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第14章 暗中笑者
■波动率微笑之谜
■超越布莱克-斯科尔斯：开发期权局部波动率模型的竞赛
■正确的模型是很难开发的
我第一次听说波动率微笑，是在1990年12月从戴夫·罗杰斯那里听到的，他当时是公司在东京的首席期权交易员。那时我曾定期出差日本，将我们最新发布的风险管理工具带给公司的交易员，并了解一下他们需要的新模型和新软件。与纽约股票交易所不同，东京市场在日中要闭市，闭市后交易员就不那么狂热，都出去吃中午饭，销售人员外出去见客户，也有时间进行一些悠闲的谈话。在我们聊天的时候，戴夫给我看了他用来观测以日经225指数为标的的期权价格的计算机屏幕。他指出了在日经期权价格上的一个奇怪的不对称：虚值看跌期权价格出乎意料地高于其他期权的价格。
所有人都将这种不对称成为“微笑”或“倾斜”。最初，它看上去只是有点有趣罢了，是我们可以容忍的、特别的不正常而已。后来，当我对它思考更多一些的时候，我意识到波动率微笑的存在有悖于布莱克和斯科尔斯所建立的20年的期权理论。而且，如果布莱克-斯科尔斯公式是错误的，那么它所预测出来的期权价格与标的指数价格变化间的敏感度（即所谓的“delta”）也是错误的。在这种情况下，所有利用布莱克-斯科尔斯模型计算出来的delta对自己期权组合进行对冲的交易员都是错误的。但恰恰布莱克-斯科尔斯模型的核心就是给出复制和对冲的方法。因此，波动率微笑就在护佑期权交易的理论堤坝深处捅开了一个小洞。如果布莱克-斯科尔斯是错误的，那么用于期权对冲的正确delta值应该是多少呢？
20世纪90年代，波动率微笑最初只是权益类期权的一个特性，后来逐渐传染到其他市场中，只是在每个市场上的表现略有不同罢了。弄清楚波动率微笑，成为困扰我和许多我的宽客同行的主要问题。这种异常正好处于期权交易和期权理论的交叉领域，我花了大量精力尝试对它建模。
满腔热情、野心勃勃地开始工作，急着成为对很重要又很有趣的事情进行正确建模的第一人，这让我感到好像又回到了物理学领域。我着迷于建立一个被所有人接受的模型，能够取代布莱克-斯科尔斯公式，但事实并不像我想象的那么简单。在接下来的10年里，我了解到了“正确”在金融建模过程中是一个远比我想象中更模糊的概念。
在金融建模职业生涯中，你不断学到的内容之一就是单位的重要性。你总是希望证券价格的报价方式能使其更易于比较它们的相对价值。
比如说，当你要比较债券的价值，仅有它们的价格是不够的，因为每只债券都有不同的到期期限和利息，因此，你会报出它们的收益率。不管利息和到期期限是多少，债券收益率能够提供一个债券所能为你带来收益的估计。你可能不知道一只价格为98的折价债券是否好于一只价格为105的溢价债券，但你知道，在所有情况相同的条件下，5.3%的收益率要差于5.6%的收益率。这种从价格向收益的转换，本身就是一个模型，尽管它很简单，但是它是沟通价格的方便方式，也是朝着估值迈出的有益一步。
同样地，在期权的世界里，仅有价格也不足以评估价值。判断价格为300日元的虚值看跌期权是否优于价格为40日元的深度虚值看跌期权，是不可能的。评估期权价值更好的测度标准是期权的隐含波动率。布莱克-斯科尔斯模型将股票期权视为一种对股票未来收益波动率的赌博。股票波动性越强，这种赌博就越可能带来收益，因此你就要支付更多的价格。你可以用布莱克-斯科尔斯模型将期权价格转化成为股票未来肯定会表现出来的波动率，以便于这只期权的价格具有可比性。这种测度工具就被称为期权的隐含波动率。也可以说，这就是股票未来波动率的期权视角。
布莱克-斯科尔斯模型是市场标准。当那天我在东京挨着戴夫坐下来的时候，他的计算机屏幕上显示着以布莱克-斯科尔斯模型隐含波动率报出的价格。即便到今天也没有人认为布莱克-斯科尔斯模型就是估计期权价值最好的方法，很多技术非常高超的交易员有时还会使用更复杂的模型，但布莱克-斯科尔斯模型计算出来的隐含波动率仍然是报价的市场惯例。
通常期权的流行性要低于股票，因此隐含波动率市场数据也是粗略的和近似的。尽管如此，戴夫向我指出我已隐约意识到的：隐含波动率存在一个严重的倾斜，以至于低执行价格三月期期权的隐含波动率要高于高执行价格三月期期权的隐含波动率。你能在图14-1中看到这种不对称的大概样子。尽管通常被称为“微笑”，但这种歪向一边的形状更像是一种“傻笑”。
图14-1 1994年年末，以月经指数为标的的三月期期权的典型隐含波动率微笑
图中虚线表示的是1987年股灾之前常见的缺少波动率微笑的情况。
以隐含波动率作为价值测度标准，低执行价格看跌期权是最昂贵的日经指数期权。经历过1987年10月19日的人都能很容易地猜到是为什么。那天全球股市大幅跳水，自此以后投资者总是对于市场短期大幅下跌的可能性存有戒心，他们愿意为保护资产而支付价格。虚值看跌期权是最好、最便宜的保险。就像跑丢了马后关紧牲口棚大门的马夫一样，经历过1987年股灾的投资者愿意为了避免他们曾经历的风险而购买未来的保险。到1990年的时候，在所有权益类市场上都出现了类似的波动率微笑或波动率倾斜。与此形成对比的是，1987年以前，掉以轻心的、不经世事的期权市场都乐于对所有执行价格的期权按相同的隐含波动率定价，如图14-1中虚线所示。
