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第5章 征服21点
第5章 征服21点
涉 足21点并非为钱。虽然这肯定能赚到外快，不过我和妻子薇薇安已经习惯于朴素的学术生涯。21点的魅力在于，只要单纯地坐下来思考，就能想出获胜之道，而且强烈的好奇心也驱使我探索未知的赌博世界。
从拉斯维加斯回来后，我立即来到加州大学洛杉矶分校的图书馆，从数理统计专区里挑选出研究赌博策略的书籍，迫不及待地进行研究。学界认为赌博的获胜策略是不存在的，但是作为数学家的我不知道原因何在。可以确定的是，概率论在400多年前人们研究概率游戏时出现了雏形。在之后的几个世纪里，寻求获胜策略的尝试大大加速了概率论的发展，最后人们终于发现在大多数情况下，赌博的获胜策略是不存在的。不过我还是老样子——只接受经过自己检验的结论。
在满脑子都是方程的时候，我突然意识到自己发现了获胜策略，而且能够证明它的存在。我从赌场惯用假设开始推理：每张牌被分发的概率是均等的。这将使得21点里赌场的胜率仅仅比玩家高0.62%（也是所有赌博中双方胜率最接近的差值）。但我认为，随着赌局的进行，每张牌出现的概率实际上都取决于它在牌堆里的数量。因此双方的胜率差异会随着赌局的进行而变化，时而倾向赌场，时而倾向玩家。那么，玩家就可以相应地投注。根据高等数学课程[1]中的理论，我相信玩家的胜率优势会经常出现，而且也确实有些玩家在赌桌上精炼并运用这些信息。
我决定从排除玩过的牌入手，快速计算最佳策略的胜率，并且在有利时多下注，不利时少下注。赌场可能赢走小赌注，但是我会赢得大赌注。如果在胜率明显时敢于下足够的赌注，那我就能将优势保持到最后。
离开图书馆后，我在家继续思考获胜策略的后续步骤，还写信给罗杰·鲍德温（21点研究文献的四位作者之一），询问他计算的详细过程，并表示我希望延伸21点的研究分析。几周后，他慷慨地把计算原稿都寄给了我。这满满当当两大箱的数千页实验手稿是作者们在服役闲暇里，用台式计算器运算的计算过程。1959年春，在努力完成加州大学洛杉矶分校的教学要求和科研任务的同时，我终于掌握了21点分析的各个细节，兴奋地加快了获胜策略中海量计算的步伐。
在不知道哪些牌已经玩过时，鲍德温的策略无疑是最佳的。他们的博弈策略基于只使用单副牌的21点规则（不过这是当时内华达州唯一的玩法）。其研究也表明，赌博专家的建议不仅无效，还会让赌场增加2%的优势。
21点的策略表必须告诉玩家如何应对庄家的10种不同手牌以及玩家所有55种手牌的组合。在寻求应对这550种不同组合的最佳策略时，你需要计算所有后续牌面的可能性及其对应的回报率。每一局牌可能有数千种，甚至上百万种打法，因此在这550种可能的组合情况下，整副牌的计算量非常惊人。如果你拿到的是一对，那策略表必须涵盖是否应该分牌，以及是否需要加倍（即赌注加倍且再要一张牌），而最后则应判断是否继续要牌。在找出获胜策略后，我打算把这些复杂的计算浓缩成一张小卡片，就如同当时描述鲍德温策略一样。这么做能直观地提醒我如何应对550种不同情况。
鲍德温小组的计算结果都是近似的（如果用台式计算器求解精确值，可能一辈子都算不完）。我在1959年面对的工作量则更为巨大，因为需要推断出数百万种残余牌堆[2]的相应策略。举例来说，按规则，庄家以烧牌（burning）开局，即把这张牌面朝上放到整副牌下面，作为一局牌结束的位置[3]。此时牌堆里还剩下51张牌[4]，根据点数不同（A、2……9、10），被“烧”的牌有10种不同情况。这对于牌局有何影响？我们可以运用鲍德温的分析策略，为550种剩余情况做出策略表。那我们就有11张策略表，即对应完整牌堆的1张策略表，加上对应缺失（被“烧”）牌的10种可能性的10张策略表（每种可能性各有1张策略表）。
