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第17章 调整时期
第17章 调整时期
在 参加某位亿万富翁的聚会时，库尔特·冯内古特问约瑟夫·海勒，在得知自己的著作《第22条军规》（Catch–22）的所有收入甚至比不上聚会主人一天的收入时做何感想。海勒说他有那位富人永远不会拥有的东西，当冯内古特不解地追问那是什么时，海勒回答说：“富足的知识。”[1]
在普林斯顿–新港合伙公司解散后，薇薇安和我已经有了足够后半生花销的财富。虽然普林斯顿–新港合伙公司的解散对我们而言非常痛苦，也使我们损失了数十亿美元的潜在收入，但是它让我们有更多的时间去做我们所热爱的事情：相互厮守、陪伴家人和朋友、四处旅行以及追求各自的兴趣。如同《享受自我（它比你想的迟）》［Enjoy Yourself（It’s Later than You Think）］里的歌词一样，薇薇安和我终于能够有时间做永远都不嫌够的事情——相互陪伴。在华尔街，成功是能赚最多的钱；但对我们而言，成功是拥有最美好的生活。
在这段时间里，我偶然发现了金融史上最大的一桩欺诈。在2008年12月11日星期四下午，我终于等到了这个期盼了超过17年的消息：儿子杰夫从纽约打电话来，告诉我伯纳德·麦道夫承认诈骗投资者500亿美元，这是史上最大的庞氏骗局。“这是你在……1991年预测的！”他说道。
那是1991年春天的一个早晨，我来到某个国际著名咨询公司的驻纽约办事处，他们的投资委员会聘请我作为独立顾问来审查他们的对冲基金投资。我花了几天研究了它的投资业绩、商业结构、投资经理的背景并做了现场访问。有位经理在他办公室接受会面时表现得十分偏执，甚至都不愿意告诉我他使用哪种个人电脑，还在我去洗手间时全程陪伴，生怕我在途中得到任何宝贵的信息。
我批准了投资组合，但有一个例外。伯纳德–麦道夫投资公司（Bernard Madoff Investment Securities）的投资似乎不合情理。我的委托人两年间每个月获利1%到2%不等。此外，其他伯纳德–麦道夫投资公司的投资者每月分红已超过10年。
伯纳德–麦道夫投资公司声称采用价差套利策略：购买股票，高价卖出看涨期权，并以此低价买入看跌期权。
我解释说，根据金融理论，在价格合理的情况下如果期权投资组合的净收益为零，那么从长远看，这一投资的最终收益也应该是零。因此，随着时间的推移，我们认为客户的投资组合回报率应该大致等于股票的回报率。伯纳德–麦道夫投资公司的投资回报高得令人难以置信。此外，股票在几个月的下跌过程中，他们的策略应该会产生损失，但是伯纳德–麦道夫投资公司从未提及。仔细检查了委托人的账户情况后我发现，那几个应该亏损的月度被神奇地转化为卖空标普指数期货而获利。同样地，那几个理应大赚的月度也通过这样的办法“抹平”了收益。
鉴于有欺诈嫌疑，我请客户安排我拜访伯纳德–麦道夫投资公司办事处，它坐落于曼哈顿第三大街上的著名的口红大厦（Lipstick Building）的17楼。那个星期伯纳德恰巧在欧洲，我们现在知道他当时应该在那里筹集更多的资金。他的兄弟彼得，是合规部和IT部门的主管，他竟然拒绝我进入公司。
我询问了委托人关于伯纳德–麦道夫投资公司年度审计工作的情况，发现审计是由一位从20世纪60年代起就和伯纳德做邻居的人做的，他一个人经营着一整家个体公司，那发生欺诈的概率就很高了。因此我问客户何时能收到交易确认书，他们说基本上是每周或者每两周通过邮寄收到一期，这与公司所宣称的交易时间节点倒不矛盾。根据我的建议，委托人雇用了我的团队，对他们每个账户的交易进行详细分析以证明或证伪我的怀疑。在分析了160个期权交易后，我们发现伯纳德–麦道夫投资公司宣称的交易中有一半没有交易所的成交记录。余下一半的许多交易里，委托人的两个账户中，伯纳德–麦道夫投资公司宣称的交易数量已经超过了全市场的交易总量。而在剩下的价格、数量均看似合理的交易中，我们找到贝尔·斯登公司（Bear Stearns）的员工来确认交易[2]，但是仍未找到与伯纳德–麦道夫投资公司相关的情况。
