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译者序 我本科毕业于清华大学数学系，后来在中山大学管理学院任教。一个偶然的机会，我了解到量化投资，并读了爱德华·索普的传记。受他和另一个量化投资大师詹姆斯·西蒙斯的影响，我进入了量化投资领域。可以说，本书是我成长道路上的引路灯之一。 可以想象，当我得到机会翻译此书的时候，是何等的喜出望外。我几乎是怀着朝圣的心情完成本书的翻译的。 本书书名为《击败庄家》，但是
致谢 人生如潮，皆有机运；乘浪而行，方得大成。 ——莎士比亚《尤里乌斯·恺撒》 非常感谢罗杰R.鲍德温（Roger R.Baldwin）、威尔伯E.坎蒂（Wilbur E.Cantey）、赫伯特·梅塞尔（Herbert Maisel）、詹姆斯P.麦克德莫特（James P.McDermott）为本书21点 [1] 策略的计算工作提供帮助，也感谢麻省理工学院（
[1] ，使得计牌更加困难 [2] 。一般来讲，牌的数量的增加会稍稍降低玩家的优势。（在波多黎各，通常是2副牌；在伦敦，通常是4副牌。） [1] 目前美国拉斯维加斯赌场的发牌机器一般使用8 副牌。不同赌场可能稍有差异。——译者注 [2] 在内华达州，多副牌的发牌系统越来越常见，被非正式地称作“教授克星”。（见哈罗德·德雷克（Harold Drake）的UPI
[1] ，使得计牌更加困难 [2] 。一般来讲，牌的数量的增加会稍稍降低玩家的优势。（在波多黎各，通常是2副牌；在伦敦，通常是4副牌。） [1] 目前美国拉斯维加斯赌场的发牌机器一般使用8 副牌。不同赌场可能稍有差异。——译者注 [2] 在内华达州，多副牌的发牌系统越来越常见，被非正式地称作“教授克星”。（见哈罗德·德雷克（Harold Drake）的UPI
发牌 游戏开始前，由庄家洗牌，某个玩家切牌。然后，一张牌被“曝光”（牌面朝上放到整副牌的下面），被曝光的牌可以选择是否让玩家看到。接着，庄家给自己发两张牌，再给每个玩家发两张牌。玩家的两张牌是面朝下的，庄家的牌一张朝上，一张朝下。玩家的两张牌和庄家朝下的牌，被称作“暗牌”。 一些赌场会把玩家的暗牌亮出，波多黎各的赌场就是这么做的，这对计牌的玩家很有利。另外，
[1] ，都是10点；对于其他牌，点数为牌面的数字。如果一手牌中带有A，在总点数没有超过21点的情况下，它能被算作11，则这手牌被称作“软”牌，其余被称作“硬”牌。因为对于软牌有两种可能性，我们定义它的点数是将A计作11的点数。 软牌与硬牌之间的区别是重要的。我们将看到持有组合的软牌时的最优策略和持有相同点数的硬牌时的最优策略是迥然不同的。 [1] 花牌即J
天成 如果玩家或者庄家拿到的前两张牌是A和一张10点的牌，那么这手牌就被称作“天成”或者“黑杰克”（blackjack）。如果玩家得到天成而庄家没有，那么玩家从庄家那里得到下注额的1.5倍。 [1] 如果玩家没有而庄家有天成，那么玩家的所有赌注就赔给庄家。如果玩家和庄家都是天成，那么打平。 在1964年，内华达州引入自动21点分牌机，其对玩家的天成进行了2：
[1] 如果玩家没有而庄家有天成，那么玩家的所有赌注就赔给庄家。如果玩家和庄家都是天成，那么打平。 在1964年，内华达州引入自动21点分牌机，其对玩家的天成进行了2：1的赔付。我们将在第9章中分析这类机器。 [1] 目前，美国拉斯维加斯赌场的规则改为“如果玩家拿到天成而庄家没有，则赔付标准是1.2倍”。由于“玩家拿到天成而庄家没有”的概率是4.649%（一
天成 如果玩家或者庄家拿到的前两张牌是A和一张10点的牌，那么这手牌就被称作“天成”或者“黑杰克”（blackjack）。如果玩家得到天成而庄家没有，那么玩家从庄家那里得到下注额的1.5倍。 [1] 如果玩家没有而庄家有天成，那么玩家的所有赌注就赔给庄家。如果玩家和庄家都是天成，那么打平。 在1964年，内华达州引入自动21点分牌机，其对玩家的天成进行了2：
要牌 要牌从庄家的左手边开始并按顺时针方向进行。玩家看了暗牌以后，可以选择“停牌”（不再要牌）；否则他可以要求庄家再发牌，每次一张，牌面朝上。 如果玩家点数“爆了”（超过21点），那他要立刻翻开暗牌并将全部赌注赔付给庄家。在所有玩家要牌以后，庄家亮出其暗牌。如果他的点数小于或者等于16，则必须继续要牌，直到点数大于或者等于17，他才停止。如果庄家拿到一张A，
结账 如果玩家没有超过21点，但是庄家超了，那么玩家押多少赌注，庄家就赔付多少。如果玩家和庄家都没有爆掉，那么点数大的一方就赢得押注额大小的金额。如果双方点数相同，也没有超过21点，那么打平，谁都不赔不赚。 玩家和庄家的平局叫作“Push”。当有平局时，庄家拿走玩家的牌但不触碰其筹码。这有时候让人摸不着头脑，所以为了强制引起玩家的注意，庄家有时候将玩家的牌翻
分牌 如果玩家的底牌是两张一样的牌，就叫作“一对”。他可以选择将牌亮出，分开变成两手牌的各自的第一张，这叫作“分牌”。原来押的赌注跟其中的一手牌，还要押上相同数额的赌注跟另一手牌。对玩家的两手牌，都会自动地发第二手牌，牌面向下。然后，玩家分别对每一手牌进行要牌，就像一开始就发成这样，两者只有下面这个不同之处。如果是一对A分牌，每手牌只能要一张牌，另外，如果分
加倍 在看了暗牌以后，玩家可以选择加倍，然后要一张（也只能要一张）牌。这个策略被称作“加倍”。选择加倍的玩家，亮出底牌，然后拿到第三张暗牌。除了一对A的情况以外，玩家可以在分牌后加倍其中的某一手牌，或者两手。 在波多黎各，只有在11点的情况下允许加倍。在内华达州的一些赌场，尤其是在里诺（Reno）和塔霍湖（Tahoe）地区的赌场，在10点或者11点的情况下允
