博士。当他开发布莱克-斯科尔斯模型时，他还在担任Arthur D.Little公司的管理咨询顾问。人们不会将管理咨询业视为能够出现开创性理论学家的领域，但费希尔一直以来都以其源于实践的、非正统的背景为荣。他在期权领域内的贡献被认可后，他成为芝加哥大学的金融学教授，后来成为麻省理工学院的金融学教授，最终在1984年离开学术界而转投高盛。尽管莫顿和斯科尔斯都保持着他们在学术界的身份，但他们都在不同时期成为所罗门兄弟公司的顾问或雇员，后来在1994年，他们又成为长期资本管理公司的合伙人和吸引投资的招牌。长期资本管理公司是一家杠杆对冲基金，由约翰·梅利韦瑟（John Meriwether）和他的前所罗门公司“套利小组”来管理。我注意到在1997年诺贝尔奖的颁奖词中，只提到了默顿和斯科尔斯分别所属的大学，而没有提他们所属的公司，也许诺贝尔委员会真的对商业世界存在反感。尽管诺贝尔奖听上去高不可及，但诺贝尔委员会也不过是由一群有着特定偏好的人组成罢了。
终其一生，费希尔都真正着迷于均衡的理念。20世纪60年代末，他就是利用市场本身的均衡条件发明了布莱克-斯科尔斯公式。在物理学中，均衡是一个普遍但非常强有力的概念。在均衡状态下，在一个稳定的系统中，我们所观察到的利率均衡值就是使两种相反的力量正好相等。比如说，流入身体的热量正好被流出身体的热量抵消掉，身体的温度就停止上升而保持在一个均衡的温度下。费希尔相信市场价格就是由同样的抵消机制所决定的。
利用基于股票的期权应与股票本身保持相互均衡状态，也就是说，在某种程度上，股票期权和股票应为承担相同风险的投资者提供相同的预期收益，费希尔第一次得到布莱克-斯科尔斯公式。基于这样的均衡前提，投资者投资股票和投资期权之间是没有差异的。这一均衡条件如果用数学语言写下来，就是布莱克-斯科尔斯公式，由此决定了期权的价值。布莱克和斯科尔斯又花了几年的时间，才将这个公式最终求解出来。
与布莱克和斯科尔斯同步研究的默顿，研究得更加深入一些。他的研究表明，可以通过股票和现金的组合来模拟股票期权的价格变化，这种模拟需要不断变化股票和现金之间的配比关系，用更多现金代替股票或是用更多股票代替现金。买入最初组合并不断执行这种调整过程的投资者，最终会获得与股票期权正好相等的收益。因此，期权的价值就应当正好等于买入最初组合的成本。
这种合成期权的方法被称为“动态复制”。这里的“复制”是指你在不停再造这只期权，动态是指你需要不断改变组合的配比关系从而保证准确。复制期权就像是闭着眼睛在一条曲曲折折的滑道上滑雪橇，你需要一种在每一个点上都能及时告诉你该朝哪个方向转弯的方法。布莱克-斯科尔斯模型为你提供了这种方法，默顿验证了这个模型的准确性。
你可以动态复制期权的结论几乎让人困惑。在布莱克、斯科尔斯和默顿之前，没有人想到可以利用简单的证券来创造出期权来。现在，期权仅仅被视为是一个不断调整配比比例的简单证券、股票和现金的组合，配比比例尽管随时变化但任何时候都是已知的。
默顿所依赖的是一种所谓“随机微积分”的数学形式。随机微积分研究的是随机变化量的变化率，比如股票价格或房间里灰尘颗粒的位置。我在20世纪六七十年代念研究生时，以及之后攻读博士后期间，从来没有听说过随机微积分。现在，随机微积分方法对于所有宽客及金融学研究生而言，都是常识了；所有想在华尔街找工作的前物理学家都是从学习这方面知识开始的。布莱克和斯科尔斯在1973年的论文中，给出了这一模型他们自己的推导以及默顿的推导。由于这篇论文非常晦涩难懂，直到几年后才得以发表。事实上，这篇文章开始时反复被拒，是经芝加哥大学的默顿·米勒（Merton Miller）帮他们说情后才得以最终发表。
20世纪70年代初，期权定价理论领域内，布莱克和斯科尔斯以及默顿同时提出的两种相互补充的推导方式，让我想起20世纪40年代末期费曼和施温格提出的关于量子电动力学重整的两种推导形式。费曼和施温格分别用两种完全不同的方法取得了相似的结果，这两种结果各自的形式互不相同，直到弗里曼·戴森（Freeman Dyson）给出证明，人们才终于明白这两个结果之间的等价性。后来，费曼提出的更直观的方法成为了标准形式。布莱克、斯科尔斯以及默顿也是利用不同的方法，从长期来看默顿的方法更加规范，也更加有力，因此成为了标准方法，而且最后也被费希尔本人所使用。
从论文付印的那天起，这一布莱克-斯科尔斯-默顿理论就不但被学术界，而且被期权交易员所广泛接受。在该模型出现之前，向客户卖出看涨期权的交易员必须承担交易的风险。如果股价上升，交易员就要承担掏腰包付钱给客户的风险。而当这个模型出现后，交易员就可以按照模型所给出的方法利用股票和现金复制出自己的期权，从而估计出这样做的成本是多少。然后交易员就可以将这种自制的期权卖给客户，从而完美地不承担任何风险。
华尔街的期权交易员很快就开始按布莱克-斯科尔斯模型利用股票制造期权，然后将其出售。交易员就像其他提供增值服务的转销商一样，对制造过程收取相应的费用。
在华尔街，宽客、交易员、销售人员每天都在使用股票期权模型及其拓展形式。在过去的30年间，商学院的学术界、数学系的数学家、投资银行和对冲基金里的宽客们都运用相似的方法开发出适用于债券期权、利率期权、信用评级期权、能源期权甚至还有波动率本身期权的定价模型。尽管布莱克-斯科尔斯-默顿理论中简单而深刻的理念并未改变，但其中用到的数学却变得更加精细、复杂和令人敬畏。
布莱克和斯科尔斯最初的模型中，假定的是几乎最理想化的简单市场。他们只考虑未来股价变化的不确定性，但忽略了其他更细小的复杂之处。然而，他们的模型被证明是非常具有拓展性和稳定性的——别人可以对模型进行修补、完善，从而将在真实交易环境中的不符合完美市场假设的地方也能在拓展模型中有所体现。该模型可以容纳这些及其他修改、完善，同时又使模型的基本理念不受动摇。期权理论是经济学领域中的伟大胜利之一，尽管数学上有点复杂，但概念简单，非常实用。要是经济学里的其他内容也都像期权理论一样有用该多好！
我敲开费希尔办公室的门并走了进去。办公室里非常安静，灯光昏暗，是一个工作而非开会的地方。在高盛，办公室是地位的象征，是一个非常奢侈的个人享有权利的地方。股票交易的那一层中，有很多装修考究的办公室，里面布满了没有时间在办公室工作的交易员和销售人员以前所完成交易的资料。费希尔的办公室看上去并没那么奢华，在办公室最显眼的地方挂了一张耐克的张贴画，画上一条长长的路消失在远方，画的下面有一行文字，写的是“比赛并不总是比谁速度快，而是比谁更能坚持”。
