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单指数模型
未知
单指数模型
使单因素模型具备可操作性的一个方法是将标准普尔500这类股票指数的收益率视为共同宏观经济因素的有效代理指标。这一方法推导出和单因素模型相似的等式，称为单指数模型（single-index model），因为它使用市场指数来代表共同经济因素。
单指数模型的回归方程
标准普尔500指数是一个股票组合，其价格和收益率易于观察。我们有足够的历史数据来估计系统性风险。用M表示市场指数，其超额收益率为RM=rM-rf，标准差为σM。因为指数模型是线性的，我们可以用单变量线性回归来估计一个证券对市场指数的敏感性系数。我们让证券超额收益率Ri=ri-rf对RM回归，数据采用历史样本Ri（t）和RM（t）配对，t表示观察样本的日期（比如特定月的超额收益）。[1]回归方程（regression equation）是：
这一方程的截距α是当市场指数超额收益为0时该证券的期望超额收益率，斜率βi是证券对指数的敏感性，即每当市场指数上涨或下跌1%时证券i收益的涨跌幅。ei均值为0，是t时刻公司层面收益率的冲击，也称为残值（residual）。
期望收益与β的关系
因为E（ei）=0，将式（4-8）中的收益率取期望值，得到单指数模型的收益-β关系：
式（4-9）中的第二项说明证券的风险溢价来自指数风险溢价，市场风险溢价成了证券的敏感系数。我们之所以称其为系统性风险溢价，是因为它源自整个市场的风险溢价，代表整个经济系统的状况。
风险溢价的剩余部分是α，为非市场溢价。比如，如果你认为证券被低估，期望收益更高，则α更高。接着，我们会看到当证券价格处于均衡时，这类机会将在竞争中消失，α也会趋于0。但是现在先假设每个证券分析师对α的估计都不同。如果投资经理认为可以比其他分析师做得更好，那么他们会自信能找到α非零的证券。
用指数模型分解单个证券风险溢价为市场和非市场两部分，极大地简化了投资公司宏观经济和证券分析工作。
单指数模型的风险和协方差
马科维茨模型的一个问题是所需估计参数的庞大数量，但是指数模型大大减少了需要估计的参数。式（4-8）分别得到每个证券系统和公司层面的风险，以及任意一对证券间的协方差。方差和协方差都由证券的β和市场指数决定。
式（4-9）和式（4-10）意味着单指数模型估计所需的参数只包含单个证券的α、β和σ（e）、市场指数的风险溢价和方差。
单因素模型的估计值
单因素模型的结果如表4-2所示。
表 4-2
该模型需要的变量包括：
·n个超额收益估计值，αi
·n个敏感系数估计值，βi
·n个公司特有方差的估计值，σ2（ei）
·1个市场溢价估计值，E（RM）
·1个宏观经济因素方差的估计值，
这（3n+2）个估计值便是单指数模型所需的数据。对于一个50只证券的组合，我们需要152个估计值而非马科维茨模型要求的1325个估计值。对于纽约股票交易所的所有上市股票，约3000只，我们需要9002个估计值而不是450万个。
显而易见，指数模型为什么进行了如此有用的简化。在一个有成千上万证券的市场上，马科维茨模型需要天文数字的估计值，而指数模型只需要马科维茨模型估计值的一小部分。
指数模型的另一个常被忽略但同样重要的优势是，指数模型的简化对证券分析专业化非常重要。如果每对证券间的协方差需要直接计算，那么分析师就无法实现专业化。比如，如果一组分析师专业分析电脑产业而另一组分析汽车制造业，那么谁拥有足够的专业背景来估计IBM和GM的协方差呢？然而，指数模型给出了计算协方差更容易的方法。证券间的协方差都来自一个共同因素的影响，即市场指数收益，而且可以应用式（4-8）回归估计得到。
但是从指数模型假设条件得出的简化方法并不是没有成本的。指数模型的成本来自其对资产不确定性结构上的限制。将风险简单地二分为宏观和微观两个部分，过于简化了真实世界的不确定性并忽略了股票收益依赖性的重要来源。比如，二分法忽略了行业的事件，这些事件影响该行业中很多公司，但是不对宏观经济造成影响。
最后也很重要的一点是，设想单指数模型是完全准确的，唯独两只股票——英国石油和壳牌的残差项是相关的。指数模型会忽略这一相关关系（假设它为零），但马科维茨算法会在组合方差最小化时自动考虑到该相关性（实际上包括每一对证券的相关性）。如果我们的证券总量较小，两种模型得到的最优组合会显著不同。马科维茨得到的组合，英国石油和壳牌的权重会较小，得到的组合方差更低，因为两只股票相关性降低了分散化的价值。相反，当相关性为负时，指数模型会低估分散化潜在的价值。
因此，当残差项相关的股票有较大的α值，而且占整个投资组合较大的比例时，单指数模型推导出的最优组合可能会明显次于马科维茨模型。如果很多股票残差项都有相关性，那么额外包含了捕捉证券间风险因素的多指数模型可能更适用于组合的分析和构造。
指数模型和分散化
由夏普首次提出的指数模型[2]同样为投资组合分散化提供了新的视角。假设我们选择等权重n个证券构成的组合，每个证券的超额收益率为：
类似地，组合的超额收益为：
当组合中股票的数量增加时，非市场因素带来的组合风险越来越小，这部分风险通过分散化逐渐被消除。然而，无论公司数量如何上升，市场风险仍然存在。
为了理解这一结果，注意这一等权重组合的超额收益为：
比较式（4-11）和式（4-12），我们看到组合对市场敏感度为：
为βi的平均值。组合的非市场收益为：
为α的平均值，加上零均值变量：
为公司部分的平均值。因此组合方差为：
组合方差的系统性风险部分为，取决于每个证券的敏感系数。这部分风险取决于组合β和，无论组合如何分散化，都保持不变。不论持有多少股票，它们对市场的风险敞口都会反映在组合的系统风险中。[3]
相对地，组合方差的非系统性风险为σ2（eP），来自公司层面的ei。因为这些ei是独立的，期望值为0，所以可以说当更多的股票被加到投资组合中，公司层面风险会被消除，降低了非市场风险。这类风险因此称为可分散的。为了更清晰地看这一问题，检验等权重组合的方差，其公司部分为：
其中（e）为公司的平均方差。因为该平均值独立于n，当n变大时，σ2（eP）趋于0。
总之，随着分散化程度增加，投资组合的总方差就会接近系统风险，定义为市场因素的方差乘以投资组合敏感性系数的平方，图4-1说明了这一现象。
图4-1 单因素经济中β系数为βP等权重组合方差
图4-1显示当组合中包含越来越多的证券时，组合方差因为公司风险的分散化而下降。然而，分散化的效果是有限的，即使n很大，由于共同或市场因素引起的风险仍然存在，无法被分散化。
实证分析验证了这一分析。图3-2说明了组合分散化对投资组合标准差的影响，这些实证结果类似于图4-1现实的理论图形。
[1] 实际操作中经常使用和式（4-8）相似的“修正”指数模型，使用总收益而非超额收益，尤其使用日数据时，因为短期国库券的日收益率为0.01%，所以超额收益和总收益几乎相等。
[2] William F.Sharpe，“A Simplified Model of Portfolio Analysis，”Management Science，January 1963.
[3] 当然，我们也可以构造零系统风险的组合。通过将-β和+β的资产混合。我们讨论的意义是，大部分证券β值为正，意味着由很多这些证券构成完全分散化的组合，其系统性风险也会为正。