保险 如果庄家的明牌是A，在发牌前，玩家可以有一个额外的赌注。看了暗牌以后，玩家可以加一个不超过初始赌注一半的额外赌注。在玩家决定是否买保险以后，庄家检查其底牌。如果庄家是天成，保险的赌注获得加倍赔付。如果庄家不是天成，保险的赌注就输掉了，游戏继续。不论保险的结果如何，初始赌注仍然继续，不受影响。 假设玩家买了附加赌注，庄家拿到了天成，但玩家没有，那么玩家输
第3章 基本策略 某个圣诞假期，我和妻子决定从加州大学洛杉矶分校的教学任务中抽身出来，到拉斯维加斯放松几天。我们以前都去过，但是当时我们没有赌钱。我们观看演出，享用物美价廉的大餐，还有在合适的季节泡在游泳池中。 在我们出发之前，加州大学洛杉矶分校的索尔真弗雷（Sorgenfrey）教授向我介绍了某数学期刊上的一篇最新论文 ［2］ 。论文描述了一种21点策略，
玩家的决策 正如我们在上一章中看到的，游戏一开始有一些特定的准备工作。玩家入座后，庄家洗牌，某个玩家切牌，庄家曝光一张牌，在玩家把赌注放到身前的桌面上以后，庄家给每位玩家和自己两张牌。如前所述，庄家的一张是明牌，一张是暗牌。 在这个时候，玩家必须要做出一系列的决策。主要的几个决策包括：如果有机会，是否要分牌，是否要加倍，是否要牌或者停止。一般来讲，玩家是以他
基本策略中的要牌与停止 在大部分情况下，玩家都不会分牌或者加倍。因此，他的决策就简化为要牌或者停止。由于这个决策是最简单也是最重要的，我们先学习这个部分，先不考虑分牌和加倍。 在硬点数的情况下，查看表3-1就可以决定是否在当前点数停止，还是要一张或者多张来改进自己的点数。 表3-1 硬点数下的要牌或者停止 ①当你的硬点数是16时，需要分情况区别对待：如果你有
基本策略中的加倍 下面这部分的策略很关键，也很简单，就是加倍。也许，在学会分牌以后再来记忆软点加倍策略要更加方便一些，但是为了完整性，我们在此就讨论软点数的加倍。 就像在图3-1中指出的，是否加倍必须要在是否要牌之前决定，决策依据如表3-3所示。庄家可能的明牌列在表头，玩家的总点数列在最左侧。为了决定是否加倍，首先看你的总点数是否在左侧列。如果没有在左侧列，
基本策略中的分牌 记住要牌、停止要牌和硬点数的加倍策略（包括软点数的加倍）以后，你可以把分牌策略也考虑进去了。我们首先介绍详细的分牌策略，然后给出一个简单的学习方法。 如果你有一对牌，图3-1显示在加倍和是否要牌之前，你的第一个决定是：是否分牌。你可以依据表3-4做出分牌决策。在这张表里面，庄家的可能明牌列在首行，玩家的可能对子列在最左侧。如果你有对子，从庄
使用基本策略的预期结果 现在，你对基本策略已经足够熟悉，可以实际检验了。 一般来讲，即使你应用基本策略，你和赌场的胜率还是打平的，但以下的数据会鼓励你去应用该策略。表3-6展示了在每手1美元的情况下，玩100手（取决于庄家的速度和桌上的人数，一般需要30分钟到1.5个小时）和1000手（取决于上述条件，一般需要5～15个小时）的预期结果。如果每手的赌注不一样
与其他21点策略及其他赌场游戏的比较 我们之前提及过基本策略优于其他21点策略，也优于其他公布的任何赌场游戏的任何策略。表3-8和3-9列出了具体的数值。 表3-8 基本策略和其他21点策略的对比 表3-9 其他赌场游戏的最佳策略与基本策略的比较 ①在这个正在销声匿迹的游戏中，荷官会对持续下对等赌注的计牌者（0%的优势）表示不高兴。只有在玩家知道牌箱中的哪些
一些常见的21点游戏的误区 21点游戏的基本策略首先由鲍德温等 ［2］ 在本书开始写作的4年前出版（其中有些不太明显的错误 [1] ）。然而，带有致命错误的21点策略层出不穷。 [2] 在下面的讨论中，我们会设计一些实验来展示几个更为明显的错误。有些实验只占用读者不超过1个小时的时间。每个实验都将揭示一个与基本策略相比较的常见策略的错误。 实验将向任何实践过
实验一：硬16点面对庄家A，是要牌还是停止要牌 表2a告诉我们，当庄家明牌是A时，玩家在硬16点时应该要牌而不是停止，这样能增加平均14.6%的优势。换言之，在硬16点时停止而不是要牌会花费玩家平均14.6%的优势。下述实验设计用来验证这点。从一副牌中取出一张A，面朝上放在桌上，这表示庄家的明牌。接着，在一张卡片上写上16，放在你面前，这表示你的硬点数。 当
实验二：硬10点面对庄家A，加倍 这个实验的实施与上一个实验基本一致。因为有着6.1%的最大差别，我们选择暗牌（8，2）来缩短实验时间。6.1%这个数字是从表4j中得到的，从表中我们可以看到，持有（8，2）对庄家A，如果我们简单地要牌，直至达到一个合适的点数，从长期来看我们可以赢到赌注的8.6%。但是如果选择加倍，从长期来看只能赢到赌注的2.5%，两者相差6
实验三：面对庄家明牌5，对6分牌 依据表4f，分牌比停止要牌的优势高17.2+10.2即27.4个百分点。如果你停止要牌，玩100手牌你净输10.2局。如果你分牌，你的100手牌变成200手牌，其中你赢的手数会比输的手数多17.2或者更多。采用分牌而不是停止要牌，你会在这原始的100手牌中多赢27.4局。每种牌型50手的差别就是决定性的。
模仿庄家 引用鲍德温等 ［2］ 的话，“模仿庄家的策略，16点或以下就要牌，17点或以上就停止要牌，从不分牌与加倍，预期收益是-0.056”。也就是说，庄家有5.6%的优势。 让我们通过计算玩家模仿庄家策略来演示如何应用表1。首先注意到，当玩家遵循这些规则的时候，除了两种情况，这个游戏是对称的。如果庄家和玩家都爆掉，则庄家赢。在模拟中，我们假设在玩家爆掉的情
[1] 上述保守策略的劣势可以通过我的朋友，即“给理发师理发的人”圣费尔南多谷州立大学（San Fernando Valley State College）数学系约翰·布拉特纳（John Blattner）教授的经历体现出来。 [2] 有一天，布拉特纳和他的理发师聊起21点。当布拉特纳告诉理发师，他的朋友写了一本书教授如何稳定地战胜庄家，理发师嘲笑道：“这太