我告诉委托人交易是虚构的，伯纳德–麦道夫投资公司的投资完全是个骗局。委托人此时进退两难：如果我是对的，他就会销户，保护本金和声誉，避免法律纠纷[3]；不过他也担心如果我错了，他将不必要地牺牲自己最佳的投资方式[4]。我告诉他我不会错，因为我已经通过公开信息证明他从未进行过他宣称的交易，他被伯纳德–麦道夫投资公司发送的虚假成交单糊弄了。我指出继续忽视虚假交易会使他的工作处于危险之中。最终，他选择在伯纳德–麦道夫投资公司销户，拿回了本金。在接下来的18年间，他看着其他伯纳德–麦道夫投资公司的投资者似乎变得更加富有。我想知道他是不是经常后悔雇用我。
我也尝试通过“关系网”来发现其他伯纳德–麦道夫投资公司委托人的投资情况。不过所有的委托人都被告知，如果他们互相透露信息就会被解除委托合同。尽管如此，我还是问到了其中5亿美元的投资情况，因此实际的骗局规模可能要大得多。有位投资者的业绩记录显示，自1979年起，账户每月都有盈利，年化收益达到20%，他还告诉我，类似的情况其实从20世纪60年代后期就开始了。这个骗局已经运作了超过20年！
证明了伯纳德–麦道夫投资公司向我的委托人邮寄的账户记录是虚假交易后，我发现他们还以同样的手法应付了其他几位我了解的投资人，所以我有确凿证据证明这是个骗局。我向周围的朋友们发出警示，并预测这不断扩张的庞氏骗局终将破灭并带来灾难性的后果。庞氏骗局的操纵者从投资者中获利。他们利用原投资人的投资，并且不断招募新投资者取得资金。而新的投资者也需要从中获利，这便诱发了庞氏骗局的运营模式。因此庞氏骗局存在时间越长，其规模越大，破灭的后果越严重。
当时麦道夫先生是证券业的翘楚，担任纳斯达克主席一职，运营着全国最大的“第三市场”（场外市场）之一的证券交易团队，向政府提供咨询，并通过了证券交易委员会的例行检查。
当权者是否相信这些对麦道夫的指控呢？哈利·马克普洛斯的故事可能给出了答案。马克普洛斯在1999年受到他老板的质问：在采用类似投资策略的情况下，为何伯纳德–麦道夫投资公司能够得到更稳定且更高的收益。他也采用了我调查前采用的方法，从量化金融的角度证明了伯纳德–麦道夫投资公司的投资业绩是骗人的。虽然没有证明单个账户的交易是虚构的，但是他的推论具有压倒性的说服力。在随后的10年里，马克普洛斯多次请求美国证券交易委员会进行调查，但是每次都被否决。马克普洛斯在波士顿办公处请求针对伯纳德–麦道夫投资公司可能正在运作的庞氏骗局进行调查，但在对伯纳德–麦道夫投资公司进行了粗略的调查后，美国证券交易委员会拒绝了这一请求。
在一份长达477页的文件《针对美国证券交易委员会未能揭露伯纳德·麦道夫庞氏骗局的调查（公开版本）》[5]中，美国证券交易委员会调查并记录了从1992年到2008年，其一再对伯纳德–麦道夫投资公司违法犯罪的那些明显的线索、尖锐的投诉和公然的违法行为熟视无睹的情况。而且，至少到2010年7月，美国证券交易委员会都还在继续销毁文件[6]，其中不仅涉及伯纳德–麦道夫投资公司，还有其他主要的金融机构，例如高盛、美国银行（Bank of America, BOA）和尚处于调查中的SAC资本顾问公司（SAC Capital Advisors）。由于被指控内幕交易，SAC资本顾问公司在2013年年底同意缴纳18亿美元的罚款，并且不再对外部投资者开放。
在我发现伯纳德–麦道夫投资公司骗局的10年后，《华尔街日报》旗下的《巴伦周刊》（Barron，提供各类财务数据及深度消息）举办了一次对冲基金投资研讨会，周刊的封面文章[7]写的就是这位不在场的投资经理——创下最佳投资纪录的伯纳德·麦道夫。对投资者还算有利的是，他既不收取传统对冲基金年化1%的固定管理费，也不收取20%的超额业绩佣金。他的收入来源可能是旗下经纪商收取的大量交易手续费。