接下来，假设我们确定有2张牌缺失，那么余下50张。而这50张牌有多少种可能性呢？从完整的一副牌里取走2张有两类情况。其一是取走2张不同牌面的情况，有45种可能性：（A，2）、（A，3）……（A，10）；（2，3）、（2，4）…… （2，10）等，以此类推。其二是取走相同牌面的情况，有10种可能性：（A，A）、（2，2）……（10，10）。所以总数是55种。这就使得后续需要再计算55种情况，也就需要多55张策略表。如果还是用台式计算器计算，每张策略表大概需要鲍德温小组花费12年之久。我们可以按这个思路对每种可能性进行计算。整副牌有52张，因此总共有3 300万种残牌情况，因此也就需要这么多的策略表，这简直就是天文数字[5]。
面对这个需要4亿年才能完成的计算工程，以及足够装满5英里长火车的策略表，我尝试简化这个问题。我猜测残余牌堆中玩家的胜率优势主要依赖于各类牌的比例，或者说是每类牌在残余牌堆里的百分比，而非数量。
这想法被证明是正确的。比如40张牌里有12张10点、30张牌里有9张10点和20张牌里有6张10点，这三种残余牌堆里的10点都具有相同的比例，即十分之三，或者说30%。在计牌时，重要的是每类牌留下的比例，而非数量。
我从研究取走特定牌面后的策略和胜率变化着手。首先取走4张A，计算其对应的各种可能性和博弈结果；随后改为取走4张2，再次进行计算，然后是取走4张3……直到所有牌面都被检验一遍。
这项工作始于1959年春。1958年6月，我取得博士学位，开始在加州大学洛杉矶分校执教。因为博士毕业的时间比我和导师安格斯·泰勒预计的要早，所以我当时还没寻找博士后教职（我本打算过一年再开始寻找）。泰勒教授安排了我在加州大学洛杉矶分校的临时教职，并在次年帮我推荐了合适的职位。其中，我最中意的是麻省理工学院的克拉伦斯·雷米尔·以利沙·穆尔的讲师职位（Clarence Lemuel Elisha Moore Instructor-ship）和纽约州斯克内克塔迪市通用电气公司（General Electric Corporation）的工作。在通用电气公司的工作主要是运用物理学背景对太空项目进行轨道计算。虽然这份工作很有诱惑力，但是相较于学术界生活，我可能没有时间研究自己感兴趣的课题。我也憧憬着将来在大学成为教授的生活，因此最终选择进入麻省理工学院，将它作为学术生涯的新起点。
我在1959年进入麻省理工学院。为了去剑桥，我在警局的黑车拍卖会上以800美元拍得了一辆老旧的黑色庞蒂亚克牌（Pontiac）轿车。在挂载了装满生活用品的拖车后，我开着它跨越了整个美国。当时，我的第一个孩子即将在两个月后出生，所以在我去马萨诸塞州的剑桥布置新家、做暑期补助时，薇薇安和我的岳父岳母依然留在洛杉矶。麻省理工学院的暑期补助持续到8月中旬，那时候离薇薇安的预产期已经很近了，所以我很担心不能及时赶回去。整个夏天，薇薇安和我都几乎每天通话。幸运的是，她的产检结果一直都很好。
两位正在访问加州大学洛杉矶分校的日本数学家恰好要去纽约。我很乐意载他们一起走，这样我就能和他们轮流驾车。不过凌晨1点，在俄亥俄州的某条偏僻的高速公路上，我在睡梦中被急刹车声惊醒。我们的车在离一头慢慢穿过公路的大奶牛数英尺的地方停了下来。由于只有轿车有刹车，拖车又增加了整体质量，因此刹车距离加倍了。虽然出发前我就详细强调了这一点，不过显然没有达到预期效果。我只能一边忍受着疲劳，一边驾驶余下的路程。
在到达剑桥时，有不少问题需要解决。我从没来过大波士顿地区，在这里没有熟悉的朋友。绝大部分教职工夏天都回家了，不过系里还是给我找到一处优质的出租房——剑桥的一户老旧而宽敞的三层民房底楼。因为从未实地查看过房屋，房屋面积远远超出了我的预料。另外，我很高兴地发现，女房东非常客气。她是一位来自爱尔兰的寡妇，和五个儿子中最小的两个住在一起。