1984年，费希尔经鲍勃·鲁宾（Bob Rubin）推荐，由麻省理工学院来到高盛，是第一批由金融学术界投奔华尔街的学者。费希尔最终在1986年成为高盛的合伙人。与其他投身业界但却与学术界那片乐土保持着紧密联系的学者不同，费希尔全身心地投入到业界中来。现在，我就要见到他了。
简短的介绍后，我开始向费希尔展示Bosco系统，并向他介绍所使用的债券期权模型及我为期权交易部门所设计的图形展示交互界面。就像那些缺少计算能力的股票部门的其他同事一样，费希尔仍然用着运行DOS的系统，而我已经基于在固定收益部非常普及的更先进的VAX系统上开发了自己的软件。我在费希尔的电脑上通过一个VT-100终端仿真程序登录VAX系统。我的程序就要开始运行的时候，VAX系统自己崩溃了。我们就晾在那里，看着我那个动不了的计算程序的屏幕显示。我不能运行程序，也不能点击或修改任何区域中的任何值，我们只能盯着屏幕上显示的程序界面。我提出过一会儿VAX系统重启后再过来，但费希尔相当淡定。他在接下来的一个小时里，认真研究了我设计的用户界面，并对程序界面的布局提出建议。
那时候的计算机屏幕大小有限。我只有24行、每行80个字符的空间来显示，Bosco系统中大概有25个输入和输出变量要放置在这么大的显示空间中。费希尔一丝不苟地检查了每一个显示区域，并对有些区域中的标签做出了非常合理又非常细致的点评。由于缺少显示空间我不得不将大多数标签进行缩写，比如半开玩笑地将变量名“债券久期”（bond duration）简写为不雅的“诽谤”（durn），这一点费希尔特别不喜欢。因为我没有在学校里系统学习过金融学且只入行几个月，在接下来的谈话中，我时不时地提到“基于未来合约的期权”（an option on a future contract），费希尔每次都非常生硬地打断我，并纠正到“期货合约”（futures contract）。
我很吃惊于费希尔愿意花这么多的时间只关注拉维模型的交互界面，而没有听我介绍运算模型，也没有听我解释我曾对拉维模型做出了怎样的修改。那天我返回到固定收益部后，他的批评让我有点受伤，我不喜欢他的那种态度。但我很快发现费希尔其实是一个非常讲究精确的人，而且清晰的表达也是他始终不渝的追求。这么多年来，我也发生了改变，在后来所写的所有东西上，我都尽量做到清晰且有说服力。
费希尔检查我那个不能动的Bosco程序界面后的几个星期，我了解到了很多费希尔在计算机方面的成见，其中一些是非常保守的。他非常不喜欢鼠标和其他计算机定点设备。他认为键盘是最理想的数据输入工具，坚持认为鼠标能够完成的工作，都可以通过对键盘上的特定键进行宏定义而更好地完成。最后，他还不喜欢图形，认为未经过任何修饰的表格更加具有启发性和引导性。没有人能改变他的这些看法，这些看法只是他偏执于表达方式的部分表现。
他还有其他癖好，虽然无害但令人不快。他对数字显示有着严格的标准，强烈反对超过计算方法所能保证的精确度而在小数点后添加多余位数。现在，每个人都觉得把室内温度报称73.1457华氏度是令人反感的（暗指的精确度是没有必要的），但费希尔按此逻辑反对显示小数结尾部分所显示的所有的零，他把这些情况称为“拖尾的零”。如果债券的收益率为12个百分点，他觉得应该表示为充满自信的“12%”，而非犹豫不决的“12.00%”，因为后面一种表达方法只是表明精确到小数点后两位之意。如果费希尔发现表达形式方面令人难以满意，你就是花再多时间向他解释也没用，也不能将工作推进到内容部分。
因此，最终每个与费希尔一起工作的同事（哪怕共事时间很短）都要在编写自己子程序时，在交给费希尔之前将所有“拖尾的零”抹掉。比尔·托伊和我曾开玩笑说，你可以通过搜索一个人的硬盘中是否有一个叫作“删除‘拖尾的零’子程序”［remove Trailing Zero（）］，来判断这个人是否为费希尔的合作者。
有时候，费希尔在这一点上有点过分。几个月后的一天，我用了一下他的团队中某个成员设计的期权计算程序。程序需要使用者输入股票股利收益，因此我就在这个区域内输入了数字“0”。在短暂的一瞬间，我看到我输入的数字“0”在屏幕上闪了一下后，就消失了，那个区域内还是空白的。我原以为我自己输错了，我又输入了一遍0。这一次数字“0”再一次像海市蜃楼一般，鬼魅似地在屏幕上闪了一下后，就消失得无影无踪。于是我明白了这是怎么一回事。这位程序员盲目地听从了费希尔的话，删掉了所有“拖尾的零”。由于数字“0”全是零，程序就将整个数字删去了，给人的感觉就像什么也没有输入过。这个程序根本没有考虑到“什么都没有”和“0”在哲学上是有区别的。
就像我第一天见到费希尔一样，他总是非常安静、镇定，始终处于一种看得出来的“均衡”状态。他似乎从来不允许他的生活在大量工作中疲于奔命，也不会以处理大量工作为荣，他的这一做法很快就成为投资银行人士的生活方式。在大多数情况下，当你去拜访他时，会发现他要么是在阅读，要么是在打电话，要么背对着门坐着，计算机键盘放在膝盖上，椅子旋转180度正对着放在办公桌上的计算机，计算机旁边就是窗口，他正往Thinktank程序中输入一些记录。Thinktank程序是他一直使用的、20世纪80年代末一种管理人员使用的程序。
费希尔将他所有的备忘录和记录都输入到Thinktank中。他在高盛的打字员贝弗莉·贝尔说，费希尔积累了超过2000字节的文本，从地址和电话号码到他的思考和想法。我认识的费希尔团队中的同事说，费希尔与Thinktank开发者保持着持续的、密切的沟通，为的是提出他希望看到的补充和修改。
费希尔十分细致，条理性强，一举一动都一丝不苟。每天他都订相同的禁欲主义的健康饮食，让人送到他的办公室。他喜欢佩戴一块能够储存信息的卡西欧牌手表，这一做法刺激了他的一些雇员兼崇拜者随之效仿。在他的办公室里，如果来访的客人谈到一些他认为有用的内容，他就会用一只尖尖的自动铅笔将这些内容写在写字簿空白页上，然后撕下，插入一个加着标签的马尼拉纸文件夹中，并把文件夹保存在他的文件柜中。在费希尔去世后发表的一篇纪念文章中，贝弗莉描述说他留下了6000份文件，现在都保存在麻省理工学院。
费希尔对他自己对科技的充满热情非常坦然，这与20世纪80年代华尔街的风气截然相反，那时华尔街的重要管理者都以自己不懂计算机为荣。我认识的一些管理者不但躲避计算机，甚至对自己的办公桌避之不及，他们更愿意选择大号的会议桌，以此来彰显他们作为决策者的重要地位。
