Local EPUB Text
组合构造与单指数模型
未知
组合构造与单指数模型
在这一部分，我们考察指数模型在组合构造中的意义。我们会看到这一模型有很多优点，不仅在参数估计方面，而且能运用在简化分析和组织分散上。[1]
α和证券分析
单指数模型最重要的优点或许是它为宏观和证券分析提供了框架，这对最优组合的效率至关重要。马科维茨模型要求估计每个证券的风险溢价。期望收益的估计取决于对宏观和公司的预测。但是如果不同的分析师对一个大型的机构（比如共同基金）证券进行分析，一个可能的结果是宏观预测上出现矛盾，而宏观预测影响证券的收益预期。此外，在证券分析中关于市场指数的收益和风险基本假设并不明显。
单指数模型的分析框架分离这两种收益波动的来源，减少不同分析师分析的差异。我们可以写出单指数模型框架输入数据的准备步骤。
（1）宏观经济分析，用于估计市场指数的风险和溢价。
（2）统计分析，用于估计β系数和残差的方差σ2（ei）。
（3）投资经理用市场指数风险溢价和证券β系数的估计值来建立证券的期望收益，这不需要相关的证券分析。市场驱动的期望收益以证券都受影响的信息为条件，而不基于证券分析获取单个公司的信息。市场驱动的期望收益可以作为一个基准。
（4）准确的证券特有收益的预测（证券α）从各种证券估值模型得到，因此，α值反映了证券分析中发现的私人信息带来的增量风险溢价。
在式（4-9）中，单个证券的风险溢价中与证券分析无关的部分为βiE（RM）。也就是说，风险溢价仅来自证券追随市场指数的趋势。任何超过这一基准的期望收益（证券α）都产生自非市场因素。
证券分析的最终结果为一列α值。估计β系数的统计方法是标准化的。因此，我们不希望不同分析师的输入数据有太大差别。相反，宏观和证券分析有更大的发挥空间，分析师在这方面彼此角逐。运用指数模型解决由市场因素导致的溢价，组合管理者便能确信宏观分析师针对市场指数风险溢价的估计值，证券分析师应用一致的市场分析来获得α值。
在组合构造中，α并不只是期望收益的一部分这么简单。它是告知我们某一个证券是高估还是低估的核心变量。考虑一只股票，已经获得α值和β值，我们可以轻易地找到拥有相同β的其他证券。因此，真正决定一个证券是否有投资吸引力的是它的α值。事实上，一个由+α值的证券获得一个溢价，若该溢价高于跟踪市场指数波动趋势，则该证券是被低估的，一个被动投资者会在其投资组合中提高该证券的权重。相反，在其他条件一定时，-α的证券则被高估，其投资权重要相应下调，如果允许的话，较理想的策略是卖空该证券。
指数组合作为投资资产
单指数模型的有效边界图与第3章马科维茨模型的程序非常相似。在这里，指数模型能够使输入列表更加简化，而且，组合最优化显示出单指数模型的另一优势，即简单、直观地显现出最优风险投资组合。在这种情形下，讨论最优化的机制之前，首先考虑指数组合在最优组合中的角色。
假设一个投资公司的章程限制其仅能投资标准普尔500指数中的股票。在这种情况下，标准普尔500指数涵盖了宏观经济对该投资公司持有的大公司股票的影响。假设公司的投资范围只涵盖可投资空间的一部分子集，如果组合仅限于这些可投资产品，投资经理可能要担心其投资的分散化程度有限了。
应对分散化不足的简单方法是直接把标准普尔500指数作为一个投资资产。从式（4-8）和式（4-9）来看，如果我们把标准普尔500指数看作市场指数，那么它的β值为1，没有公司特有风险，α值为0，即其期望收益中不包括非市场风险溢价部分。式（4-10）显示任一证券i和指数的协方差为。为了区别标准普尔500指数与公司投资的n只股票，把标准普尔500指数命名为第n+1种资产。我们可以将标准普尔500指数看作当投资经理不进行证券分析时投资的一种消极资产组合。如果投资经理愿意进行证券研究，那么他可能会构造包含该指数的积极组合，得到更好的收益风险权衡。
单指数模型的输入数据
如果投资经理打算构造一个组合，包括n家积极研究的公司和一个消极的指数组合，则输入数据为：
（1）标准普尔500指数的风险溢价。
（2）标准普尔500指数的标准差估计值。
（3）n套如下估计值：①β系数估计值；②个股残差的方差；③证券的α值（个股的α值估计值，连同标准普尔500指数的风险溢价，以及个股的β决定了个股的期望收益）。
单指数模型的最优风险组合
