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第27章 资产配置和财富管理
第27章 资产配置和财富管理
私 人财富在发达工业国家中主要分布在权益（普通股）、债券、房地产、收藏品、商品和其他个人财产这些资产领域中。如果投资者们把钱投资到每一项想要投资的资产分类下的指数基金中，那么投资者资产组合的风险和收益将取决于他们如何分配不同资产分类里的资金。这一原理同样适用于那些不购买“指数基金”的投资者们。表27–1中粗略地罗列了一些资产类型。表格中没有计入共同基金、对冲基金、基金会和员工福利基金的投资资产，因为这部分资产实际上已经被包含在表格所列举的项目里了。[1]另外，证券衍生品，比如权证、期权、可转债和其他许许多多复杂的衍生品发明，看上去似乎和公司普通股这些“底层”的证券价值有所不同，但人们依然把证券衍生品理解为底层资产分类的一部分，所以也不用在表格里单独罗列。
表27–1 主要资产分类和子项
你是如何在表27–1中的类别里分配自己的资产的呢？大部分投资者选择的三个主要类别是权益、利率证券和房地产。尽管三者的具体比例每年起伏不定，尤其当某一项特别的资产分类经历了大涨大跌的时候，比例变化尤为明显，不过这三类资产每个都大约占据了全美家庭总财富的1/4。
追求回报的投资者们常常在某类资产增值的时候买入、在贬值时卖出，这种投资方式的历史结果难以令人满意。2000年年末，科技股泡沫破灭、2006年房地产膨胀达到顶峰、2008—2009年股价暴跌，这三次事件中，追涨杀跌的投资者们损失尤其惨重。而另一方面，那些被认为是做“逆势”或者“价值投资”的高抛低入的投资者们，却往往能通过在不同资产间转移投资资金跑赢市场。[2]
附录B中的表格展示了股票和商品房市场的最佳长期投资回报结果。利率投资在经过税收和通胀调整后几乎没什么回报，仅有那些免税投资者才能获得少量收益。尽管从长期结果来看，投资权益的收益效果最好，但此类投资也可能长时间处于低谷期，这意味着它们的价格一直在前一个历史高峰以下徘徊。房地产产业则在2008—2009年的金融危机期间大幅萎缩。
假设所有类型的资产在21世纪的风险和回报都与它们在20世纪的表现类似，那么对于被动的长期投资者们来说，投资普通股和会产生盈利收入的商品房是最佳选择，只不过后者的数据相对比较粗略。在两者间分散投资能够降低风险，同时增加总体收益。
不过许多投资者并不喜欢把钱放在高风险的普通股和房地产产业里，尽管这两类资产的总体收益很高，但它们的增长趋势时不时地会被暴跌所打断。
我认识的一对退休夫妇是这么处理他们价值600万美元的投资的：他们计划把这600万美元资产作为他们余生的主要经济来源，每年花费其中的4%，而剩下的部分就放到“安全并能跟上通货膨胀”的投资项目中。按照他们的计划，在一个人在世的情况下，这对夫妇能进行经过调整计算后等值于每年24万美元的税前消费，并能在之后的25年始终保持相同的消费水平。于是，他们选择把一半的资产投入免税的市政债券，用另一半投资股票权益。他们害怕世界市场会重蹈大萧条的覆辙。
我觉得这份计划非常适合他们。因为夫妻二人都对学习投资和理财毫无兴趣，他们应当继续作为被动投资者处理自身的资产。即使是我在20世纪90年代初提出的投资50万美元到伯克希尔–哈撒韦公司的保守建议，对他们来说也是不可想象的。伯克希尔–哈撒韦公司当时的股价是每股1.2万美元，当2016年这对夫妻过世时（妻子先于丈夫过世，而丈夫一直活到了2016年），当初的50万美元增长至900万美元。况且把一半的财产存放到安全而稳定的市政债券里能够保留充分的财产应对危机。
随着时间流逝，尽管这对夫妇资产的市场价值随着利率反向变化，但他们投资的市政债券平均每年能稳定提供4%的回报率，也就是大约12万美元的免税收益。总体上，美国权益投资市场在同一时期平均增长到原来的4到5倍（这是税前数字，也没有把投资咨询费用和其他成本考虑在内），伯克希尔–哈撒韦公司的股票从每股1.2万美元先是涨到了将近15万美元，在金融危机期间又回落到7.5万美元，最终在2016年上升到每股超过20万美元。当2008年金融危机发生时，权益市场在价格反弹前损失了整整一半的价值。另一边，对于那对退休夫妇来说，虽然寄给他们的税收账单数额逐年减少，但是美国联邦政府庞大的财政赤字开始影响州和地方政府，他们所购买的市政债券也不再是当年万无一失的投资选择。尽管夫妻二人的股票投资收益平平，但他们依然有足够的金钱保证他们生活无忧，即使看着股票投资组合的数字上上下下，也不会有丝毫顾虑。