当我开始与费希尔共事时，我以为他会有一些特别的癖好。尽管费希尔所说的总是经过深思熟虑且充满理性，但你不能通过他在一个问题上的观点，而轻易猜出他对另一个问题的态度。但在接下来的几年中，我逐渐了解到，费希尔是属于那种很罕见的人，是那些你只能偶尔碰到的人，他们的性格是一个完整的整体，尽管这个整体的各个部分看起来似乎毫无关联。实际上，他只是喜欢自己对所有事情做出思考并得出结论。这并没有使他成为一个反叛者，而是成为一个局外人，这个局外人的工作对世界上的局内人产生了巨大的影响。这一点使人印象深刻。
与费希尔完成会面回到FSG后，我继续研究针对股票期权的经典布莱克-斯科尔斯模型，以及拉维对其所做出的修正以使其应用于债券期权交易部门。
期权之所以有价值是由于股票未来价格的不确定性，而且未来距今的时间跨度越大，不确定性也就越大。大量的期权理论都是针对未来的不确定性来建模的。图10-1以简化的方式表达了布莱克和斯科尔斯如何描述股票未来价格的。随着时间流逝，未来股票价格的变化范围会越变越大。今天价值100美元的股票，30年后的价值可能是零，也可能是一个非常大的数值（如果你在20世纪90年代末期买入网络股股票，那么你就能非常容易地理解这一点。）
图 10-1
图中是今日价格为100美元的股票在未来30年可能的价格变化分布。时间越长，未来股价越不确定。阴影越黑的部分，股价就越有可能落在这个区域。
债券则不同。虽然没有人能够知道股票的未来价值，但对于本金为100美元，30年到期的国债来说，在债券到期时保证会兑付你100美元。图10-2的阴影部分近似描述了债券的未来价格：随着我们从债券今天的价格100美元开始处移动，阴影面积变大，而30年后阴影区域又会收敛于一个确定的价格100美元。
图 10-2
图中是今日价格为100美元的债券未来可能的价格分布。30年后，债券的价值一定是再次回到100美元。阴影越黑的部分，价格就越有可能落在这个区域。
1985年，一种直接但简单的对债券期权估值的方法是利用布莱克-斯科尔斯模型，该模型假设债券价格的分布形式如图10-1而非图10-2所示。对于在一年或两年内到期的短期期权而言，这种方法不会出现太大误差。你会发现，在第一年里，债券价格的分布非常近似于股票价格的分布。结果就是，布莱克-斯科尔斯模型对于短期（一年期）债券期权而言是一个不错的近似计算方法。但对于长期期权而言，债券和股票的价格分布差异巨大，因此需要一个专门针对长期债券期权的估值模型。
很多学者尝试着对布莱克-斯科尔斯模型中关于股票未来价格的一些假定做出修正，以使其更好地模拟如图10-2所示的债券价格变动。拉维按照近似的思路，但由于他是从事实务操作的，他的模型更具有实用性。他聪明地对未来债券收益率而非债券价格的变动进行建模，从而发明了当时使用的高盛债券期权模型。如果以当前价格买入债券，持有到期，并收到该债券所产生的所有利息收入和到期本金，那么债券收益率就是你得到的年化平均百分比收益。拉维只是假设了债券的收益率而非其未来价格遵循一直扩大的、如图10-1所示的布莱克-斯科尔斯模型分布。在这种情况下，随着时间流逝，债券逐渐接近到期日，债券的未来收益率不论高低，其取值逐渐变得与该债券价格无关；剩余到期时间太短以至于收益率大小不会有什么影响。因此，尽管在拉维的期权模型中，债券收益率分布随着时间消逝就像图10-1所示那样逐渐变得无限高或无限低，但利用这些收益率计算出来的债券价格却像图10-2所示的那样逐渐收敛。
拉维的模型捕捉到了债券价格未来变化的特征，是非常有意义的工作。该模型也更符合交易员的直觉，他们已经习惯于从收益率的角度来考虑债券价格，因此认为考虑收益率的变化范围或者是波动是很自然的事情。好的想法通常同时出现在几个人的大脑中，这个模型的不同版本很快就各自独立地出现在其他华尔街的公司里。几年后，当我去所罗门兄弟公司工作时，我发现他们也有一个差不多的系统。
但很多以布莱克-斯科尔斯框架为原型的模型中，存在着其他更深层次的、更加细微的问题。就像布莱克-斯科尔斯模型将每一只股票视为独立的变量一样，拉维的模型也将每只债券视为独立的。尽管认为未来IBM公司每股股票未来价格与AT&T公司每股股票未来价格的变化是相互独立的，没有明显的问题，但债券的未来价格，比如一个五年期债券和一个三年期债券的未来价格变化，在模型中假设成为相互独立的变化，就会出现前后不一致。如果你这样做，事情就会失败。
不同债券之间是相互联系的。五年期债券未来价格变化与三年期债券未来价格变化之间并非是相互独立的，而是相互重叠的：从现在起的两年后，这只五年期债券就会变成一只三年期债券，因此你不能在给一只债券的未来价格变化建模的同时，不考虑给其他债券建模。事实上，只给一只债券建模而不是给所有债券建模，也是不可能的。
一只五年期债券和一只三年期债券还有其他相同之处。你可以将一只五年期国债视为未来五年内每六个月到期的十个零息债券的组合。同样地，一只三年期国债可以视为未来三年内每六个月到期的六个零息债券的组合。利用这种方法分解，债券的组成部分是共享的：五年期债券和三年期债券中都包括前六只零息债券。因此，对前三年的债券进行建模时，也暗含了对五年期债券的一部分建模。
从本质上讲，拉维的模型没有考虑到其违反了所有理性的金融模型中作为基础的“一价定律”。一价定律要求任何两个具有相同最终支付的证券都应该具有相同的现价。现在，基于长期债券的短期期权组合与短期债券的支付完全相同，那么期权的组合也应该具有与短期债券相同的理论价值，尽管它们的名称可能不同。但在拉维的模型中，假定长期债券和短期债券是相互独立的，因此他的模型就无法保证一价定律完全实现。
每次对拉维的模型进行认真审视都会得到相同的结论：它无法对债券分开来建模，一次一只是不可能的。你必须针对所有债券的未来变化设计模型，也就是关于收益率曲线本身的模型。这就是我们的目标。
我离开了费希尔的办公室，被他关于我计算程序中名称的苛刻评论弄得有点受打击。但几天后，他告诉我我可以加入他的团队，且比尔·托伊他们正在努力开发一个新的债券期权模型。这是一个非常好的机会，对我的人生而言产生了巨大且使我受益良多的影响。
