Local EPUB Text
正态分布与商品套利
首先，我们要回答第一个问题：套利商品之间的比价关系的变化是不是一个随机过程。
套利商品之间的比价关系（以下简称比价）我们已经很熟悉了，是一个商品的价格与另一个商品价格的比值。比如，豆粕与玉米的比价＝豆粕价格／玉米价格。我们把这个比价看成一个变量，如果此变量以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。
人人都知道抛硬币的结果是一个典型的随机过程，每次正面朝上或反面朝上的概率都是50％，从长期来看，我们抛硬币的次数足够多后，硬币每一面向上的频率近似于它发生的概率。
我们要观察的是：比价在一个离散时间过程（离散时间过程是指变量值只能在某些确定的时间点上的变化，必须指出，我们观察到的商品或股票的价格都不是按照连续变量和连续时间过程变化来的，而是被限制为离散过程，比如我们只有在交易所开市的时候才能观察到价格的变化）中的变化是否是一个随机过程。假如，比价的变化（上涨或下跌）有规律可循，其过去的历史和从过去到现在的演变方式与未来变化有关，那么比价的变化就不是一个随机过程。反之，如果比价在每个时间点上的变动和抛硬币一样，上涨或下跌的概率都是50％，并且不受过去的历史和从过去到现在的演变方式影响，那么其就是一个随机过程。
我的朋友陈峰是一位交易策略研究的爱好者。有一次，他跟踪分析了1022个交易日豆粕与玉米的比价变化，其目的是想寻找出一个比价变化的规律。他先假想了这样一种可能：比价前一天的变化（无论是涨还是跌）会对下一天比价的变化造成影响，假设这个设想成立，那么从长期来看，第二天比价变化延续第一天的方向的概率更大。简单地说，如果前一天是“涨”，第二天也“涨”的概率高于“跌”的概率，反之亦然。
如果陈峰能用统计结果证明这一点，他也就证明了比价变化不是一个随机过程。不过，结果却让他失望了。让我们来看一看他的统计结果，见表4-1比价变化。
表4-1 比价变化
数值 概率
统计比价变化的总交易日数 1022
第二个交易日与前一交易日的比价变化同方向天数 473 46％
第三个交易日与前一交易日的比价变化同方向天数 241 51％
第四个交易日与前一交易日的比价变化同方向天数 126 52％
第五个交易日与前一交易日的比价变化同方向天数 62 49％
第六个交易日与前一交易日的比价变化同方向天数 26 42％
第七个交易日与前一交易日的比价变化同方向天数 11 42％
第八个交易日与前一交易日的比价变化同方向天数 4 36％
非常明显，前一个交易日比价变化的方向并不能作为预测下一个交易日比价变化的依据，无论当前的比价及其演进的历史如何，下一个交易日的比价变化“涨”或“跌”的概率都接近50％，和抛硬币没有什么区别。虽然陈峰没有得到他想要的结果，但他仍然是成功的，因为他证明了比价变化是一个随机过程。
事实上，不少金融学家都相信并证明了金融资产价格的变化是一个类似物理学中的布朗运动 的随机过程。许多重要的金融理论就建立在这个基础之上，比如，马尔科夫过程、维纳过程 和伊藤定理 （对于这些理论本书就不详细介绍了）。
既然比价关系的变化是一个随机过程，那么从长期来看，它是否符合正态分布的特征呢？这是我们要讨论的第二个问题。
首先我们来看第二章中介绍过的小麦和玉米。我们拿中国期货市场每一个交易日强麦指数的开盘价格除以玉米指数的开盘价格，得到每一个交易日的强麦与玉米的比价值。从2004年9月22日（中国玉米期货上市交易的第一天）到2011年9月14日的7年时间内共产生了1256个日比价数值。用上一节中介绍过的方法，这些统计数据被制作成一张频数表，由这个频数表绘制出一张直方图。这张直方图会长成什么样子呢？见图4-5强麦与玉米比价的直方图。
图4-5 强麦与玉米比价的直方图（2004年9月22日—2011年9月14日）
很明显，这张图中间大、两头小、左右对称，具有正态分布的基本特征。这正是我们预料的结果。不过这只是第一步，为了证明研究结果并非偶然或巧合，我们需要观察其他的套利品种之间的比价变化是否也呈现出相同的现象。
以下是根据豆油、棕榈油和菜籽油相互的比价统计结果绘制成的直方图。见图4-6豆油与菜籽油比价的直方图；图4-7豆油与棕榈油比价的直方图。
图4-6 豆油与菜籽油比价的直方图（2007年6月11日—2013年9月4日）
图4-7 豆油与棕榈油比价的直方图（2007年10月29日—2013年9月4日）
我们再来看豆类与玉米比价统计结果绘制成的直方图。见图4-8大豆与玉米比价的直方图；图4-9豆粕与玉米比价的直方图。
图4-8 大豆与玉米比价的直方图（2004年9月22日—2013年9月4日）
图4-9 豆粕与玉米比价的直方图（2004年9月22日—2012年4月18日）
豆类品种之间会是什么样呢？见图4-10大豆与豆粕比价的直方图。
图4-10 大豆与豆粕比价的直方图（2000年7月17日—2013年9月4日）
看来答案是肯定的，虽然不是非常完美，但这些图都显示了正态分布的基本特征。
问题是，为什么图形不够完美呢？根据大数定律，随机事件在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性。那么，会不会是由于中国的金融市场还不成熟，各类商品上市交易的时间仍太短（比如，玉米期货交易开始于2004年，豆油期货交易开始于2006年，等等），我们缺乏足够多的数据，而使得图形尚未完全呈现出其统计特性？
