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第8章 玩家对赌场
第8章 玩家对赌场
在 我的书出版后，内华达州的赌徒们纷纷跃跃欲试。只要能找到规则相对合理的赌博游戏，任何人都能靠我书里的策略与赌场进行公平博弈，甚至无须计牌。至于那些懂得计牌或者即将掌握计牌技巧的人，他们中的大多数已经深谙游戏诀窍，有些还能够靠21点维持生计。但是对于普通大众，练习计牌需要坚持不懈的努力、毅力和自律。大部分人都很难做到，更别说那些性格急躁的了。
即便如此，在21点上打败庄家的可能性还是让大众对它热情骤增。在随后的几十年间，21点逐渐取代掷骰子成为赌场最热门的桌面游戏。然而这也让赌场陷入进退两难的局面：是应该维持现状、放任少数计牌者，主要从大部分不计牌的普通玩家那里获利；还是应该开始采取对付计牌的策略，但这可能会浇灭大众对21点的热情。
赌场首先尝试改变21点规则，但是很快就发现得不偿失，于是他们又重拾旧则。接着他们引入了一种新的洗牌机器（也叫蜗牛机），它能够同时容纳4副、6副或者8副牌。蜗牛机看似让计牌变得更加困难，但事实上对于使用高低牌策略的玩家来说影响并不大。因为高低牌策略[1]已经考虑到未使用的牌数的随机性，因此总体上有多少副牌对该策略几乎无关紧要。在蜗牛机面前，那些不断练习的高手们依然胜券在握。
赌场广泛使用了由格里芬调查公司（Griffin Investigations, Inc.）研发的黑名单系统（黑名单相册集）。这家公司是1967年由比弗利和罗伯特·格里芬创立的私人侦探事务所。该系统的研发初衷是登记罪犯、作弊人员和公开闹事者，后来迅速被大量的计牌者所充斥。记录在册的玩家会被赌场拒之门外，各个赌场间也会互相交换黑名单。不过荷官和赌场经理经常分辨不出谁在计牌。不计牌的人如果无意中引起了他们的怀疑，就会莫名地被禁止游戏。这些玩家会被骗到小黑屋里挨一顿暴打。最终，格里芬事务所被两位顶级的计牌玩家成功起诉，并于2005年提交破产申请。提出诉讼之一的詹姆斯·格罗让在21点名人堂中榜上有名。
计牌者们形成了非正式团体，一同研发和改进玩牌策略。《击败庄家》第一次提出了团队合作的概念，使得21点不再是孤军奋战的游戏。比如，有5名玩家，各有1万美元赌资，在分别下注的情况下平均每小时的收益率是1%（或者说每人每小时有100美元的收益，5人每小时总共有500美元的收益）。如果他们将5万美元放在同一个资金池[2]里，当其中一个人玩的时候，他便可以用自己的1万美元做抵押来下5倍的赌注。理论上他能够每小时赚5万的1%，也就是500美元——收益翻了5倍。而且这个策略还可以继续改进。如果剩下的4个玩家也都一起玩，特别是在不同的赌桌上或者赌场里，各自都以5万美元下注，那么整个团队能够平均每小时赢2 500美元——是之前各自为营的5倍之多。
知道了团队合作的秘诀，下一步便不言自明。企业家开始雇用和训练职业玩家，通过给他们提供筹码并且分摊利润，开展21点的业务。这时出现了一些著名的团队，比如汤米·海兰德的团队和麻省理工学院的团队，后者的传奇故事还被编入了《博得满堂彩》（Bringing Down the House）一书，并在2008年被翻拍成了电影《21》。阿尔·弗朗西斯科率先建立了21点团队，其理念之后被他的队员肯·尤斯顿（1935—1987）写进书里。尤斯顿的两本书——《百万美元的21点》（Million Dollar Blackjack）和《大玩家》（The Big Player），不仅促成了其他团队的建立，也逼迫赌场加大了打击团队合作的力度。肯·尤斯顿是21点史上经历丰富多彩的一位。他出生时的全名是肯尼斯·臼井泉三，祖父是日本人，有四分之一的亚洲血统。他早年是一名证券从业人员，还是太平洋证券交易所（Pacific Stock Exchange）史上最年轻的高级副总裁[3]。不过在21点的诱惑下，他离开证券业成了一名职业玩家。
计牌者在庄家有优势的时候会尽可能地少放赌注，然后在局势有利的时候孤注一掷。理论上，玩家会在有利的时候赌1 000美元，而在不利的时候只赌最小金额，比如5美元。这样一个高达200∶1的差值比会引起赌场工作人员的警惕。但是如果改用4∶1的策略（比如在有利的时候赌1 000美元，而在不利的时候赌250美元），会大大减少收益。
