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风险组合的历史收益
未知
风险组合的历史收益
我们现在将前文中介绍的分析工具应用于6种风险投资组合，以便后续分析。基础组合是尽可能广泛的美国股票组合，包括在NYSE、AMEX和NASDAQ上市的股票，并将此标注为“全美股票”。逻辑上说，无人管理（被动）的证券组合应该更多投资于大型公司股票，因此这个基础组合是价值加权的组合。公司市值（market cap）一般向右高度倾斜，存在众多小规模公司，少了巨无霸公司。因为采用价值加权，因此“全美股票”组合以大公司为主导。
这里的数据包括1926年7月至2012年9月间的全部美国上市公司的月度超额收益，样本覆盖86年。我们将样本按照样本长度和经济状况一分为三，以分析这些组合在不同子样本中如何表现。
最早的子样本期大约是20世纪的第2个25年，即1926年7月至1949年12月，总共包括282个月，覆盖大萧条和“第二次世界大战”时期。
第二个子样本期是20世纪的下半期（1950年1月至1999年12月），总共600个月，尽管其间有3次战争（朝鲜战争、越南战争和波斯湾战争），8次相对小幅度经济萧条和复苏期，但总体上属于比较平稳的时期。该子样本期结束于20世纪90年代后期的网络泡沫。
第三个子样本期涵盖21世纪的前153个月，属于困难时期，包括两次不同类型的深度衰退，一次是网络泡沫的破灭，另一次是2007年开始的房地产泡沫的破灭，每次泡沫破灭导致股票价格大约下跌40%。其间马拉松式的伊拉克战争和阿富汗冲突使美国经济雪上加霜。
我们以构造的4个组合与“全美股票”组合进行比较。这些供比较分析的组合主要依据具有实证证据支持与股票收益相关的两个变量来构造的，即公司规模（股票市值）和市净率。
在其他条件相同时，小规模公司股票收益总体上高于大规模公司股票收益。这里的其他条件指所有能够度量的风险。4个组合中包含两个市值规模较高的股票组合，两个市值规模较小的股票组合。
资产负债表中的会计数据反映公司过去资产投资的历史成本，属于回溯型价值度量。公司净资产（账面价值）等于公司市值减去负债余额。然而，公司市值反映现有公司业务的所有现金流现值，也包含公司业务的预期成长以及尚未投产项目的现金流，可以称之为成长机会。账面价值与公司市值的比例优劣取决于现有资产和成长机会的相对比例。低市净率公司一般是那些公司市值依赖于成长机会的公司，而高市净率公司一般称之为价值型公司，其公司市值主要源于现有公司资产。其他条件相同时，价值型公司的平均收益一般高于成长型公司的收益。
法玛和弗伦奇广泛证明了公司规模和市净率效应，这些效应同样存在于全世界的上市公司。[1]法玛和弗伦奇的数据按照规模大小和市净率高中低划分的美国股票组合的收益，并且每年年中进行组合调整。
我们放弃中等市净率公司，并将高市净率公司称为“价值型”公司。低市净率公司称为“成长型”公司，这样得到4个比照组组合，即大型/价值、大型/成长、小型/价值、小型/成长组合。一般采用价值加权方法构造组合，为了更强调小型公司并与含有更多大型公司的“全美股票”组合形成鲜明对照，这里采用等权重法。
表1-8给出了期初期末各组合的公司数量、平均规模、平均B/M值。除21世纪因不景气导致大量小规模公司消失外，组合的公司数量呈增加态势。小规模公司从样本中消失导致余下公司的平均市值增加。所有公司的平均市值从0.57亿美元增加到44.7亿美元，在86年期间平均年增长5.2%，较GDP平均增速（6.7%）略慢，但较平均CPI（3.2％）高出2%。
表1-8 各组合公司数量、平均市值和平均B/M值
①价值加权，因此大型公司占主导。
②B/M值以年中数计。
资料来源：弗伦奇教授网址：http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html.
