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最优投资组合与α值
未知
最优投资组合与α值
在第4章中，我们展示了如何用单指数模型构建最优的风险投资组合。表9-1描述了优化过程的步骤，这就是著名的特雷纳-布莱克模型。[1]该过程所采用的指数模型忽略了残差的非零协方差。该模型有时被称为对角模型（diagonal model），因为它假设残差的协方差矩阵只有对角元素才是非零元素，而且从第4章投资组合构建的例子中我们看到，尽管一些残差之间存在明显的相关关系，比如壳牌和英国石油公司之间，但是由指数模型和马科维茨模型得到的有效边界几乎是一样的（见图4-5）。
表9-1 最优风险投资组合的构建和特性
为了便于说明，本章沿用第4章的例子。表9-2翻新了该例的数据和实验的结果。表9-2d显示了把消极市场指数投资组合（passive market-index portfolio）与积极型投资组合（active portfolio）相混合所带来的夏普比率的改善。为了更好地表现这一改进，我们利用M2这一业绩度量指标来度量。M2是在积极型投资组合与短期国债混合以提供与指数投资组合相同的总体波动时，最优化投资组合相对于消极型投资组合所带来的期望收益率的增加（回顾第6章）。
对α的预测和极端组合权重
表9-2给人最深刻的印象就是可怜的业绩改善：表9-2d显示M2仅仅提升了19个基点（相当于夏普比率提升0.0136）。我们可以看到，积极型投资组合的夏普比率劣于消极型投资组合的夏普比率（因为积极型投资组合的标准差较大），所以它的M2实际上是负的。但是切记，积极型投资组合已与消极型投资组合混合，所以总波动性并非对其风险的合适度量。当与消极型投资组合混合时，业绩确实得到了改善，尽管这种改善非常有限。这是在给定α值（alpha values）时证券分析师所发现的最好结果（见表9-2c）。我们可以看到，积极型投资组合的头寸占了17%，部分资金来源于约10%的戴尔和沃尔玛的股票头寸。由于表9-2中的数据是按年计算的，所以这一结果与一年持有期收益率相等。
表9-2中所用到的α值与典型分析师的预测相比实在太小了。在本例中，我们下载了6月1日6只股票的实时价格以及分析师认为的1年后的目标价格。这些数据及隐含的α值如表9-3所示。所有的α值都为正，可见分析师对这些股票非常乐观。图9-1显示了此前一年股票价格和标准普尔500指数（ticker=GSPC）的走势。该图说明表9-3所显示出的乐观并不是根据历史数据推断出来的。
表9-2 包含6只股票的积极型投资组合管理
表9-3 6月1日的股票价格及分析师的目标价格
图9-1 标准普尔500指数（GSPC）与6只股票的收益率
表9-4展示了利用分析师的预测而不是表9-2d中的原始α值得到的最优投资组合，业绩之间的差异是非常显著的。新的最优投资组合的夏普比率从基准0.44提升至2.32，产生了巨大的风险调整收益优势。这说明M2达到了25％～53%！但是这些结果也暴露了特雷纳-布莱克模型潜在的主要问题。最优投资组合要求极端的多头/空头头寸，这对现实中的投资组合管理者而言是完全不可行的。例如，该模型要求5.79（579%）的积极型投资组合头寸，而资金主要来源于标准普尔500指数-4.79的空头头寸。更关键的是，该最优投资组合的标准差达到了52.24%，这一风险水平恐怕只有进取心极强的对冲基金才敢冒险一试。此外，我们可以发现，该风险主要为非系统风险，因为积极型投资组合的β值0.95小于1，而且由于消极型投资组合中的空头头寸，整个风险投资组合的β值甚至更低，只有0.73。恐怕只有对冲基金才会对这种投资组合感兴趣。
针对这一问题的一种解决途径是限制极端头寸，首先是限制卖空。当消除掉标准普尔500指数的空头头寸后，就会迫使我们把积极型投资组合的头寸控制在1.0之内，把消极型投资组合（标准普尔500指数）的头寸控制在0，积极型投资组合便构成了整个风险头寸。表9-5显示最优投资组合标准差目前为15.68%，比消极型投资组合的标准差（13.58%）高不了多少。整个风险投资组合的β值就是积极型投资组合的β值（0.95），从系统性风险看仍是一个偏防守型的投资组合。虽然存在严格限制，但优化过程仍然是相当有力的，最优风险投资组合（现在是积极型投资组合）的M2达到了16.42%。
