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偏离正态分布和风险度量
未知
偏离正态分布和风险度量
前面可以看出超额收益的正态分布大大简化了组合选择的过程。正态分布保证标准差是衡量风险的完美度量，因此夏普比率是证券表现的完美度量。然而，很多投资者通过观察相信资产收益对正态分布的偏离已经很显著，不可忽视。
正态偏离可以通过计算收益分布的高阶矩来看到。超额收益R的n阶中心矩为（R-）n，一阶矩为0，二阶矩为方差的估计值。（注：对于一个关于均值对称的分布，比如正态分布而言，所有的奇数矩量（n=1，3，5，…）的期望都为零，而所有的偶数矩量都仅仅是标准差的一个函数。比如，四阶矩为3σ4，六阶矩为15σ6。因此，对于服从正态分布的收益率而言，标准差σ提供了风险的全部信息，而资产组合的投资绩效可以通过夏普比率R/σ来计算。然而对于其他非对称分布而言，奇数阶矩可能非零。一个比正态分布更大的偶数阶矩，加上一个负的奇数阶矩，意味着发生极端恶劣状况概率的增加。）
一个关于不对称性的度量，称为偏度（skew），计算公式如下：
偏差的立方有正有负。因此，如果分布是右偏，则如图1-5a中黑色的曲线，偏度为正。左偏如浅色曲线所示，偏度为负。当偏度为正时，标准差高估风险；当偏度为负时，标准差低估风险。
另一个正态偏离的度量考虑分布两端极端值出现的可能性，即从图像上来看有肥尾特征的情况，分布的尾部发生的概率较正态分布预测的要高，分布中部发生的概率则较正态分布的低，如图1-5b所示。这种度量称为峰度（kurtosis），计算公式如下：
之所以减去3是因为正态分布的上述比率为3，所以正态分布的峰度为零，峰度为正则说明存在肥尾现象。图1-5b中的肥尾曲线峰度为0.35。
图1-5a 正态和偏度分布（均值6%，SD=17%）
图1-5b 正态和肥尾分布（均值0.1，SD=0.2）
极端负收益更常见于负偏度或正峰度（肥尾）分布。因此，我们需要一个风险度量来衡量极端负收益率的发生情况。注意偏度和峰度都为纯数值。它们不会随着高频观测值的年化而变化。极端负收益的频繁发生会导致出现负偏和肥尾。因此，我们需要揭示极端负收益发生的风险测度。我们将讨论业界最普遍使用的该种测度：在险价值、预期尾部损失、下偏标准差和极端3δ收益的相对频率。
在险价值
在险价值（value at risk，VaR）是度量一定概率下发生极端负收益所造成的损失。在险价值一般会写入银行的管理条例并由风险管理人员监控。在险价值的另一个名称是分位数。一个概率分布的q分位数是指小于这一分位数的样本点占总体的比例为q%。因此，当q=50时的分位数就是中位数。从业者通常估计5%的VaR，它表示有95%的收益率都将大于该值。因此，这一VaR实际上是5%的最坏的情况下最好的收益率。
当投资组合的收益率为正态分布时，VaR可以从分布的均值和标准差中直接推导出来。标准正态分布（均值为0，标准差为1）的5%分位数为-1.65，因此相应的VaR为
我们可以将观测值从高到低排列以获取VaR的估计值，VaR就是样本分布的5%分位数。通常，受样本数量的影响，我们必须对分位数做插值处理。假设样本由84个年收益率组成（1926～2009年），则5%的观测的序号为4.2。我们必须在从下往上数的第4个观测和第5个观测之间进行插值运算。假设最低的5个收益率为
则相应的VaR在-25.03％和-25.69％之间，并被计算如下
预期尾部损失
当我们通过观测最坏的5%的情况来评估尾部风险时，VaR是所有这些情况中收益率最高（损失最小）的。一个对损失敞口头寸更加现实的观点是：关注最坏情况发生条件下的预期损失。这样的一个值有两个名称：预期损失（expected shortfall，ES）或条件尾部期望（conditional tail expectation，CTE），后者强调了其与左尾分布之间的密切关系。在本书中，我们使用预期损失这一名称。
假设每一个样本点发生的概率相同，因此，我们需要求最底部的5%的观测的平均值。和前面的插值过程一样，我们给最底部的4个值的权重为4/4.2，而给第5个值的权重为0.2/4.2，这样可以求得ES=-35.94%，显著小于VaR的值-25.56%。
注：Jonathan Treussard给出了正态分布下ES的一个公式（见“The Nonmonotonicity of Value-at-Risk and the Validity of Risk Measures over Different Horizons”，IFCAI Journal of Financial Risk Management，March 2007）。其公式为