图1-6展示了总计1035个月的短期国库券和5个风险资产组合收益的直方图。记住，尽管月平均收益差别不大，但对很长一段样本期的期末财富会产生很大影响。图1-6a显示短期国库券收益在-0.05%至1.5%之间[2]，图1-6b给出全美股票组合的月均超额收益在-20%至20%之间，相当于年化收益-93%至891%！纵轴表示各组别的收益（柱状图中黑色柱表示样本收益，有色柱表示正态分布中的收益）。国库券收益的组别宽度为2.5个基点（0.025%），股票组合的组别宽为50个基点。左侧和右侧的极端组合的组别包括了报告范围以外（小于-20%或高于20%）的所有收益频率。图1-6c和图1-6d给出两个大公司或大市值股票组合超额收益的直方图，图1-6e和图1-6f给出两个小公司组合超额收益的直方图。
从股票的超额收益上第一眼可以看出相对于正态分布而言表现出肥尾特征，意味着极端收益发生的频率高。由于极端收益可能产生的巨大影响，一般采用剔除极端收益外的超额收益来拟合正态分布，而将极端收益单独进行估计。所以，图1-6b～图1-6f中的浅色柱子表示的是与±10%实际收益的均值和标准差相当的正态分布下的预期频率，各图中左上方方格标注的是实际分布的均值和标准差，右上方的方格中是以下分组别收益统计量：中间区域（收益在±10%之间），负向跳跃（极端收益小于-10%）和正向跳跃（极端收益高于10%）。
图1-6 1926～2012年化收益分布
资料来源：同表1-3。
直方图使我们有了关于持有股票风险的直观描述。这里的风险主要是负向跳跃的频率和幅度引起的。我们需要些规范分析来认识这些与状态分布的偏离是否具有经济含义。
表1-9列示了全部86年期间以及3个子样本期的5个股票组合的各类统计量。1035个月度样本的平均超额收益显著大于0，表明存在正的溢价。观察价值加权的全美国股票组合，并比较各子样本平均值可以看出，迄今为止的21世纪对于大公司而言相当困难。也不奇怪，20世纪下半期的政治和经济相对稳定，股票组合的平均收益最高，对于等权重组合尤为如此。表1-9A对表1-9进行了补充报告，显示了这些平均收益情况。
表1-9 1926年7月至2012年9月股票月超额收益（年度统计）
①NYSE，AMEX，and NASDAQ，上市股票为价值加权。
②大型股票和最高1/3B/M股票，等权重。
③大型股票与最低1/3B/M股票，等权重。
④小型股票与最高1/3B/M股票，等权重。
⑤小型股票与最低1/3B/M股票，等权重。
⑥根据月度连续复利计算。
资料来源：Author’s calculations，using data from Professor Kenneth French’s Web site，http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html.
与预期相符，20世纪的第2个25年由于经历大萧条和股票价格翻江倒海的变化，这25年表现出最高的标准差（见表1-9B）。
所有股票组合的夏普比率在20世纪的后半期达到最好值（见表1-9C）。21世纪大型公司占主导的全美公司组合表现最差，等权重组合表现则相对适中。令人奇怪的是，尽管经历大萧条时期，20世纪第2个25年的平均收益并不特别低。然而，由于这些估计值很不准确（标准差在0.2或20%之间），我们不能肯定夏普比率在各子样本期和各组合之间有如此的差异。
表1-9A 平均超额收益
表1-9B 标准差
表1-9C 夏普比率
组合收益
本节主要目的是比较5个组合的收益。从价值加权的“全美股票”组合是被动投资者的自然选择这个前提出发，我们选择其他4个组合是因为有证据证明规模（大公司vs.小公司）和B/M（价值vs成长）是组合表现的主要推动力。表1-9A表明小公司/价值型组合事实上在所有时期的平均收益都比较高，与其他组合的平均收益差距都在统计意义上显著。[3]另外，等权重对比组合的平均收益（表1-9A的最右侧一栏）较“全美股票”组合的高。但是在判断这种组合更好或更坏之前，必须要证明组合收益之间的差别不能被风险所解释。这里，我们必须质疑标准差作为特定资产或组合风险度量的正确性。标准差度量整体波动性，因此作为一个投资者整个在险财富的证券组合风险测度是合理的，即作为广义资产配置。作为添加与投资者财富组合上的单个资产或组合的风险应该考虑其增加的风险。这一差别需要标准差之外的其他风险测度。
表1-9B显示的是这些股票组合的高标准差。年化标准差在15%～63%。就以最小的标准差计算，组合价值在1年期间也算很正常。很明显规模与波动性相关，两个小规模股票组合的波动性较高，而两个大公司组合的波动性较低。而且价值型股票组合的波动性比成长型股票的高，但两者之间的差异并不很显著。
无论怎样考虑这些组合的收益问题，我们必须首先决定标准差是不是风险的一个合适的测度。表1-9表明部分组合在部分时期表现出负偏，但是所有组合在所有时期都表现出正的峰度。这表明必须谨慎地评估这些偏离对于在险价值（VaR）、预期损失（ES）以及-3σ频率的影响。最后，因为图1-6分离出±10%范围内和±10%收益之外的月度超额收益分布，我们可以量化这些极端收益产生的影响。
我们从实际收益分布的VaR与相应正态分布（相同均值和标准差）的差异分析开始。记住5%VaR是指对应于第5个百分位的收益分布的损失。它是一个极端结果的风险测度，因为它关注极左侧尾部分布，因此一般称为尾部风险。我们对比实际VaR与对应的正态分布VaR来比较历史尾部风险和正态分布尾部风险的差异。超额VaR指历史实际分布VaR与正态分布VaR的差异，负数代表更大的损失。
表1-9D显示整个样本期VaR值并不比相应正态分布的尾部风险大。最差的超额VaR（21世纪的大型/价值组合的VaR为-1.71%）比该组合月度收益标准差（6.01%）的1/3还小。