不仅仅是三月期期权的隐含波动率发生了倾斜，在所有期限的期权上都出现了同样的效应。因此，隐含波动率不仅仅随执行价格变化，还会随到期期限变化。于是我们将这种双因素决定的隐含波动率按照时间和执行价格两个维度，描绘成一个两维度隐含波动率曲面。以标普500指数为标的的期权的曲面图如图14-2所示。与收益率曲线一样，这个曲面每一天、每一分钟都在持续变化。
图14-2 1995年中标普500指数的典型隐含波动率曲面
这种帐篷似的曲面对于各地的理论学家而言都是一项挑战。布莱克-斯科尔斯模型不能对此做出解释。对于一个指数或一只股票，在未来所有的时间里，布莱克-斯科尔斯模型都赋予其单一的波动率，因此它总是产生如图14-3a所示的那种没有起伏的、平坦的、也没有什么特点的曲面。如果你想对布莱克-斯科尔斯模型进行修正以考虑到未来指数波动率会不同于今天的波动率，你所能做的最多就是得到一种随时间而倾斜的曲面，如图14-3b所示。但波动率曲面在时间和执行价格两个方向上呈垂直变化，这一点令人困惑。经典的布莱克-斯科尔斯模型出了什么问题？怎样的新模型可能会解释这种波动率曲面呢？
我们知道布莱克-斯科尔斯模型过于简化了股票价格的行为。它假设股票价格从当前价格以一种缓慢的、随机的、持续不断的方式向未来扩散出去，很像是从点着的香烟顶端冒出的烟雾在屋子里扩散的样子。离香烟顶端越近的地方烟雾密度越大，离香烟顶端越远的地方烟雾密度越小，某一点上烟雾的浓度就代表了烟雾颗粒扩散到这个点上的可能性。在布莱克-斯科尔斯模型中也有类似的“烟雾”，描述了股票价格在未来某个时点上达到某个特定价值的可能性。图14-4显示了布莱克-斯科尔斯模型中描述股票未来价格可能性的“烟雾”。烟雾浓度越低，未来股票价格的不确定性就越高。股票波动率习惯上用希腊字母西格玛（σ）来表示，这个字母就决定了烟雾的扩散率和宽度。股票波动率越大，烟雾范围就越宽。
尽管简化是建模的核心，布莱克-斯科尔斯模型对“烟雾”扩散给出的描述，限定性还是太强了。第一，股票价格并不一定按照固定的波动率扩散，有时某些股票扩散的速度要大于其他股票的扩散速度。第二，也是更严重的问题是，有时股价根本就不会扩散。如图14-4所示，扩散是一个缓慢而连续的过程。在这个过程中，股票价格从100美元变化到99美元要经过这两个价位之间所有可能的价格。然而，在1987年股灾时，情况并不是这样的。那天，道琼斯指数就像是踩在弹簧上的一个兴奋的孩子，直线下跌了500点。
图14-3 隐含波动率曲面
图14-4 布莱克-斯科尔斯模型中的简单扩散情形
阴影部分描述了今日股价为100美元的股票未来可能的价格变化范围。过去的时间越长，股票未来价格的不确定性越强。阴影部分颜色越深，股价越有可能落在那个区域。
从东京回到纽约，我开始与我们量化策略小组的同事伊拉杰·卡尼和埃里克斯·伯尔吉尔一道研究这个问题。我希望扩展布莱克-斯科尔斯模型，以使其能够刚好足够包含“微笑曲线”的情况。“刚好足够”永远就是目标。模型就是模型而已，你要抓住现象的本质，而非事情本身。实事求是地讲，在布莱克-斯科尔斯模型所假定的简化股票价格演化过程中加入复杂性是再简单不过的事情，但没有经过调试的复杂性是没有意义的。
股票投资者最担心的事情就是类似1987年股灾式的下跌，因此，我们将这种可能性加入到布莱克-斯科尔斯模型中。这并不是什么新鲜东西，默顿已经于20世纪70年代中期在他的所谓“跳跃扩散模型”（jump-diffusion）中完成了这项工作。而作为我们工作的开始，我们比他所做的更加简单。对于按照固定速度扩散的股票价格，我们仅仅加入一个新特征，也就是一个很小的概率p，这个概率描述股价可能以J幅度大幅下降的可能性。用来描述这一过程中各种可能性的“烟雾”如图14-5所示。它显示了现在股票价格可能会变化的两种情形：一种是股价以J幅度大幅下降，然后以波动率σH扩散，由于股灾之后人们的愈后兴奋状态，这一波动率可能会很高；另外更可能的一种情况是，股价按照正常的、较低的波动率σL持续扩散。
图14-5 可能发生一次跳跃而后扩散的股票价格在未来可能的价格变化区间
阴影部分颜色越深，价格越有可能落在那个区域。
通常来说，我们假设概率p是以一个百分点为顺序排列的，暗含的意思是在期权存续期内，假定市场发生股灾的可能性约为1%。根据股灾后续效应的直觉和经验，我们选择σH比σL高约40%。现在，我们模型中只有两个未知的变量，股灾情形下的下跌幅度J和与股价正常行为情形下的波动率σL。新模型中变量数只比布莱克-斯科尔斯模型多出一个变量，布莱克-斯科尔斯模型中只假定单一的波动率。我们对这些变量取值进行调试，以使模型的期权价格与决定三月期波动率微笑的两个隐含波动率——实值期权隐含波动率与虚值程度为5%的看跌期权隐含波动率相匹配。在正常波动率σL接近10%，当前股价下跌幅度接近25%的情况下，我们发现我们可以得到如图14-1所示的那些波动率微笑曲线。