第4章 制胜策略 赌客们很快就会从经验中得出结论：和运气相关的游戏有可能会偏向某一方。也就是说，如果一个游戏玩足够长的时间（长期玩），占优势的一方赢的比例会接近某一个固定的数字。现代的赌场游戏已经证明赌场是有利的一方。如有必要，赌场可以调整规则，保证其优势可以足够应对开支并保持投资人理想的利润率。 总的下注额被称为“赌本”。举例来讲，如果我的下注额分别是3美
常见的游戏误区 玩家们进行了很多尝试，去破解庄家的优势。一个常用的手段就是采用各种方法调整每一手的下注额，这类方法有些简单，有些相当复杂。以小马丁（Small Martingale）系统（更好的名字是“加倍法”）为例，玩家的初始赌注是1美元，如果输了，就下注2美元，然后是4美元，8美元，16美元，以此类推，不断加倍赌注直到他赢为止。然后，又从1美元开始下注，
21点游戏中相关性的重要性 与上述情况不同，在赌场的21点游戏中，扑克牌是有记忆的！一轮发牌的结果会影响下一轮甚至下下轮的结果。因此，21点游戏是上面所说独立随机过程游戏的数学结论的例外。 举例来讲，赌局从一副充分洗匀的新牌开始，第一轮就出现了4张A。这轮结束以后，这些牌面朝上放在最后，第二轮从剩余的牌中抽取。那么，第二轮中就没有A了，就没有天成，没有软点，
利用有利条件 本书中给出的制胜策略基于以下事实，在游戏中，一副牌的组成不断变化，优势会在玩家和庄家之间切换。优势通常在10%以内，但在极端情况下可以到100%。我们看到在第一轮中玩过的牌，一般来讲，这些牌会在下一轮中消失这个事实，会使得庄家的优势增加或者减少。 接下来，更多的牌从牌堆中发出，优势在玩家和庄家之间切换，我们可以在玩家占优的时候下大赌注，而在庄家
第一个制胜策略——计5策略 表4-1说明当4张同点数的牌从一副牌中除去，除去5带来的玩家和庄家之间的优势变化是最大的，这个效应甚至大于除去4张A。更重要的是，除去4张5带来3.6%的优势是给玩家的。 现在，假设一副牌里面没有5，但是其他牌都是充足的，因此，在下一轮中就不会有5出现。数学上可以证明，这等同于拿一副没有5的牌来进行游戏。我们不想在这里给出详细的解
计牌 要检查牌堆够不够用可以用以下几种方法。最可靠的方法当然是记住已经使用了几张牌，例如，在每一轮结束时，你可以对自己讲：“发了11张牌，见过1张5。”发出的每一张牌都要被算作“用过的”，但是只有你见过的5才被计入。如果一张牌被曝光，不管你有没有看到几点，把它计入用过的牌。你不需要看清楚用过的每一张牌。然而，如果你错过了一些牌，刚好是5，那么你就会错过一些有
计5策略的改进 假设你不仅计算剩下的5的数量，还计算剩下的牌的数量，这样，你就可以判断牌堆里面是5偏多还是5偏少。一个方法就是用没出的牌的数量（用U表示）除以没出的5的数量（用F表示）。在一般情况下，U/F=13，当U/F大于13时，牌堆中的5偏少。（在极端情况下，当F=0即牌堆中没有5时，U/F没有意义。但是这个时候你已经知道该怎么做了。） U/F越大，你
有利情况的出现频率 赢钱的速度取决于有利局势出现的频率以及牌桌上的人数，表4-4显示了这种相关关系。 表4-4 只对5进行计牌，根据玩家的数量可知有利局面的出现次数 当玩家使用计5策略时，如果牌桌上的人数不多于5人，很明显玩家的优势增加了。
赌注大小的变化 对于问题：“相对小赌注而言，所谓的大赌注多少算大？”一针见血的答案是“越大越好”，因为在有利情况下的大赌注是利润的主要来源。但是，有几种情况是需要考虑的。 如果玩家通常都是下注1美元，然后突然下注了500美元，他马上会引起赌场运营者的注意。如果他赢了，赌场很可能会采取反制措施。一个简单有效的方法就是在玩家下了大注但没有发牌之前，洗一次牌。虽然
第5章 内华达实战 我原以为基于计5策略可以写成一篇有意思的论文，发表在即将开始的在华盛顿特区召开的美国数学学会的年会上。我计划从麻省理工学院出发，我在那里教过书，也进行过21点的电脑计算。会议开始的前几天，学会按惯例出版了会议的大约200个议题的摘要，其中包括我的关于21点计5策略的摘要，即《财富公式：21点制胜策略》。 出发参加会议的前两天，我意外地接到
准备 当我告诉X先生我有兴趣后，他就在某个周日从纽约驱车赶来。他向我展示了足够的博彩知识和玩牌技巧，并且说服我说他可以很快地发现作弊。在X先生和Y先生的邀请与资助下，我从波士顿飞到纽约若干次，讨论了这个策略系统，并计划了去内华达的行程。 读者可能感受到了，计5策略赢得“太慢”了，因为它需要的有利局面太罕见了。幸运的是，在公布计5策略的时候，我已经在研究一个强
10000美元 我本人不太喜欢这种粗放型的方法，因为博彩世界有太多事情我还不懂。我真的不知道假如本金回撤到50000美元，我会怎么办。此外，我此次旅行的目的是实验我的系统，而不是为X先生和Y先生赚大钱。因此，我更愿意获得温和的胜果，而不是一个可能的但不确定的大胜。因此，我倾向于另一种方法，我称之为“保守型”。这种方法在玩家优势是1%的时候下2倍的注，在优势是
热身 在我的坚持下，我们的计划小心翼翼地推进。我们从小赌注开始，1美元到10美元，直到我们逐渐积累了经验。最终，我们准备赌50～500美元。 一开始，我们驱车到镇外的赌场。经过一个小时左右，我赢了一些钱。然后因为那天是耶稣受难日赌场要关闭3个小时，我们回到了里诺。那天晚上，我们调研了几家赌场，看哪家的规则更有利。作为最佳练习场所，我们选择了一家赌场，其规则是
这里100，那里1000 周六下午，我红着眼睛醒来，身体僵硬，好好地吃了顿“早”餐。然后，X先生和我又去了镇外的赌场。仅用几分钟，下注10～100美元，我赢了200～300美元。X先生也一起加入，玩了几个小时。我们陆续赢了650美元，赌场开始在每副牌发完前几手牌后就洗牌。由于有利局势最有可能在最后时刻出现，洗牌大幅降低了盈利。因为我们仅仅是练习，出于谨慎考虑
