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用概率计量风险
投资于风险证券的投资者总会担心亏损或业绩不佳。这很正常，我们都是损失厌恶者。除非我们把钱存入银行或购买确定收益的债券，这样的投资无风险，收益也不一定理想。假如想获得高于确定性收益的投资回报，那么就一定会面对风险。人们常说，风险越大，回报越大。这似乎告诉我们风险和回报是成正比例变化的。不过金融学家不断努力寻找方法，力求使得投资组合能够在风险最小化的前提下获得最大化的投资回报。这也是所有投资者都希望解决的问题。
我们来看看，通过使用一些非常简单的数学工具，可以得出一些什么意想不到的结论。
首先，我们需要确定一个合适的变量来量度风险。
例如，在到期日，收益率为8％的债券没有风险，在这种情况下，风险的测度应该为0。如果取决于市场状况，一个风险资产（比如一只股票）的投资收益为11％或者13％，则这个投资明显比投资收益为2％或者22％的投资风险小。
但是，仅仅依靠收益率价差很难用于测量风险，因为收益率忽视了概率。如果收益率是22％的概率是99％，收益率是2％的概率是1％，投资者可能认为风险很小。而如果同样的收益率发生的概率都是50％，则投资者会认为投资的风险较大。
计算风险的数量需要抓住风险的两个方面：（1）某一参照值与每个市场状况之下收益率值之间的差；（2）各种不同状况的概率。
风险测量时，人们假设风险资产的收益率是一种随机变量，自然取期望值（过去的平均收益）作为参照值，和用标准差（或方差）作为风险的度量是合适的。标准差衡量变量的变动，即变量的波动可能有多大。风险资产组合收益的标准差越大，组合收益可能越易变化，而且该组合持有者不能到其预期收益的风险越大。
比如，一种风险资产过去的平均收益率为8％，而标准差为20％。回忆一下本章第一节中介绍过的统计学知识，正常随机变量约有95％的时间出现在其均值的两个标准差之内。因此，当真实收益以8％为中心时，它通常是在收益48％到亏损32％之间变动。如果另一种风险资产的平均收益率为6％，而标准差为10％，那么它通常是在收益26％到亏损14％之间变动（当然，这些数值是根据此项风险资产的历史数据计算得来的）。很显然，第二种资产的波动性更低，风险比第一种资产要小。
有什么办法可以降低资产组合的风险呢？
传统智慧给出了答案，那就是“不要把你所有的鸡蛋放在一个篮子里”。金融学把这个传统智慧变成了科学，称之为多元化。所谓多元化就是通过大量不相关的小风险代替一种风险来降低风险。
保险市场是多元化的一个例子。设想一个城镇有1万名房主，他们每一个人都面临房子遭受火灾的风险。如果某人开办了一家保险公司，而且镇上的每个人既是该公司的股东，又是该公司的保险客户，那么他们都通过多元化而降低了风险。现在每个人面对1万次可能发生的火灾的万分之一的风险，而不是自己家里一次火灾的全部风险。除非整个镇子同时发生火灾，否则每个人面临的风险就会大大降低。
当人们用储蓄购买金融资产时，他们也可能通过多元化来降低风险。购买一家公司股票的投资者是在与该公司未来的利润率打赌。这种孤注一掷的做法风险往往很大，因为公司的未来是难以预期的。微软从由一些十几岁的毛孩子开始创建到发展为世界上最有价值的公司仅仅用了几年；安然从世界上最受尊敬的公司之一到一文不值也仅仅用了几个月。幸运的是，一个股东并不一定要把自己的未来与任何一家公司联系在一起。人们可以通过打大量的小赌，而不是少量的大赌来降低风险。
人们之所以愿意承担一定的风险，是因为他们这样做会得到补偿。一种收益率为8％，而标准差为20％的风险资产，虽然有亏损的可能，但也有一半的机会收益率超过8％。从国际金融历史来看，股票等风险资产提供的收益率远远高于债券和银行储蓄账户等固定收入的金融资产。
当货币贬值的幅度大于固定收入金融资产的投资收益率时，固定收入资产虽然无风险和有确定收益，但这种确定性只是一种确定的投资失败。这种时候，人们更愿意拿出自己的储蓄购买一些风险资产，希望获得较高的回报。