我们的模型是按这样的思路来解释世界的：在期权存续期内，日经指数大概有1%的可能性会下跌25%。这就是你为什么要为虚值看跌期权支付更多期权费的原因。然后，我们利用这个模型来估计期权的delta值，也就是对冲指数风险所必需的套保比率。我们也利用它来对越来越流行的、价格对股价大幅下跌幅度与可能性更加敏感的（如障碍期权等）、更缺少流动性或更加奇异的期权进行定价。我们希望我们的交易员能在市场上寻找那些市场价格与我们模型计算出来的价格严重偏离的期权。这样，他们就可以通过买入那些价格明显被低估的期权而卖出那些价格被高估的期权，以期这些价格出现偏离的期权最终能够恢复到我们模型计算出的价格，从而获得利润。
尽管这个跳跃模型抓住了波动率微笑的一个核心问题，但它毕竟过于粗糙了。它对未来的预测就是，日经指数每天一早开盘后，要么是出现瞬间兴奋的大幅下跌，要么是出现心平气和的扩散，这种预测过于简单了。回头看来，我们或许应该加入一个分布形式，描述可能的下跌幅度和下跌时间。但跳跃很少发生，且由于缺少这种分布的数据，我不得不做出一些未经验证的假定，这样就感觉不够严谨了。无论对错，我们最终是想得到一个约束性更强的模型，模型中的变量经过对所观察到的期权价格调试后最终确定下来。当然，10年后，关于波动率微笑的、更加细化的跳跃扩散模型又变得流行起来了。
我们最初关于波动率微笑的模型，在高盛风险套利小组里还真的找到了用户，在那里精明能干的交易员将交易知识和量化方法结合起来，从事高层次的交易。有些套利交易员关注于并购，那些收购方常常会以超过股票当前价格的水平，面向公众提出目标公司股票的要约。如果监管者同意了并购，那么目标公司的股价就会跳跃到要约收购价格。在此之前，目标公司的股价就会反映完成这笔交易可能的预期。在这些情况下，我们的跳跃模型就在理论上给出了准确的答案，这些风险套利者偶尔就会利用我们的模型，来看一看他们对于这笔并购交易获得批准的可能性预期，是否跟目标公司当前股价隐含的跳跃可能性相匹配。
同时，从1991年中期到1993年年初，伊拉杰和我还有量化策略小组的其他同事，暂时转向了一个更加紧迫的任务，就是要提升我们的风险系统来处理我们所交易的数量不断增多的奇异期权。
不幸的是，我们对奇异期权研究得越多，我们就会遇到越多波动率微笑的问题：无论何时我们利用布莱克-斯科尔斯模型来对交易部门投资组合中的奇异期权进行估值时，我们所使用的是一个对非常简单的标准期权都会得到错误结果的模型，是一个与波动率微笑并不一致的模型。这种现象不好，如果它连简单情况都会搞错的话，那你就不用指望用它来处理复杂的情况了。如果美国宇航局（NASA）的一个计算机程序连地球和火星围绕太阳旋转的轨迹都不能准确预测的话，那么你就不能相信这个程序可以预报出从地球向火星发射一个行星探测器的飞行轨道。
正确的起点是能够找到这样一个模型，它能匹配所有标准期权的市场价格，跟全部隐含波动率曲面保持一致。只有这样，当它正确调校后，你用来计算奇异期权的价值才是明智的。我们怎样才能找到一个匹配所有曲面的模型呢？
在这里我回顾下我们布莱克-德曼-托伊模型的开发过程。20世纪80年代中期，固定收益期权领域内经历了类似的危机：实践者使用类似拉维的收益率扩散模型来对以任何一只债券为标的的期权进行估值，但感觉并不好用，因为这一模型并不能与收益率曲线上所有国债价格相匹配。布莱克-德曼-托伊模型是这一困境可能的解决方案之一。
我们有一个巨大的优势，就是在进入权益类衍生品领域之前，我们已经有了固定收益领域的工作背景。伊拉杰和我感到在债券及其收益率与期权及其波动率之间有以下类似之处：
·债券价格是以当前长期收益率来报价的，长期收益率反映了市场对未来短期利率的预期。
·期权价格是以当前长期隐含波动率来报价的，长期隐含波动率反映了市场对未来短期波动率的预期。
我们的想法是开发一个后布莱克-斯科尔斯模型，这个模型能够允许我们从当前波动率曲面倒推出未来短期波动率的市场预期。我们不确定怎样实现这一目标，但我们知道世界需要一个更好的模型，而模型的发现者也会得到回报。在整个1993年，我们感觉似乎在与一个不知名的竞争者比赛，看谁能最先发现这样的模型。