单指数模型让人们可以直接求解最优风险组合并看出该解的属性。首先，我们可以肯定，沿着马科维茨模型的思路，很容易构建最优化过程并画出在这一框架下的有效边界。
运用估计的α和β系数，加上指数组合的风险溢价，应用式（4-9）能得到n+1个期望收益值。运用β系数的估计值和残差方差以及指数组合的方差，应用式（4-10）则可以建立协方差矩阵。给定风险溢价和协方差矩阵，可以像第3章描述的一样实施最优程序。
我们可以在第4.2节的基础上进一步描述分散化是如何在单指数框架下发挥作用的。等权重组合的α、β和残差方差都是单个证券相应参数的简单平均值，而且，这个结论并不局限于等权重组合中，只需把简单平均方法改为加权平均方法即可。具体地：
目标是通过组合权重的选择来最大化组合的夏普比率。得到组合的夏普比率为：
这时，和标准的马科维茨程序一样，我们可以采用Excel的最优化程序来最大化夏普比率。然而，这并不是必须的，因为最优组合能用指数模型得到。同时，最优组合的解让人们了解证券分析组合构建中证券分析的用处。我们并不会给出每个代数步骤，而是给出我们的结论以及优化步骤的解释。
在深入研究结果之前，首先解释该模型表达的基本风险收益权衡。如果只对分散化感兴趣，将只持有市场指数。证券分析给我们去寻找非零α值证券的机会并选择不同的持有头寸。这种不同头寸的成本是对分散化的背离，换句话说，承担了不必要的公司特有风险。这个模型显示最优化风险投资组合是在寻找α和偏离有效分散化之间的权衡。
最优风险组合被证明是由两个组合构成的：①积极组合，称之为A，由n个分析过的证券组成（之所以称为积极组合，是因为通过积极的证券分析后构建的组合）；②市场指数组合，这是第n+1种资产，目的是为了分散化，称之为消极组合并标记为组合M。
首先假定积极组合的β值为1，在这种情况下，在积极组合中的最优权重相当于比率。这个比率平衡了积极组合的贡献（α值）以及它对组合方差（残差方差）的贡献。类似地，指数组合的权重相当于。因此，积极组合的初始头寸（如果β等于1）为：
接着，考虑积极组合真实β值情况对该头寸进行修正。对于任何水平的，积极组合的β值越高，积极组合与消极组合之间的相关性越大。这意味着积极组合带来较少的分散化好处，在投资组合中的头寸也应该更小。相应地，积极组合的头寸应增加。积极组合头寸的准确调整如下：（注：经过代数计算，可以看出β等于指数模型和积极组合的相关系数与SD（指数）/SD（积极组合）的乘积。如果βA=1，相关系数大于式（4-20）隐含的相关系数，所以指数的分散化价值更小，这就要求如式（4-21）的调整。）
注意，当βA=1时，。
信息比率
式（4-20）和式（4-21）得到积极组合的最优头寸，投资于积极组合的权重为，投资于指数组合的权重为1-。我们可以计算其期望收益、标准差和夏普比率。最优化组合的夏普比率会超过指数组合。它们之间的精确关系为：
式（4-22）表明积极组合（当持有最优权重时）对整个风险投资组合夏普比率的贡献取决于它的α值和残差标准差的比率。这个重要的比率称为信息比率（information ratio）。该比率度量当积极组合权重过高或过低时，通过证券分析可以获得的额外收益与公司特有风险的比值。因此式（4-22）表明要最大化夏普比率，必须最大化积极组合的信息比率。
如果投资于每个证券的相对比例为αi/σ2（ei），此时积极组合的信息比率将实现最大化。调整这个比率，使得所有积极组合中证券的头寸相加等于，即每个证券权重为：
运用这组权重，可以得到每个证券对积极组合信息比率的贡献依赖于它们各自的信息比率，即
这个模型揭示了在有效利用证券分析中信息比率的核心角色作用。某一证券的加入对组合的正面贡献是增加了非市场风险溢价，证券加入对组合的负面影响则是公司特有风险带来组合方差的增加。
与α不同，市场部分（系统性）的风险溢价为βiE（RM），被单个证券不可分散的（市场）风险拖累。两者都受相同的β值的影响。这对任何证券来说都一样，因为任何具有相同β值的证券对风险和收益两者都有相同的平衡贡献。换句话说，证券的β既不是罪臣也不是功臣。它是一个同时影响证券风险和风险溢价的因素。因此我们关注积极组合的整体β值，而不是关注单个证券的β值。
从式（4-23）可以看出，如果一个证券的α为负，则该证券在最优风险投资组合中应为空头头寸。如果禁止卖空，一个具有负α值的证券将从最优化程序中剔除掉，权重为零。随着α非零的证券数量的增加，积极组合本身更好地分散化，在整个风险组合中积极组合的权重也会增加，相应地，消极指数组合权重将降低。