有一种改良的提议叫作大玩家（Big Player）。做法是在几个21点的赌桌上各安插几名眼线来计牌，他们一直只放最小的赌注。当牌局变得有利时，他们会暗示看似漫无目的地四处游晃的大玩家，他就会过来放下大额赌注。既然他之前没有在这张桌子上赌过，他就不可能计牌。这一切需要演戏来掩盖。大玩家通常可能会伪装成喝醉的纨绔子弟，通常还需要一个漂亮的女伴。
同时，21点论坛的玩家们[4]还研发出各种新的计牌方法。这些方法的基础都直接来自我的算法，也就是计算把不同牌从牌堆中移除后对赢面的影响。计牌的核心思想是根据已派出的牌对局势的影响，给每张牌赋予数值。计算出的总分值越接近真实数值，玩家对当下局势的估量就越准确。
为了阐述这个思想，我提出了终极策略（ultimate strategy），该策略赋予每张牌一个整数值，并且这个数值和这张牌对胜率的影响接近正比。表8–1中的数字取自1962年版的《击败庄家》。第二行记录了移除1张牌后玩家的优势变化。第三行将第二行[5]的数字乘以13后取整[6]，得到最终每张卡的分数。这是一个不错的估算方法。由于这些离散值的范围较大，靠人脑计算难度高，因此我原以为只有计算机能使用这个系统。而且我创立它的初衷仅仅是阐述记分策略的基本原则——分数越接近一张牌的真实影响，这个策略就越有效。同时，特定记分策略的离散性会让计算变得更为复杂。
表8–1 从扑克牌堆中移除相应牌面所对应的概率影响和终极策略（计点策略，Point-Count Strategy[7]）
在“复杂度”和“精确度”的权衡问题里，做得最好的或许是高低牌策略（也叫“计整点策略”，Complete Point Count），其出现于《击败庄家》（1966年修订版）中。这是最简单的计数方法，赋值只有–1、0和+1，但至今仍然被很多顶级职业玩家所使用。具体做法如下：从0开始计算，所有牌面为2、3、4、5、6的小牌，每使用一张就加+1。而7、8、9这些中间大小的牌面被计为0分，因为它们的出现并不影响整体分数。而像牌面为A和10的大牌被记为–1，这些牌会减少总点数。
假设使用高低牌策略的玩家在第一局里看到：A、5、6、9、2、3。那么从0开始累加，计数是–1+1+1+0+1+1=+3。在只用一副牌的游戏里，使用高低牌策略加上相对有利的游戏规则，玩家会在下一轮里有一定的优势。随着发牌的进行，计数会在0分附近振荡。计数大于0的时候对玩家有利，反之对庄家有利。剩下的牌数量越少，计数所反映的胜率影响就越大。优秀的玩家会通过观察弃牌堆来估算还剩多少牌[8]。
那么，持续计数的难度到底有多大呢？一个经典的测试就是打乱牌序，抽走1到3张牌，将牌面朝下放，然后对剩下的牌计数。接着，玩家将计数结果与一开始抽走的牌进行比较，以此评估计数的正确性。比如，一开始拿走了1张牌，接着玩家对剩下牌的计数结果为0。由于整副牌计数总和必须是0（因为在52张牌中有20张正的和20张负的），因此最先抽走的牌计数必定为0，也就是7、8、9中的一张。但这种方法有时并不正确。
曾有一晚我在波多黎各和20世纪50、60年代著名的喜剧电视演员亨利·摩根一起玩牌。当时，我已经连续输了1个小时了，在只有2副牌的洗牌机发牌到最后时，发牌员有1张面朝上的10。赌场每一手的赌注上限是50美元，不过我可以一个人占满赌桌上七个赌位来赢得更多的钱。当时我用的是计数策略的另一个版本：把2、3、4、5、6、7记为+1；8记为0；9、10、A记为–1。当牌已经发完的时候，我的计数和是0。所以那张没有看见的牌，也就是庄家的另一张牌应该是8，加上明牌的10，庄家的牌面总和是18。当时我有好几手牌的牌面总和是17。相比于庄家的18，我知道如果不继续要牌相当于坐以待毙，于是坚定地要牌。假设不知道庄家手中的牌，这会是一个非常糟糕的决定。然而不幸的是，我的每手牌都爆了。
发牌员轻蔑地看着我，笑着对我说：“所以你认为自己能计牌？你真的以为自己能够知道我的暗牌是什么？[9]”其他发牌员也笑起来。于是我说：“我知道你的暗牌是8。”他笑着把其他发牌员和赌场经理都召集过来，轻蔑地告诉他们有个美国佬专家说他知道暗牌是一张8。顿时周围泛起了人们叽叽喳喳的嘲笑声。
