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3.2 决策树
3.2.1 决策树的分析步骤
理解决策树的第一步是分清根节点、决策节点、事件节点和终端节点。
●根节点代表决策树的起点：决策者面临着决策选择或一个不确定结果。这项任务的目的是评估一项风险性投资在这个阶段的价值所在。
●事件节点说的是一项冒险赌博的可能结果。一种药物能否通过美国食品药品管理局批准程序的第一阶段，就是一个很好的例子。我们必须基于我们今天已有的信息，推测出可能的结果及其发生的概率。
●决策节点是指决策者可能做的选择——在市场试销的结果知晓后，由试销市场走向全国市场。
●终端节点通常是指早先的冒险后果及其相关决策的最终结果。
思考一个很简单的例子。你可以选择获得20美元，或参与一项赌博：有50%的可能获得50美元，50%的可能赢得10美元。图3-1展示了用于这项赌博的决策树。
要关注决策树的关键要素。首先，只有事件节点代表不确定的结果并具有相关结果的概率。其次，决策节点是指选择。从纯预期价值的角度看，赌博的结果（30美元的预期价值）要好于有保障的20美元的收获；在下面一个分支的两个斜线意味着这条分支不会被选择。这个例子虽然很简单，但它内含了构建一个决策树的要素。
1）把分析分为不同的风险阶段进行。制作决策树的关键是划分将来你必须面对的风险阶段。在某些情形下，这很简单——如美国食品药品管理局的批准程序，因为它只有两个结果。或是药品通过批准，继续进行到下一阶段，或是就此为止。在其他的情形下，则会困难很多。例如，一个新型消费品的市场试销会内含数百个的潜在结果。这里，为了市场试销的成功，你需要创造离散类别。
2）在每个阶段，评估结果的发生概率。在定义完了每个阶段的风险和结果后，必须计算这些结果的发生概率。一个明确的要求是所有结果概率的加总必须是1。此外，分析师还必须考虑某一阶段结果的概率是否会受到早先阶段结果的影响。例如，如果市场试销的结果只是一个均值水平时，那么该产品在全国市场推广成功的概率会如何？
图 3-1 简单的决策树
3）定义决策节点。决策节点根植于决策树之中。在这些节点上，意味着你需要确定最佳的行为路径——基于你观察到的早期阶段的结果和将来的预期。在市场试销的例子中，试销结束时，你需要确定是否还要进行第二次市场试销工作，或是放弃这个产品，或是进入全国市场的推广。
4）在终端节点计算现金流和价值。在决策树流程中，下个程序是评估每个终端节点的最终现金流和价值结果。在某些情形下，这是一件很容易的事情。例如，试销产品的放弃，此时的工作仅是清算该产品在试销市场上所花的资金。在其他的情形下，如试销产品进入全国市场，这就更加困难，因为要想求得它的价值，你必须评估产品生命期内的预期现金流，并予以贴现。
5）沿决策树的后展路径，评估预期价值。在决策树分析中，最后的一个步骤是“向后打开”这棵树：沿着这棵树由前向后，分阶段计算资产的预期价值。如果遇到机会节点，其预期价值是按照所有可能结果的概率加权平均计算。如果是决策节点，预期价值是按每个分支计算，而且，会选择最高价值（作为最佳决策）。这个流程最重要的目的是评估这项资产或投资今天的预期价值。[1]
决策树给我们带来两项关键产出。第一个是经过整个决策树流程的结晶：今天的预期价值。这个预期价值既融进了来自风险的潜在波动，也考虑到为应对这个风险，我们一路采取的应对行为。实际上，这类似于我们在上一章所阐述的调整过风险的价值。第二项产出是在终端节点的价值范畴——它应该涵盖这项投资的潜在风险。
例3-2 用决策树估值生物技术公司
为了例解决策树的相关步骤，我们将估值一家仅有一个产品的小型生物技术公司。它的产品是一剂治疗1型糖尿病的药，已经完成了临床前的试验，即将进入FDA批准流程的第一阶段。[2]假设你得到了所有三个阶段的下述信息。
●第一阶段预期要花5000万美元，将涉及100位志愿者，以确定该药的安全性和服用剂量；这预期要花一年时间。成功完成第一阶段的几率为70%。
