Local EPUB Text
估计单指数模型
未知
估计单指数模型
以单因素模型理论为基础，我们这里提供一个综合性例子，首先估计回归方程式（4-8），然后估计证券收益的协方差矩阵。
为了叙述方便，下面分析六大美国公司：标准普尔500指数中信息技术板块的惠普（HP）和戴尔（Dell），零售板块的塔吉特（Target）和沃尔玛（Walmart），能源板块的英国石油（BP）和皇家荷兰壳牌公司。
我们观察这6只股票、标准普尔500指数和短期国库券在5年中的月收益率（即60个观察值）。首先计算7个风险资产的超额收益，然后通过惠普的准备过程示范整个输入数据表。本章后面讲述如何建立最优风险组合。
惠普的证券特征线
将指数模型回归方程式（4-8）运用于惠普公司即为：
上式描述了惠普公司的超额收益率与用标准普尔500指数收益率来代表的经济状况变化之间的线性关系。回归估计结果描述的是一条截距为αHP、斜率为βHP的直线，称作惠普的证券特征线（security characteristic line，SCL）。
图4-2显示了惠普和标准普尔500指数60个月的超额收益率，图中显示惠普的收益与指数的收益一般是同向变动的，但其波动幅度更大。事实上，标准普尔500指数年化超额收益的标准差为13.58%，而惠普为38.17%。惠普公司收益的波动幅度比指数大，这意味着其敏感度大于市场平均值，即β大于1.0。
图4-2 S&P 500和HP的超额收益
图4-3的散点图更清楚地描述了惠普和标准普尔500指数收益率之间的关系。如图所示，回归线穿过散点，每个散点和回归线的垂直距离就是对应每个t值惠普收益率的残差eHP（t）。图4-2和图4-3中的收益率不是年化的，散点图显示，惠普的月收益率波动幅度超过±30％，而标准普尔500指数的收益只在-11%～8.5%波动。回归分析的结果如表4-3所示。
图4-3 S&P 500和HP的超额收益
惠普证券特征线的解释力
先考虑表4-3，我们看到惠普和标准普尔500指数的相关性很高，达到0.7238，说明惠普经常随着标准普尔500指数的波动而同向变动。R2为0.5239，说明标准普尔500指数的方差可以解释惠普方差的52%左右。调整后的R2稍小于原来的R2，修正了因使用α和β估计值而非真实值所产生的偏差。（注：一般来说，调整后的R2通过=1-（1-R2）推导，其中k为自变量的个数（此处为1），因为截距项导致额外一个自由度的缺失。）当有60个观测样本时，这一偏差很小，为残差的平方，对这一点我们要做更深入的讨论。这是一个衡量由公司特有因素引起的股票与指数平均关系变动的指标，且该指标基于样本内数据。另一个更严格的检验是分析样本各期限的收益率，并检验自变量（标准普尔500指数的收益）的预测能力。样本外数据的回归预测值与实际值之间的关系通常会大大低于样本内数据的相关性。
表4-3 Excel输出，惠普证券特征线的回归统计
方差分析
表4-3的第二栏显示了证券特征线的方差分析结果。其中，回归平方和（SS）0.3752表示因变量（惠普收益率）方差中能够被自变量（标准普尔500收益率）解释的那一部分，该值等于。MS这一列为残差项（0.0059），表示惠普收益率中无法被自变量解释的部分，即独立于市场指数的那一部分，该值的平方根就是第一栏中报告的回归方程的标准误差（SE）0.0767。如果将总的回归平方和（SS）0.7162除以59，就可以得出因变量方差的估计值，即每月0.012，相当于11%的月标准差，如果换算成年度值，（注：当月度数据转化成年化度量时，平均收益和方差均被乘以12。如果方差是乘以12，则标准差要乘以。）就可得年标准差38.17%。注意到，R2等于被解释的SS除以总SS。
注：
等价地，R2等于1减方差中不能被市场收益解释的部分，即1减公司特定风险和总风险的比率，对于惠普公司而言，即
α估计
下面移到表4-3最下方一栏，截距（0.0086）是对惠普公司样本期α的估计。尽管从经济意义上来看这个值已经足够大（年化后达10.32%），但在统计上是不显著的。后面几个统计量可以验证这一点，第一个统计量是估计的标准误差（0.0099），这一统计量衡量了估计的误差，如果标准误差大，那么可能的估计误差也相应大。