另一位我所熟识的投资者则按照自己的开支习惯分配他几百万美元的投资。相应地，他的资产组合大部分都是短期和中期债券，为此他不得不支付天价的个人所得税。有意思的是，他似乎认为自己只能花费股利和利息这类“收入”。在他的观念中，资本增值是某种不现实的“玄学”。我企图说服他，更高的税后收益意味着更多钱和更多资产，已实现的收入和未实现的资本收益或损失都是钱，然而我的努力并没有起到什么效果。购买一只像伯克希尔–哈撒韦公司的股票（伯克希尔–哈撒韦公司从未支付过一分股利）对他而言是不可想象的事情，因为这并不产生任何“收入”。类似这样对已实现收入而非净收益（经济收入）的偏好在众多投资者间非常普遍。
对那些稍稍勤于思考并实际着手操作的投资者来说，市场上有大量机遇有待发掘。比方说，过去数年的股指平均市盈率（price-to-earnings ratio），例如标普500的市盈率，与未来数年内的股指总收益率，有很强的反比关系。简单地说，高市盈率意味着股票价值被大大高估了，在未来一段时间内股价很可能会走低；而低市盈率的情况则恰好相反。一个拥有多项分散投资组合的投资者可以充分利用这一规律，在市盈率创下历史新高时减持股票，而在市盈率较低时增持股票。
我个人更喜欢把市盈率的倒数作为参考标注，也就是每股盈利除以每股市价（E/P），不过更准确地来说应该叫它收益率。当市盈率是20的时候，收益率就是1/20，或者说5%。以美国长期国债和一些特别高质量的公司债券的收益率作为评价基准，投资者也可以把标普500指数当作一种低等级的长期债券。当股指收益率相对于债券基准创下历史新高时，投资者可以卖掉一些债券买入股票；与之相对地，当债券收益率高于股指时，再把钱从股票市场转移回债券上。
市场上总是充斥着各种推销股票的故事：比如可以改变世界的革命性新产品，控制着整条产品线能肆意调整价格的垄断寡头，裙带关系复杂并深受政治保护而在市场上狼吞虎咽的企业，优质矿藏的发现……此类故事层出不穷。谨慎的投资者在听到这些消息时，应该问自己的关键问题是：股价多少时购买这家公司的股票是合适的？这只股票的价格到多少时就算过高了？假设在分析过公司的财务报表、经营状况、商业模式和发展前景后，你的结论是这家企业的合理购价是每股40美元左右，那这一价格就意味着在考虑所有风险后还有令你满意的盈余收益，而且它还应该留出充足的安全边际以防在分析过程中出现失误。另一方面，如果你判断每股80美元是一个不合理的定价，那公司的价值就被高估了。通常情况下，投资者会尽量避免投资在自己的要价以上交易的股票，不过如果你仔细观察了大量公司的股价变化，就能发现市场上时不时地会出现一些特别合适的购价。在那些更好、更有经验的投资者估值时，“要价”到“估值过高”的价格区间——在这个案例中，就是40到80美元之间——通常会更小一些，这使得他们能有更多信心应对更多的情况。
美国股票市场总值在2014年年末大约是全球市场的1/3稍多一点。在多个国家的股市投资的销售组合通常享有分散投资的优势——在相同收益水平下投资的风险更低。不过这种做法随时间不同而结果不同：1970—1986年的效果显著，而1987—2015年则表现平平。最近数年，随着信息科技的发展，全球化的影响使得各国市场和美国股市的走势越发接近，这在金融危机期间尤为明显，这也大大限制了海外分散投资所抵消的风险。
大部分美国家庭都拥有自己的房产，对于很多人来说，这是他们财产的主要部分。所以房产投资究竟有多有效呢？1952年时，我的一个叔叔和他的妻子花了1.2万美元买下了加州托兰斯市工薪阶层社区的一座木质结构的小屋。2006年，他在房地产泡沫接近顶峰时卖掉了这座房子。尽管这座房子几乎处在不断恶化的帮派冲突地区的边缘，房子本身的年头也相当长了，但由于房地产金融泡沫在加州尤其严重，他卖掉房子后扣除税收和佣金，依然净赚了大约48万美元。他的投资在54年间增长了40倍，差不多是在以每年7%的复合利率增长。同时，他购买房子后每年支出的房产税和维护费用也比租一栋类似的房子要便宜不少。