伊拉杰和我都是二项式期权模型的极大推崇者，这个模型简单、别致但却相当准确，可以根据一个未来股票价格的网格树来进行期权理论的计算。在一个二叉树中，股票价格就像国际象棋棋盘上的马一样移动，时间上向前一次一步不连续地移动，价格上向上或向下移动一格。二叉树本身又非常容易画出，而且是以一种起起伏伏的方式，模拟股票或指数的价格行为。随着棋盘上的网格逐渐变得越来越细小，价格的变化也就越来越连续了。事实上它们开始扩散了，此时二项式模型就越来越接近于布莱克-斯科尔斯模型了。二叉树就是期权理论中的费曼图，画起来简单，使用起来容易，非常适用于模拟简单交易策略或开发估值模型。即使是我们常打交道的那种不懂数学的交易员也能够理解。二叉树是在布莱克和斯科尔斯写成他们的论文后不久，最先由威廉·夏普（William Sharpe）发明的，然后又被约翰·考克斯、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）和斯蒂夫·罗斯详细阐述。随着期权理论学家逐渐变得专业化、学历越来越高，二项式模型成了一个技术含量较低的工具，但我们仍发现这个模型具有巨大的实用价值。
因此，我们尝试使用如图14-6所示的指数期权价格二叉树作为市场对未来短期波动率观点的抽象。树中左边界表示当前指数点位，从那里开始向上或向下每一步的移动都代表了未来某种可能的指数变化。传统的二叉树做出的关键性假设是，树中所有的变化都是等百分比的。也就是说，在任何未来时间点、在任何未来指数点位，无论指数向上变化还是向下变化，都是以相同百分比扩大或收缩。用技术术语来说，指数收益率具有相同的波动率，这个波动率在整个二叉树中都保持一致，在未来每个时间和点位上全都一样。在布莱克-斯科尔斯模型中，这种固定的指数波动率就导致了由此产生的平坦隐含波动率曲面，这与现实期权市场并不相符。
图 14-6
伊拉杰和我开发了另外一个关于未来指数树形图的替代形式。我们在一张可弯曲的橡胶板上重新画了常见的固定波动率二叉树，然后对它拉伸并扭曲，以使其变成类似图14-7所示的树形图。在这个变形后的树形图中，指数在树状图中每个点上发生变化的程度可能会不同，代表了变化的波动率，波动率取值可能在每一个点上都不同。用理论学家的话说，指数将具有一个变化的局部波动率（local volatility）。我们通过“局部波动率”来表示指数在未来特定指数点位和时间上的短期波动率。图14-6中的恒定不变的或完全相同的波动率，与如图14-2所示的市场中帐篷似的隐含波动率曲面并不一致。我们猜测，肯定存在一种“隐含二叉树”（implied binomial tree），它的局部波动率可以被选择来匹配市场上的隐含波动率曲面。我们期望它能够看上去类似于图14-7中的树形图，在这个树形图中指数局部波动率随指数下跌而上升，反之则反是，以反映波动率曲面随执行价格变化而变化的情况。
图 14-7
图14-7a是未来指数变化的隐含二叉树，未来每一次变化均有一个局部波动率，局部波动率在指数水平下降时上升。那么，是否能从图14-7b中隐含波动率曲面推导出隐含二叉树的形状呢？
可以很容易地想象这样一种树形图。给局部波动率如何在树状图中变化制定一套文字上的规则，然后将树状图构建出来，就更加容易了。有了这样一种树形图后，你就可以利用它计算任何很多不同期权的价格，然后将它们的隐含波动率曲面描绘出来。我们可以看到，可以选择一种局部波动率，使其变化能够产生出一个看似真实的波动率曲面。但我们面对的最后问题是我们正在做的工作的逆过程。我们需要从市场提供的隐含波动率曲面出发，据此推导出能够反映它的唯一局部波动率。隐含波动率曲面是最初目标，如果你能从中得到唯一的隐含二叉树，那么我们设想的整个过程就将形成一个真实的理论。
1993年整整一年，量化策略小组花了绝大部分时间继续设计更加完善的风险管理系统，与此同时，我们反复思考波动率微笑问题。在空余时间，我们对隐含二叉树进行修补，但我们仍不确定图14-7中的波动率曲面与我们希望其隐含的波动率曲面间是否存在一一对应关系。我们知道我们能从树形图开始到达波动率曲面，但从波动率曲面到二叉树又是怎样一条无可置疑的路径呢？我们就这个问题与戴夫·罗杰斯和他的交易员们讨论，他们出于我们橡胶板的类比，总是将其称之为灵活树（flexible tree）。我们构建了这种树形图的各种版本，用来对多种期权进行定价和对冲，但我们总是忙着给交易部门提供软件支持，在唯一性问题上倾注全部精力。
曲面与树形图间的关系让我想起了30年前，我在哥伦比亚大学研究生期间听到的马克·卡茨的一次讲座，他讲的问题是如何听出一只鼓的形状。物理学家将其称之为逆散射（inverse-scattering）问题，因为虽然大多数物理模型都是从物理定律出发推导出结果，但逆散射问题却是相反的。以牛顿的万有引力理论为例，它从太阳与其行星之间的万有引力定律出发，推导出行星运动的轨迹。逆散射问题正好相反——在给定观测结果的条件下，他们会问，什么样的定律会产生这样的现象？想象一下，比如说，天文学家观测到一些地球运行轨迹中的奇怪扰动，那么对万有引力定律做出怎样的变动才能对此做出解释呢？
