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第10章 其他赌博游戏的优势
第10章 其他赌博游戏的优势
在 拉斯维加斯测试完新轮盘赌电脑后一个月，我带着薇薇安和瑞安在1961年9月搬到了新墨西哥州的拉斯克鲁塞斯，开始了在新墨西哥州立大学的执教生涯。拉斯克鲁塞斯坐落于一片海拔为4 000英尺的高地荒漠中，位于新墨西哥州主水源地里奥格兰德旁，大约有37 000人。拉斯克鲁塞斯周围的广阔沙漠中零星散布着一些小镇，最近的人口中心是南部45英里以外的得州埃尔帕索。新墨西哥州立大学是全州大学系统中排名第二的大学，紧随位于阿尔伯克基的新墨西哥大学。初到这里时，新墨西哥州立大学正在从一所农业学院转型成一所全专业方向的大学。校园正东面是“A”山：山体上写着一个巨大的白色字母“A”，代表“Aggies”（农学院学生）。当时学校里有一个玩笑广为流传：当大学橄榄球队学会读字母表的第一个字母时，他们就把这座山上的字母换成“B”。
我们在新墨西哥州的四年时光充满了美好的回忆：女儿凯伦在拉斯克鲁塞斯降生；小儿子杰夫出生在埃尔帕索附近；我们经常去20英里外的白沙导弹靶场和国家纪念区避暑，夏天，那里的温度会因为白色石膏“沙”的反射而比其他地区低一些。
新墨西哥晴朗的夜空让我有机会重拾儿时对天文学的兴趣，在那里，一台小天文望远镜就足以观测到许多天体。这段天文经历的最高潮莫过于和克莱德·汤博（1906—1997）共进午餐。克莱德·汤博成名于1930年，他在亚利桑那州旗杆镇罗威尔天文台工作的时候发现了冥王星（最近被降级为“矮行星”），之后他就移居到拉斯克鲁塞斯并成为新墨西哥州立大学的一名天文学教授。在新墨西哥州立大学发生的另一件事则是我和斯塔尼斯拉夫·乌拉姆（1909—1984）的会面，乌拉姆是20世纪最伟大的数学家之一，当时正在洛斯–阿拉莫斯实验室参与制造原子弹的曼哈顿计划，他在那里提出了之后氢弹最为关键的设计理论——热核武器[1]的乌拉姆–泰勒概念。一名在洛斯–阿拉莫斯工作的学生威廉·E. “比尔”·瓦尔登为我安排了和乌拉姆教授的下午茶。
在新墨西哥州立大学做研究和执教时，我萌生了研究其他赌博游戏的想法。在诸多往返于内华达州的21点旅行中，“百家乐”（伊恩·弗莱明的007系列小说中，《皇家赌场》和同名电影中詹姆斯·邦德玩的赌博游戏）引起了我的注意。百家乐长久以来一直是欧洲极负盛名的赌博游戏，有很高的投注上限（有时甚至没有下注上限），拉斯维加斯的百家乐规则和欧洲大陆的传统游戏规则稍有不同。因为计算方式和21点很相近，百家乐自然成了我的下一个研究目标。幸运的是，比尔·瓦尔登是对应用数学有浓厚兴趣的计算机学家，他很乐意参与我的研究。我们在1962年开始了对百家乐的研究，试图用我的算牌技巧找到一个成功的数学策略。
内华达版的百家乐一共有8副扑克，总共416张牌。每一张牌都和21点里使用的数值相同，只不过在百家乐里只取这些数值的个位数，A算作1，2到9的数值不变，10、J、Q和K算作0而不是10。在赌局开始时，员工会先洗牌，把一张空白的“切牌”面朝上放到牌堆底部附近。全部416张牌会被放到木制发牌箱里，俗称“一靴”。然后翻出第一张牌，记录下这张牌的数值并从牌盒里移除等量的牌，也称为“烧牌”。如果翻到了一张10或者J、Q、K，就会烧掉10张牌。