一把赌900美元 在下一个赌场，最大赌注只有300美元，但是赌场特别的规则弥补了这个缺憾：玩家可以买保险，任何对子可以分牌，任何牌可以加倍。我们买了2000美元筹码，挑了一张没有其他人的桌子。我一直输，4小时差不多输了1700美元。我十分沮丧。然而，和之前无数倒霉的玩家（虽然我希望有更好的理由）一样，我决定一直等待，期望好运“再来一次”，能够挽回一些损失。
最小25美元赌注 周一下午，朋友和我都准备好了大干一场（无论是从通常意义上讲，还是从数学意义上的总下注额上讲）。我们驱车前往塔霍湖最南端（州界）。大约下午6点，我们到达了哈拉这家最大的、灯火辉煌的赌场。人山人海，我好不容易才在21点的赌桌上找到一个位置。 我买了2000美元筹码放在桌上，仅仅几分钟过后，一个监赌人跑过来邀请我吃晚餐和看表演。我于是要求邀请我的
[1] 这意味着玩家可以通过衡量牌堆中大牌（好牌）多还是小牌（差牌）多，来调整下注额。一个简单的办法是见到一张小牌就+1，见到一张大牌就-1；7，8，9点不计入，没看到的牌不计入，对于一副完整的牌和通常的规则，从0点开始计算。 举例来讲，一副完整的牌，依次出现下列牌：A，2，3，6，9，5，4，7，点值计算为A（-1），2（+1），3（+1），6（+1），9
[1] 这些系统在第1版中没有介绍，因为它们所需要的计算是不完整的。计点系统对于初学者和专家都适用。对于最近赌场针对成功玩家的反制措施，这些系统尤其有效。你将看到成功玩家的故事：他如何在波多黎各的赌场里面赢了5万美元，并徒手迫使它们改变了规则。 [1] 可以把（2，3，4，5，6，7）称作低点，把（9，10，A）称作高点。在实践中，结果是一样的。
[1] 这意味着玩家可以通过衡量牌堆中大牌（好牌）多还是小牌（差牌）多，来调整下注额。一个简单的办法是见到一张小牌就+1，见到一张大牌就-1；7，8，9点不计入，没看到的牌不计入，对于一副完整的牌和通常的规则，从0点开始计算。 举例来讲，一副完整的牌，依次出现下列牌：A，2，3，6，9，5，4，7，点值计算为A（-1），2（+1），3（+1），6（+1），9
修正 当你完全熟悉了计点系统，有几个修正可以让它变得更为强大。 比如，当点数为+5，并且一副牌快发完时，这副牌的大点数占比和平时的情况还不一样。例如，点数是+5，只剩下5张牌，那么它们都是大点数的牌。所以，玩家的优劣势不仅取决于点数，还取决于剩下多少张牌。如果我们把这些都考虑进去，系统可以更精确。正确的方法是用总点数除以剩下牌的比例，得到的数字会比只根据点数
亨利·摩根和我的波多黎各之旅 在第1版的《击败庄家》出版后，我上了“我有一个秘密”节目（1964年4月）。当然，我的“秘密”是在一般环境下可以通过玩21点游戏从赌场快速地、稳定地赚到钱。但是这个节目的主持人加里·摩尔（Gary Moore），对节目组也有一个秘密。他的秘密是亨利·摩根要在波多黎各的赌场中试验这套系统，本钱是200美元，亨利会在下一周向节目组汇
认识鲑鱼先生 我们来之前，M先生就注意到了一位很成功的系统玩家，他每晚都玩，稳定盈利。他和M先生已经很熟络了。 赌场的人私下给他取了个花名叫鲑鱼先生（发音成Sal-moan，重音在第二个音节上）。受第1版《击败庄家》的启发，他从6个月前开始玩，赌本是200美元。我在书中说了，这样的赌注就有99%的机会让玩家一直赢下去，只有1%的机会，在极端的坏运气下让玩家把
[3] 这次有可能是我错了（如果真的错了还好些）。然后庄家翻开底牌，就是8，喋喋不休的西班牙语再次响起。 我们继续玩了5个晚上。考虑到我们的下注额很小，这段时间我们的资金波动相当剧烈。有一次，我们输了几千美元，这使得我们加倍努力，那几天我处在巅峰状态。我可以计算A的数量、点数和剩余牌量，或者A，10，非10的数量，有时候不止3个变量，甚至是4个或者5个变量。
关于终局玩法的有趣想法 最终，在我们离开的前一晚，我想到了如何利用发到最后一张牌的规则在波多黎各发一笔财。我的想法在几天前就成型了。M先生对于波多黎各赌场的礼貌、友好、轻松的氛围印象深刻，这里和拉斯维加斯以及其他内华达赌场的体验大不相同。他让N先生帮他计算A的数量，这奏效了；然后帮他计算10和A的数量，也奏效了；最后，N先生完全承担起了用筹码帮我们计数的重担
知道庄家暗牌情况下的策略 我们用新的“基本”策略来玩这手牌和其他5手牌。这里“基本”的意思是说（简化起见），我们只考虑庄家的两张牌和已发出的暗牌。 不再根据庄家的明牌，我们现在根据庄家手里的两张牌来确定策略，总共有55种组合。这个策略的具体计算由朱利安·布劳恩完成，并在我们出发去波多黎各的几个月之前发给了我，表6-1给出了结果。 注意，这个策略和面对庄家相同
长期来看：鲑鱼先生赢了5万美元 我们带着美好的回忆离开了波多黎各，期望着在学校放暑假之后再来度个开心的假期。鲑鱼先生担心我们的这次到访和即将到来的重游会害死赌场这只下金蛋的鹅，他开始在所有有利的情况下全额下注，两个月后他的盈利达到了5万美元。 鲑鱼先生平均一周玩五六个晚上，每晚七八个小时，总共玩了9个月。按40周算，每周40个小时，也就是1600个小时，每小
波多黎各的规则改变了 赌场后来就不再发牌到最后一张了。对于强大的玩家（比如鲑鱼先生、M先生和N先生），赌场会尽可能频繁地洗牌。 鲑鱼先生致电来跟我探讨对策时，我知道了这个坏消息。我建议他开发些处女地，可以试下巴拿马、库拉索、阿鲁巴，还有（谨慎的）巴哈马。海地和多米尼加不要去：可能要美国海军陆战队才能从那儿把盈利带回来（如果有的话）。我告诉他，拉斯维加斯是一个
第7章 完全计点系统 就像简单计点系统一样，完全计点系统（也叫高–低计点系统）已经独立地在《击败庄家》中提出，并被许多读者熟知。但是，这个系统首先是由位于纽约塔里墩的西蒙斯精确制造公司（Simmons Precision Products Corporation）的哈维·都伯纳（Harvey Dubner）向科学界提出的，然后都伯纳在有几千名计算机专家参加的