人们无时无刻不面临权衡取舍。当决定如何配置自己的储蓄时，人们必须决定为了赚取高收益他们愿意承担多大的风险。
假设有两种资产类型：第一种是风险资产，平均收益率（也被称为期望收益 ）为μ 1 ，而标准差为σ 1 ；第二种资产类型是固定收益资产，收益率是为rF ，而标准差为0。在两种资产类型之间配置资产组合时，风险和收益随着投入资金的比例不同而变化。如图4-23一个风险资产和一个固定收益资产的资产组合线，纵坐标表示收益，横坐标表示风险。粗线段表示在不允许卖空时的资产组合。
图4-23 一个风险资产和一个固定收益资产的资产组合线
图4-23说明了一个人在选择如何在两种资产类型之间配置资产组合时对风险和收益的变化。黑线中的每一点都代表风险资产与固定收益资产之间的某一比例的资产组合配置。投入风险资产越多，风险和收益就越大。如果100％把资金投入风险资产，则这个组合的收益率是μ1，而风险的标准差为σ 1 。反之，如果把100％的资金投入固定收益资产，则这个组合的收益率是rF ，风险为0。
图4-23并没有告诉我们一个人应该做什么。对风险和收益某种组合的选择取决于个人的风险厌恶程度，这反映了他的偏好。
但是，当两个风险资产组合在一起的时候，情况就有些复杂，也更加有趣了。造成这种复杂性的正是我们前面介绍过的相关系数（这里我们把两个风险资产之间的相关系数记为ρ 12 ）。我们知道，相关系数总是满足－1≤ρ 12 ≤＋1。ρ 12 ＞0，表明两个风险资产变化是正相关，即一个资产的值越大，另一个资产的值也会越大；若ρ 12 ＜0，表明两个风险资产变化是负相关，即一个资产的值越大，另一个资产的值反而会越小。当ρ 12 取值为1或－1时，这意味着这两个风险资产完全正相关或完全负相关。
我们先来讨论ρ 12 为1或－1这两种极端情况下，两种风险资产之间配置资产组合时，风险和收益随着投入资金的比例不同而如何变化。我们把两种风险资产称为风险资产1和风险资产2，风险资产1的平均收益率为μ 1 ，而标准差为σ 1 ，风险资产2的平均收益率为μ 2 ，而标准差为σ 2 。风险资产2的期望收益和风险都高于风险资产1。
省略复杂的计算过程，直接用图表显示结果，见图4-24ρ 12 ＝－1的资产组合（左）和ρ 12 ＝1的典型的资产组合（右），粗黑线段对应于不卖空的资产组合。
图4-24 ρ 12 ＝－1的资产组合（左）和ρ 12 ＝1的典型的资产组合（右）
相关系数不同，结果大不相同。
当两个资产完全正相关时，其组合的风险—收益关系跟一个风险资产和一个固定收益资产的资产组合变化非常类似。无论怎样组合，要想获得高于μ 1 的期望收益率，就必须承受高于σ 1 的风险，要想低于σ 2 的风险，只有放弃μ 2 这个目标收益率。在这种情况下，按什么比例组合这两种资产为最佳的标准，只可能是个人的风险厌恶程度。
但是，当两个资产完全负相关时，美妙的事情就发生了。从图上我们可以看到，当风险资产1和风险资产2组合配置后，随着风险资产2在资产组合中的比例逐渐增加，在期望收益率逐步提高的同时，资产组合的风险反而快速减小，对于风险厌恶的我们来说，这是多么令人兴奋的事情。更不可思议的是，在某一个特定的资产组合比例，风险突然消失了，而在这一资产组合的期望收益介于μ 1 和μ 2 之间。我想，此图表带给我们的启发不言而喻，每个人都知道应该如何组合这两种风险资产了。
可以这么说，当你找到两个完全负相关的风险资产时，你就找到了金矿。不过，在现实生活中，这并不容易。现实中的各类风险资产介于完全正相关和完全负相关之间，那么当－1＜ρ 12 ＜1时，资产组合线会是什么样子呢？会有两种样子：一种接近完全正相关时的资产组合线；另一种接近完全负相关时的资产组合线。见图4-25－1＜ρ 12＜1的典型的资产组合线。