我白天进行学术研究，晚饭后穿过几乎空无一人的教学楼去计算器室。从每晚8点到黎明前，我在那里使用梦露计算器进行21点的策略计算。这些电动机械的计算器看上去像大号的打字机，工作时不断发出嘈杂的声音，它们可以加、减、乘、除，功能类似于今天最简单廉价的口袋计算器。当时没有空调，在剑桥潮湿的夏夜，我经常赤膊上阵，房间里不断传来手指敲击键盘的噼啪声和计算器工作时的隆隆声响。
有天清晨大概3点，我准备回家时发现停在老地方的车不见了。在我返回教学楼准备报警时，一位友善的夜猫子研究生告诉我，可能是警察拖走了车。我立即打电话和警察局确认，发现确实如此，电话中我指出这是合法停车，当值警员解释说他们每晚都看到这辆车出现，所以觉得有问题。我急匆匆地跑到市中心的夜间法庭激动地上诉，法官却威胁说我再多讲一个字就会被处罚100美元。那位好心的学生（也是载我去夜间法庭的夜猫子）告诉我警察和拖车公司有协议，加急取车需要加钱，我只能在次日早晨从拖车厂取回轿车，并被罚款100美元。这是我一周的薪水。呵呵，欢迎来到波士顿。还好这里风景不错，而且科学、教育、文化和艺术都很有底蕴。
几周后，计算结果已经堆积如山（如果用手算可能需要成百上千年）。然而即便我采用了高效速算，这段时间的进展还是有些缓慢。此时我得知麻省理工学院有一台IBM 704计算机，而且教职工有权使用。我立即向计算机中心借来FORTRAN编程语言教材进行自学。
1959年8月，我在第一个孩子出生前4天飞到了洛杉矶。在得知未出生的孩子将是女儿时，我们苦苦思索了好几个星期，不知道该给她起什么名字。于是我们求助于薇薇安的弟弟——雷。他是加州大学洛杉矶分校语言学的学生，在英语上有独特的天赋，并且将从事法律相关职业。他建议给她取名为“瑞安”，因为在发音上和它押韵的“黎明”和“小鹿”都是充满活力的形象。虽然我们夫妇都没听过这个词，不过我们都觉得很棒，取名活动终于告一段落。
1个月后，我和薇薇安以及我们的小宝贝回到了麻省理工学院，开始了我的教学和科研生涯。麻省理工学院不论在当时，还是现在，都拥有全球最好的数学系，那里的年轻教职员工们为此贡献甚多。我每学期教两门数学类课程，这样，我每周有6小时用在课堂教学上，备课时间大概是每周12到15小时，另外还需要在办公室里辅导学生，布置、批改作业和阅卷也需要时间。科研上，学校要求我们在学术期刊上发表原创性工作成果。在投稿后，专家会匿名审阅学术论文并决定它的去留。被拒是常有的事。怀揣学术理想的同事们，深谙“出版或死亡”的道理。尽管如此，我还是坚持在IBM 704计算机上编辑、修改模块（或说“子程序”）的代码，继续开展对21点牌堆“任意子集”的研究。
IBM 704是早期的大型计算机，是IBM最成功的产品系列之一。在当年，要通过特定卡片（大概和1美元纸币尺寸差不多）上打出的孔的式样来读取输入的计算机指令。每张卡片上有80列长方形标记，每一列有10个。我通过专门的打孔器对卡片打孔，每次用一张卡，就像在打字机上打字那样，只不过区别在于每次敲击键盘，打孔器就会在当前列打出按键对应的小孔式样并自动换到下一列。每一列不同的孔数和次序，代表了不同的数字、字母或者标点符号。
我在计算机中心留下了用橡皮筋捆扎的成堆卡片，工作人员会将其输入IBM 704并取得运算结果。不过每次运算都需要等好几天，因为学校的这台计算机是和新英格兰地区的30所大学（例如阿默斯特学院、波士顿学院和布兰代斯大学）共享的。
21点策略的研究进度在我掌握了这奇怪的新语言后大大加快了。我把解决问题的计算机代码分成了好几部分（或者说子程序），对每部分都进行仔细测试、修正和交叉检验。周复一周，月复一月，我慢慢地把所有部分都完成了。1960年，我终于将所有部分都整合在了一起。第一次运行整个程序时，结果表明在玩家不计牌的情况下，如果没有主动失误，那么赌场的胜率优势是0.21%[6]。所以这个游戏对双方而言几乎是公平的。即使计牌也不见得会给玩家增加多少胜率。不过，即便是使用IBM 704，它也无法在有限的时间内计算出所有精确的数值，所以在某些问题上，我还是采用了近似值。我也清楚地知道使用近似值会对玩家的胜率产生轻微的低估，因此在实际情况中，玩家的实际胜率比我用计算机运算的结果要好一些。