计牌 在完全计点系统中，我们对简单计点系统进行了升级与优化。第一步，对剩余牌量进行精确计数，而非大致计算。所以我们需要记住两个数字，即前面提到的总点数和未见牌数。未见牌数的计算很简单，对于一副牌，从52开始计数。每次你看到一张牌，就从总数里面减去1。如果因为各种原因你没有看到某张牌已经出现过，不要改变现在的数字，当你看到曝光的牌或者荷官发到最后一张牌时，再调
赌注 在高低索引是2或者更低时，下1个单位的赌注；在高低索引是4的时候，下2个单位。一般来讲，下高低索引的一半基本单位的赌注。索引是6，就下3个单位；索引是8，就下4个单位；索引是10（或者更多），下5个单位。对于上下界限之间的值，你可以按照你的喜好决定下注的倍数。比如，如果索引是5，你可以将其归类为4或者6，分别对应下2倍或者3倍的赌注。即使当索引超过10
加倍 硬点数的加倍策略在表7-3中给出。注意：有时对硬5点选择加倍是最佳策略！这个事实在以前都是不可想象的，直到最近才开始使用。还要注意：牌局的优势越大，我们越倾向于选择加倍。在你的索引值比表中的值高时，选择加倍；如果比表中的值低，就选择不加倍。 表7-3 硬点数下使用高低索引值判断是否加倍 注：当你的索引值大于表中相应数值的时候加倍，当你的索引值小于或等于
加倍 硬点数的加倍策略在表7-3中给出。注意：有时对硬5点选择加倍是最佳策略！这个事实在以前都是不可想象的，直到最近才开始使用。还要注意：牌局的优势越大，我们越倾向于选择加倍。在你的索引值比表中的值高时，选择加倍；如果比表中的值低，就选择不加倍。 表7-3 硬点数下使用高低索引值判断是否加倍 注：当你的索引值大于表中相应数值的时候加倍，当你的索引值小于或等于
优势与有利战局出现的频率 图7-1刻画了玩家的优势随着高低索引值的变化而改变的趋势。注意由保险带来的收益。另外一个有趣的地方是：索引为正时玩家的收益大于索引为负时玩家的损失。这是因为玩家可以调整他的策略，所以他可以在一定程度上减少不利牌局的劣势，同时，他也可以提高在有利局面下的优势。 图7-1 高低索引对应的玩家优势 这些数字给出了这样的印象：如果索引的负值
优势与有利战局出现的频率 图7-1刻画了玩家的优势随着高低索引值的变化而改变的趋势。注意由保险带来的收益。另外一个有趣的地方是：索引为正时玩家的收益大于索引为负时玩家的损失。这是因为玩家可以调整他的策略，所以他可以在一定程度上减少不利牌局的劣势，同时，他也可以提高在有利局面下的优势。 图7-1 高低索引对应的玩家优势 这些数字给出了这样的印象：如果索引的负值
第8章 基于计10的制胜策略 本章讨论的策略，“计10策略”，是第1版中的“主力”制胜策略。从效能上讲，它与完全计点系统是可比的。专家应该同时了解两者，初学者应该尝试首先掌握其中一种，已经对计点系统很熟悉的读者可以跳过这一章或者快速浏览即可。 这个策略通常可为玩家带来1%～10%的优势。在大的优势下赢大钱。小的优势给玩家以伪装：通过计点法，玩家根据优势的大小
10点牌比例的变化对于玩家优势的影响 通常来讲，剩余牌中的10点越多，对玩家就越有利。我们想象一下把一副牌分成两部分，“10点”和“其他”。在玩的过程中，我们跟踪其他牌的数量以及未见的10点牌的数量。这样，根据计10策略，我们只考虑已经见过的牌。就因为我们见过，通过计算其他牌/10点牌（其他牌相对10点牌）的比率，我们就可以判断“10点牌富裕度”。举例来讲，
学习计点 我们的第一个目标是学会在使用标准策略玩牌时，跟踪已出的其他牌和10点牌的数量。这里有一个练习，可以作为学习计数的准备活动。拿一副完全洗好的牌，每次翻开一张牌，“计算”然后把它们翻开放到另一堆里。比如，我刚从写字台上拿起一副牌。我开始计数：“（36，16），黑桃3（35，16），梅花5（34，16），红心3（33，16），方块4（32，16）——现在
保险 这里有一个需要马上考虑的与标准策略相比显著的区别。当比率在2.00以下时，如果机会出现（庄家的明牌是A），就要买保险。如果比率在2.00以上，不要买保险。这是合理的。如果牌中10点比例偏高，而庄家的明牌是A，他就更有可能拿到天成。在决定买保险之前，允许你检查自己的底牌（而且你还有机会看到其他玩家的底牌）。如果你愿意，在决定是否买保险之前，这些因素都可以
策略表 计10策略有点复杂，为了最好的结果，我们必须在比率变化时调整策略，对于每个比率都有对应的策略。幸运的是，这些分散的策略可以被整合到一张表里面，如表8-4所示，更优化的策略在表8-3中。使用表8-3的玩家进行“实时计点”，也就是说牌出现以后就计算。根据这些精确到秒级的信息，他能够玩得非常精确。很多第1版的读者都成为表8-3的专家（在那一版中是表5-3）
学习策略表 在本书的写作过程中，我把这套系统教给了几个兴趣与背景不同的人。一个目的是看看计点方法和本章中（第1版中关键的也是最难的章节）的图表，能否被轻松地掌握。不出意外，所有人在第一次看到表8-3和表8-4并被告知需要计牌时，都很失落。但是，几乎所有人都被其实际掌握的速度惊住了。经过几个小时的训练环节，由其他人发牌，他们通常就足以掌握基本策略。再加上2个小
把A纳入计点 如果你根据A牌的多寡来调整下注，绩效还能进一步提升。当所有的A都出完以后，从你估算的优势值中减去4%。当牌中A的比例比通常多一倍时，在你估算的优势值上加4%。 我们用两个极端的例子来说明A是如何影响你的优势的。假设未发的牌里只剩下A与10点牌。（我曾经见过剩下的8张牌全部是A和10点牌。）你应该下多大的注呢？如果可能的话，下你全部资产的一半，剩