注：残差的标准误差和α估计值的标准误差关系为：
该栏中的t统计量是回归系数与其标准误差之比，等于估计值大于0的标准误差值，因此可以用来评估真实值等于0而非估计值的概率。[1]直觉告诉我们，如果真实值为0，那么估计值就不会偏离太远，因此t值越大，真实值等于0的概率越低。
就α而言，我们感兴趣的是对除去市场变化影响的惠普平均净收益。假如惠普收益的非市场成分被定义为特定时期内实际收益减去市场变化引起的收益，这也被称为公司特有收益，缩写为Rfs，即
如果Rfs服从均值为0的正态分布，其估计值与其标准误差之比服从t分布。从t分布表中可以查到在估计值和估计误差为正的条件下真实α值为0甚至更低的概率。这一概率被称为显著性水平，或如表4-3所示的概率p值。传统的统计显著性阈值为5%，一般要求t值高于2.0。回归结果显示惠普α的t值为0.8719，意味着该估值并不显著。也就是说，在某一置信水平下，不能拒绝真实α值等于0的原假设。p值（0.3868）表示如果真实α值为0，那么得到0.0086的可能性为0.3868，即存在一定的可能性。综上分析可以得到以下结论：Rfs的样本平均值太低以至于不能拒绝真实值为0的原假设。
但是，即使α值在样本内的经济意义和统计意义上均显著，我们仍不确定将α值作为未来的预测值。大量的经验数据显示5年内α值不会维持不变，即某一样本期间的估计值与下一期间的估计值之间没有实质的联系。换句话说，当市场处于稳定期时回归方程估计得到的α值所代表的证券平均收益率不能用来预测未来公司的业绩，即证券分析很难的原因。过去不一定预测未来。
β估计
表4-3的回归输出结果表明惠普的β估计为2.0348，是标准普尔500指数的两倍多。这么高的敏感性对科技股票而言是正常的。估计的标准差为0.2547。（注：SE（β）=。）
该β值和标准差产生一个很大的t值（7.9888），p值几乎为0。我们可以大胆地拒绝惠普真实β值为0的原假设。更有趣的是，t统计量也可以检验惠普的β值比市场的平均β值大的原假设。这一t值会度量β的估计值偏离假设值1的误差，且足够大到产生统计显著性。
然而，有一点需要牢记，精确并不是我们所追求的目标。例如，如果要在95%的显著水平下构建一个包括真实β值的置信区间，就应该以估计值为中心，加减约2倍标准差，这样就形成了一个范围较大的区间（1.43～2.53）。
公司特有风险
惠普残差的月度标准差为7.67%，年化后为26.6%。这个数字很大，考虑到惠普本来就很高的系统性风险。系统性风险的标准差为β×σ（S&P 500）=2.03×13.58=27.57%，注意到惠普的公司特有风险和系统性风险一样大，而这对于单只股票来说非常常见。
相关性和协方差矩阵
图4-4描绘了选自标准普尔500指数各板块中一对规模相同的股票的超额收益率。我们看到IT行业是波动性最大的，其次是零售板块，最后是能源板块。
图4-4 组合资产的超额收益
图4-4 （续）
表4-4的子表a显示了标准普尔500指数和六种证券风险参数的估计值，从残差的高标准差这一项就可以看出分散化的重要性。这些证券均具有很高的公司特有风险。集中于这些证券的投资组合具有过分高的波动性和较低的夏普比率。
子表b显示证券对标准普尔500指数的回归超额收益残差的相关性矩阵。阴影部分显示同一板块股票的相关性。两只石油股票之间相关性高达0.7，这和指数模型所有残差不相关的假设相矛盾。当然，这么高的相关系数是因为所选的配对公司来自同一行业。跨行业的相关性一般会小很多。对行业指数残差相关性的实证估计值更符合指数模型。实际上，这一样本中部分股票残差间的相关性为负。当然，相关性也受统计样本误差的影响。
子表c给出了单指数模型由式（4-10）所得的协方差，标准普尔500指数和单个股票的方差位于矩阵对角线上。单个股票的方差估计为+σ2（ei），非对角线上为协方差，值为βiβj。
表 4-4
[1] t统计量建立在收益正态分布的假设上。总的来说，如果我们通过计算偏离假设值与标准误差比值来估计一个正态分布变量，得到的结果服从t分布。观测值很大时，t分布近似正态分布。