我们对于从波动率曲面中提炼唯一隐含树形图的方法的寻找，就是一个逆散射问题。这种方法在金融建模中比在物理学中更常见。在物理学中，一个理论定律的美与优雅，以及得到这些定律的直觉，通常非常具有说服力，而且为解释现象提供了一个自然的起点。在金融学领域里，社会的因素比自然科学更多，因此很少有极具说服力的理论，于是我们别无选择只能采用现象学的研究方法。金融领域中，通常都是从市场数据出发，并对模型的规则进行调校以适应市场数据。这种调校的过程就是一种逆散射的研究方法，而且这也是我们在试图构建隐含树形图过程中尝试要做的事情。
1993年年末的某个时候，我去伦敦拜访高盛在那里的交易部门。在那里，我还给《风险》杂志就奇异期权做了一次演讲。在会议间歇，我遇到了格雷厄姆·库珀，他是《风险》杂志的新编辑，还遇到了约翰·赫尔。在我们交谈过程中，我告诉他们伊拉杰和我已经做的工作。格雷厄姆和约翰告诉我，他们听说伦敦的Paribas Capital Markets公司的布鲁诺·杜佩尔、伯克利大学金融学教授马克·鲁宾斯坦（最初的恒定波动率二叉树模型的合作开发者）也在解决同样的问题。由于担心会把我们的研究信息泄露给竞争对手，我给在纽约的戴夫·罗杰斯打电话，很快征得他的同意，可以在公开场合提及伊拉杰和我已经做的工作。我匆忙返回我的酒店房间，快速在演讲的文稿中加入了几张幻灯片，以描述我们在隐含树形图方法领域的进展。在我的演讲之后，格雷厄姆邀请我向《风险》杂志提交一篇关于我们工作的文章。当约翰听我有时将我们的树形图称之为“灵活”树，有时又称之为“隐含”树，他就暗示我要用“隐含”树形图的说法。
由于我们有很多竞争者，伊拉杰和我紧张不安地重新投入到证明我们树形图的唯一性问题上。我们每天绝大多数时间通常用来改进交易部门的模型，满足对新结构化产品的定价需要，并开发交易软件。只要我们在支持交易部门之余有了空闲时间，我们就重新尝试制订方案，要从隐含二叉树每个未来的节点上推导出唯一的局部波动率。
我们从任意一天市场隐含波动率表面开始，如图14-2所示。然后我们构建类似图14-8所示的二叉树。在树形图中，每个指数点位和未来时间点上的每个阴影三角形都代表一个不同的局部波动率，波动率的大小用阴影部分的深浅来表示。更高的指数点位对应更低的波动率（颜色越浅），更低的指数点位对应更高的波动率（颜色越深）。究竟应该选择怎样的颜色深浅以使其与图14-2中的初始隐含波动率曲面相匹配呢？这就是问题所在。
图14-8中的局部波动率是树形图的一个局部特征，是在每一个单独的小内部三角形中微观视角下的波动率。相反地，图14-2中的隐含波动率是一个全局性特征，是从3万英尺远的地方对所有内部三角形宽视角下的波动率。我们将某只期权的隐含波动率视为在期权存续期内，指数将要经历到的所有局部波动率的平均值[1]。
图14-8 一个有着变化局部波动率的隐含二叉树
树形图中阴影三角形代表着局部波动率。
考虑一个期权，它的到期日和执行价格对应于图14-9中树形图里位于倒数第二列的手电筒所处的时间和指数点位。它的隐含波动率取值就取决于右侧那一列阴影三角形的那些局部波动率的数值，这一列阴影三角形就是在期权存续期内，指数朝着期权执行价格方向移动可能经过的局部波动率区域。假设存在一个X射线源可以将树形图中所有位于右侧带状阴影三角形区域内的局部波动率照亮，那么把在手电筒位置上到期的期权想象成这个X射线源的想法是很有帮助的。
同样地，执行价格位于图14-10中树形图提灯位置上的期权，照亮位于左侧带状阴影三角形里的局部波动率。
图14-9 到期期限和执行价格位于圆弧上的期权的隐含波动率照亮位于树形图右侧区域内的局部波动率
图14-10 到期期限和执行价格位于提灯位置上的期权的隐含波动率照亮位于树形图左侧区域内的局部波动率
执行价格位于手电筒位置的期权照亮了树形图的一部分，而执行价格位于提灯位置的期权照亮了另一部分。但没有一只期权，无论是执行价格位于提灯位置还是执行价格位于手电筒位置，都只能照亮树形图中一个三角形，这个单一节点上的波动率就是我们希望找到的模糊目标。
我们继续努力。我们希望得到一组期权能够照亮每个内部节点上的波动率。但我们尝试的每种方案都失败了——似乎对于单一节点上的局部波动率而言，看上去似乎没有办法了。
后来有一天，当我们在电子表格上摆弄一个五列的树形图模拟版本时，我们发现奇迹发生了。事情如此奇怪，我们在几分钟时间内还以为是由于电子表格编程出了错误。我们几乎完全是偶然地注意到，如果我们用三个执行价格完全不同的期权来照亮树形图内部的时候，其中两个期权的执行价格相近，位于前面，另外一个期权的执行价格滞后一个时间点。这样说吧，如果我们从三个不同角度向树形图内部发射X射线的话，那么只有它们相交叉的那一节点之外，所有其他地方全都照不亮，如图14-11所示。这一发现令人惊奇：我们已经找到了确定某个节点上局部波动率的运算方法，那就是根据该节点周围三个节点上不同执行价格的期权的市场隐含波动率来计算。
图14-11 三个期权如何才能照亮一个节点