正确的终局玩法带来的可观收益 几年前，现在是富有传奇色彩的人物，有时被描述成“南加州深色头发的小个子”（我们特意不提他的名字），在里诺去了一家大型的著名赌场。据说，他想下大赌注（赌场的上限，可以的话甚至更高），然后因为有些税收上的问题，他希望这是一个不公开的赌局。他用心设计了一些不违反21点游戏核心精神的激励规则。作为一个“持续赢五位数的人”，他积累了可观的
第9章 化解赌场的反制措施 赌场有各种各样的反制措施对付玩家，我们没办法讨论全部内容。另外，就像玩家的资讯越来越丰富一样，赌场也同样可以不断根据新的情况改变他们的应对方式。对主要的赌场反制措施进行讨论，应该能让玩家足以应付新的伎俩。 [1] [1] 一本与赌场反制措施有关的有意思的书籍是《内华达博彩内幕：一个制胜系统玩家的奇遇》，作者是格伦L.弗雷坎（Gle
洗牌 在写作第1版的时候，我曾经有个错觉就是赌场频繁地洗牌可以阻止系统玩家。让我们考虑一个极端的例子，用一副牌来玩，每玩一手牌就重新洗牌。假设桌上只有一个玩家，一次只玩一手牌。你能做得最好的事情，看起来也只有使用基本策略。按照第2章描述的典型规则，你大概有0.13%的优势。从实践的角度讲，赌局是公平的。 现在假设你玩六手牌，赌桌上只有你。在玩第一手牌时（如果
计牌的荷官 当《击败庄家》成为国内畅销书，数十万人读过以后，有些赌场开始让员工读这本书，部分荷官学习计牌。这有两方面的意义：首先，荷官可以鉴别计牌的玩家（更多的在稍后叙述）。其次，荷官可以在点数好时洗牌，点数不好时继续发牌。 假设一个荷官这么做，你该怎么办？我找到的唯一解决办法，除了另找一桌，就是坐在最后一个位子上。在第一次发牌时就下重注，希望利用你的1%的
当牌型有利时出击 我们刚看到了荷官可能在牌好时重新洗牌，牌不好时继续发牌，你也可以做类似的事情。假设你准备进入一个赌局，先停一下，别坐下，先计点。记得先拿好筹码，等到点数变好了，拉开一张凳子就下大注。在这种方法下，你总是从有利的局面开始，等到点数有利再出击。 通过酒店赌场区域时，这个方式可以帮你赚点零花钱。荷官通常不会为了你重现洗牌，因为他不知道你的第一个注
惩罚伪装计牌 许多荷官会在你增加赌注后重新洗牌。一部分荷官是合格的计牌者，知道牌什么时候对玩家“有利”，但是大部分荷官不是，他们洗牌仅仅是为了对付系统玩家的保险措施。我接触过的相当大部分荷官都是伪装计牌的高手，就是说，他们假装（既对玩家，也对监赌人）自己在计算10点和非10点。当一个大注来了，他们就洗牌，但实际上他们根本不知道点数是多少。 当你发现一个伪装计
多副牌 用2副牌或者4副牌的21点游戏持续增加。有些赌场相信，采用多副牌会增加计点的难度。你会发现需要多做一点工作，但是如果你能够轻松应对一副牌，现在也不会太麻烦。 对于2副牌或者4副牌，最明显的不利之处是高低索引或者10点比率的分布区间不是太大。2副牌，比率少0.4%；4副牌，比率少0.5%。而且，（当前牌） [1] 与通常牌型组合的偏离度比较小。因此，有
改变规则 在1964年4月1日，博彩界被深深震动了。拉斯维加斯度假酒店协会宣布21点的规则变更 ［34］ ，这是历史上第一次主流的赌博游戏进行大幅度的规则调整。规则的变更主要是为了应对《击败庄家》第1版中引入的制胜系统（主要是计10系统）。协会发言人加百利·弗戈利亚蒂（Gabried Vogliatti）这样说：“过去的15年来从未有一架飞机不是由至少一个掌
规则的变种 鉴于内华达曾经尝试过变更规则，全球也有相当多的21点游戏的变种，读者需要准备好评估第2章描述的每项典型规则的偏离带来的影响。你可以查询表9-2。以执行基本策略获得的0.12%的优势为基础，增加或减去每种规则变种带来的影响数值，最终的结果就是玩家占优（如果为正），或者赌场占优（如果为负）。 表9-2 基本策略下规则的一般变种给玩家优势带来的大致效果
掩饰 赌场已经很痛苦地知晓，数以千计的基本策略玩家不输钱。更糟的是，数以百计的计10点高手还要赢钱离开。这些高手们面临一个问题。当他们被赌场认出来以后，就会遇到频繁洗牌，或者荷官遮盖牌。有些时候，他们被谢绝参加赌局（被要求离开赌场），或者遇到严重的作弊（有时甚至不加掩饰）。 很明显，如果你想静静地玩好21点游戏，你必须要掩饰自己的行为。首先，不要每次在开始用
自动21点（赌博）机器 赌场最有趣的反制手段之一是最近出现的采用自动（电子）赌博机器来取代荷官。这个机器已经在或者正在被若干家赌场使用。它的广告宣传册透露了相关细节（见章末）。 让我们来分析一下广告中介绍的这种机器。 第一要注意这种机器发一副牌，并且每手牌以后都洗牌，这离抵消计点带来的优势还远得很。我们的第一反应是坐在最后一个位置上，通过我们已经看到的牌来获
送报路线图技术 我被问到最多的问题是“策略已经公开，很多读者获得了成功，现在玩家是否还可以在内华达通过你的系统赢钱”和“最佳方法是什么”。是的，你还是可以在内华达赢钱，这里有一个有效的技术。在每次开始玩之前，从你的赌注中留出大概5次大注的金额——大概是20～25个单位，一直玩到你赢了或者输了这么多钱。不要一次把这20～25个单位的钱都拿出来，而是用它按需购买
第10章 如何识别作弊 赌场的21点荷官通常纸牌都玩得很棒。在我认真研究21点之前，我和认识的人都相信即使荷官如此渴望作弊，他们也是不会作弊的。广为人知的论点是：赌场在这场游戏中占有天然的优势，他们反正都会赢，为什么会有赌场冒着被曝光、名声扫地、失去顾客，甚至吊销牌照的风险去作弊呢？另外，在一个诚信的赌场里，不正当的荷官何必冒着失去工作的风险去中饱私囊呢？
击败对手的荷官——固执的专家一晚浪费20000美元 在内华达做测试的某个下午，X先生独自一人去玩计10策略。第二天一早，他告诉我他在某家大旅馆玩了8～10个小时。他在局势足够有利时下赌场允许的最大注500美元，几个小时内赢了13000美元。这时，赌场派出了“撒手锏”——一个专门对付大赢家的作弊高手。 她作弊的手法是轮到给自己发牌的时候偷偷看一眼最上面的牌。如