我当时已经很疲惫了，正准备回去休息。而且在此前的1个小时我已经算错了好几次，所以如果这一次算错也不足为奇（从人身安全角度考虑，算错反而是件好事）。我正这么想着，发牌员翻开了他的暗牌——确实是一张8。在场的人都开始惊呼起来。
计数有多难？只要练习得越多，就能算得越准，而且我发现，如果能在20到25秒内算完一副牌，我就几乎能在任何游戏中获得优势。因此每次玩之前我都会看看自己的状态是否达到标准。21点名人堂中的一人曾经能在33秒内计算2副牌，但是我见过的最惊人的一幕出现在拉斯维加斯的巴黎旅馆（Paris Hotel）举办的第三届世界游戏保护会议上。当天的高潮是计牌比赛，而运用的技巧则是缩短时间的关键——那晚的冠军只花了惊人的8.8秒。
赌场开始借助科技来阻止玩家计牌。摄像机以及观察员会在赌桌上方通过单面镜来观察玩家的一举一动。现在通过脸部识别软件，一切都被自动化了。标了电子标签的筹码会跟踪玩家如何下注；机器会跟踪发牌以及检查玩家的手牌，目标是寻找有计牌行为模式的人。机器能够保证在不影响游戏的前提下高效地洗牌，但是赌场也不得不额外支付这些机器的费用。
同时，计牌者也研发出更多技术。其中一种方法的前提是：玩家发两张牌，庄家发一张明牌一张暗牌。如果庄家的明牌是A或者一张点数为10的牌（K、Q、J、10），那么他就会查看暗牌是不是已经构成21点。如果是，他会直接翻开暗牌，游戏就此结束。庄家会直接击败所有的玩家，除非玩家刚好也有21点。而庄家检查暗牌时一般会稍微翘起暗牌的一角来观察。长此以往，A和点数为10的牌会略有弯曲。如果发牌者格外粗心或者扑克牌更换不勤，精明的玩家能在发牌前通过观察折痕找出A和点数为10的牌，从而获得巨大的优势。
采用类似策略的人被俗称为“幽灵”（spooks），他们会有计划地寻找那些粗心的发牌员，并想方设法偷看他的暗牌。如果庄家没有21点，那么这一手将继续。而如果玩家能够从“幽灵”处得知暗牌的牌面，那么他将获得巨大的优势。一些赌场会为了防止玩家使用幽灵而要求发牌员等所有玩家都完成下注后再抽取第二张牌，这个时候发牌员甚至可以直接把这张牌摊开。
在20世纪70年代，有人[10]研发出了能算21点的隐藏式计算机。而赌场的对策就是促使内华达州在1985年通过了一项法案，明文禁止玩家在赌局中使用任何计算胜率的设备。但是天才的玩家并没有因此退缩。一副或多副牌被洗牌后，有时牌序并未被完全打乱，这种情况下，玩家仍然能够利用某些模式来预测牌型。
我在1961年和1962年的时候就已经思考过不彻底的洗牌对博弈策略的影响。后来我意识到，洗牌的方式能够极大地左右许多游戏的胜率。因此我决定双管齐下，一方面建立数学模型来模拟真实洗牌，另一方面用模型来回测实际数据。
最初我采用的方法是试图在一副牌中定位A的位置。我会先打乱一副牌，然后将每张牌摊开，观察方片A的前一张牌，假设这张是红心K，接着我会洗牌再切牌，然后观察这一对牌位置的变化。为了方便定位，可以只把A和K面朝上。接着切牌并且再洗一次，这样一来A和K之间可能会夹杂着1张或者更多的牌。但是如果你准备用这副牌玩21点，在K出现后，你就知道A也不远了。随着不断地洗牌和切牌，越来越多的牌会夹在这两张牌之间。有时切牌会导致A比K先出现，在这种情况下玩家无法做任何预测。如果一副牌洗得不仔细，玩家常常可以知道何时A即将出现。如果玩家能够同时追踪4张A，这会是一个巨大的优势[11]。
追踪A需要关注每一组牌在洗牌过后的位置。赌场通用的洗牌方法是能够被分析的。玩家们学会了追踪含有A和点数为10的牌堆在牌中的位置，他们一般也会借助计算机来达成目的。这种分析带来的优势十分可观，而且也是一种天然的障眼法：追踪A的玩家在洗牌后一牌未发的第一局优势最大，下注也最大，因而赌场传统的侦查方法很难捕捉他们的行为特征。其他时候，如果预测到下一组牌含有大量A和点数为10的牌，他们会在计数较差时提高赌注。