不过随着计算机技术的不断进步，我的近似值也逐步被更精确的数值所代替。1980年，计算机的运算能力终于能达到精确计算的要求，我按照当年的著作《击败庄家》里用单副牌玩21点的规则[7]来计算，玩家最终将取得0.13%的胜率优势。玩家如果采用我提出的策略，在不计牌的情况下也始终可以拥有比赌场稍高的胜率优势。不过我的策略的真正优势不仅能应用于完整的牌堆，而且能应对各种不同的残牌组合。
于是我借助计算机继续探索未知的领域：分析剩余牌堆里仅缺失4张A的结果，将之与完整的牌堆比较，就能了解A在21点里的作用。几天后，我激动地拿到了计算机输出栏里的那堆厚厚的运算结果（巧合的是，这项研究就像是用一种卡片来研究另一种卡片游戏）。IBM 704计算机10分钟的计算量相当于常人1 000年的手算效率。我兴奋地看着这堆卡片，它们要么证明我是对的，要么使我探寻获胜策略的希望彻底破灭。运算结果是，取走所有A后，玩家的胜率优势将变成–2.72%，比原本整副牌0.21%的劣势又多了2.51%[8]。虽然这大大增加了赌场的胜率，不过对我而言却是个好消息。
这个结果有力地证明了我在加州大学洛杉矶分校图书馆时的观点——21点是可以掌控的，也就是说，随着赌局的进行，玩家和赌场间的胜率优势将有明显的往复变化。并且，大量计算证明，取走各个不同的牌面会对胜率优势产生确定的相应影响，反过来说，如果特定牌面的比例上升，胜率优势则会反向等量变化。举例来说，相较于有较少“A”的牌堆，在有较多“A”的牌堆中，玩家的胜率优势提升明显。假设牌堆里“A”的比例是最初的两倍，比如玩到后期26张牌（半副牌[9]）里还留有4张“A”，则玩家的胜率优势将增加2.51%，即算上正常情况下初始的0.21%的劣势后，净剩2.30%。
每隔两三天，我就会从计算机中心取回不同残留牌堆里的计算结果（每个结果需要常人手算1 000年）。很快，我就掌握了整副牌里取走任何4张同类牌面[10]的影响。对玩家来说，4张“A”被取走是最糟糕的，其次是4张“10”（使赌场增加了1.94%的胜率优势）。不过取走“小牌”，即“2”、“3”、“4”、“5”和“6”能够在很大程度上帮助玩家。其中，取走4张“5”是最好的，这将使胜率优势从倾向赌场的0.21%剧烈变化为倾向玩家的3.29%。
这样，我就可以构建基于记牌的获胜策略。麻省理工学院的IBM704计算机基本上求出了所有缺失单一牌面的影响，这使我开发出“算5法”（Five-Count System）和“算10法”（Ten-Count System）的大致思路，也在很大程度上促使我制定出了21点的终极策略。我们可以量化每张牌对游戏的影响程度，如将A记作–9、将2记作+5……将10记作–7。不过复杂的数字不利于赌场速记，因此需要适当简化。在考量了记忆难度和获胜率后，最佳策略是将小数牌（2、3、4、5、6）记作+1，中等大小的牌（7、8、9）记作0，而大数牌（10、J、Q、K）记作–1。从计算结果上看，这个方法可以算出目前几乎所有其他的21点算牌法可以算出的细节。
直观地说，这些结果很有意义。例如庄家牌面是16点，他必须去要牌。如果因拿到大牌而爆点那他就输了，但是如果拿到小牌就能继续游戏，而拿到5是最佳情况。所以他的胜率优势取决于残余牌堆里大数牌和小数牌的多寡。另一个例子是，牌堆里有较多的A和10，会增加拿到21点的概率。此时，玩家和庄家拿到21点的概率都是4.5%，但是玩家能获得1.5倍赌注，而庄家只能获得1倍赌注，因此在这类情况下玩家具有明显的优势。