红桃皇后 我极度渴望学习怎么保护自己免遭欺骗，因此第二天一早去了这家赌场，Y先生跟我一起。X先生向我们描述了作弊荷官的样貌：瘦、面孔铁青、40岁左右的女人，黑头发但根部有点灰白。 我买了1000美元的筹码，在最近的一桌坐下。我下了30美元的赌注，荷官给我发了一张牌，也给她自己发了一张。然后她发第二张牌给我，这时监赌人冲过来，叫停了她，拿走了牌，叫了另一个荷官
在牌上做标记 荷官作弊最主要的技巧是在某些合适的节点，通过牌的上边缘认出点数，如果有利可图，就发第二张牌。最简单的方法是在牌后面通过某种编码做标记，用特别的符号，表示某一张牌。标记过的牌，被称作“paper”。每年有几百万张标记过的牌被手工生产出来发往各处，尤其是用来在赌局中作弊。它们有时也出现在“魔术”商店里。 所有广泛使用的纸牌品牌都无从幸免，从名声好的
偷窥 标记的牌有一个缺点，就是可以被作为法庭上实实在在的证据。一个更常见的分辨顶部牌的方法，就是荷官真正看到顶部牌的牌面，其优势是可以应用在任何一副牌上。这个方法叫作偷窥。 一个熟练的荷官可以在一张坐满玩家的桌子上，轻松且清楚地看到第一张牌而不被发现。假设第一个玩家爆掉了，荷官拿过他的筹码和牌，通常他用两只手做这些事。如果他左手拿着牌，当手伸出去以后，很自然
一个简单的家庭实验 假如荷官偷看，并且按意愿发第二张牌。这里有一个简单的家庭实验展示他通过这样做能够获得极大的平均优势。 给单个玩家发一手牌（如果必要，可以假想一个），然后给你自己，也就是庄家，发一张牌，让玩家用基本策略玩牌。每次当你给自己发牌之前，看一下最上面一张牌。（可以简单地从一叠面朝上的牌堆中发牌，所有牌都面朝上。）如果你不想要这张牌，拿住它，然后发
发第二张牌 发第二张牌是世界上数以百万计的作弊手段中的重要武器。如果做得好，即使面对专家，都几乎能不被发现。在16世纪，相关的手法与牌的控制方法就很成熟了。参考吉罗拉莫·卡道（Gerolamo Cardao） ［50，132-134页］ 的报告，他可能是那个年代最出色的赌手，在报告中他讲述了不可思议的技巧与诡计。 有一种检测方法（听发牌的声音）通常在嘈杂的赌
牌的堆放：高－低取牌 我在赌场里研究实际运用的作弊手法时，遇到过一种新奇的游戏。其规则非常标准，除了用四副牌洗到一起以外，牌是从“牌靴”中发出来的。牌靴是个黑色的塑料盒子，上边有个开口。四副牌洗好以后，长边在下被放到牌靴里面。牌靴下面有条窄缝，前边一点有个椭圆形的洞。通过椭圆形的洞，牌的背面可以被看到。荷官用他的右手拇指穿过椭圆形的洞来发牌，他把牌从下面的窄
牌的堆放：7点递进序列 有天下午，我和荷官对峙，赌10～100美元。我玩了三四副牌以后，注意到荷官在每副牌开始都会发两手牌，一手21点，一手20点。更神奇的是，每次他的21点都是黑桃A和相同的10点牌，梅花Q。坐在我旁边的是被我私人请来坐镇的迈克尔·麦克杜格尔（Michael MacDougall）先生，他是内华达博彩管制局的特别调查员 [1] ，是世界上顶
最后一棒 一家拉斯维加斯的大型脱衣舞酒店，似乎完全没有作弊行为。我赌5～50美元，半小时赢了几百美元。一个监赌人用开玩笑的口吻问我是怎么做到的。麦克杜格尔先生告诉他，“上上下下，像坐电梯一样”。因为这个监赌人态度非常好，我们也快没地方要去了，所以我们跟这家酒店达成了如下协议：下注5～50美元，玩45分钟，或者赢到200美元，先到为准。45分钟足够短，我几分钟
无理由的偷看 当荷官的明牌是10点时，他会立刻检查暗牌，看是不是天成。如果他的明牌是A，他会首先问玩家要不要买保险（假设允许买保险），然后才查看暗牌。如果他的明牌是其他点数，轮到他玩之前他没有任何理由需要查看暗牌。我多次见到荷官在明牌为A，并且问玩家是否买保险之前，去查看暗牌。于是，他们可以凭借动作和神态去影响玩家。如果他拿到天成，要不干脆不提供保险，要不催
《生活》杂志发布了一篇专题文章，讲到作者保罗·奥尼尔（Paul O’Neil）曝光了一个长时间被掩盖的关于内华达21点游戏作弊的故事。 ［49］ “索普多次被作弊的赌场伤害……他被监赌人赶出（扔出）赌场，被托儿骚扰，被不断地送酒，被黑社会盯梢，两次被赌场热情招待的蒙汗药放倒架出。” [1] 准备他的文章时，奥尼尔阅读了我的书籍。然后，他在拉斯克鲁塞斯用了一周
杂项 荷官作弊的方法千奇百怪，我们这里只能给出简短的介绍。有兴趣的读者可以在参考文献给出的材料中详细研究 ［15，22，36，53，58，66］ 。很多有趣的事实也在1961年秋季博彩参议院调查报告中进行了陈述 ［30，42］ 。 尽管我们多次提醒玩家荷官作弊的风险，但仍有很多赌场是非常诚信的。我们本章的目的是让读者清楚地知晓作弊的危险，让他们有足够的知识能
避免作弊 从实践的角度上说，你不大有机会抓住很多作弊。高水平的作弊只有专家才能发现，有时甚至连专家也做不到。要如何才能避免因为遇到作弊而损失惨重呢？ 我所知道的最好的方法（前面提到的送报路线图方法）已被广泛使用，且效果显著。这里再给出其思想：把你的赌本切分成相同的10等份或者20等份。例如，初始赌注200美元，你可以分成10份，每份20美元。当你坐下来玩的时
《生活》杂志曝光作弊故事 《生活》杂志发布了一篇专题文章，讲到作者保罗·奥尼尔（Paul O’Neil）曝光了一个长时间被掩盖的关于内华达21点游戏作弊的故事。 ［49］ “索普多次被作弊的赌场伤害……他被监赌人赶出（扔出）赌场，被托儿骚扰，被不断地送酒，被黑社会盯梢，两次被赌场热情招待的蒙汗药放倒架出。” [1] 准备他的文章时，奥尼尔阅读了我的书籍。然后
如果停止纸牌作弊行为 在本书的第1版中，我曾给出详细并且简单的流程，能被用来杜绝书中提到的几乎所有的21点作弊方法。这些建议很明显被内华达当作耳旁风。 如何能让普通公民或者联邦政府彻底根除作弊行为？很多人问过我这样的问题，我也进行了长时间的思考。 一个很大的障碍是，你如何获得证据，在法庭上指证像手指动作这般无形的作弊方式？你真正需要的是获得相片，甚至更好的录