现在我们知道了如何一步一步找到每个局部波动率了。我们可以选择隐含树形图中任一节点，从市场隐含波动率曲面上找到环绕这个节点的三个期权的隐含波动率值，然后通过我们的算法就能得到这个节点的局部波动率。利用这个方法，一次一个节点，我们可以找到所有局部波动率。通过这些局部波动率以及它们所处的隐含二叉树树形图，我们就能用与波动率微笑相一致的方法，对任何指数期权进行估值和对冲。我们兴高采烈，相信自己已经在期权定价领域取得了又一个重大突破，这个突破拓展了布莱克-斯科尔斯模型，使其与实际保持一致。
我们并不是唯一兴奋的人。在过去的一年里，马克·鲁宾斯坦和布鲁诺·杜佩尔也开发出了类似的布莱克-斯科尔斯模型扩展形式。几个星期之后，马克在1994年1月的美国金融协会的会议上，发表了主题为“隐含二叉树”的演讲。在接下来几年中，通过与他的谈话，我了解到他也意识到他已经取得了一项重大突破。
几乎是在相同的时间，约翰·赫尔给我寄了一份几周前，布鲁诺在国际金融工程师协会（IAFE）组织的一次纽约会议上所做的演讲稿复印件，布鲁诺的演讲内容是关于另外一个版本隐含树形图的。在这份演讲稿中，布鲁诺也声称发现了一种独特的方法，能够从隐含波动率中求出局部波动率来。
我们中的每个团队或个人——伊拉杰和我、马克、布鲁诺，分别采取了风格完全不同的方式解决了这个逆散射问题。伊拉杰和我已经习惯于与投资银行领域内的用户打交道，他们都是些数学能力不强的交易员、销售人员和客户，因此，我们尽可能将我们的论文写得简单和清晰。我们希望任何人读完这篇文章之后，都能知道到底应该怎样构建自己的隐含树形图。我们一步一步地解释清楚，到底怎样构建树形图以及怎样对树形图进行调校以使其适用于特定波动率曲面，而且，我们用一个已经全部计算出数字结果的、包括五阶段的树形图作为例证，这样任何人都能进行检验。
马克的主题演讲过于注重论证，学术性较强，而且还阐述了这个问题的历史演变。他对这个逆散射问题的最初解法是，重点考虑将某一到期时间的所有市场隐含波动率进行匹配，因此忽略了暗含在隐含波动率曲面上的其他附加信息。
布鲁诺在国际金融工程师协会会议上的演讲则最折磨人。由于是个法国人，他偏好使用规范的数学方法。他那非常简短的报告提出了一个优雅的公式，公式根据相同执行价格和到期时间的隐含波动率曲面上的斜率和曲率来求得局部波动率。他的论文并不容易理解，而且我了解到的人里面也没人可以肯定他的结论就是正确的。有时，我想他是故意弄得晦涩难懂，没有给出明确的公式推导过程，而直接给出标新立异的结论。
我们研究了布鲁诺的报告，很快意识到他那简明的公式完全等同于伊拉杰和我在离散树形图上所开发出来的结果。只不过在他使用微积分的地方，我们使用的是代数。尽管重要性或伟大程度上不能相提并论，但我们的角色就像是费曼之于施温格或布莱克和斯科尔斯之于默顿。在我们论文后面的附录中，我们重新推导了布鲁诺的结论，并增加了一个更加容易让人明白的证据，以及对他工作的引用。
1993年12月末，布鲁诺、伊拉杰和我分别向《风险》杂志的格雷厄姆·库珀提交了各自的论文。布鲁诺的论文刊载在《风险》1994年1月刊上，并被加上了一个编者按，说伊拉杰和我的文章将刊载在随后的2月刊上。1月刊上还有一篇格雷厄姆·库珀写的一页纸长度的新闻报道，评论马克、布鲁诺、伊拉杰和我所做的工作，将其称之为新的“超级模型”，还非常准确地描述了我们各自方法的优缺点。我们都被恰到好处地吹捧了一下。
在之后的几年里，我们巡回参加各种学术讲座和会议。我在数十家大学的金融系和商学院里、维也纳期权交易所、数不清的业内会议上发表演讲。在日本、法国、瑞士、西班牙和意大利这些国家，交易员更加经验丰富，更喜欢了解量化理论，他们的销售人员带着我去见一拨又一拨的客户。我们在苏黎世和伦敦、毕尔巴鄂和巴黎、米兰和慕尼黑，给大型团体做一整天的学术讲座。这真是令人兴奋！
伊拉杰和我与在1994年加入我们小组的另外两名前物理学家迈克·卡莫、邹乔一起，继续完善这一模型，并利用它对奇异期权进行估值。我们还与量化策略小组中的两名软件工程师丹尼斯·厄金纳和艾伦·巴科沃特一起，将模型嵌入到交易部门的交易软件中。最重要的是，我们努力将模型的数学特征概括成交易员能够接受的、发自内心的理解。由于他们所有的直觉都是基于布莱克-斯科尔斯模型，于是我们就开发出一系列简单的、近似的修正方法，交易员们可以利用这些来自于实践的规则来对布莱克-斯科尔斯模型稍加改动，就能应用到隐含树形图上了。
事实证明，向我们的交易员解释模型远比向我们的客户解释模型困难。交易员非常繁忙，他们的生活主要是盯住屏幕，服务销售人员，将他们的交易指令输入计算机系统。每天他们都要做上几百笔或几千笔的新交易，通常要工作到深夜，以保证所有的细节在他们部门的前台风险管理系统和在公司层面保存会计账户和交易记录的后台主机之间完全准确、相互一致。相对于提高定价水平，他们对将自己生活中的记账记录部门进行自动化更感兴趣。
交易员在模型使用方面是有决定权的，他们可以使用他们想要使用的任何模型，不需要原因或验证。如果你希望他们采用不同的比例对冲，证明的责任就在于你。他们并不愚蠢，只是有点门外汉的感觉，不喜欢使用他们自己不理解的新模型。可不幸的是，他们又不愿意在理解模型方面花时间。当交易员还没有使用模型时，很容易让他们使用最先得到的模型。一旦他们有了所依赖的模型，让他们再接受改进的模型就难了。