1986年春天，我参加了我平生第一次期权会议，这是一次由霍华德·贝克（Howard Baker）、梅纳赫姆·布伦纳（Menachem Brenner）和丹·加莱（Dan Galai）在美国证券交易所组织召开的一次年度会议。我是参加此次会议的上百名宽客、交易员和学者中的一位，参会的所有人都是这个领域中的活跃分子。那时的期权会议还很少，后来像《风险》杂志这样的为了赚钱办会的机构开始占领市场，并最终将美国证券交易所举办的期权会议挤垮。我记得有几个演讲是关于新的债券期权定价模型的，其中一个是那时还在摩根士丹利工作的瑞克·布克斯塔伯（Rick Bookstaber）所做的。在解决这一问题上，你能感到一种越来越大的紧迫感，几乎是一场竞赛。费希尔告诉比尔和我，鲍勃·默顿作为另外一家投资银行的顾问，也在研究这一问题。
参会的高盛公司的代表并非仅仅是出于学术兴趣——我们的交易员都要对基于长期债券的长期期权进行做市，恰恰这一领域是拉维模型中矛盾最突出的地方。交易员们意识到他们需要一个更好的模型，因此也有着巨大的动力来替换掉拉维的模型。
我们知道我们需要对所有国债的未来价格变化进行建模，也就是要对整个收益率曲线的变化建模。要做好这件事没那么不容易。股票价格只是一个数，当你对它的变化进行建模时，你只是预测一个数在不确定的未来会变成多少。与此相反，收益率曲线是一条连续的统一体，像是一根弦或是一个橡皮圈，它上面的每一个点都对应了一个债券收益率和特定的到期期限。随着时间流逝及债券价格变化，收益率曲线也会发生移动，如图10-3所示。而随时间变化，相应地推导出整条收益率曲线更是一项艰难的任务：就像你不能完全独立地移动一根线上不同的点，因为这根线必须保持连续不断，于是离得很近的代表债券收益率的点也必须保持连续不断。
图10-3 收益率曲线可能会在日内发生变化
那么，该如何预测债券未来的价格呢？费希尔、比尔和我都是实用主义者。我们是为交易员构建模型的，因此我们希望这个模型要简单、一致，能够合理地反映现实。简单意味着一个随机因子就能推导出所有变化。一致意味着模型得到的所有债券理论值要与其当前市场价格相符，如果它最终得到了错误的债券价格，那么利用它来对基于债券的期权定价就是毫无意义的。反映现实就意味着模型所得到的未来收益率曲线的变化区域，应该与那些现实中的收益率曲线变化相似。
当物理学家开发模型时，他们首先会求助于一个关于世界的模型，这个模型上空间和时间都是不连续的，只存在于一个网格里的点上，这就使得利用数学进行描述更容易了。我们利用相同的思路开发我们的模型。我们首先设想了一个世界，在这个世界中最短期的投资只能持续一年，并且由一年期国库券利率来表示。那么长期的利率则反映市场对未来短期（也就是一年）利率未来变化的可能范围的判断。
顺着这一思路，我们开发了一个关于未来一年期利率的简单模型，类似于图10-1中股票价格分布的离散版本。如图10-4所示，最初的一年期利率可以从当前收益率曲线中得到。当你越往将来看去，利率变化的可能值会逐渐落在更广泛的范围内。
图10-4 布莱克-德曼-托伊模型关注于未来短期利率的分布
这里每个点对应于一个未来一年期利率的特定取值。过去的时间越多，未来利率的不确定性就越大。
为了完成我们的模型，我们现在必须决定未来任何一年的时点上，一年期利率的取值范围。在我们的模型中，核心的原则是将长期债券视为连续短期债券投资的组合。从这个角度出发，两年期利率来自于连续两次一年期投资，第一次是一个已知利率，第二次是一个未知利率。市场今天对于一个两年期债券利率给出的定价取决于市场如何判断一年后一年期利率是如何变化的。因此，你就可以利用当前一年期收益率和一年后一年期利率的分布计算出当前两年期债券收益率。同样地，你也可以利用一年后一年期利率的分布计算出当前两年期收益率的波动率或不确定性。相反地，倒推回来就是，由于当前市场上两年期收益率及其波动率是已知的，那么你就能推导出一年后一年期利率的分布，如图10-5所示。
图 10-5
在布莱克-德曼-托伊模型中，未来一年期利率的分布是从当期收益率曲线推导出来的。两年到期收益率决定了一年后的一年期利率的分布，三年到期收益率决定了两年后的一年期利率，以此类推。
利用相同的方法，基于当前一年期利率、已知的一年后一年期利率分布（从当前市场上两年期收益率推导得到）、两年后一年期利率分布，就能得到当前三年期收益率。但由于当前市场上三年期收益率是已知的，你就可以利用它推导出两年后的一年期利率分布。继续利用这一方法，你就能够利用任意时点的当前收益率曲线来确定所有未来一年期利率的变化范围，如图10-5所示。
这是我们模型的精华所在。当比尔和我将其编程后，它似乎是有效的——我们可以根据当前收益率曲线和它的波动率得到市场对于未来一年利率分布的预期。我们以一年期为时间间隔开始研究，这一点倒不是神圣而不可改变的。只要模型可行，我们可以在网格中利用月、周，甚至在某些时候用天为时间单位进行研究，从当期收益率曲线中确定市场对于未来时点的短期利率分布的观点。一个典型的网格（我们称它为“树”，因为初始的利率分叉出来，逐渐扩张成树枝状）具有相同短期时间距离的、成百上千的节点，如图10-6所示。
图10-6 布莱克-德曼-托伊模型中多期短期利率树形图图示
图中每个时间间隔相同，可以扩展到多年。
我们的目的是将模型设计得简单并一致，它做到了——我们可以将所有当前债券价格与网状树匹配。接下来，我们就可以利用校准后的网状树来对任何证券进行定价，只要证券的未来支付取决于利率，而利率我们可以通过对分布上的不同支付取平均的方法得到。特别是，我们能对基于任何期限债券的、任何到期时间的期权进行定价了。
新模型最吸引人的地方在于它满足一价定律。我们的网状树工作起来就像是一台计算机，通过对证券未来支付求平均，就能得到这只证券的当前价值。你可以将未来支付放在树梢，旋动这台机器的手柄开始计算，对它们求平均并在利率分布区间上对它们进行贴现，最终得到当前市场价格。这台机器并不在于你给产生未来收益的证券取什么名字——债券、期权，随便你管它叫什么名字都行。只要未来支付是相等的，机器计算出来的结果就是相同的。
到1986年年底，我进入高盛工作还不到一年，我们就已经完成了这个模型的绝大部分，运行程序的速度还算可以。接下来我们就开始在实际的期权交易中测试它了，对比我们的模型计算结果和拉维的模型计算结果有何不同。我们公司交易员的直觉都是由旧模型训练出来的，很显然他们对于变换模型持保留态度——在你发现一件新东西跟你原来一直使用的东西可以结合得很好之前，就开始使用它确实是不明智的。在你开始依赖某个模型之前，你需要对这个模型找找感觉。因此，很多金融策略部门的销售助理开始测试新模型，慢慢说服自己新模型符合一价定律。这一结论理论上对于我们来说是显而易见的，但从实践上对他们来说却尚不确定。