美国财政部如何挽回抽水的损失 1962年夏天，一个美国财政部的地下探员拜访了我。他是内华达调查逃税行动某行动组的成员之一，该行动组有六七个探员。他告诉我，有些赌场瞒报了大量“灰色”收入。比如，在21点游戏中，你在赌桌上买筹码，你的钱通常是通过一个溜槽滑到下面一个上锁的盒子中的。这些盒子每隔一段时间被送到清点房，打开，其中的钞票被计入赌场的毛收入。根据探员所述
第12章 科学与运气 大量系统性玩家的出现最终促使了21点游戏的重大变化。我们通过讨论内华达赌场如何应付过去10年来成功的系统玩家（我们称之为“计牌”玩家，因为他们要计牌），对这些改变有了初步的认识。很多有关这些早期玩家的故事都是不公开记录的，或者只为小圈子的人知晓。这些传奇故事是我在完成了本书提及的制胜策略，并且来到内华达实测以后，才了解到的。
早期的盈利玩家 第一个成功的系统玩家，是一个与众不同、毫无代表性的人物，他是一个叫作“肥约翰”的传奇人物。他又高又胖，得名于每次来赌场都带着一大包肥腻的炸鸡。他最长一口气玩了20小时，从不离开桌子一步。赌场给他提供饮料，而他总能从一大包炸鸡中取出无数的食物。很快，大家都知道肥约翰喜欢一个人玩。即使像赌场这样拥挤的地方，他混熟以后想独占一桌也不难。他满嘴粗话，
赌场针对计牌玩家的对策 在此期间，赌场对计牌的玩家采取了现有的或者新发展出来的反制措施。 作弊。 我们之前讨论过作弊了。 禁入。 赌场可以很容易就禁止某一小群玩家入内，但是这对大批量的玩家就不太可行。对于早期的计牌玩家，其相片可以被送到每一家本地赌场，但是面对上千名玩家，这方法显然不可行。除此之外，尽管某个赌场的员工可以识别一个特定的玩家而阻止他入场，但是对
进一步的发展 就像我们在第9章中提到的，赌场尝试着修改规则然后又放弃了。自动发牌机的效果还有待观察。 在玩家方面也有些新进展。在第1版中我们指出有些低成本的小设备可以用来承担算牌的大部分工作，并且应用于多种策略。 有一个叫“击败庄家计算器”的装置，是由汤姆·比恩（Tom Bean）博士在作者的协助下设计出来的。这是一个手掌大小的塑料设备，就像椭圆尺。玩家看到
计算机与赌场 终极的玩家是高速计算机。在这个方向上迈出第一步的是几年前喷气推进实验室（Jet Propulsion Laboratory）的罗伯特·班福德（Robert Bamford）。班福德设计了一个玩21点的“黑盒子”，它是一台分析设备，用来对剩下的牌进行分析。它告诉玩家近似的正确策略和优势比例。牌是通过拨动联动开关输入的。信息的输出是通过按键后反馈的
股票市场 地球上最大的“赌博”游戏几乎每天都在证券交易所内进行。每个交易日，顾客下的赌注大约是2.5亿美元。一年的流水超过600亿美元。这个“赌博”游戏有两个优点：第一，它被假定可以给公司提供金融资助（当股票第一次上市销售的时候）。第二，股票的平均“价值”比起19世纪有明显的上升。所以，这个游戏对玩家“平均”来讲有一点“优势”。 [1] 赌场与证券交易所的相
未来 在20世纪的最后一段时间里，有许多科学的，尤其是数学的方法应用于之前被称为“运气”的预测。我们已经付诸了一些努力，其核心思想在本书中进行了介绍。但是，许多可能性超越了我们现阶段的想象力，我热切地期盼它们的到来。
拾遗 英格兰的21点 本书中描述的制胜策略对于英格兰的21点游戏是完全适用的。下面详细的讨论告诉我们，在拉斯维加斯和波多黎各成功的方法在英格兰也同样适用。对于英格兰读者和去英格兰旅游的读者，这部分讨论会很有趣。对于那些希望检验其对表9-2的理解和对规则变种的应用的一般读者，这部分也会很有意思。表9-2中进行的计算可能会与本章内容有稍许不同，因为我引入了一些修
赌场1 规则： （a）没有曝光牌。 （b）最小赌注是1英镑，最大赌注是50英镑。 （c）除了一张庄家牌，所有牌都是面朝上发出的。（这在计牌中是有帮助价值的。） （d）玩家分牌后，如果再拿到一张相同点数的牌，就允许再分牌。（这提高了玩家的优势。） （e）保险数额的上限是玩家的初始赌注，而不是初始赌注的一半。（这对系统玩家非常有利。当保险是有利可图的时候，计牌玩
赌场3 规则： （a）最小赌注是10便士，最大赌注是50英镑。 （b）所有牌都是面朝上发出的。庄家直到玩家要牌以后才拿第二张牌。如果遇到庄家的天成，玩家只输掉在分牌和/或加倍时增加的赌注。（这对玩家是部分不利的 [1] 。当庄家明牌是A或者10点时，玩家对于加倍和分牌要格外谨慎。） （c）如果庄家是软17点，他可以要牌或者停止要牌，在他看了玩家的牌以后，由他
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21点游戏中相关性的重要性
与上述情况不同，在赌场的21点游戏中，扑克牌是有记忆的！一轮发牌的结果会影响下一轮甚至下下轮的结果。因此，21点游戏是上面所说独立随机过程游戏的数学结论的例外。
举例来讲，赌局从一副充分洗匀的新牌开始，第一轮就出现了4张A。这轮结束以后，这些牌面朝上放在最后，第二轮从剩余的牌中抽取。那么，第二轮中就没有A了，就没有天成，没有软点，也没有A的分牌了（A的分牌对玩家极为有利）。这种没有A的情况（后面我们会看到，平均来讲，玩家会有3%的劣势）会继续，直到重新洗牌，A才会回到游戏。
几年前，某个赌场做了一个尝试，从一副牌中取走了4张10和1张9。我们计算得出结果，这给了赌场2.5%的优势。这个骗局被内华达博彩管制局揭穿，这家赌场也被告上法庭，最终，这家赌场的牌照被吊销。但是法庭上有一个趣闻。赌场运营者是个实践派，完全不懂理论。他们知道缺牌能帮到他们，至于是多少，却完全不知道。因此，面对一个专家指控他们给玩家带来25%的劣势时（而不是2.5%）他们竟然无言以对。