一张标准赌桌有12个座位给玩家和牌托（伪装成玩家的赌场雇员，用来吸引顾客的注意力和聚集人气），牌局有两种主要下注方式：押注庄家或者押注闲家。
在所有玩家下完注后，发牌员会给赌桌上标注庄家和闲家的区域各发两张牌，翻开牌面。和单张牌的计算方式一样，百家乐里只计算两张牌之和的个位数，比如两张9就取：9+9=18的个位数，算作8点。如果一轮赌局的头两张牌加起来是8或9点（也叫作“例牌”），那么双方都不许补牌，立刻计算输赢。如果庄家和闲家都不是例牌（8或者9点），那么发牌员会从闲家开始给双方各补1张牌或者遵循一定的规则[2]不补牌，到最后点数大的一方获胜。如果是平局，所有人都收回他们的赌注[3]。
百家乐和21点赌博有诸多相同点，所以我们对百家乐的分析延续了之前我对21点的策略。刚开始，我们计算出了有史以来第一个在内华达规则下，两种赌注（押注庄家或者押注闲家）中赌场占的准确优势。押注庄家，赌场对玩家的优势是1.058%，如果不算平局的话是1.169%；押注闲家，赌场的优势是1.235%，忽略平局为1.365%。这些数字都是玩家不算牌时的概率。这里有很多人都会注意到赌场在庄家和闲家两边的优势概率有所不同[4]，一方面是因为庄家和闲家的第三张牌的补牌规则不一样，另一方面，玩家们在押注庄家并获胜后需要返还赌场5%的利润。
如果玩家们算牌，情况又会如何？
为了找到这个问题的答案，比尔·瓦尔登和我提出了“基础算牌论”[5]：从数学上来说，你看到的牌越多，算牌的优势就越明显。这意味着算牌的最佳情况出现在赌局的最后。但在百家乐里，我们发现哪怕在最佳时刻，玩家的优势也是微乎其微的。
百家乐的胜率之所以如此微小，一方面是因为在百家乐里出现1张牌对整体概率的影响只有21点里的1/9，因此对赌场的优势影响也大大减小了[6]。另一方面，赌场在百家乐游戏上的优势也比在21点里的优势大得多，赌场在百家乐上享有超过1%的胜率优势。
不过，除了押在庄家和闲家上的主注以外，百家乐规则中还有4种独立的边注：庄家拿到例牌9、闲家拿到例牌9、庄家拿到例牌8和闲家拿到例牌8。比方说，如果庄家一开始拿到的两张牌之和为9，那么庄家例牌9的边注就算获胜，赔率是1赔9，每1美元会获得9美元的利润。另外3个边注都有相应的赔率。
对于不算牌的玩家来说，这些边注的胜率极其糟糕，赌场在两个例牌9的边注上享有5.1%的胜率优势，在两个例牌8上有5.47%的优势。但我和瓦尔登发现，对于算牌手来说，即使无法打败百家乐在庄家和闲家上的主注，也可以打败这4个边注！正如之前所解释的那样（并且我们用计算进行了证明），玩家在边注上的优势随着局面上出现过的牌大幅变化。大概在每靴牌的三分之一处，玩家在边注上的优势开始出现，而且赌桌上出现的牌越多，这些优势越大。
我们开发出了一套很实用的算牌系统策略：在余下的牌有很多9的时候，闲家会有更大的概率拿到例牌9；相对地，当余牌有很多8的时候，优势更倾向于赌闲家拿到例牌8。
在赌场实战测试中，我“雇用”了数学系主任拉斐尔·克劳奇来一起实践我们的算法。在百家乐上算牌要比21点困难得多，因为百家乐一共有416张牌，其中有32张8和32张9，而我们需要时刻关注牌堆中剩下的8的数量、剩下的9的数量和余牌总数这三个数字的变化。