计算牌堆里5的张数就是一个很简单的获利模式。假设玩家在残余牌堆里还有5时少下注，在没有5时多下注，而5在残余牌堆里的出现概率会随着游戏的进行而减少，当残余牌堆只剩下26张时，里面没有5的概率大约是5%，如果残余牌堆只剩下13张，那么这一可能性将提升至30%。此刻玩家的胜率优势达到3.29%，所以从统计上看，下重注较为有利。
在真实的赌场里，我通过考量10在牌堆里的百分比变化情况，建立了一条更有效的获胜策略。虽然计算表明一张10的影响比5小，但是10的数量是5的4倍[11]。因此10的百分比波动往往会给玩家带来更好的获利机会。
1960年夏天，在我们驾车从波士顿去加利福尼亚的途中，我努力说服了薇薇安在拉斯维加斯短暂停留，以实测算10法策略。我带着200美元[12]（相当于2016年的1 600美元）和一张手写的新策略小卡片进入了市中心弗里蒙特街的一家赌场。我打算先不看卡片，以避免被荷官注意。这张提示卡凝聚着我的心血，上面不仅有应对庄家的各种明牌策略及下注范围，还有残留牌堆里10的百分比变化和游戏胜率变化的对应关系。博弈开始，这副完整的牌堆里有36张非10和16张10，所以这两者的初始比例，即非10/10=36/16=2.25。
薇薇安坐在我边上，她每次都象征性地下注25美分。随着游戏的进行，我一直留意10和非10的残余数量和对应的比值。每次我需要下注时，我都将该比值与最初的2.25比较（比值小于2.25表示残余的10较多）。在比例达到2.0时，玩家将拥有1%的胜率优势。在每次比例小于2.0时（即玩家拥有大于1%的胜率优势时），我就根据胜率优势的多寡适当投注2美元到10美元，在其他情况下我投注1美元。
薇薇安紧张地看着我接连输了32美元。此刻，庄家轻蔑地说：“我劝你还是再增加些筹码，因为你很快就需要它们了。”薇薇安也劝我离开这里。虽然输了钱，但是我为自己不借助策略卡而能跟上赌场的速度使用算10法策略而振奋。其实输32美元也在我的策略计算之内，因此我对自己的策略确信无疑。想到已经没什么可验证的了，我就带着薇薇安离开了赌场。虽然输了钱，但是我验证了自己的智慧。
麻省理工学院数学系的朋友们听闻我的研究结果和实测结果时都震惊了。一些人建议我马上把成果发表，以免被人抢发或者窃为己有。这个道理我也懂，毕竟我以前亲身经历过学术成果被剽窃。那时候我还在加州大学洛杉矶分校，导师安格斯·泰勒建议我请某位加州著名的数学家审阅我的学术成果[13]，但我一直没收到回复。11个月后，在南加州举办的美国数学协会（American Mathematical Society）研讨会上，泰勒和我惊讶地发现，这位数学家演讲的内容就是我的学术成果，而且他把我的工作纳入了他署名的原创性研究，即将发表于某著名数学期刊上。我们都惊呆了。泰勒熟谙科研伦理，又是有经验的数学家，他后来成了加州大学系统的学术副主席。但是在当时那个情况下，他也不知如何是好，所以我俩都没有采取任何行动。
在科学史上，特定的时刻会出现特定的研究进展，有时候几位独立的研究人员会在非常接近的时间点同时发现某个理论。著名的例子有：牛顿和莱布尼茨发现微积分、达尔文和华莱士发表演化论。5年前研究21点策略还是相当困难的，但是随着计算机技术的大幅发展，这个课题的研究可行性将越来越高。
另一个需要尽快发表研究成果的原因缘自于一个有名的现象——如果你知道某个问题可以解决，它通常将更容易解决。因此即使我只是把研究口述给他人，也迟早会有人得出我的结论。我最初了解到这个现象是在大学时看的科幻小说里。剑桥大学的某位教授班里有迄今为止最优秀的物理系研究生：他将班里的20人均分为4组，分别布置他认为最难的课后作业。因为同学们都知道他有答案，所以他们一直坚持做出最完美的回答。最后教授为了增加难度，就说俄罗斯人已经发现如何消除重力，希望学生们在课后作业里展示其原理。一周后，两组学生（总数的一半）展示了他们的结论。