其中μ为连续复利计算的收益率的均值，σ是其标准差，N（·）为标准正态分布的累计分布函数，F是其逆函数。在上面的例子中，μ和σ的估计值分别为5.47%和19.54%。正态分布假设下，我们有ES=-30.57%，这表明这一分布相比于正态分布有更大的左尾值。需要注意的是，虽然VaR和ES都是利用历史样本估计的无偏估计值，但是仍然可能包含很大的估计误差。
下偏标准差与索提诺比率
正态分布情况下用标准差作为风险的度量存在以下几个问题：①分布的非对称性要求我们独立地考察收益率为负的结果；②因为无风险投资工具是风险投资组合的替代投资，因此我们应该考察收益对无风险投资收益的偏离而不是对平均投资收益的偏离。
下偏标准差（lower partial standard deviation，LPSD）可以解决这两个问题。其计算方法和普通标准差的计算相似，但只使用造成损失的那些样本，即它只使用相对于无风险收益率负偏（而非相对于样本均值负偏）的那些收益率，类似求方差一样求这些偏离的平方和的平均值，然后再求其平方根就得到了“左尾标准差”。因此下偏标准差实际代表的是给定损失发生情况下的均方偏离。注意到这样一个值忽略了负超额收益的频率，不同的负的超额收益的分布可能产生相同的下偏标准差值。
从业人员用下偏标准差来替代标准差，同样也用超额收益率对下偏标准差的比率来替代夏普比率（平均超额收益率对标准差的比率）。夏普比率的这一变形被称为索提诺比率（Sortino ratio）。
-3σ收益的相对频率
这里我们关注大幅度负收益与相同均值和标准差正态分布相比的相对发生频率。当股票价格发生大幅度变动时，我们称这种极端收益为跳跃（jumps）。我们比较低于均值的3倍标准差或以上的收益发生的样本数与正态分布下-3σ收益发生的相对频率。
这一程度对于股票价格下行风险有信息价值，实践中它在高频大样本中更有用。观察图1-4，-3σ跳跃的相对频率为0.13%，即每1000个观察值中有1.3次。因此，在小样本中很难得到具有代表性的结果，或者很难反映真实的关于极端变化的统计预期。
在下文分析一些常见投资工具收益的历史数据时，我们再说明为什么从业人员需要这么多统计和绩效测度来给风险投资做分析。下面专栏介绍了这些测度日益受欢迎的程度，特别是对肥尾和极端值的关注。
华尔街实战
基金不再靠正态曲线度量风险
2008年，一个包含60%的股票和40%的债券的典型投资组合约损失1/5的价值。标准的投资组合理论认为这种情况111年才会发生一次。经典的投资组合理论认为收益率服从一个钟形分布，但数学家和投资者都知道市场运行并不像理论假设的一样完美。如果收益率真的是钟形分布，那么2008年那种下跌发生的概率只可能在概率极小的左尾附近发生，这意味着这种事件几乎是不可能发生的。
近期的历史数据表明，发生这种情况的可能性并非如预测的那么低。在过去20多年里，投资者们经受了1987年股市崩盘、长期资本管理公司的破产、高科技股泡沫的破裂等事件。
华尔街许多新的金融工具都假设市场收益服从肥尾分布，在这一假定下，2008年将近40%的股票下跌这种事情发生的概率就比之前要大多了。这些假设给出了对风险的另一种认识。考虑之前提到的60%的股票和40%的债券这样一种投资组合。在肥尾分布的假设下，投资组合下跌20%的事件每40年就可能发生一次，而不是之前钟形分布假设下的111年。（最近一次像2008年一样严重的危机发生于1931年。）
一个潜在的缺陷是：我们关于稀有事件的历史样本太少，以至于很难构建相应的模型。MSCI Barra的首席分析师Lisa Goldberg说：“数据稀缺是个内在的问题。”
新金融工具的发展同样限制了传统风险测度的作用。正如诺贝尔经济学奖得主哈里·马科维茨于20世纪50年代所指出的，标准差作为一种风险度量可以测量一个投资组合收益率在一段时间内的变化幅度。但是它受收益率向上变化和向下变化的影响相同，而许多投资者相比于获取利润而言更害怕遭受损失。同时，标准差也没有考虑分布肥尾性的影响。
最近几十年，一个考虑了下行风险的新风险指标受到越来越多的关注。这一指标就是在险价值VaR，它可以告诉你在一个特定交易日你有5%的概率损失3%以上的投资之类的事情，但它并没有考虑极端恶劣情况的影响。
为了考虑极端风险，许多公司开始使用预期损失或条件在险价值（conditional VaR）指标，它们代表了当损失超过在险价值时，投资组合的预期损失。条件在险价值估计了不利情况下的预期损失，如J.P.摩根和MSCI Barra等公司都在使用这一指标。
资料来源：Eleanor Laise，The Wall Street Journal，September 8，2009，p.C1.Reprinted with permission.© 2009 Dow Jones & Company，Inc.All Rights Reserved Worldwide.