即使布莱克-斯科尔斯模型会产生一个平坦的波动率曲面，但是他们仍然坚持使用单一波动率框架的布莱克-斯科尔斯模型来对奇异期权进行估值。为了弥补这一缺陷，他们将他们所剩的所有精力和直觉都用来选择一个“正确的”单一波动率，并将其应用到错误的模型中去。一位资深的交易员坚称，即使隐含树形图模型是正确的，布莱克-斯科尔斯模型是错误的，他也总是能够想办法找到合适的单一波动率，将这个波动率放入错误的模型中，从而得到一个期权的正确估值。因此，有一天我发现有一些特定的奇异期权，利用隐含树形图模型所得到的正确估值，完全超出了我们能从布莱克-斯科尔斯模型中所得到的取值范围，也是就是说，无论我们在布莱克-斯科尔斯模型输入怎样的单一波动率，都不能得到这样的估值结果。之所以产生这样的结果就是因为，对于这些期权而言，根本就不存在这样的单一波动率，能够从错误的模型中得到正确的结果。带着极大的喜悦和一点点复仇感，我向交易员们展示了这些例子。但这只是一个小小的胜利，因为它不能改变任何一个人的行为。
到了2000年，当我致力于在高盛批准使用所有模型时，潮流开始发生转向。在高盛和它的竞争者那里，越来越多的交易部门都要为它们所使用的模型提供一些验证，以确保模型适合它们所在的市场。无论如何，在交易员和风险管理人员的角力中，交易员总是力量更大的一方。
1994年年末的一天，交易员和宽客之间的紧张关系让我做了一件特别愚蠢的事情。那天，我一整天都在应付不耐烦的、我提供不了的系统支持方面的需求。那天晚上，我乘坐一辆机场巴士去肯尼迪机场赶乘一班去往维也纳的飞机，根据日程安排，我要在奥地利期权交易所组织的一次会议上发表主题为隐含树形图的演讲。登上飞机，坐在商务舱靠近过道的位子上，我总算是放松下来了。我被工作中持续的努力奋斗弄得筋疲力尽，发誓以后再也不任人摆布了。
起飞前，正当我放松的时候，有一家三口在最后一分钟登上飞机，开始寻找他们的座位，但他们的座位并不相邻。那位年纪在五十几岁的绅士父亲坐在我右边靠窗的座位，他的儿子坐在与我相邻的、过道那边的座位上，他的妻子则坐在机舱很前面的地方。当我简单翻阅奥地利期权交易所会议议程的时候，这位父亲问飞机空乘人员是否有他们一家三口能够坐下的相邻的三个座位。最后，经过大约10分钟不成功的协商，他转向我，问我是否愿意与他的儿子交换一下过道的座位。我正恼怒于整天被人使唤来使唤去，我还记得我的“不再当老好人”的承诺，我就要坐在我选择的过道座位上，并不打算将它换给谁。于是我转过头，带着不适当的、顽固的表情回答说：“对不起，我要坐在我现在的位子上。”
当我们起飞飞往维也纳的时候，我惊惧于自己那无意义的固执己见。我的座位和他儿子的座位都是靠过道的，我这样固执并没有得到什么好处。更坏的是，我现在让自己陷入了不幸的境地，因为在接下来的10个小时里，我就坐在我本没必要惹恼的人旁边。当我在内心琢磨着如何补救我所做的事情时，我充满了负罪感。
我一边感到极度痛苦，一边继续翻看会议议程。然后我注意到，坐在我右边的男士从公文包里抽出了同样的会议议程，也开始翻看。我再一次看他的脸，突然意识到我就坐在鲍勃·默顿（Bob Merton）本人旁边。鲍勃·默顿是连续时间序列金融模型的开发者，还是哈佛大学教授兼长期资本管理基金合伙人。那天早上，我刚刚在他那本著名的《连续时间金融》（Continuous Time Finance）的内封面上看到他的照片，那本书我好像是读到了跳跃-扩散模型部分。
我怀着羞愧之心扭头转向默顿，为自己的粗鲁行为道歉。但那时，他的儿子已经睡着了，换座位已经毫无意义，因此，我们就期权定价模型的发展历史聊了几个小时。尽管鲍勃非常和蔼、可亲，我还是因为展示了自己性格中令人不快的一面而羞愧难当。因此，在会议过程中，我发现自己总是有意无意地躲着他和他的家人。我向自己发誓，下一次我只会对那些应该强硬对待的人才表现出强硬。
尽管马克、布鲁诺、伊拉杰和我是第一批利用局部波动率来解决波动率微笑问题的理论工作者，但还有很多其他人也有着相似的想法。特别值得一提的是，我碰巧看到由加拿大西蒙·弗雷泽大学（Simon Fraser University）的一位以色列金融学教授艾维·比克所写的一篇内容密切相关的文章。1994年11月，我在纽约大学名为“衍生品：前沿技术”的会议上发表演讲，当听到一本期权教科书的作者加利·甘斯梯纽（Gary Gastineau）谈到我们的模型使期权定价更加准确，从而提高了市场流动性时，我感到情绪高涨。尽管我们有生之年，见证了局部波动率成为一个家喻户晓的词以及成为教科书里讨论的主题，但我发现创造真正成功的金融模型远比我想象中的困难。