图4-25 －1＜ρ 12 ＜1的典型的资产组合线
到目前为止，有两点似乎是相当明确的。其一，资产组合的收益率（我们用μv 代表）仅取决于这两个风险资产在组合中的权重，以及它们本身的收益率。其二，在不能卖空的前提下，资产组合的标准差（我们用σv 代表）不会超过成员标准差中的最大者。
左图比右图更有吸引力，因为在左图中，存在不卖空的资产组合使得μv ＞μ 1 的同时σv ＜σ 1 。
我们需要搞清楚，是什么因素造成资产组合线的不同？
金融数学家给出了答案：是ρ 12 的值与σ 1 /σ 2 之间的关系决定了资产组合线的形状。
首先假设σ 1 ＜σ 2 ，并且不允许卖空资产，那么就存在以下三种情况：
图4-26 资产组合线的形状
1．当－1≤ρ 12 ≤σ 1 /σ 2 ，那么存在这样的资产组合，使得σv ＜σ 1 （图4-26中的线4和线5）；
2．如果ρ 12 ＝σ 1 /σ 2 ，则σv ≥σ 1 （图4-26中的线3）；
3．如果σ 1 /σ 2 ＜ρ 12 ≤1，那么任何组合都有σv ≥σ 1 （图4-26中的线1和线2）。
现在，数学方法向我们证明了，分散投资于两个风险资产确实有可能降低风险，关键是要选择相关度不高的风险资产来相互配置。两个资产之间相关度越低，其组合后风险下降的效果就越明显，最理想的状况就是当两个资产完全负相关的时候（可惜，我还没有如此幸运发现这样的机会）。
如果不仅仅是两个风险资产，而是三个或者更多的资产组合在一起，其风险—收益会是什么样呢？
图4-27 三个风险资产的可达资产组合
还是省略计算，用图说话。图4-27给出了一个具体化可达资产组合 的方法。所谓可达资产组合就是有可能实现的资产组合，参与组合的各项资产的权重之和为1（可达资产组合包括资产可卖空时的资产组合）。此图与我们上面出示的图相类似，都是利用资产组合的期望收益与标准差的关系，所以被称为风险—期望收益图。
图4-27中的三个点表示对应于这三个风险资产中仅由一个风险资产组成的资产组合。例如，所有的资金都投资于风险资产2的资产组合我们用点（0.24，0.15）表示。通过这三个点中的两个点的线对应于由两个风险资产组成的资产组合，即前面谈到的资产组合线。例如，包含风险资产2和风险资产3的资产组合位于通过（0.24，0.15）和（0.25，0.20）的线上。阴影区域（深色和浅色两部分），包括边界，表示由三个风险资产构成的资产组合，即所有可达资产组合。深色阴影部分，表示不允许卖空的资产组合。
图4-28 最小方差线
由粗黑线表示的边界为最小方差线。此线上的每一个点对应于一个单独的资产组合（与最小方差线上的点不同，阴影区域内的每一个点对应于两个不同的资产组合）。在图4-28中我们用粗黑线表示不卖空的最小方差线，用虚线表示卖空的最小方差线。
这个形状是不是非常像一颗飞射出去的子弹。它的确被称作“子弹”，这就是著名的“马科维茨子弹”。
人物介绍：哈里·马科维茨
哈里·马科维茨（Harry M．Markowitz），1927年8月24日生于美国伊利诺伊州的芝加哥。他的研究在今天被认为是金融经济学理论的前驱工作，被誉为“华尔街的第一次革命”。他因为在金融经济学方面作出了开创性工作，与威廉·夏普和默顿·米勒同时荣获1990年诺贝尔经济学奖。
马科维茨关于资产选择理论的分析方法——现代资产组合理论，有助于投资者选择最有利的投资，以求得最佳的资产组合，使投资报酬最高，而其风险最小。
在有效市场假说产生和发展的同时，马克维茨于1952年把可能收益率的分布，以其方差为度量，来求得资产组合的风险。方差度量可能的收益率依赖于平均收益率的离散程度，离散程度越大，标准差就越高，意味着证券的风险越大。再结合奥斯本的期望收益率的概念，就可以得出在给定风险水平下投资者会要求得到期望收益率最高的资产组合。马克维茨的方法以“均值／方差有效性”知名，即理性投资者将会选择其“有效边界”上的最优资产组合，即投资者是回避风险型的。