为防止我研究21点的工作发生类似情况，我倾向于在《美国国家科学院院刊》（Proceedings of the National Academy of Sciences）上发表成果。我主要考虑的是这本杂志审稿最迅速（大概2—3个月），且具有相当的学术影响力。不过这需要院士的推荐，因此我找到了当时麻省理工学院的唯一一位数学院士——克劳德·香农教授。克劳德先生因创立信息论而享有极高的学术声誉，这也是现代计算机、通信和衍生技术的奠基石之一。
院系秘书在中午勉强帮我约到了不太情愿的香农[14]，还告诫我香农只有几分钟的时间，所以要尽量减少理论解释，而且他也不会多听不感兴趣的东西。我带着一丝敬畏和兴奋，敲开了香农的办公室。他是一位有些消瘦又机警的人，中等身材，五官分明。我简短地向他展示了自己的21点策略和论文。
香农详细地询问了我各种细节，一方面了解我分析游戏的方式，另一方面寻找可能的瑕疵。原定几分钟的会面变成了一个半小时的愉快对话，其间，我们还在麻省理工学院的咖啡厅一起吃了午饭。他指出，论文结尾部分表明本研究对该课题有突破性的理论进展，但是仍然可以在细节上详细阐述。他建议我把论文题目从“21点的获胜策略”（A Winning Strategy for Blackjack）改为“21点的有利策略”（A Favorable Strategy for Twenty-One），因为这样，标题更学术，容易被科学院接受[15]。此外，学术期刊大多惜字如金，院士每年只能提交一定页数的论文，因此我只能不情愿地接受香农压缩论文的建议。我们快速定稿后，他直接把论文寄给了科学院。
回到办公室，他问我是不是对其他赌博也有研究。短暂的犹豫后，我决定告诉他另一个大秘密——我向他分析了轮盘赌的可预测性，并且告诉他我还打算做一个能藏在衣服下面的微型预测计算机。讨论中，针对我已有的进展，许多方案和设想如同头脑风暴般涌现。几个小时后，剑桥天色已暗，我们意犹未尽地结束了预测轮盘赌的第一次探讨。
同时，我也打算在华盛顿D.C.召开的美国数学学会会议上展示我的21点获胜策略。我在记载了大量纯粹的技术性问题且晦涩难懂的会议手册上提交了以“财富公式：21点”（Fortune’s Formula: The Game of Blackjack）为标题[16]的演讲摘要。
审查委员会收到我的摘要时，第一反应几乎都是拒绝。这是我从约翰·塞尔弗里奇（他是我在加州大学洛杉矶分校认识的数论学家，同时也是院士）那里听说的。他曾是世界上最大质数（质数就是能且仅能被“1”和它本身整除的非1自然数，例如2、3、5、7、11、13等）的发现人，并且维持了这项纪录相当长一段时间。幸运的是，塞尔弗里奇先生最终说服了他们，因为我演讲的本质是纯粹的数学研究，并且具有很高的可信度。
委员会为什么拒绝我的发言？数学家们收到的声明通常是解决著名的问题、打破常规的奇思妙想、开拓未知的领域，或是某些证明存在的漏洞。著名问题的解决方法往往被认为是不存在的。例如平面几何里仅用圆规和直尺二等分任意角度十分简单，但是小小地改变角度均分的数量，只用尺规三等分任意角度，就让原本简单的问题变得无解。
当时的情况就像赌博，因为数学家已经证明在大部分标准的赌博游戏中不存在获胜策略。可以预见的是，如果真能打败赌场，那赌场要么改变规则，要么倒闭。毫无疑问，委员会倾向于拒绝我的摘要。但是讽刺的是，他们这么做的理由，恰恰是我证明获胜策略客观存在的最大动力。
动身前往会议的两天前的晚上，我意外地接到《波士顿环球报》（The Boston Globe）[17]迪克·斯图尔特关于我会议演讲内容的采访电话。这家报纸还派了摄影师给我照相。我在电话里简单介绍了获胜策略的基本原理。次日早晨，我的照片和斯图尔特的采访稿就在首页见报了。几个小时内，新闻通讯社把我的照片和报道传遍了全美[18]。在我去机场时，薇薇安已经疲倦地记录了几百份来电，而女儿瑞安一听到电话铃声就哭。