即使《巴伦周刊》的故事已经表达出广为人知的怀疑，而且当时许多人都声称怀疑欺诈，监管机构仍一直置若罔闻。同样地，伯纳德–麦道夫投资公司那成千上万的投资人和他们的有偿受托人也一直保持沉默。那骗局是如何结束的？很明显，没有足够的钱来继续支付投资者的收益时，一切就结束了，这也是所有庞氏骗局的终结。伯纳德·麦道夫（英语发音MADE–off，同“用你的钱”）在2008年12月11日自首了。也许是为了保护他的同伙，在他的故事中，他自己是整个骗局中唯一的谋划人，这实在是有些令人难以置信。这个对计算机几乎一无所知的人声称自己单枪匹马地布置了整个17层的计算机安保系统，并每天和约20名员工在数千个账户中悄悄地制造数百万美元的虚假交易。
2009年8月11日，负责每天监督麦道夫日常运营的小弗兰克·迪帕斯卡里，在纽约州南区地方法院被美国证券交易委员会起诉。当时，美国证券交易委员会就知道伯纳德–麦道夫投资公司“早在20世纪60年代就开始管理投资者账户……”。但是，美国证券交易委员会声称“价差套利策略”（split–strike price）是从1992年开始实施的，然而，根据我审查的客户交易记录，这其实发生在若干年前。麦道夫认罪时告诉法官，他从20世纪90年代初才开始庞氏骗局[8]。但其实在那时候，他的罪恶帝国已经拥有了很大的规模，并且至少开始于20多年前。麦道夫声称他的兄弟彼得、儿子马克和安德鲁、公司所有的负责人以及他事必躬亲的妻子露丝都是完全无辜的——对这运行了40多年的骗局毫无所知。除了运作他所谓的单人操控骗局外，他还经常在不同的住处度假、出国旅行以筹集更多资金，在国际不同银行间混排大量基金，并且向给他带来投资的“受托人”支付高昂的费用，这样，尽管他常常不在公司，整个复杂的计划也能够如钟表般准确运行。
伯纳德·麦道夫在向法庭提交的陈述中表示这一骗局始于1991年，但这与事实不符，根据我的发现，这一骗局已经运作了超过几十年。美国证券交易委员会在针对弗兰克·迪帕斯卡里的指控（估计信息来源是迪帕斯卡里）中提出，价差套利策略和计算机化的骗局是从1992年开始的，这也与我从1989年到1991年间复核的投资人报告不符。彼得·麦道夫、迪帕斯卡里和另外几名涉案员工后来因此认罪并被判处监禁与罚款。
麦道夫声称骗局规模是500亿美元，而投资者根据假股权数量推测出最终账上会有650亿美元[9]。为了公平地分配余下的钱，破产受托人必须确认每位受害者的投入和收益。几位“经纪人”（每位都从投资者那里募集了数十亿美元，并宣称彻底核实过伯纳德–麦道夫投资公司策略的合法性）抽取了数百万美元的费用。通过这些资金，他们获取了政治资本和社会地位。据说其中还有人获利了50亿美元[10]。伯纳德–麦道夫投资公司让他人收取高额管理费而始终保持较低交易佣金的做法本身就是在提醒投资者、顾问和监管者存在潜在风险。
政府公布了一份超过3 000页的投资者名单，其中既有佛罗里达州普通的退休老人，也有名人、亿万富翁，还有非营利组织（如慈善机构和大学）。如果大批投资者轻易地被骗几十年，那这个骗局是如何和其他人解释市场的“有效”学说（投资者能快速而合理地参考所有公开信息并进行抉择）的呢？
伯纳德–麦道夫投资公司成千上万的投资者中有位著名的财务顾问，他曾出席我1991年揭露伯纳德–麦道夫投资公司骗局的会议。很多年前我就认识内德，所以我确定他了解每一个细节。虽然我们在20世纪90年代中期一度失去联系，但是在2008年，我惊讶地发现他和家人也在政府公布的伯纳德–麦道夫投资公司的投资者名单里。此外，我俩的熟人也告诉我，已经向客户提供了数亿条建议的内德，在麦道夫认罪的同一周，仍然在向投资者推荐麦道夫的策略。
曾经熟识内德的我开始思考他为何信任麦道夫。从我的角度来看，内德并不是个骗子，相反地，他应该患有所谓的“认知失调”，即笃信某件事物并简单地拒绝任何与之相反的信息。例如尼古丁上瘾者常常否认吸烟危害健康。政党成员对他们自己的谎言、罪行和其他不道德行为反应温和，却对另一政党的类似行为义愤填膺。
我也早就知道，和他分享对任何事情的看法时，无论我多么谨慎、合理，其实对他都没有什么影响。其他人也和我同感。内德做决定的方法是，调查每个熟人的意见，然后简单地同意多数人的观点。在明白了这一点后，我再也不浪费时间和他分享我的想法了。