1997年，我去犹他州的圣乔治参加年度马拉松比赛，薇薇安和我同行。回程途中，我们再次经过拉斯维加斯。我的朋友彼得·格里芬［与前文的格里芬机构没有任何关系。彼得著有《21点理论》（The Theory of Blackjack）一书］安排了当时是金银岛（Treasure Island）赌场经理的乔·威尔科克斯来接待我们。乔提出的条件是我不能在史蒂夫永利赌场里玩21点。乔是一个非常慷慨的东道主，为我们安排了非常棒的房间、餐饮和剧场表演。他告诉我，赌场现在因为追踪牌序的玩法正在蒙受一大笔损失，而且至今未能找到有效的洗牌方法来应对。在观察了金银岛还有其他两家赌场的发牌员后，借助一点数学计算，我发现了一种能有效避免追踪排序的洗牌方式，不过我并没有说出来。
玩家和赌场之间的对决不仅发生在赌桌上和小黑屋里，也同时发生在法庭里。内华达州的赌场有权禁止玩家入内，而新泽西州的赌场却没有。在这两个州，赌博机构有权制定对自己有利的游戏规则，并且可以随时洗牌。至于计牌是不是作弊[12]，内华达州的法规将作弊定义为“改变已经确定的选择标准，这些标准能够决定：（1）游戏的结果；或者（2）游戏支付的金额或者频率”。所以用智慧来玩游戏是被允许的。根据条款（1），使用重量不均匀的骰子是作弊；根据条款（2），在21点中看见自己的手牌后增加或者取回筹码也是作弊。
随着赌场和玩家之间的争斗不断升级，拉斯维加斯本身也在不断进化。早期的那种暴徒掠夺现金的模式在1964年出版的畅销书《绿林深处》（The Green Felt Jungle）中有过记载。从1980年开始的模式转型，到赌博的全球化，再到随之出现的亿万资本的赌博公司，暴徒模式在这些冲击下渐渐退出舞台。如今顶级玩家仍然能够赢钱，但是胜利的机会越来越有限[13]，并且新手们成功的道路也越来越艰辛。
职业玩家每年会在内华达州的私人聚会“21点舞会”[14]上相聚，互相分享自己的故事。该聚会由职业计牌者麦克斯·鲁宾举办，并由巴罗那赌场（Barona Casino）赞助，聚会的地点离南加州有几百英里。许多顶级玩家都会参加，21点名人堂中的人更是重要嘉宾。他们在巴罗那赌场中也有影像记录，虽然能够自由进出，但是并不能在里面参与游戏。巴罗那赌场通过这个活动能够获利，因为任何一个来参加这个活动的专家必须承诺不在巴罗那赌场玩21点——这可谓是赌场能找到的最好投资之一。
我的孩子瑞安、卡伦和杰夫在2013年跟我一起参加了这个聚会。当年的与会人士还包括几位佚名的传奇玩家，比如詹姆斯·格罗让。詹姆斯是一名哈佛数学研究生，一直在研究制造更多优势的方法。我们还有机会和霍利·罗尔斯的团队交谈，这是一个由年轻的基督徒组成的计牌团队，他们像侠盗罗宾汉一般，致力于将钱从“坏的一方”转移到“好的一方”——教堂和他们自己。在这102位客人中，近半数人职业生涯中的净收入超过100万美元，剩下的人则是他们的家属和另一半。与会者中的一位是具有冠军头衔的职业牌手布莱尔·赫尔，他曾带队在牌桌上连本带利赢得几亿美金，随后投进芝加哥期货交易中心（Chicago Board Options Exchange，CBOE）。比尔·本特用他在21点中赢得的资金构建了10亿美元规模的全球赌马业务。另一位值得一提的客人是名牌上写着“B. J. Traveler”的性格开朗的中国台湾人，他坐在我旁边，带着一袋子准备在中国出版的书稿，里面记载着他传奇的赌博经历——曾在6年内游历64个国家的赌场，总共获利将近700万美元。最有趣的是他在莫斯科时，练就了一身怀揣巨款、躲避小偷的本领。
第二天，我和常约翰，还有他的一位专业的朋友共进午餐。约翰是电影《21》[15]中麻省理工学院团队的重要一员。用餐后，我们就近找了一家赌场，想在21点的赌桌前合影，但是被赌场拒绝了。于是我们只好坐下来玩几把100美元起、10 000美元封顶的21点。约翰和他的朋友拿出了一捆面额为100美元的纸币，并从里面抽出5 000美元下注，并戏谑道：“我们的口袋就是银行。”担任荷官的是一位来自东欧的慈祥老太太，她并没有意识到面前的几位不是简单的人物，甚至认为约翰最初的反常做法是初学者易犯的错误。当她试图给约翰一点正确玩法的建议时，他十分有礼貌地感谢了她的善意，并表示自己会努力提高。20分钟后，赌场又损失了几千美元，接着我们找了一位工作人员为我们在门口合影。