由于考虑到了波动率微笑问题，局部波动率是对布莱克-斯科尔斯模型的一种改进，但它本身也有三个不足之处。第一，我们的新模型中没有考虑到指数或股票价格可能发生跳跃的情况，而现在绝大多数市场参与者将这种可能性视为决定极短期波动率微笑形状的主要决定因素。我们最初尝试对波动率微笑进行建模的时候，事实上曾考虑过这种跳跃的情况。但我们从来就没有喜欢过包括跳跃情况的模型——由于跳跃过于剧烈和不连续，不能有效对冲，当你将这种情况考虑在内时，你就不能保证跟布莱克-斯科尔斯模型之间保持一致性。但价格跳跃是事实存在的，忽略这种情况会使我们的模型不够符合实际情况。
第二，隐含树形图非常难以调校。当你为了更精确地计算而尝试逐步构建网格连贯性更好的树形图时，通常你会发现局部波动率曲面出现剧烈的起伏，曲面上从点到点的变化会出现实际并不存在的波峰和波谷。过了一段时间，我们开发了平滑这些起伏的方法，但平滑这些起伏的需要又造成难以满足交易部门所要求的自动生成隐含树形图的要求。这些波峰和波谷产生的原因部分是由于我们没有考虑到价格跳跃。我们尝试的是针对稳定扩散形式中的剧烈现象建模，这就注定难以实现稳定的调校。
第三，我们的模型忽视了波动率本身的随机属性。几年后，伊拉杰和我尝试通过对局部波动率加入一个随机成分来改进我们的隐含树形图模型，但这使得调校和计算更加复杂和难以处理。
后来，我们发现可以通过局部波动率、跳跃、随机波动率或这三者的某种组合来得到波动率微笑。因此，局部波动率和隐含树形图并不是波动率微笑的“唯一”模型。多年以后，在曼哈顿的一次晚餐上，马克·鲁宾斯坦和我谈论起过去，我们都懊悔地嘲笑起我们曾经期望实现的结果和最终实践结果间的不匹配。
无论如何，我最终还是很满意的。伊拉杰和我是最早一批为新奇现象提出一个统一模型的人，我们创造了一个新的框架和新的词汇，而且我们是在华尔街第一线而非悠闲的学术研究机构中实现这一切的。就像所有模型一样，我们开发的模型有些简单，它也没有讲出全部故事，但它是一个合情合理的、自身逻辑一致的小世界，它专注了股票波动率市场上一个真实的、核心的特征：当市场下跌时，波动率倾向于上升。局部波动率模型已经成为学术界和实务界所使用的标准工具库的一部分。
20世纪90年代，波动率微笑问题扩散到几乎所有其他期权市场。在惧怕市场剧烈波动可能会伤害投资者的所有市场中——股票大幅下跌、金价大幅上涨、汇率和利率上下大幅波动——都出现了波动率微笑和倾斜的问题，我们的模型就成了能够解释这些特征中至少部门特征的原因，因此成了一个关键的工具。新千年快来的时候，波动率微笑模型到处可见，《风险》杂志所组织的会议上年复一年地将整场整场的研讨会主题定为波动率微笑。我在高盛衍生品分析小组内领导着一个由12位博士组成的团队，负责对整个公司衍生品业务中使用的定价体系和定价模型进行评估。我们很快发现每个交易部门都有自己的波动率微笑模型（它们全都不一样），还发现我们绝大部分的工作就是对这些模型进行验证。每个部门的模型都不相同，是因为它们所处的市场不同，由于市场自身独特的原因，每个市场都有自己特有的波动率微笑。股票市场惧怕股灾；经过多年低价的黄金市场惧怕金价短期内迅速上涨；在利率市场上，债券投资者惧怕高利率会使他们持有的资产贬值；而通常为客户担保最低利率的保险公司，则惧怕低利率水平会减少他们的现金流入；在货币市场上，投资者惧怕超过某一固定范围的大涨和大跌。每一种恐惧都是基于痛苦的经验之上，对应了一种不同的模式，也就需要一种不同的模型。不存在一种普遍适用的波动率微笑模型。
多年前，当我开始意识到波动率微笑问题，并希望找到“正确”模型的时候，我曾询问过在其他公司工作的同事，问他们认为的正确模型是怎样的。但现在，存在这么多的模型，我不得不问得更加实际一点：不是“你相信什么？”，而是“当你对冲标普500期权时，你是用通过布莱克-斯科尔斯模型得到的套保比率，还是更大些或者更小些？”局部波动率模型得到更小的套保比率，而随机波动率模型倾向于产生更大的套保比率。对于奇异期权而言，模型的差异会被放大。
2003年，在巴塞罗那的一个衍生品会议上，我主持了一个关于波动率微笑问题的小型圆桌讨论会，一共有15个人参加，包括来自全球衍生品部门的交易员和宽客。我向每一个人提出我的简单问题：当你对冲一份标普500期权时，你是用通过布莱克-斯科尔斯模型得到的套保比率，还是更大些或者更小些？我惊奇于虽然第一个波动率微笑模型已经出现了10年，波动率微笑几乎成为每个衍生品市场上的一部分，关于这个问题已经发表了上千篇论文，但是对于这个问题的回答大家仍不能达成共识。
确实还没能达成共识。尽管我们知道更多的波动率微笑理论，我们仍处于一片被黑暗笼罩的平原之上，并不知道什么才是正确的。经过10多年与交易员和理论学家交谈，我已经困惑于“正确”究竟意味着什么。如果你是一个理论学家，你必须永远不要忘记，你正穿过一条不受法律约束的道路，这里的居民们并不尊重你的准则。在市场和理论间，我看到的矛盾之处越多，我就越能感觉到关于金融和人类世界的模型的局限性。
[1] 数学上一种复杂的平均值，但实际上，它仍是一种平均值。