拉斐尔不像我一生中见过的任何一个其他数学系主任，他是一个极端外向的人。在人们的印象中，数学家都是非常内向的，一个著名的笑话就是：“如何区分一个数学家是内向还是外向的——如果他在跟你说话的时候看着自己的鞋子，那就是内向型的；如果他能看着你的鞋子说话，那他已经非常外向了。”与典型的内向数学家不同，拉斐尔中等身材，面色红润，时刻都挂着一张笑脸并且经常喋喋不休。拉斐尔喜欢在院系聚会上向所有人推销他的“拉斯克鲁塞斯宾治酒”——由橘子、菠萝和柠檬汁混合着大概2加仑[7]百加得朗姆酒。薇薇安和我尽可能地找各种借口“逃掉”这些派对，实在无法推辞的时候就在聚会上礼节性地露露面。几年后，我的女儿们无意中看到了那些宾治酒的成分——几乎都是朗姆酒，她们根本不能理解为什么有人还能站着出来。
很多人问我怎样才能当一名成功的算牌手。我发现仅仅有学术知识是不够的，你还得反应迅速，严格地按照策略出牌，保持冷静，还要眼观六路，能够在算牌的同时注意周围的人和发生的事。最好是有助手帮你或者有很好的演技把自己伪装成最普通的玩家。
我觉得拉斐尔和他的高尔夫球友凯·哈芬（同时他也是学校董事）是我们百家乐队伍的最完美的人选。和拉斐尔不同，凯行事低调又镇定。在训练中，两人都很快掌握了算牌诀窍。我们的妻子们也都参加了这趟旅行。尽管薇薇安没有参加之前的几次21点之旅，她还是决定在途中负责亲自“看顾”我的安全。除了玩牌，我们计划在城市里转转打发余下的时间。
在1963年春假，我们驱车前往拉斯维加斯，晚些时候到达了都内斯赌场（Dunes）。赌场的百家乐赌桌晚上9点开放，我们在那之前一点（假装并不认识对方）走了进去。赌场用天鹅绒的绳子把装饰得富丽堂皇的百家乐区域和其他游戏区域隔开，每张赌桌每边都有6个座位呈马蹄形排开。当我坐下的时候，赌桌上已经有几名女牌托了，虽然我在21点上已经颇有名气，但赌场的人并没有注意到我，至少一开始的时候是这样。
赌局开始后，一小群人聚集到绳子围起来的区域以外，观看这些高风险的游戏。主注的下注最低为5美元，最高为2 000美元，边注则是从5美元到100美元，都约等于2016年10倍于这个数字的价值。
这时突然有人叫道：“这是那个写书的人！”听到这句话，百家乐区的经理立刻瞪大了双眼，跑向最近的电话。我们同行的一位夫人跑去偷听电话内容，只见赌场经理的神情逐渐转忧为喜：打败21点是一回事，而百家乐则是另一回事。我们的“间谍”听到有人在电话里大笑：“哈哈！让他玩儿！”于是我们开始了赌局。
第一晚过得非常平静宜人。赌局开始，赌桌上的416张牌刚刚洗好，所有的赌注优势都偏向于赌场，所以我选择押最小的注码在庄家上，与此同时我不断记录着场上余牌、8和9的数量，等待时机。根据计算，我把胜率控制在每小时赢100美元左右，希望这个数字足够低到不会被赌场赶出去。
玩一整靴牌大概需要45分钟。我、拉斐尔和凯轮流交替休息、玩牌，我先玩两局，之后是拉斐尔和凯，他们俩分工，拉斐尔负责盯着例牌8的边注，而凯则在另一头计算9的边注优势。这对他们要更容易一些，因为他们每人只需要记2个数字，而我需要全程记录3个牌数。玩完一靴之后，他们下来休息，换我上去接着再玩二靴，以此类推。正如我们所预料的那样，在凌晨3点百家乐区域关闭以前，我们大概赢了五六百美元。