虽然这样的故事层出不穷，但我叔叔依然算是极少数幸运儿中的一个。根据经济学家罗伯特·席勒的计算，美国平均房价经过通货膨胀调整后在1890—2004年每年增长0.4%，在1940—2004年这段时间内年增长率为0.7%。[3]从这个数据来看，投资获利并不应该是买房的主要原因。你完全可以租一栋差不多的房子，在经济上也没什么损失。但是，和我买房的理由一样，拥有自己的房产的很多其他好处是不可量化的[4]：比如，在自己的房子里可以完全做主，对房屋进行升级或者改造而不必事先征求房东的同意。同时，如果你有固定利率的抵押贷款或已经全款买下了房子，你就能安心地充分掌控自己未来的每月开支。
正如我所提到过的，应纳税投资者和政府共享他们的利润，这与拥有相同资产组合的免税投资者相比极大地削减了应纳税投资者的财富。“减税出售”（tax–loss selling）是一种广为人知的避税办法，这种方法让纳税投资人有机会抵消全部或者部分的税收影响。
用最简单的话来说，就是投资人在这一年年底前卖掉有所损失的股票来实现资本损失，以减少这一年的资本收益数字，从而削减个人所得税。这一行为催生了所谓的“一月效应”：由于大量投资者在年底时出售亏损的股票，出售压力使得这些股票的价格在这段时间里被压得更低；然后在一月份的时候，回购热潮让股价大幅反弹，使得公司在年初表现过剩。这对小公司的影响很大。投资者一度在出售股票实现资本亏损后立刻把股票买回来，这样承担经济损失（或收益）的风险非常小。为了反制这种做法以免带来税收损失，美国政府引入了“假售回购”条例来增加这一行为所承担的风险。条例中指出，任何出售亏损股票并在31天内购回所产生的损失都无法出于抵税目的申报。这一条例还刻意调整了字眼，阻止精明的投资者通过转投“等价”股票来避税。
“减税出售”的反面是“持税递延”（tax–gain deferral）：想要出售大量收益证券的投资者会等到第二年再卖出股票，这样就能让资本收益的税收递延一年，税收费用就能在上缴给政府前再多用一年。
一方面，尽管税法条文在不断变化，长期资本收益的税率总体上比短期收益的税率还是要低不少，持有超过一年的资本收益在税收上的优势相当可观。因此，获利的投资者在一年以后再出售股票可以享有更多优势。另一方面，因为短期损失一开始是为了抵消计算税收时短期收益的效果而引入的，所以它们也通常比长期损失更有价值，这意味着最好在持有时间少于一年时出售亏损的证券。
普林斯顿–新港合伙公司运营时，美国税法与现在大不相同，公司也因此利用递延或出售的办法极大地削减了合伙人的应纳税收益。尽管现在的税法已与当年不同，在税收上发生有趣事情的概率依然存在。
有组织的减税出售可以挣得更多利润。假设你是一个喜欢购买并持有股指基金的投资人。如果你购买了20到30只股票来跟踪股指涨跌，以此取代原先的股指基金，那你就能通过避税获取更多利润。如果你怀疑这么一小撮股票能否做到有效跟踪股指涨跌，那么不妨看看道·琼斯工业指数，因为它就很好地证明了这一方法切实可行。道·琼斯工业指数只包括了30只股票，它与标普500指数使用完全不同的方法进行选股，前者却在历史数据上和标普500指数出奇地保持着一致的步调，而这一价格同步的现象也并非事先就计划好的。为了做指数套利，普林斯顿–新港合伙公司在20世纪80年代中期开发出一套选股方法，能够特别有效地追踪股指涨跌。1987年10月19日“黑色星期一”发生一天后，我们就用这种方法成功套取了标普500指数和股指期货合约间超过10%的利润。之后的量化分析师们（宽客）进一步完善了这种方法，他们在交易中把股票组合和股指之间的价差控制得非常小。
想要削减赋税，先要找一组追踪股指的股票，每当有股票下跌，比如说下跌10%时，就卖掉亏损的股票然后买入另一些股票，使这个组合在整体上和股指的趋势保持一致。如果你只想要短期资本损失，那就最好在购买股票后的一年内出售它们。不过，我建议任何认真考虑这一做法的人在具体实施以前先根据历史数据进行模拟测试。
投资时，理解手上的证券是否容易出售是非常重要的，这一特性被称为“流动性”。缺乏流动性可能会造成严重的损失，这一结果在2008—2009年的金融危机期间给对冲基金和房地产投资人的教训尤为深刻。
2002年解散山脊合伙公司以后，我对财政赤字不断扩大、房价物价飙升的情况非常担忧。与此同时，对冲基金也在改变合同条款来套住投资者的钱，撤出资本变得越发困难。允许提款的频率从每月一次延长至每季度、每年一次，甚至更低。提前通知提款的周期也在加长：从30天变成了45天、60天或90天。基金的单日提款数额也被强加了限制，这被称作“节流值”（throttles）。而美国证券交易委员会则恰恰在这一问题上起了反作用，它新出台了规定，要求资产超过1亿美元的对冲基金经理人必须首先成为注册投资顾问，除非这些经理人能保有初始投资资金两年以上。许多对冲基金兴冲冲地以避免在基金运营过程中注册投资顾问为借口，绑定了投资人的资产——这对于基金来说是一个双赢结局，而对于那些美国证券交易委员会本应保护的投资者来说却是相当不利的局面。