我对于我们完成的工作非常兴奋。我在内心深处仍然是个物理学家，而且在金融建模方面也缺乏经验。但我已经开始把我们开发的模型当成一个宏伟的关于利率的统一理论，并想象着我们可以利用它对世界上所有与利率相关的证券进行定价。
然而，费希尔并不喜欢这样来看我们的模型。他更加务实且更加经验丰富，他知道我们的模型仍没有考虑到其他一些金融因素。似乎对他而言更可能的说法是，这个模型在某个分支里可能是好的（如果这个模型确实是好的话），比如说仅仅是基于国债的债券期权，但并不适用于可赎回债券、资本扩张优先证券（caps，capital augmented preferred securities）或其他类似期权的固定收益金融工具。他将我们开发的模型称为“好像”（as if）模型，他的意思是，我们假设在债券市场中，投资者的行为“好像”只取决于短期利率。
尽管我渴望做些宏大的事情，但我也开始意识到我们的模型究竟是怎样的一个模型了：这是一个简单的、基于现象得出的模型，就像物理学家利用的一个模拟物体，它很有用但也仅仅是一个玩具。我们可以尝试使用但应该谨慎对待，要继续尝试对这个模型进行拓展，看它到底能有多大用处。我们曾假设市场只考虑一个因素，那就是短期利率，并认为所有的长期利率都反映了市场对未来短期利率及其波动率的看法。这是真实的吗？当然不是！世界是难以名状的、复杂的。但我们所做的是一个很好的起点，利用它我们可以捕捉到长期和短期利率间合理的联系。我们的模型可能没能描述这个真实的世界，但它描述的是一个可能存在的真实世界，是众多世界中的一个，这就使它的价值非比寻常。
费希尔希望我们正在写的论文要清晰、准确，但又不能过于数学化。在接下来的一年里，我写了很多份草稿，交给费希尔阅读后，他给出评语后又退还给我。在他的打字员贝弗莉的帮助下，这篇文章逐渐变短。在我以前作为物理学家的日子里，我曾是一个不拘小节的作者，对于文章修改很不耐烦。撰写草稿的一年，让我领略到了定性但又准确表达概念的重要性与快乐。从那以后，我更愿意注重细节，并努力把这些细节表达得更加清楚些。
我们的文章《利率单因子模型及其在国债期权上的应用》（A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options）最终发表于1990年的《金融分析家杂志》（Financial Analysts Journal）上。此时，距离我们开始开发这个模型已经四年了。令我很高兴也很惊讶的是，这个模型被广泛接受并迅速以我们名字的缩写形式布莱克-德曼-托伊为模型命名。很遗憾我们没有早点把文章发表，但费希尔是一个完美主义者，在他完全满意之前他不愿意将其发表。
我们并不是收益率曲线一致模型的唯一开发者。在所罗门兄弟公司工作的时候，我的朋友马克·格尼斯伯格和他的上司鲍勃·柯普拉许也曾开发了一个相对简单的利率模型，尽管这个模型并不像我们那个模型那样通用。鲍勃·柯普拉许后来到高盛领导金融策略小组。欧德里希·瓦西塞奇（Oldrich Vasicek）总是走在别人的前面，已经在10年前的1977年发表了最初的类似布莱克-斯科尔斯模型的利率模型。考克斯、英格尔索（Ingersoll）和罗斯（Ross）在1985年发表了一个相对复杂但与之相联系的模型。还有一些其他的模型。那么为什么我们的模型被如此广泛地接受呢？
我能想到三个原因。第一，我们是实践者，因此非常清楚交易部门到底需要什么样的模型。当瓦西塞奇和考克斯-英格尔索-罗斯研究小组将研究重心放在更一般的对收益率曲线建模问题上时，我们直接将债券期权作为我们的研究问题，当时债券期权市场正处于快速膨胀阶段。
第二，我们的模型更有利于实践者使用。我们的文章是用非常务实的风格写成的，使用的是二叉树结构的语言，这是一种更为简单的、华尔街上任何人都能掌握的描述方法。我们所阐述的是一种非常简单的算法，任何人只要稍稍花点儿心思就能利用计算机程序执行我们的模型。而其他大多数当时的模型都需要较好地运用随机微积分才能理解，还要再掌握数值分析技术才能将这些模型转变为计算机程序。而在我们的模型中，转化的媒介就是信息：描述和执行几乎就是一个东西。
第三，以前绝大多数的模型所得到的解析方程跟收益率曲线的实际形状对不上，我们的模型经过调校后几乎可以用于任何曲线，因此，我们的模型就是为了交易而出现的。事实上，对于调校的描述是我们文章中很重要的一部分。
在接下来的几年中，许多新的收益率曲线模型出现了，每个都是以其作者名字的缩写命名的，而且富有创造力的学者和宽客们还在继续寻找新的也许是更实用的模型。现在你可以选择布莱克-卡拉辛斯基模型（Black-Karasinski）、HW模型［赫尔（Hull）和怀特（White）］、HJM模型［希斯（Heath）、杰诺（Jarrow）和默顿（Morton）］或其拓展形式BGM模型［布雷斯（Brace）、格塔瑞克（Gatarek）和穆希勒（Musiela）］。这个过程还在继续，不过采用哪个模型还是与喜好和权衡相关。选择模型的问题，就是使其能够最大程度反映你所面对的产品的风险，模型能在所容忍的时间内在计算机上运行具有足够的效率，对模型进行编程不至于过于复杂和烦琐而应足够简单。
布莱克-德曼-托伊模型是简单且一致的，但就像任何模型那样，它并不是完全符合实际，而且很多年过去了，它的局限性愈发明显。实际上，它只有一个不确定性因子，也就是短期利率的分布，由此短期或长期的所有利率都共同变化，假定收益率曲线的初始形状一直不变。因此，尽管这个模型非常适用于对债券期权定价，但它并不适用于对基于收益率曲线性质（如曲线斜率或曲率方面）的期权进行估值。
尽管如此，这个模型的简单特性使其无论是对于实践者还是学者而言，都是了解收益率曲线建模技术的方便的切入点，布莱克-德曼-托伊模型在这方面也确实做到了。即使此后很多更强大、更复杂的模型已经出现了，这个模型还在继续为人所用。
开发这个模型的过程是非常有趣的，就像研究物理时的那些时光。每天中的绝大多数时间，我满脑子里只有这么一个问题，思考网格树，思考如何通过计算机程序来实现，思考如何加快计算速度，与费希尔和比尔讨论，检验计算机计算结果，做出进一步调试。有时我甚至出现睡眠困难，在半夜时分突然惊醒，直到想到一个新的解决方案才能躺回到床上。