第二晚，气氛有了明显变化。赌场的员工都表现得很不友好而且刻意疏远我们，牌托们也开始做出一些很奇怪的举动：之前的一夜，赌局开始时，赌桌上包括我大概有3个玩家和六七个牌托，很快其他玩家就被这张赌桌所吸引并加入赌局。当赌桌坐满时一个牌托会起身离开，制造出“全场只剩一个座位了，赶快加入”的假象，每当有新玩家加入的时候，就会有另一名牌托离开，这样进进出出，让赌桌上时刻保持只剩一个空位的状态。但今晚，坐在我两侧的牌托一直坐在座位上监视着我的一举一动。有一回我无意中猛地咳嗽了好几声，两边的牌托担心我有什么病症会传染给她们，开始向赌场经理抗议，但被勒令回到了她们的座位上，这个场景逗乐了我们在场负责伪装的妻子们。
在我们不断赢钱的时候，其他人就在赌场里各自游览。薇薇安留意到一个化着浓妆、留着红色长指甲、染着金发的亚裔女性戴着贵重的珠宝，在赌桌上挥金如土，每一手都押注2 000美元。她拥有好几家连锁超市，但几个小时内就输掉了一家超市的钱。百家乐向来被喜欢大手笔的玩家所青睐。据统计，1995年内华达州的百家乐仅用了1/50的赌桌[8]就赢回了21点游戏超过半数的利润，平均一张百家乐赌桌的利润是21点的25倍。
百家乐照常在凌晨3点结束营业，清点完我们的收入后，拉斐尔和凯回到吧台喝了一杯。与此同时，赌场经理和几名员工在百家乐赌桌旁交头接耳，仔仔细细地检查发牌箱和每一张扑克牌的每个边边角角，查看扑克牌是否有弯曲、褶皱、记号或者任何能够解释为什么我们能赢钱的线索。
第三晚，所有赌场员工对我的态度已经从紧张上升到明显的敌对了。他们毫不掩饰地站在我旁边看着我的每个动作。我不断拨弄自己的耳后来企图混淆视听，假装我在用“涂料”作弊：一种肉眼几乎看不见的、像凡士林一样的物质，只有戴上特制眼镜才能看清。我希望他们能再浪费一个晚上，在扑克牌上寻找那些并不存在的记号。前两晚，赌场都不断地向我提供酒精饮料，但我最终都选择了加奶和糖的咖啡代替。今晚，这是全面战争，赌场没有给我提供任何喝的。结果是我们又赢了。
当我第四晚来到赌场的时候，赌场的气氛来了个180度大转弯。赌场经理和他的手下们轻松地微笑着，似乎很高兴看到我，服务员甚至自发给我准备了一杯咖啡：“老规矩，加奶和糖。”我当时在第一靴牌局里正赢得高兴，毫无防备地喝了咖啡。突然间，我变得无法思考，甚至无法继续计牌，当时我感到非常震惊，因为我从过去的经验中应该已经完全克服了赌场里的噪声、烟草、对话、高速算牌的压力、情绪波动甚至是酒精带给我的影响。此刻肯定是什么意料之外的原因导致我无法思考。安全起见，我抄起我的筹码匆匆离开了，拉斐尔和凯替我完成了余下的赌局。
同行的妻子们发现我的瞳孔急速扩大。贝拉米娅·哈芬曾经当过一段时间的护士，她说在医院里见过类似的情况，这是嗑药之后的常见症状。我整个人昏昏欲睡，但是薇薇安、伊泽贝尔·克劳奇和贝拉米娅给我灌下了大量黑咖啡并陪我一直来回走动，几小时后，药效才逐渐散去。当晚一直是拉斐尔和凯在赌场里赌牌，我们又赢了。
经过谨慎的讨论，第5晚，先是由我坐到赌桌旁，服务员这一次没有再微笑，依旧端来了加了奶和糖的咖啡，我说：“不，谢谢。请给我一杯水。”服务员花了相当长的时间才把水拿过来，我怀疑赌场又在水里动了手脚。我小心翼翼地用舌头舔了一下水。啊！感觉就像他们把整盒小苏打倒进了水里一样。仅是那一点点水就足以让我无法集中注意力算牌了，如果当时吞了一大口，后果不堪设想。