内德的轮询法在某些情况下确实很有效，比如估计桶里豆子的数量或者南瓜的重量。群体猜测的平均值往往比大多数人独自做出的猜测要准得多[11]。这种现象被称为群体智慧。但和大多数简化情况类似，它同样也有反转的一面，如同麦道夫的骗局。在这里只有两个答案，麦道夫是行骗者或投资天才，而群众错误地投票给了投资天才。我把群体智慧的反面称为旅鼠的癫狂（the lunacy of lemmings）。
在1991年，我们的工作组已简化为4人。史蒂夫·水泽在我的帮助下对冲了日本的权证[12]。我和朱迪·麦科伊则管理自己的对冲基金组合，她主要负责税务和财务报告，协助史蒂夫，她还是我们的后备业务经理。
我一边享受生活，一边又矛盾地想回到投资界，尝试着寻找一种高时效的方法来实现我们的统计套利策略。在与史蒂夫讨论后（他在我的决定中举足轻重），我开始寻找一位有能力向投资人推销我们的软件的合伙人。
我联系了布鲁斯·科夫纳——一名成功的大宗商品交易员，在普林斯顿–新港合伙公司时代，我对他就有所耳闻。科夫纳最早在20世纪70年代的商品公司（Commodities Corporation）从业，随后他开始运作自己的大宗商品对冲基金，最终为自己和投资者赚取了几十亿美元的利润。
在20世纪80年代，我花费了整整一下午在布鲁斯位于曼哈顿的公寓里和他还有杰里·巴塞尔（加州大学欧文分校的金融教授，在普林斯顿–新港合伙公司时代就加入了我们的团队）探讨投资策略和如何获利。科夫纳是个通才，他常常能发现他人尚未发现的联系。
大约与此同时，他意识到，大型油轮供应过剩，旧油轮往往只能以废品价格交易。于是，科夫纳创立了一家公司，购买了一艘旧油轮，我是有限合伙人之一。有趣的选择来了：这让我们在很大程度上能够免受损失，因为总可以把油轮卖掉，收回大部分的投资；但更有利的是，历史上油轮的需求和价格波动很大。在几年之内，我们翻新的47.5万吨的油轮——“海上快递”号（Empress Des Mers）产生了利润，它在世界航海线上满载运输。我当有限合伙人的这家公司最后功亏一篑。后来我们这家合伙公司开始洽谈购买当时最大的船舶——65万吨的海上巨人号（Seawise Giant），不幸的是，在交易担保阶段，卖家非常不明智地驾船冒险靠近波斯湾的哈尔克岛（Kharg），它在那里遭到了伊拉克飞机的轰炸，起火后沉没了。海上快递号持续盈利到21世纪，而后终于退役，其间产生年化30%的投资收益，它也在2004年以废品价格卖得2 300万美元，远超当时600万美元的买价。
科夫纳把我介绍给他自己投资的某个对冲基金。我建议那位基金经理采用我们有完整统计套利系统的软件，并提出收取产品收入的15%作为费用。我们也会培训他们的员工，并持续提供咨询服务。我们收取的费用会随着时间的推移和客户需求调整而下降。然而每次我们达成某个共识，对方的合伙人就要求其他方面对他们有利，而当我们同意其中一部分后，又产生了新的分歧，简直就是无底洞。于是我果断地结束了谈判。
大多数与二手车商、地毯商，或是地产商打过交道的人，对整个谈判过程都应该比较熟悉，简单来说，基本上可以将其概括为讨价还价。举例来说，假设你想要购买的房子定价为30万美元。于是你出价25万美元，卖方报价29万美元，你又调整为26.5万美元，以此类推。最后你同意以27.5万美元成交。这个程式化的过程可能涉及哄骗、诡计和诈骗。但是这过程就不能更简单、更令人满意吗？比如卖家按真实价位定价，而买家可以选择购买或者放弃。毕竟美国的大多数商店都是这样做的。你会购买定价不确定的东西吗？
然而在商业交易中讨价还价是很常见的，如前述基金经理跟我讲价的事例。这到底是为什么呢？在上述房产买卖的例子中，假设卖方的实际最低价格是26万美元，买方可接受的最高价是29万美元。（卖方可能会发现这点，例如，假如他告诉买方有人出价28.9万美元，那第一个买方就会出价29万美元。）因此26万美元到29万美元之间的价格对双方而言都是可以接受的，虽然当时双方都不知道这一点。因此，3万美元的价格是“钓鱼价格”，讨价还价的目的是尽可能多地为这3万美元的价格进行拉锯战。