普通的玩家还有可能获胜吗？经过我的验证，答案是在某些条件下是可以的。的确，现在许多21点的游戏规则让打败庄家变得几乎不可能，我们应该避免参与到这些游戏中。举例来说，如果初始两张牌等于21点的奖励只有6∶5或者1∶1（原本是3∶2），那么我们就不应该参加这个游戏。现在有些报纸和服务机构会给游戏打分[16]，告诉玩家哪些游戏仍然值得一试。
我在2008年作为主要发言人出席拉斯维加斯第三届世界游戏保护会议时被问到，在写《击败庄家》这本书时，是否预见到它会对赌场行业带来如此巨大且深远的冲击。我当时的回答是，1962年的我并不知道这种影响是会持续5年还是50年；但是在今天，我知道它的影响仍在。
[1] 我曾在《击败庄家》里称之为“计整点策略”。
[2] 平衡风险和回报的最优方案是：在最理想的情况下，赌注与资金成正比，但由于一个团队中的每名成员对此时团队总资金的多少并不清楚，他们通常会少量减少赌注。
[3] 这一段的信息量很大，推荐上网搜索“21点名人堂”以了解更多本段中提及的弗朗西斯科、海兰徳、尤斯顿的相关内容和其他著名人物。
[4] 随着21点游戏的流行，开始出现21点论坛。论坛为算牌者们提供特别报道，然后开始出现各种网站。斯坦福·王的报纸和网站提供如何玩21点和玩21点的最佳地点等新出炉的消息。阿诺德·斯奈德的季刊《21点论坛》（Blackjack Forum）上则刊登各大顶尖玩家和理论学家20年来写的文章，同时也为玩家和赌场的战争提供了丰富的历史资料。安东尼·柯蒂斯的《拉斯维加斯导报》（Las Vegas Advisor）是一份月刊，上面不仅报道各种事件，也提供各式各样的餐饮、推荐和娱乐设施环境介绍信息。霍华德·施瓦兹经营的赌徒书店（Gambler’s Book Store）持续向大众提供最新的书籍和策略。理查德·瑞德的网站www.bjmath.com则是一座彻头彻尾的宝库，里面有各式文章、工坊和讨论区。互联网的崛起加速了新玩法的发展。
[5] 之后更精确的计算结果给出了稍有不同的数字。同时，表格里的这些数字也跟使用多少副牌有关。
[6] 之所以用13，是因为这个数字拟合得最好。
[7] 如果你把表8–1里终极策略中的数值除以8然后取整，就能得到计整点策略里面的那些0和1数值。但是7和9的相对数值恰好在0到1和–1到0之间，选择这两个不同的数值就能得到我在波多黎各时计算的结果。
[8] 估计还有多少“半副牌”在赌桌上是一种简单的估测剩余牌量的方法，详见《职业21点》（Professional Blackjack），斯坦福·王（Stanford Wong, pseud.），Pi Yee出版社（Pi Yee Press），1994年。
[9] 这句话引自索普（1966），第84—85页。
[10] 其中最有名的是基斯·塔夫特。
[11] 我在论文《非随机洗牌及其应用：菲罗纸牌赌博游戏》（爱德华·O. 索普，Nonrandom Shuffling with Applications to the Game of Fro）中详细解释了这部分，美国统计协会期刊（Journal of the American Statistical Association），842—847页，1973年12月。更多解释详见《博彩与社会》（Gambling and Society），W. 爱丁顿，查尔斯·C.托马斯编辑，Springfield，IL，1975年。《菲罗赌博的概率和策略》（Probabilities and Strategies for the Game of Faro），第531—560页。
[12] N.R.S., 465.015。
[13] 《21点传奇》 （Legends of Blackjack）中讲述了许多顶尖职业玩家的故事，作者凯文·布莱克伍德，拉里·巴克尔，Kindle eBook，2009年4月5日。
[14] 《房间里最聪明的人》（The Smartest Guy in the Room），作者R.M. 施奈德曼，新闻周刊（Newsweek），2012年2月20日，第56—57页。
[15] 受本·梅兹瑞策的著作《赌城陷落》（Bringing Down the House）启发。
[16] 斯坦福·王的月刊里提供了相关信息。——译者注