与我不同，费希尔非常有耐心。他对开发模型采取一种顺其自然的态度：每天都检视一下你自己知道了什么，再决定采取哪种最好的方法继续推进。至少有两次，他认为如果我们停下所有进展并重新从头来过，我们会做得更好。这是一个我所敬佩的人格特点，但我并不能接受这么做。比尔和我都是这个领域中的新人，我们急于完成我们的第一个完整成果并使它广为流传。
费希尔第一次想从头来过是我们了解到如何将利率均值回复特性引入模型时，这一想法来自一次意外的发现，并不具有代表性。在那之前，我们在网格树中一直都是以相同的时间间隔来运行模型的。为了提高程序的运行速度，我尝试着变化了网格树中的时间间隔，使开始时的时间间隔很小，越到未来时间间隔越来越大。我这样做的目的是让我们的“估值机器”较为精确地计算当前的分布，而对距今较远的不确定性未来只做粗略估算。
当我尝试着将这种不同间距的网格树根据当前收益率曲线进行调校时，我遇到麻烦了。程序经常不能算出任何与收益率曲线相一致的未来短期利率分布。而当我们画出网格树并检验它的拓扑结构时，这种情况又消失了。图10-7a描述了一个时间间隔相同的网格树。我们现在可以发现图10-7b中逐渐增加的时间间隔导致了网格树随时间推移而显著扩大，反映了利率逐渐偏离其均值的趋势，这种偏离的趋势与现实吻合得并不好。这就是导致调校困难的原因。同样地，如果我们如图10-7c那样逐渐减小未来的时间间隔，那么我们可以观察到短期利率逐渐向均值恢复，网格树倾向于随时间不断变窄。这种变窄的网格树反映出一种稳定利率水平的恢复性力量，这就接近于现实市场中当政府和央行干预市场稳定经济时所发生的情况。
图10-7 布莱克-德曼-托伊模型中的波动率恒定但时间间隔不等的短期利率网状树
当费希尔意识到时间间隔逐渐减小可以描述利率的均值回复特性时，他希望我们摒弃原来的相同时间间隔版本并从头来过。比尔·托伊和我急切地想完成我们开始的这个模型，最终我们占了上风。具有变化时间间隔的网格树最终也成为布莱克-卡拉辛斯基模型的一部分。
费希尔通过检查网格树的拓扑结构，第一个发现了时间间隔长度与利率均值回复特性之间的联系。这也让我注意到了他的直觉的力量。只需看着这些树，他就能看出其形状中所蕴含的动态特征。只不过是在我们论文写完很久以后，我们才用优美的随机微积分语言完成对我们模型的描述，现在教科书中对我们模型的表述用的就是这种方法。
费希尔第二次提出从头再来是在1987年年初的某个时候，他那时想到在我们的模型中加入第二个随机变化的因子。这个想法是有意义的：我们的初始模型中非常简单地假设整条收益率曲线都是取决于短期利率的。而我们也感兴趣于通过假定长期利率独立于短期利率变化，从而使我们的模型更加贴近现实。在我们的框架内引入第二个因子，就意味着我们要分析二维树形图。我们费尽心力地将这样的二维树形图根据收益率曲线进行调校。但二维或多维树形图不但难于可视化和描绘，正如你从图10-8中看到的那样，而且在计算机程序中进行处理也有点儿困难。当我们觉得还是要完成我们最初那个简单模型以便于交给交易部门使用，从而停止了这一费力的工作时，我又一次感到得救了。
图10-8 一个未来利率的两维树形图
几年后，费希尔、伊拉杰·卡尼（Iraj Kani）和我开始探索研究布莱克-德曼-托伊模型的二维版本，但我们没能完成这项工作。
一个模型只需要一个好的想法和几个人去开发，但一个有用的工具则需要更多的人将模型进行转化。要实现这样的转化，你需要一个图表化的用户交互界面、一个包含所有交易产品细节的数据库以及用于调校的市场数据。
但即使是收集数据也不像看上去的那么简单——模型到处都是。人们所认为的“市场数据”通常是经过其他模型或计算过滤后才产生的。收益率是从大量收集到的债券价格中提炼出来的；波动率是从历史收益率中计算出来的。随着市场不断成熟，金融产品流动性不断提高，交易员根据更多的相关证券来调整他们的报价。有时候相关证券的数量是如此之多，以至于这些证券的价格必须通过电子报价系统才能获得。所有这些都涉及软件。或早或晚，开发有用模型的每个人都会意识到这样一个事实：围绕这个模型创建一个交易系统和风险管理系统是一项巨大的、通常还是不得不面对的软件工程，需要比宽客更多的程序员。尽管模型本身很关键，但它仅仅是故事中的一小部分。
回到1986年，当我们开发完成我们的收益率模型时，交易员们十分愿意手工将收益率曲线输入系统中去，我自己也足以胜任完成绝大部分的模型编程工作以及交互界面的开发工作。我将系统交给债券期权交易部门的交易员后，他们立即就开始测试。
当他们开始使用我们的模型时，我第一尝到了与“中间人”斗争的滋味。中间人就是那些指定在模型开发人员和模型使用者之间负责沟通的人。中间人——通常每个部门有一名中间人——和交易员们坐在一起，以便更好地了解业务。
中间人完成了一个有用的工作环节。对于宽客来说，理解金融、构建模型、研究数学、编写程序，还要抽时间与交易部门紧密合作，这些并不容易。而交易员则永远风风火火，需要中间人协调他们的需求，使中间人与他们在最迫切的需求上保持一致。由于交易员和宽客使用的是稍稍不同的语言，需要有个人能够听懂双方的行话，并起到指定调解人的角色，这是很不错的一件事。
不幸的是，那时公司里在国债部门的中间人更喜欢模型开发者躲在幕后，不要出现。有个中间人利用我们的模型为交易员计算价格，但却不愿意承认这样做过。由于公司里都是按照你对公司的贡献而给你报酬的，中间人这样做就让人感到很不好。
在抢先这方面我所能做的并不多，但我决定至少确认一下我的怀疑。几天后，我进入程序的源代码，临时性地加了几行程序，确保有人尝试使用这个程序时，屏幕上会弹出“模型修正中”的字样。几个小时之内，我开始接到中间人的电话，问我模型出了什么问题，但却不肯承认他们正在使用模型。
从那以后，我就非常提防那些站在模型开发者和最终用户之间的人。宽客都有那种被技术上有缺陷的人绕过的切身经验，这些人从宽客那里获得信息，并在会议上将这些信息传递给其他人，可这些会议却不邀请宽客参加。那以后的很长一段时间里，当我为交易员编写程序时，我习惯在里面加入一个能够记录下谁在什么时候使用过我程序的小程序。我估计我组里的其他同事也这样做。这使我记录下体现我们自身价值的证据，即使我不能从这样做中得到一分钱。1994年，当投资银行业被迫裁员，高盛正经历困难时期时，我把记有我们量化策略小组所设计的程序被使用了多少万次的记录复印件送了一份给我的上司们。那一年，我们小组没有人被裁员，那点信息可能起了作用吧。