与此不同的是，如果买方只愿意支付27万美元，而卖方接受的最低价格是28万美元，那两者之间就没有重叠，因此不会成交。
我家住了20年的房子也是这么买来的。我们当时决定在新港沙滩的小山坡上建造一座风景宜人的新房子。在萧条的1979年，房地产市场的报价是43.5万美元。我们从36.5万美元起步，经过一系列的讨价还价，最后报了40万美元，但对方要价41万美元。而我们的价格底线是40.5万美元，因此最终未能成交。几天后，卖方让步了，主动提出了40.5万美元的价格，但是我们没有接受。这是为什么呢？
因为在可承担的最高价位，买入与否其实差别并不大，而且卖家已经主动疏远了我们，因此我们觉得不与他洽谈为好。此外他的报价也缺乏吸引力，我们觉得可接受的最高价已经低于40.5万美元。同时，也有其他房子可供选择。很快地，我们就在一个更好的地段建起了新房子，此后一直居住了22年。而那个爱砍价的房东，他的房子10年都没卖掉。
巧的是，我们在出售房屋时也遇到了类似情况。把房子挂在中介1年后，我们在一个星期内突然收到两份购买意向。当时我们的开价是549.5万美元，心理预期价格大概是500万美元。其中一份开价是460万美元，这位潜在的买家以咄咄逼人的态势开始了价格谈判。他风格有些肆意，而且总是找些房屋的小毛病来砍价。他觉得这样的态度可以杀价，但这么做其实疏远了我们和中介。另一个买家开价500万美元，他对房屋目前的状况很满意。我们果断接受了后者，即使前一位卖家恳求我们来考虑他，暗示他可能接受超过我们期望的价格，并且不再以咄咄逼人的态度来洽谈。这样的做派实在是太差劲了。这个事例的教训是：向对方施压以逼近其极限往往得不偿失。小额的超额收益往往并不与交易本身的实质性风险相匹配。
知道何时可以讨价还价对交易员而言重要非凡。在普林斯顿–新港合伙公司还存在的日子里，我们的首席交易员经常告诉我们他又通过虚报1/8或1/4美元的价格帮我们降低了大量成本。这个做法如下：假设我们要买1万股微软的股票（MSFT），而这只股票目前的价格是71美元，有5万股买入意向，若股票涨至71.25美元每股，则市场中将出现有1万股卖出意向。于是，我们现在就可以出71.25美元直接买下1万股，也可以用我们交易员的惯用手法，先在71.125美元挂单1万股，等待可能的成交。如果成交了一部分（其实在大部分这样的情况下，都会成交一部分），我们就节约了0.125×10 000=1 250美元。
这听起来不错。但这样有风险吗？是的，为了节省每股0.125美元，我们可能会失去买到股票的机会（如果股价始终不低于71.25美元/股）。进而当股价大幅上扬后，我们就会错失暴利。简单来说，你可能在20次中减少0.125美元的成本，而其中1次可能错失10美元。你觉得合算吗？我的答案是否定的。
我问交易员，这样的做法是否能够弥补错失的收益，但是他没办法衡量两者的关系。我进而询问了其他交易员，他们无一能明确地解释究竟是因此赚钱了还是亏钱了。
市场是现代经济的基础，交易又是其中的基本活动。因此，现代金融理论家们对市场进行了深入的分析，并通过检查数据及钻研理论来解释所观察到的现象。他们注意到交易是由买方或者卖方出于各种各样的原因发起的。有些交易者没有优势——没有特别有利的信息，这可能包括大多数自认为有优势的人。这些所谓的噪声交易包括：因为被剔除出某个指数而被指数基金出售的公司股票，或因为被纳入某个指数而买入的股票，或为支付税款而清算的房地产，或共同基金因为追加或赎回而进行的买卖。当然，对于交易中真正有价值的信息而言，这些例子是不完善的。
另一种交易是由确有优势的交易者发起的。比如说，在20世纪80年代，因进入诉讼程序而广为人知伊凡·博斯基的非法内幕交易（类似的活动仍然在继续），或是那些因公开信息（盈余公告、兼并或是利率调整）而及时调整的合法交易。
这些真的重要吗？每股0.125美元的价差到底意味着什么？在我们每年交易15亿股股票的统计套利程序中，这相当于约2亿美元。参议员艾弗雷特·德克森（Everett Dirksen）曾这样说国会开支：这里10亿，那里10亿，很快你就会发现自己在谈及数量惊人的金钱。