●在第二阶段，将会花两年的时间，在250位志愿者身上测试治疗糖尿病的有效性。这个阶段要花1亿美元，而要想继续走进下个阶段，该药必须在统计数据上对这种疾病显示出足够的疗效。该药能成功治疗1型糖尿病的概率仅为30%。该药能够成功治疗1型和2型糖尿病的概率仅为10%。仅能成功治疗2型糖尿病的概率也有10%。
●在第三阶段，实验将要拓展到4000名志愿者，以确定服用此药的长期影响。如果该药仅在1型或2型糖尿病患者身上做试验，这个阶段要持续4年，将花费2.5亿美元，成功的概率为80%。如果同时在两类患者身上做试验，这个阶段将持续4年，花费3亿美元，成功的概率为75%。
如果该药通过了所有三个流程，那么开发该药的成本和年度现金流如表3-4所示。
假设该公司的资本成本是10%。
我们现在有了绘制这种药品决策树的信息。我们首先绘制如图3-2所示的决策树，具体展示相关阶段、每阶段的现金流及其发生的概率。
图 3-2 药品开发决策树（亿美元）
该决策树展示各阶段的成功概率和及其现金流或边际现金流。由于经过这些阶段要花时间，时间价值效应必须计入每条路径的预期现金流。我们引进时间价值效应并计算每条路径现金流的累计现值（今天的）——采用10%的资本成本作为贴现率（见图3-3）。
图 3-3 终端节点现金流现值：药品研发树（亿美元）
注意：来自第三阶段后开发的现金流现值贴现了额外的7年（反映其经过这三个阶段所花的时间）。在这个流程的最后一个步骤里，我们计算预期价值，方法是从树前往树后的方向推导，评估每一个决策阶段的最佳行为（见图3-4）。
图 3-4 药品决策树的回算（亿美元）
在成功笼罩着不确定性的情况下，该药品今天的预期价值为5036万美元。这个价值反映了所有可能性的概率，显示了每个决策分支的次优且应该放弃的选择。
例如，一旦该药品通过了第三阶段，在所有的三种情形下（对1型、2型和两者兼治的治疗情形），药品的研发概率都胜过放弃概率。该决策树也提供了这些结果的范围：最差情形结果是作为1型和2型糖尿病治疗药品第三阶段的失败（按今天的美元价值是-3.663亿美元）；最佳情形结果是作为两型糖尿病治疗药品的批准和研发（按今天的美元价值是8.8705亿美元）。
最后一组分支中的一个因素似乎令人疑惑。把该药品只作为2型糖尿病疗效药研发的现值是负数（-9743万美元）。那么为什么该公司仍然要研发这个药品呢？因为在流程的后面阶段放弃该药品具有更高的净负现值（-3.2874亿美元）。看待这种情况的另一种方式是审视一下仅仅研发2型糖尿病药品的边际效应。一旦公司增加资源运作完三个阶段的试验，试验成本变成了沉淀成本，就不是一个决策因素了。[3]第三阶段后来自研发该药的边际现金流就是4.51亿美元的正净现值（第7年的现金流）。
治疗2型糖尿病第7年研发药品的现值=-5+125（PVA，10%，15年）=4.15（亿美元）
在决策树的每个阶段，你的判断都建立在该连接点上的新增现金流情况之上的。往回审视决策树可以让你看到该药在流程的每个阶段的价值。
总之，这个决策树引导我们为这个糖尿病药以及拥有该药所有权的公司，评估5036万美元的价值。这个决策树为我们提供了有关我们应该赋予该公司（当它经过这些阶段时）价值的信息。例如，如果初始试验成功，该公司的价值会跃至9337万美元。在紧接着的试验里，如果该药能够治疗1型和2型糖尿病，那么该公司的价值会进一步地跳跃到5.7371亿美元。
[1]不少文章探讨能够产生一致性价值的这种向后打开流程的假设。尤其是，如果决策树是用于描述货币风险的话，那么这些风险应该是相互独立的。参阅Sarin，R. and P. Wakker，1994，“Folding Back in Decision Tree Analysis，”Management Science，v40，pp. 625 －628.
[2]在1型糖尿病里，胰腺无法生产胰岛素。病人通常是孩童，该疾病与饮食和活动无关；他们必须接受胰岛素才能生存。在2型糖尿病里，胰腺无法生产足够量的胰岛素。该疾病多见于老年人，有时可通过改变生活习惯和饮食予以控制。
[3]若仅把前两个阶段的成本视为沉淀成本将会更加精确，因为在第二阶段结束以前，公司知道该药品仅对2型糖尿病有效。即便是我们只是把前两个阶段的成本视为沉淀成本，从预期价值的角度，继续进入第三阶段还是意义的。