在接下来的8年中，我与费希尔定期会面，尽管我们已经不再像我们开发布莱克-德曼-托伊模型时那样紧密合作了。他是我在高盛遇到的最卓越的一个人。
他最显著的特点就是固执地注重于和热衷于清晰和简约。在写作和演讲过程中，他同样注意内容和形式。当我们写作单因子利率模型文章草稿时，费希尔要求论文中不存在任何公式，于是我就不得不费劲心力来满足他的要求：他想要的是准确和如实，且不能有技术细节，这就意味着要从内心深处理解模型，并将这种理解表述出来。我觉得正是我们的模型在技术细节上的清晰，才使它如此流行并被广泛使用。
因为他喜欢清晰，而且或许是由于费希尔所接受的训练并不是经济学方面的，费希尔总是避免过度形式化。他的论文与金融经济学期刊上那些充满不必要的严格引理的论文，形成了鲜明的对比。他试图像说话那样写作，使用的是一种语言简练但令人心情愉快的对话式风格，配以清晰而随意的、朴实无华的语言。他的文章读起来有点不通顺，是因为这些文章缺少一些技术上不必要的连接词：和、且、于是、因此。在科学文章里，人们常用这些词来连接句中表述。
费希尔也希望其他人保持清晰和直接。尽管他在时间上很慷慨，而且不怎么在意等级，但做他的听众还是要做好准备。如果很明显你没有仔细思考过你的问题，你会很快发现他不会替你去思考的，而且，如果你没有理解他的回答，并重复你的问题，他也只会重复他的答案。
他是一个非常直接的人，不喜欢闲聊。当他没什么话说的时候，他就保持沉默。在通电话时，谈话还没有结束，他常常会保持一两分钟的沉默，这有时令人非常尴尬。在这种情况下，你可能会为了填补这段沉默时段而胡乱说上两句，直到费希尔突然简单地说上一句再见而挂断电话。
他曾对我说起过，降低他影响力的事情之一就是，他永远告诉人们事情的真相，即使大家都不想听到这个。他的这种性格，我自己就可作证。20世纪90年代早期的时候，他对高盛自己领导部门内的一些信息技术经理产生了怀疑，他就坚定地将这些经理召集在一起，并列出一份名单，坦诚地列出哪些人比较好、哪些人比较坏，最后把名单交给他的上司们。当他承认自己曾天真地以为能从这么做得到什么的时候，他的笑有点窘迫，还带着点得意。
在高盛的合伙人中，他让我印象深刻的是：他总是有点局外人的角色。在高盛公开上市之前的那段时间里，公司每两年就会任命一批合伙人，这些获得晋级的每一个人都可以都被允许逐步购买更多的公司股票。费希尔有一次向我提起，在1986年同批合伙人中，他比其他任何人持有的股份都少，他对这一点感到很骄傲。
这种直率和不拘形式也是他在研究上的特点。对于我来说，他的研究方法由无所畏惧的努力思考和直觉组成，并不依赖于高等数学。这对平常人而言，是令人鼓舞的。他使用自己可以自由运用的技巧直接地解决问题，通常这种方法都会奏效。他给你的感觉（也许是误导）是，无论你拥有怎样的技巧，只要你愿意努力思考，就能发现深刻的真理。他受自己强烈的经济学直觉所引导。尽管他的数学技能并不出众，但他的直觉太强烈了，他会在求诸数学手段之前，执着地先获得对问题的理解。
在建模方面，他强调具体而明确的实物：他喜欢利用变量描述经济世界里可以观察到的现象，而非那些看不见的统计因素或计量经济学变量。他认为实用和精确远比巧妙更重要，尽管他所创建的布莱克-斯科尔斯-默顿框架在巧妙方面无可挑剔。他有着强烈的实用主义倾向，是一位不亚于其学者身份的实干家，愿意在软件、交易系统、用户交互界面等方面花费时间和精力。他认为这些都是与模型本身同等重要的。
费希尔在建模上喜欢真实胜于精确。在他最后一篇发表的论文《均衡交易》（Equilibrium Exchanges）中，他在引言最后一部分中，简明地阐述他的态度：“最后，”他写道，“如果均衡真实存在，那么这整篇文章就是对于均衡性质的一系列猜想。我不能为我的假设的含义提供详尽、彻底、完全准确的分析，但我愿意从更相关的假设中猜想结论，而不愿意从不怎么相关的假设中得到准确的结论”。
很显然，尽管形式对于他来讲是重要的，但更重要的还是内容。在1990~1995年，他先在高盛资产管理部门工作，后来又在高盛的固定收益研究部门工作，当时，我管理下的量化策略小组偶尔会有人来访问并做讲座，我会邀请他过来听听。我注意到，当讲座的主题是关于那些已经解决的问题的新的或是改良的数量解法时，他就不会参加。他的兴趣点并不在于数量解法，他对金融经济学更加感兴趣。与此类似，他并不会在为方程组寻找分析求解上浪费时间，如果有高速计算机能够帮助他使用数学方法，他会很高兴这么做。
费希尔对于有效利用模型进行计算的极端重要性也有着很好的把握。人们常常问我，为什么在以盈利为主要目的的投资银行里工作的我们，要在1990年公开发表我们关于布莱克-德曼-托伊模型的研究。事实上，当我们发表这篇论文时，高盛的交易员已经使用布莱克-德曼-托伊模型好几年了。但更重要的是，费希尔区别对待公开发表模型（他认为是正当、合理的）和公开发布利用这一模型开发的计算机执行或交易系统，他认为后者应该是拿来出售的。
事实是，模型很少能成为明确的利润来源。真正有价值的或更有价值的是交易系统以及附加上去的交易规则、系统不接受的操作错误、交易员从使用模型过程中所体会到的直觉。
费希尔对于市场的思考有他自己的一套方法。他深受资本资产定价模型（CAPM）所谓的“一般均衡”方法的启发，这种思想认为，对于所有证券而言，只要每单位风险的预期收益相同，价格和市场就实现了均衡。这种信念是费希尔很多直觉的来源，也是他最初用来推导布莱克-斯科尔斯微分方程的方法。在1995年7月末，他去世前不久给我回复了一封电子邮件，作为我向他提出的这方面一个问题的回应，他写道：“我认为，我们在固定收益模型方面的所有工作，都是资本资产定价模型应用于固定收益市场的结果。”
在费希尔去世前几年，当时我正和几位同事一起就交易成本和对冲效率对我们交易部门期权价格的影响进行评估，我颇为感动地目睹了他对于这一方法的热爱。我们创建了一个蒙特卡罗模拟程序，当股票价格变动时，动态复制每一种期权，并考虑到当每次对冲组合随之调整实现再平衡时发生的交易成本。从长期来看，我们想用这个程序看看这最终会使实际价格偏离理想化的布莱克-斯科尔斯模型的计算结果是多少。运用这种方法，我们可以估计出我们对冲策略的真实成本，而不是简单接受用模型中包含的理想化数值计算出来的结果。