讨价还价和交易员的行为让我想起了行为心理学里两种极端的情况：随遇而安和追求完美。追求完美者无论在雇用员工、购物或者计划出游时，都会寻找到最佳的方案，而花费的时间和努力并不重要。如果错失最佳选择，他们会倍感压力和后悔。所谓随遇而安者则能接受最佳选择的近似方案，既考量了寻找最佳方案所需的代价，又防止错失近似最佳方案（可能再也不会遇到）。
这让人联想到数学中所谓的秘书或婚姻问题[13]。假设你将采访（面试）一群人，并从中选择一位，你只能即刻判断是否选择某一候选人，并只能考虑一次，如果拒绝了某人，就不能重新再考虑他。最佳策略是观察前37%的候选人，然后选择下一个你认为优于之前37%的人。如果没有人比之前的更好，那就只能选择排在名单上的最后一个人。
在加州大学洛杉矶分校的研究生时代，这个策略也拯救了刚从物理系转系到数学系的我。我的导师安格斯·泰勒当时决定，每位博士研究生都需要给其他学生做专题演讲。我当时的数学知识远不如现在，而演讲既要让学数学的同学感兴趣，又要吸引外系的同学，在选题上我真是手足无措。在最后1分钟，我想到了演讲的主题：《每位年轻女孩应该知晓的》，并且没有透露给任何人我将讲些什么。那时候教室里坐满了人，参与人数比之前的讲座都多。最重要的是，与通常男性为主要参与者的讲座不同，竟然还有不少漂亮的女生来听讲座。从他们的提问和表情来看，听众们并没有失望。我当时所讲的就是这个婚姻问题的解决方案及其背后的数学原理。
[1] 《纽约客》（The New Yorker），2005年5月16日。
[2] 我们从40个交易中抽查了10个，并未发现虚假交易。
[3] 经典案例可参见查尔斯·狄更斯的《荒凉山庄》中詹狄士和他的故事。
[4] 如果伯纳德–麦道夫投资公司真的每年获利20%，而他们最好的替代品，假设每年利润有16%，那么他们每年只少了4%的利润。
[5] Investigation of Failure of the SEC to Uncover Bernard Madoff’s Ponzi Scheme—Public Version，2009年8月31日，报告编号：OIG–509。
[6] 迈克尔·罗斯菲尔德和珍妮·斯特拉斯伯格所写的《证券交易委员会被控销毁文件》（SEC Accused of Destroying Files），《华尔街日报》，2011年8月18日，C2版。
[7] 参见：艾琳·阿维德兰《别问，别说》（Don’t Ask, Don’t Tell），《巴伦周刊》，2001年5月7日。
[8] 参见：《伯纳德·麦道夫因创纪录的诈骗案获刑150年》（Bernard Madoff Gets 150 Years in Jail for Epic Fraud），Bloomberg.com，2009年6月29日。
[9] 参见：《纽约南部地区的美国律师》发布的《伯纳德·麦道夫被控11项犯罪》（Bernard L. Madoff Charged in Eleven–Count Criminal Information），2009年3月10日。
[10] 其中之一是杰弗里·皮考尔（《纽约时报》，2009年7月5日，B2版）。另，据受托清算伯纳德–麦道夫投资公司的戴安娜·恩里克斯说，“据报道，当麦道夫被捕时，皮考尔的一个账户被提走60亿美元”。《纽约时报》，2009年10月2日，B5版。
[11] 如果群体的猜测在均值两侧且每侧各有1/2，那么数学事实是，平均值会比至少一半人的估计值更接近于正确值。有趣的是，群体做出一致猜测时，结果往往要准确得多。
[12] 参见：《财富掌控者：三方赢家》（The Money Man: A Three–Time Winner），选自《福布斯》，1991年11月25日，第96–97页。
[13] 如今，这个问题可能会以“‘另一半’问题”（The Significant Other Problem）重新命名。