表9-4 使用分析师新预测之后的最优风险投资组合
表9-5 对积极型投资组合加以限制的最优投资组合（WA≤1）
上述解决方案令人满意吗？这可能取决于投资主体的类型。对于对冲基金而言，这可能是最理想的投资组合。而对于大多数共同基金而言，由于这种投资组合缺乏多样性，因此可能会将其排除在外。我们可以发现6只股票的头寸，仅沃尔玛、塔吉特、英国石油公司的头寸就占了整个投资组合的76%。
诚然，我们要意识到我们例子的局限性。当然，分散化可以通过涵盖更多股票来实现。但是即使涵盖再多股票，极端多头/空头头寸的问题依然会存在，这使得该模型在实践中有待商榷。我们来看布莱克和利特曼（Litterman）[2]在一篇重要论文中的结论：
标准资产配置模型中使用的均值-方差优化对于投资者的期望收益相当敏感……在如此敏感度下，最优投资组合往往与投资者的观点很少甚至没有联系。因此，在实践中国际投资经理很少使用定量化模型来决策资产配置问题，尽管定量化方法在概念上非常有吸引力。
这段评述非常值得回味，此处引用是为了指出“国际投资经理很少使用定量化模型来决策资产配置问题”。事实上，这段描述也适用于出于其他原因而避免使用均值-方差优化过程的投资组合经理。
基准风险的限制
布莱克和利特曼指出了一个重要的实践问题。在实践中，许多投资经理的业绩是依照基准（benchmark）业绩来评估的，基准指数往往写入共同基金的募股说明书中。在我们的例子中，消极型投资组合标准普尔500指数便可作为基准，但这种方法引起了对追踪误差（tracking error）的重视。追踪误差是指整个风险投资组合收益率与基准收益率时间序列的差，即TE=RP-RM。投资组合经理必须关注基准风险，也就是追踪误差的标准差。
最优风险投资组合的追踪误差可以用投资组合的β值来表示，因此追踪误差为
式（9-1）告诉我们如何计算追踪误差的波动，以及如何设定积极型投资组合的头寸，以把追踪风险控制在一定水平。对于一单位积极型投资组合的投资，也就是=1，基准风险为
对于理想的基准风险σ0（TE），我们可以把积极型投资组合的权重限制为
显然，控制追踪风险需要付出成本。我们必须把权重从积极型投资组合转向消极型投资组合。图9-2说明了该成本。通过优化过程，我们可以得到投资组合T，即与资本配置线（CAL）的切点，它是从无风险利率到有效边界的射线。通过从T向M转移权重来降低风险，我们是沿着有效市场边界而非资本配置线来得到低风险头寸的，降低了限制投资组合的夏普比率和M2。
图9-2 当基准风险降低时，有效性也在降低
我们注意到，在表9-2中，由于积极型投资组合仅占17%，使用“微小”α预测所得的追踪误差的标准差只有3.46%。对投资组合权重没有约束并使用较高的α值（根据分析师的预测）时，追踪误差的标准差高达51.46%（见表9-4），远远超出了现实中管理者所愿意承受的范围。但是当积极型投资组合的权重为1.0时，基准风险便降至8.87%（见表9-5）。
最后，假设某投资经理希望把基准风险限制在与最初预测时所使用风险的同一水平上，即3.46%。式（9-2）和式（9-3）告诉我们积极型投资组合的权重应为WA=0.43，可从表9-6得出这一结论。这一投资组合是温和的，却表现不俗：①标准差（13.85%）仅略高于消极型投资组合的标准差；②β值为0.98；③追踪误差的标准差非常低，只有3.85%；④我们仅有6只股票，但最高头寸仅占了12%（塔吉特），当包含更多股票时，还会更低；⑤夏普比率高达1.06，M2也有8.35%。因此，在控制了基准风险后，我们可以在取得高业绩的同时克服无约束投资组合的缺陷。
表9-6 使用分析师新预测后的最优风险投资组合（基准风险被控制在3.85%）
[1] 法玛和弗伦奇的多指数模型能够更好地刻画收益，这个模型在被动的指数投资组合将被加入考虑了其他因素的组合（例如，FF模型中的公司规模和价值组合）。但是，特雷纳-布莱克模型的其他部分并没有改变。
[2] Fischer Black and Robert Litterman，“Global Portfolio Optimization，”Financial Analysts Journal，September/October 1992.© 1992，CFA Institute.Reprinted with permission from the CFA Institute.