我只能再次选择离开，重复“黑咖啡—走动”的流程来抵抗大脑麻木和瞳孔扩张带来的影响。同时，拉斐尔、凯和其他同伴也被请离了赌场。
我们选择在沙丘赌场赌百家乐边注的最后一局。经过一天的休整，我带着我的赌资来到沙丘赌场。鉴于前几夜的经历，我猜想都内斯赌场很可能已经联系了沙丘赌场，我很快会被赶出去，因此我把赌注目标改成每小时赢1 000美元。两个半小时后，我赢了2 500美元。然后，沙丘赌场的合伙人，也是实际操控者，卡尔·科恩亲自来到赌桌旁要求我离开。科恩以他强硬的管理手段著称，之前，沙丘赌场的一名小股东弗兰克·辛特拉在赌场里闹事，当辛特拉坚决要求留下的时候，科恩毫不客气地动用武力把他赶出了赌场。我问他为什么要我离开，科恩很直接地答道：“没有原因，我只是不希望你在这里赌牌。”争辩是没有意义的，我离开了赌场。
通过这6个晚上的赌场经历，我们证实了百家乐策略的可行性，在验证一个数学理论的同时再次证明凯利系统可以被用在赌博和投资上。但我们的这次旅程并没有就此结束。
第二天清晨，我们一行6人驱车离开拉斯维加斯。我正从亚利桑那州北部的一座山上往下开，就在时速保持在65英里左右时，油门踏板突然间卡住，在下山的陡坡和大开的油门面前，刹车根本不起作用，车速一路飙升到80英里，路上的每一个转弯都变得极难控制。
来不及思考，我一边猛踩刹车，一边拉起紧急制动器，同时挂低挡来“抢挡”减速、把发动机熄火，最终在一个转弯口把车停了下来。幸好有位非常好心又懂修理车辆的过路人停下车来帮助我们。他打开引擎盖后，发现油门的一部分控制件的长条螺丝被拧松了。他从来没有见过这种情况并表示困惑。不过很快他就修好了油门，我们平复了情绪继续上路。
现在我们证明了算牌策略正如计算的那样在赌桌上运作良好。最终都内斯赌场和沙丘赌场都取消了例牌8和9的边注。
在新墨西哥州，我把从稿费和赌博中获得的收益投资到股票市场，但当时我对市场一无所知，运气也很差，投资的结果不怎么令人满意。投资是一种新的不确定性，如果想要改进，那概率论的知识也许能帮我做出更好的决策。
我很快意识到，这个世界上存在一个比内华达州所有赌场加起来还大的赌博胜地，我的策略能否击败这个地球上最大的赌场——华尔街呢？出于好奇，我决定找到这个答案。我开始自学金融市场知识，而赌博游戏中学到的点点滴滴，也像一盏特别的明灯照亮我前行的道路。
[1] 参见：《数学家历险记》（Adventures of a Mathematician），S. M. 乌拉姆著，克里布纳出版社（Scribner’s），纽约，1976年。
[2] 这些规则设计使得赌场对玩家——不管是押注在闲家还是庄家上——都有差不多相等的胜率。
[3] 世界各地的百家乐有许多不同规则，在本书中，索普教授描述的是当时内华达州版本的百家乐。——译者注
[4] 参见：索普和瓦尔登（1966）。搜索目录：Thorp and Walden（1966）。
[5] 参见：索普和瓦尔登（1973）。搜索目录：Thorp and Walden（1973）。
[6] 参见：格里芬（1995），索普（1984），万丘拉（1996）。搜索目录：Griffin（1995）,Thorp（1984）, Vancura（1996）。
[7] 1加仑（美制）≈3.785升。——编者注
[8] 赌桌数量参考万丘拉（1996）。搜索目录：Vancura（1996）。