然而另外的风险测度则表明尾部风险较相应正态分布的大。表1-9中的实际超额收益的预期损失（ES）比相应正态分布的负值更小（与正峰度为标志的肥尾一致）。为评价偏离正态分布的经济影响，我们在表1-9E中给出各种组合的预期损失与月度收益标准差的分数。负号表明多数-5%的实际观察值较对应的正态分布更糟，但是这种差异并不显著。其量差与月度收益标准差之比从未超过0.77。从整个样本期看，预期损失没有超过月度收益标准差的0.44倍。这说明，我们没有证据表明正态分布的假设不合适。
表1-9F列示了大于3个标准差的负月度收益或跳跃的实际数量以及正态分布假设下的数量。在每1000个月实际数为2.9～9.7，而正态分布下的只有0.6～1.0。这是什么含义呢？-3σ收益确实是巨大的负面冲击。为便于理解，我们计算超额跳跃之间的预期时长（以年表示），这里的超额跳跃是指超出正态分布的跳跃时长。我们还计算了该段时期的预期收益（以标准差的倍数表示，见表1-9F）。数据表明每9～36年观察到一次超额跳跃，其间组合的超额收益约为16～104倍标准差。因此跳跃风险似乎对长期股票收益的均值和风险影响不大。
最后，我们剖析±10%收益以外的跳跃幅度，在图1-6中有预示。为量化风险，我们提出如下问题：当我们观察1035个月中低于-10%月度收益时，它们的标准差是多少？与这些样本均值标准差相同的正态分布下的尾部标准差是多少？表1-9G给出了上述问题的答案。很明显，正如图1-6所示，实际的标准差比正态分布下的标准差要大。在最差的时期实际标准差比正态分布下的标准差高出近43%。在所有分析过的统计指标中，这也是直接以正态分布近似实际分布得出的最可怕的结果。
表1-9D VaR（除以月度标准差）
表1-9E 预期损失（除以月度标准差）
表1-9F -3σ收益
表1-9G 低于-10％月度收益标准差
总结一下，以正态分布近似组合收益总体上不坏，但是在特殊时期这可能低估投资风险。不过我们可以通过细致估计极端收益标准差来弥补其缺陷。无论如何，我们在应用正态分布条件下的理论和推理时应该更加谨慎。总体上，应该确保资产或证券组合的标准差反映尾部风险。
下一章我们将继续讨论这些组合并分析其中的“全美股票”组合是不是风险-收益权衡下的最有效组合。我们也将考虑规模-B/M组合表现的相应调整。不过，对于资产收益近似正态分布的假设令人欣慰，这使我们的分析更顺畅同时也更准确。
全球视野下的历史数据
随着全球金融市场的发展，金融市场变得越来越透明化，美国投资者正在谋求通过国际化投资使投资组合更加多元化。一些国外投资者为了降低风险，还投资于可以看作避风港的美国市场作为其本国市场投资的额外补充。这就相应提出了美国股市和全球股市相比表现到底怎样的问题。
图1-7列出了16个发达国家股票市场1900～2000年这100年间的平均名义收益率和实际收益率。我们发现从平均实际收益率来看美国排在第4位，处于瑞典、澳大利亚和南非之后。图1-8列出了这16个国家股票和债券实际收益的标准差，发现股票标准差按照从低到高排列，美国与其他3个国家并列排在第3位。可见，美国的表现还不错，但是与这些国家相比并不突出。
这些数据一个有趣的特点在于按照平均实际收益率与标准差的比值来计算，表现最差的是意大利、比利时、德国和日本——第二次世界大战中受创最严重的国家；表现最好的国家有澳大利亚、加拿大和美国，而这些国家恰恰是20世纪受战争影响最小的国家。此外16个国家的实际收益率差距非常小。平均实际收益率最高的国家（瑞典7.6%）和16个国家的平均值（5.1%）差距只有2.5%。同样，最低的国家（比利时2.5%）和均值的差距只有2.6%。取平均标准差23%，观测样本100个，差距2.6%的t统计量为：
图1-7 1900～2000年各国股票的名义和实际收益率
资料来源：Elroy Dimson，Paul Marsh，and Mike Staunton，Triumph of the Optimists：101 Years of Global Investment Returns（Princeton：Princeton University Press，2002），p.50.Reprinted by permission of the Princeton University Press.
图1-8 1900～2000年各国股票和债券实际收益率的标准差
资料来源：Elroy Dimson，Paul Marsh，and Mike Staunton，Triumph of the Optimists：101 Years of Global Investment Returns（Princeton：Princeton University Press，2002），p.61.Reprinted by permission of the Princeton University Press.
这个数值远小于常见的t统计量显著性水平，所以结论是美国的表现不应该作为特例而被排除，美国股票市场作为收益特征的评判标准是合理的。
最近，业内人士和学者正在争论：美国大盘股超过短期国库券7.92%的历史平均风险溢价是否可以作为长期合理的预测值。这个争议的焦点落在两个问题上：第一，历史上主导的经济因素是否充分代表了预测假设中主导的经济因素？第二，历史所得的算术平均值是否可以作为长期预测的有效基准？
[1] 这类文献最早开始于他们的1992年文章，“股票的预期截面收益”，Journal of Finance，第47期，427-465.
[2] 这是连续复利计算的超额收益，最接近于正态分布。
[3] 平均收益差的t值为平均收益除以收益差的标准差。