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风险厌恶、期望效用与圣彼得堡悖论
未知
风险厌恶、期望效用与圣彼得堡悖论
我们在这里暂时偏离讨论的主题，考察投资者是风险厌恶这一观点背后的基本原理。风险厌恶作为投资决策中心观点的看法至少可以追溯到1738年。丹尼尔·伯努利作为出身于瑞士名门的著名数学家之一，他于1725～1733年在圣彼得堡研究了下面的投币游戏。首先，参加这个游戏要先付门票。其后，抛硬币直到第一个正面出现时为止。在此之前，反面出现的次数用n表示，用来计算参加者的报酬R，对于参与者有：
在第一个正面出现之前反面一次也没出现的概率是1/2，相应的报酬为20=1美元。出现一次反面然后正面的概率是1/4，报酬为21=2美元。出现两次反面再出现正面的概率为1/2×1/2×1/2，依此类推。
表2-8列出了各种结果的报酬与概率：
表2-8 投币游戏结果
所以，期望报酬为
对该游戏的平均被称为“圣彼得堡悖论”：尽管期望报酬是无限的，但显然参加者是愿意用有限价格或适当的价格购买入门票来参与这个游戏的。
伯努利解决了悖论问题，他发现投资者对所有报酬的每份美元赋予的价值是不同的。特别是，他们的财富越多，对每额外增加的美元赋予的“评价价值”就越少。可以用数学方法精确地给拥有各种财富水平的投资者一个福利值或效用值，随着财富的增多效用函数数值也相应增大，但是财富每增加1美元所增加的效用逐渐减少（现代经济学家会说投资者每增加1美元的报酬“边际效用递减”）。一个特殊的效用函数ln（R）分配给报酬为R美元的投资者主观价值，报酬越多，每个美元的价值就越小。如果以这个函数衡量财富的效用，那么这个游戏的主观效用值确实是有限的，等于0.693.获得该效用值所必需的财富为2美元，因为ln（2）=0.693。因此风险报酬的确定等价物是2美元，也是投资者愿意为游戏付出的最高价钱。
1964年冯·诺依曼与摩根斯坦以完全公理体系的方式将这种方法应用于投资理论领域。避开不必要的技术细节，在这里只讨论对风险厌恶基本原理的直觉。
设想有一对双胞胎，只是其中一个不如另一个幸运。彼得名下只有1000美元，而鲍尔却拥有200000美元。他们各自愿意工作多少小时去再挣1美元？似乎彼得（穷兄弟）比鲍尔更需要这1美元。所以彼得愿意付出更多的时间。也就是说，与鲍尔得到第200001美元相比，彼得得到了更多的个人福利或赋予了第1001美元更大的效用值。图2-9用图形描述了财富与财富效用值的关系，它与边际效用递减的概念是一致的。
图2-9 对数效用函数下的财富效用
每个人都拥有不同的财富边际效用递减率，每增加1美元，财富的效用增加值随之减少却是一个固定不变的规律。表示随着财产数量的增加每个单位的价值递减的函数称之为凹函数。一个简单的例子就是中学数学中的对数函数。当然，对数函数并不适于所有的投资者，但与风险厌恶是一致的，前提假定所有的投资者都是风险厌恶型的。
现在考虑下面的简单情景：
这是一个期望收益为零的公平博弈。假定图2A-1代表了投资者的财富效用值，且为对数效用函数。图2-9显示了用数值标出的曲线。
图2-10 公平博弈与期望效用
图2-10表明因损失5万美元造成的效用减少超过了盈利5万美元形成的效用增加。先考虑效用增加的情况，概率p=0.5时，财富从100000美元增加到150000美元。利用对数效用函数，效用从ln（100000）=11.51增加到ln（150000）=11.92，即图上的距离G。增加的部分G=11.92-11.51=0.41。按期望效用计算，增加值=pG=0.5×0.41=0.21。
现在考虑另一端效用减少的情况，在这种情况下，财富从100000美元降到50000美元。图中的距离L是效用的损失，ln（100000）-ln（50000）=11.51-10.82=0.69。因而，期望效用的损失为（1-p）L=0.5×0.69=0.35。它大于期望效用的增加。
我们计算风险投资的期望效用为
而不投资的效用为11.51，所以风险厌恶的投资者将拒绝参加公平博弈。
使用具体的投资者效用函数（如对数效用函数）使人们能够计算给定的风险投资对投资者的确定等额价值。如果该数值能肯定得到，他会认为与风险投资具有相同的吸引力。
如果对数效用描述了投资者对财富的偏好，那么图2-10还告诉我们：对他来说该投资的美元价值是多少。人们要问：效用值为11.37（等于投资的期望效用）所对应的财富水平是多少？在11.37的水平上画出的水平线与效用曲线在WCE点相交。这意味着：
WCE就是投资的确定等价值，图2-10中的距离Y是由于风险对期望收益的惩罚或向下的调整。
投资者认为稳拿的86681.87美元与有风险的100000美元的效用值相等。因此，对他来说二者没有什么区别。