[1] 测度论，系概率论和统计学的基础。
[2] 在52张牌里我们可以选择一个子集。例如抽走0张、1张、2张、3张或者4张“A”，类似地，从2~9里也各自有5种取法。那么从牌面是10的16张牌中抽牌就有0~16共17种取法，因此总数是5×5×……×5×17–1（其中有9个5，即对应A到9的5种取法），即有超过33 000 000种余下的牌（减1减去的是每种牌面抽出的都是0张牌，代表没有余牌的时候）。如果用8副牌的玩法则是33×33×……×33×129–1，即大约有一千万亿种（1后面15个0）余牌情况。
[3] 把第一张扑克牌正面朝上放到牌堆底部的某处，然后一直用这副牌继续赌局，当发牌发到这张正面朝上的牌时，此轮赌局结束，然后就将重新洗牌再开始之后的赌局。这样，这张正面朝上的牌以后不会被用到。这种方法能够比较有效地最大限度地利用牌堆而不用反复洗牌，因为洗牌会增加赌局间等待的时间从而减少赌场的利润。——译者注
[4] 这是枚举法。一副牌有52张，因为要拿出一张作为“烧”牌，所以这张牌的信息是所有人都知道的，拿掉这张被“烧”的牌后，局面上剩余51张牌。同时，被取走的“烧”牌有10种可能，这是下文中有11张策略表（10种烧牌+原策略表）的缘故。——译者注
[5] 对于那些喜欢计算的人来说，假设每个策略表都写在一张一美元的纸币上，每张纸币的体积以1.08立方厘米计算，策略表的总体积可以达到37立方米。如果是8副牌的玩法，策略表的体积就会达到6.5立方千米。
[6] 鲍德温小组在后续研究中指出，他们曾经认为赌场优势是0.62%，而这一数值其实应该是0.32%。这是计算失误所导致的。
[7] 不同赌场间的21点玩法各异，我选用的是最经典的规则。
[8] 优势和劣势。– 0.21%的优势相当于0.21%的劣势，优势减少等同于劣势增加。——译者注
[9] 在半副牌里剩余4张A的可能性大概是5.5%。
[10] 后续更精确的计算显示胜率对玩家更有利。这些结果也受到赌场规则变化的影响。详细情况请参考索普（1962，1966）、格里芬（1999）、王（1994）的相关研究。
[11] 10、J、Q、K都被算作10，因此10是21点游戏中最主要的牌点数。——译者注
[12] 本书时间横跨超过80年，因此不同时期美元的购买力差异巨大。读者有兴趣可以通过附录A折现。
[13] 该发现是泛函分析中的一个例子，泰勒教授和那位数学家都是该领域的专家。
[14] 那天是1960年9月29日，我记得当晚我把会面的细节写在信上，寄给了数学家朋友伯特霍尔德·施魏策尔。
[15] 参见：《21点的有利策略》，爱德华·索普著，《美国国家科学院院刊》，47卷，第一部分，1961年，110—112页。
[16] “财富公式”这个标题也被用于威廉·庞德斯通在2005年的著作中，其中涵盖了我和21点、轮盘赌、股市、凯利公式（Kelly Criterion）的故事。
[17] “教授说，可以战胜21点”（Can Beat Blackjack, Says Prof.），理查德·H. 斯图尔特，《波士顿环球报》，1月24日，1961年，第1页。
[18] 例如《哥伦布电讯报》（Columbus Dispatch，1961）、《拉斯维加斯太阳报》（Las Vegas Sun，1961）、《迈阿密新闻报》（Miami News，1961）、《纽约先驱报》（New York Herald Tribune，1961）、《纽约世界电讯与太阳报》（New York World Telegram and Sun，1961）、《华盛顿邮报》（Washington Post，1961）以及《时代先驱报》（Times Herald，1961）。