最后注意，当且仅当所有α值为零时，指数组合是一个有效的投资组合，这一点很直观。除非证券分析找到一个α值非零的证券，否则包含这个证券的积极组合将使得这个组合投资吸引力降低。除了其系统风险之外，虽然会获得市场风险溢价，但这个证券会通过公司特定风险增加组合的方差。然而，α值为零时，公司特有风险无法通过非市场风险溢价得到补偿。因此，如果所有证券有零α值，那么积极组合的最优权重为零，指数组合的权重为1。然而，当证券分析找到证券具有非市场风险溢价即α非零时，指数组合就不再有效了。
最优化过程总结
一旦证券分析完成，证券和市场指数参数的指数模型估计值确定，可以总结最优风险组合的构造程序如下。
（1）计算积极组合中每个证券的原始头寸：。
（2）调整这些原始权重，使组合权重和为1，即wi=。
（3）计算积极组合的α值：αA=。
（4）计算积极组合的残差：σ2（eA）=。
（5）计算积极组合的原始头寸：。
（6）计算积极组合的β值：βA=。
（7）调整积极组合的原始头寸：。
（8）此时最优风险组合的权重：；。
（9）计算最优风险组合的风险溢价。根据指数组合的风险溢价和积极组合的α值，得出最优风险组合的风险溢价E（RP）=+。注意由于指数投资组合的β值为1，则风险组合的β值为。
（10）运用指数组合的方差和积极组合的残差计算最优风险组合的方差：。
实例
可以通过用标准普尔500指数讨论风险参数的6只股票构建最优投资组合来演示指数模型的应用。
这个例子只包含了6只股票，从三个行业中选择三对公司的目的是能够产生相对高的残差相关性。这对该指数模型是个严格的检验，因为当进行协方差矩阵估计时，该模型忽略残差之间的相关性。因此，比较从指数模型得到的结果和具有所有特征的马科维茨模型得到结果之间的差异，有一定的研究意义。
风险溢价预测 表4-4中子表4包含每只股票的α和风险溢价的估计值。在实际投资过程中，这些α值本来是投资公司最重要的产品。但统计量在这里只扮演一个小角色，在这个领域，宏观分析和证券分析最重要。在这个例子中，只是用示范数值来演示组合构建的过程和可能产生的结果。你可能会奇怪为什么选择这么小的示范α估计值，理由是即使证券分析揭示定价明显错误的股票，即大的α值，这些预测在相当大程度上也受到估计误差的影响。
最优风险组合 表4-4中子表5展示了最优风险投资组合的计算。在这个例子中允许卖空。注意到积极组合中（第52行）每个证券都有和α值相同的标记。在允许卖空的情况下，积极组合中的头寸都相当大（如英国石油的头寸是0.7349）。这是一个激进型组合，组合的α值2.22%比其组合中任何单个证券的α估计值要大得多。然而这种激进型组合也会导致一个较大的残差平方和（0.0404，相应的残差标准差为20%）。因此，积极组合的配置权重降低了，最终到一个适度值（0.1718，C57单元格）。再次强调了在最优化投资组合时分散化观点是优先考虑的。
最优风险投资组合的风险溢价是6.48%，标准差是14.22%，夏普比率是0.46（见J58～J61单元格）。通过比较，指数组合的夏普比率是0.44（见B61单元格），这个比率与最优风险投资组合的夏普比率非常接近。这一小的改善是运用适度的预测值的结果。当然，一些投资组合管理者能够也确实构建了业绩更好的投资组合。
在这里一个有趣的问题延伸是用指数模型得到的结论是否劣于用全协方差模型（马科维茨模型）得到的结论？图4-5展示了用样本数据采取两个模型得到的有效边界，发现它们之间的差别非常小。表4-5比较了整体最小方差组合G与用这两个模型得出的最优风险投资组合构成的组合的期望业绩。这两个组合明显不同的地方仅在于只考虑方差的最小方差组合。沿有效边界向上移动，要求的期望收益排除了协方差不同带来的影响，投资组合在业绩上变得越来越相似。
图4-5 指数模型与全协方差模型的有效边界
表4-5 指数模型和全协方差模型对比
[1] 用指数模型来建立最优风险组合由Jack Treynor和Fischer Black提出，“How to Use Security Analysis to Improve Portfolio Selection，”Journal of Business，January 1973。