无论何时，当你想编写一个程序来做一些新的事情时，你应该首先确保新程序能够准确完成旧的事情。在测试由一位同事完成的程序时，我们首先假定没有交易成本并能连续对冲，在这样的条件下运行这个程序，为的是确保我们得到的结果就是用布莱克-斯科尔斯模型得出的复制价格。当然，你不能在计算机模拟过程中真正实现连续对冲，因此我们非常频繁地进行再对冲，一天多次。让人吃惊的是，我们发现即使对一年期期权进行一万次再对冲，也就是说每天超过30次重新调整达到再平衡，我们仍不能得到与布莱克-斯科尔斯模型相同的计算结果，总是有残余的误差。这个结果似乎错了，于是我又写了自己版本的程序，发现同样存在很小且显著的差异。这非常令人迷惑，表明布莱克-斯科尔斯模型并不像我们想象的那样，它并不能很好地应用于真实的市场。
我对这个结果感到不安，想与费希尔讨论一下这个结果，就去高盛另外一栋楼里费希尔的办公室，当时高盛的办公区域正不断扩张。当我向他解释了我们的发现后，他对于用默顿的复制方法不能得到准确的布莱克-斯科尔斯模型计算结果，很快就变得非常兴奋，并说着“你知道，我总是认为这种复制方法有什么问题。”
遗憾的是，后来我发现无论是我的模拟程序还是我同事的模拟程序中，都有一些微小的但不同的错误，当这些错误得到修正后，复制方法得到的结果就迅速拟合于布莱克-斯科尔斯模型的计算结果！尽管如此，在费希尔心里，他还是不相信默顿的推导，而更喜欢自己最初的证明。
费希尔的独立思考使他得到很多非正统的、经过深思熟虑的思想，这些思想中有些经他的表达之后，变得显而易见。有些思想他是在演讲中说出来的，有些则是在他的摘要中集中出现的，这些摘要是他于20世纪90年代初在高盛工作时非正式传播的简洁但犀利的笔记。
在一篇短文中，他抨击金融经济学的理论基础，写道：“某些经济变量是如此难以估计，我通常称它们为‘不可观测变量’。”一个不可观测变量就是“预期收益”（expected return），是人们买入一种证券后期望获得的收益数量。从马科维茨（Markowitz）开始，金融学的很多内容不加任何怀疑地使用这个变量。但费希尔写道：“我们对于预期收益的估计是如此不牢靠，这几乎就是可笑的。”
在另外一篇名为《管理交易员》的文章中，费希尔提出，交易员应从他使用的方法上进行判断，如果方法是合理的，那么就应该给予奖励，而与他近期是否获利无关。“关键是判断他们交易的逻辑”，关于交易员，他写道：“逻辑可能是错误的，但没有逻辑就来交易，我会不能接受……只看或主要看他们的盈亏是走向灾难的方法。”他希望奖励的是明智且长期的思考，而非短期的对市场的异想天开。
1994年，在被国际金融工程师协会（International Association of Financial Engineers，IAFE）提名为“年度金融工程师”的演讲中，费希尔讲到，在应用研究和学术研究中，他总是偏爱前者。他说，大学教师应凭借教学而非研究获得职位，得到报酬。他相信，大学教师想搞好教学的愿望会促使他们搞好研究。
当费希尔的病到了晚期的时候，他既没有隐瞒病情，也未声张，而是通知了几位必要的人，用一种超然客观的方式把病情告诉他们，这一点令我非常敬佩。我从来没有听到他抱怨过。
他接受了一次大规模的手术，并对那位外科医生充满了真诚的表扬，把他称为是“一位天才”。这让我对那些帮助别人而非研究理论的人略微有些羡慕。手术后，费希尔有了一次短暂的恢复并再一次投入勤勉的工作中。在那段时间里，我们有时在电话里讨论如何构建标的指数会发生跳跃的期权的估值模型。
如果你问他关于他健康的问题，他总是很坦白；但如果你不问，他也不会提到关于他病情的任何信息。后来，当人们从只言片语和传言中感到他的病情又开始恶化时，我鼓起勇气问他病情怎么样了。他只是说，事情“现在看上去还不是十分确定”。
他最终停止上班，通过电子邮件跟所有给他写过东西的人联系。我很高兴能与他保持联系，并把工作中的评论和短小的消息发给他。如果我的电子邮件里没有实质内容，充满了闲聊或抱怨，那么他就会按照自己的风格，很少回复邮件。但如果你真的在邮件里写一些金融方面的重要问题，你就会立即收到回复邮件。有一次，我问他是否这些邮件问题打扰到他，他立即回复说没有，并补充说明到他喜欢收到这些问题。
在剑桥镇为他举行的悼念仪式上，我听到由《金融分析师杂志》（Financial Analysts Journal）前编辑杰克·特雷诺所致的悼词，他在很多方面都给予过费希尔指导。在悼词的结尾，杰克提到，对于死亡“费希尔无所畏惧”。这也是我所看到的事实。费希尔似乎极少在这个世界真实的运行方式上自欺欺人。
无论何时我想到费希尔，我都认为他是一位完全不受感情因素影响的现实主义者。一次，当我计划前往维也纳，在一个罗伯特·默顿也会参加的会议上发表演讲时，我给费希尔（他已经病倒了，但距离他去世还有一年多）打电话，并给他留言，问他该怎样称呼“那个模型”——是该称它为“布莱克-斯科尔斯模型”还是“布莱克-斯科尔斯-默顿模型”？费希尔也用语音留言的方式给我回复，说把模型称为“布莱克-斯科尔斯-默顿模型”也没问题，因为正是默顿提出了对一只期权进行估价时进行期权复制的观点。然后他又冷静地提到“也正是这一部分，很多人认为才是最重要的”。
在专业和个人层面，费希尔似乎比我认识的所有人都没有城府，尽管他的这个特点令他非常难以接触。对于你已经做的工作和已经采取的行动，他会给出他的观点，但只是告诉你他是怎么想的。在公司政治和研究方面，他总是对什么才是最重要的有着极强的判断力，并总是从长远的角度考虑问题。正因如此，当你对某事需要一个清晰的观点时，给他打电话是最合适的。在公司政治方面，他会告诉你要关注质量，即使你周围的人有时并不重视这一点。他促使你关注目标，尽你最大可能推动业务，努力地不断开辟新的领域。他不屑于固守现有的势力范围，他总是鼓励别人寻找新的机会。
费希尔的最后一篇论文是在他去世之前写的，但没有最终完成。文章提交给了《金融分析师》杂志。他给这篇文章起的名字叫《利率就像期权》，巧妙地指出短期利率本身就像看涨期权，并在接下来的文章中对这一结论进行了论述。
在这篇文章的脚注中，杂志的执行编辑介绍了这篇文章发表的背景情况：
费希尔·布莱克在1995年5月1日提交了这篇文章。他在提交论文的信中写道：“我很希望这篇文章得到发表，尽管我可能不会根据审稿人的意见对文章进行修改了。如果我真的不能做出修改，而这篇文章又大体能过得去，你们是否能够注明情况，并按照现在这个样子将它发表出来？”5月22日，费希尔收到了要求他进行修改后再次提交论文的信函，里面附有审稿人的详细意见。他在夏天继续完成这篇论文，并考虑如何针对审稿人的意见进行修改。他在8月31日去世，最后没能完成修改。