为了证明这个猜想，我们必须找到有力的证据。可惜我们既没有更早的金融数据来支持研究，也没有时光机器让我们到未来去一探究竟。他山之石可以攻玉，好消息是，我们可以观察有更多历史数据的世界上更成熟的商品交易市场，比如芝加哥期货交易所。
背景介绍：芝加哥期货交易所
芝加哥期货交易所是当前世界上最具代表性的农产品交易所。1848年，由82位谷物交易商发起组建了芝加哥期货交易所，1865年用标准的期货合约取代了远期合同，并实行了保证金制度。2006年10月17日美国芝加哥商业交易所（CME）和芝加哥期货交易所（CBOT）宣布已经就合并事宜达成最终协议，两家交易所合并成全球最大的衍生品交易所——芝加哥交易所集团。
芝加哥期货交易所历史悠久，是一个具有领导地位的期货与期权交易所。它的玉米、大豆和小麦等品种的期货价格，不仅是美国农业生产上的重要参考价格，而且是国际农产品贸易中的权威价格。这正是我们的研究所需要的，品种合适、数据完整、价格有代表性。我们非常高兴能够用至少30年的数据来分析农产品之间的比价变化。这是因为，如果一个在过去30年都成立的规律，那么它极有可能在未来的30年中也会成立。
结果是令人振奋的。我们从豆类和玉米以及豆类品种之间的比价数值中可见一斑。见图4-11美豆粕和美玉米（09合约）比价直方图；图4-12美豆和美玉米（09合约）比价直方图；图4-13美豆和美豆粕（09合约）比价直方图。
图4-11 美豆粕和美玉米（09合约）比价直方图（1980年3月29日—2012年4月18日）
图4-12 美豆和美玉米（09合约）比价直方图（1980年3月29日—2012年4月18日）
图4-13 美豆和美豆粕（09合约）比价直方图（1980年3月29日—2012年4月18日）
在一个贸易打造的全球化市场中，商品越来越同质化、全球化。国际市场价格变化的参考价值是不容置疑的，不同地区的商品价格也必然相互影响，并且越来越趋于接近。顺便提一句，这也正是跨市场套利的基础。以上的事实不仅能够证明概率分析可以被应用在跨商品套利之中，而且也证明了这种分析方法不是局限在个别交易市场中有效的方法，而是可以被循环、复制在不同地区和市场中的一种基本的思维范式。
历史回顾：什么力量打造出粮食的全球市场？
什么力量打造出粮食的全球市场？
首先，商品运输成本降低或许是原因之一，而且可能是很重要的原因。
19世纪中叶，欧洲正在逐步工业化，对小麦的需求暴增，而这种需求带动了去美国大平原开垦殖民的浪潮。运粮的平底船通过伊利运河（位于纽约中部，连接伊利湖和哈德逊河），将北美大平原的粮食运上火车，火车到纽约市卸货，再海运到欧洲；远洋航运技术的进步，使美国小麦运到大西洋彼岸的成本，在30年内降了2/3。由此大西洋小麦市场问世。
铁路也促使了“标准小麦”的诞生。火车上货或卸货必须尽快完成，因为在这期间蒸汽火车头仍在烧煤，成本消耗非常大。因此，不久，货运业者就放弃原本一袋袋搬运粮食的方式，改用粮食装卸机，一次就可将大批粮食装进铁路货车车厢。但这意味着任何一位农场主的小麦全部都混在装卸机里，再也分不清哪一袋是谁的小麦。因此，粮食在运到铁路边之前就已卖掉，不同农场的作物变得可以互换。
尽管小麦继续分级，但这时只分成少数几个等级，而且在这些等级下，每一车的运载量都被认定是一样多的。“标准小麦”就此诞生。自此，一吨今年的“二号春麦”，也可以换成一吨明年的同样的小麦，小麦期货买卖、期权交易，芝加哥期货交易所随之问世。
另一方面，人们愿意根据价格的高低而选择不吃什么或者吃什么。
稻米比小麦更利于储存、运输，因而稻米的长途贸易已有数百年历史，例如沿着中国长江近2000公里距离的稻米贸易，规模远远超过东欧到西欧的著名粮食贸易。但稻米的流动受到文化传统的阻碍，因为吃米的人对习惯吃的米种有强烈偏好。
19世纪中叶，国际稻米贸易的大幅增长，这是由于东南亚的商品作物种植园增加，同时，为供应这些种植园工人所需的稻米，湄公河三角洲（越南）、伊洛瓦底江三角洲（缅甸）、昭披椰河三角洲（泰国）被抽干，开垦成“米仓”。
但随着越来越多的稻米被用于制作工业淀粉，这使得稻米的需求增加，价格升高，只根据价格高低选粮吃的消费者问世。于是，一旦中国华南稻米歉收，导致越南米价上涨（越南生产的稻米与华南的品种类似），欧洲采购商就会放弃越南米，转而购买缅甸米，从而使缅甸米价格上涨。这时候，不管稻米原产于何地，价格波动影响到消费者的购米开销。不久，新加坡出现和芝加哥小麦期货交易差不多的稻米期货交易。
最后，如果要形成名副其实的全球粮食市场，不同粮食间（比如：稻米、小麦间）的关键联系就必须连上，而这种连接在印度达成了。19世纪，印度是全球最大的粮食出口国之一，现代人常常忘记这一事实。那时的印度既出口稻米、小麦，也消费稻米、小麦。数百万印度人习惯于既吃稻米，又吃小麦。因为太穷，他们不得不根据价格高低选择吃米还是吃小麦。因此，19世纪末期全球米价上涨时，印度出口商随即增加稻米出口。由于印度国内米价也上涨，消费者于是改吃小麦，进而使出口伦敦的印度小麦变少，美国堪萨斯小麦农面临的竞争压力随之减轻。
在1900年时形成全球粮食市场的基础条件已无一欠缺。