2008年春天，我意识到这次房价崩溃波及的范围会非常广，所以我向投资的几家对冲基金申请部分撤资。不幸的是，曾经一度流动性非常强的投资已经不复当年，2008年的金融危机在9月时严重激化，我申请撤回的大部分资金在那之前都未能及时交付，而基金的资产也在此期间大幅缩减。因为鲁莽地对资产增加杠杆，许多基金自己都面临着严重的流动性危机。由于没有预料到金融危机，基金投资者因未能及时转移资产而蒙受了重大损失。即使是本应在熊市中获利的对冲基金也在这一年跌了18%，大型公司的股票下跌了37%，房地产投资的跌幅更是超过了40%。那些被信用和资产泡沫冲昏了头脑的新一代对冲基金经理要么对对冲一无所知，要么就认为对冲的成本太高，不值得这么做。
像哈佛、耶鲁、斯坦福和普林斯顿这些最顶尖大学的捐赠基金，因为长期偏好低流动性投资，比如私募基金、商品和房地产等等，所以和大部分对冲基金一样，比普通证券的流动性更低。大学捐赠基金的收益率通常处于15%—20%，在领先市场多年后，它们如今损失了大部分积累下来的优势，相较于中型偏大的捐赠基金[5]的18%的亏损，顶尖大学的大型捐赠基金亏损率达到了25%左右。
因为没法在麻烦到来时及时撤资，低流动性投资所带来的额外收益会被未来不可预知事件的影响所抵销。
21世纪第一个十年间出现的住宅、商用房地产产业迅速扩张的繁荣景象把数以百万计的房主引入举债过度的泥潭。房主们被业内广为流传的促销神话“房价只会越涨越高”所迷惑，许多人借贷80%、90%甚至100%来买房。当房价上涨时，数百万人通过再融资或者二次抵押获取住房贷款保持高额杠杆。当房价在2006年到达顶峰然后回落时，处于水位线以下的房主（也就是说他们的贷款数额已经高于房屋本身的市场价值）和其他那些因购买了过多房产而无力支付的人开始大量出售房产，进一步压低了房价，引发了新一轮的出售潮。杠杆在这里给我们的教训就是：你需要问自己，假设发生了最坏的情况，你能否承担后果。如果答案是“不能”，那么就减少你的贷款数额。
我对使用杠杆的理解源自我在赌场的经验。当我实施自己的21点算牌策略时，从直观上来说应该在期望回报或者优势更大时下注更多。但问题是具体应该下注多少？来自贝尔实验室的物理学家约翰·L.凯利在他1956年发表的一篇论文里给出了答案，凯利据说是贝尔实验室里除了克劳德·香农以外最聪明的人。威廉·庞德斯通在他的著作《财富公式》[6]中详细介绍了凯利公式引人入胜的历史，庞德斯通指出，对于一个有概率优势的赌注，如果下注1美元可以获得A美元的赌利，最优凯利赌注就等于你所占优势百分比的本金数额除以你的获利数A。在21点中，优势概率通常在1%到5%之间，而赔率，或者说每1美元的获胜收益平均下来比1略多一点。所以，根据公式，当算牌策略算出的优势较多时，我会以总资金的1%下注，比我的概率优势略低一点。凯利公式不仅可以应用于双数值回报的情况[7]，而且适用于所有已知概率或者概率可以被估计的赌博或投资中。
如果你按照凯利公式推荐的结果执行会发生什么呢？凯利在他的论文中从数学角度证明了，使用凯利系统的人的最终财富会比使用任何其他下注系统的人都多。从21点赌博开始，到百家乐，再到在投资中分配资产，我一直使用凯利公式。
凯利公式的几个主要特征有：（1）投资者或者赌徒通常可以避免损失全部的资产；（2）优势概率越大，赌注越大；（3）风险越小，赌注越大。[8]凯利公式并不是由保守的学院派经济学家发明的，它的应用也因此饱受争议。[9]
1969年的夏天，比尔·格罗斯在内华达玩21点时知道了凯利公式，他随后成为太平洋投资管理公司的创始人之一，凯利公式一直影响着他的投资决策。在一次采访中，他告诉《华尔街日报》[10]：“在太平洋投资管理公司里，不管是200美元还是10 000亿美元，你有多少总资产都无关紧要。你可以从我们的投资组合里看出来，我们没有一个投资账户里的钱超过总资产的2%。从风险管理的角度讲，专业的21点策略在交易室里效果显著，这也是我们的一大成功之处。”
不过凯利公式也有一些瑕疵，有三条关于应用凯利公式的警告：（1）凯利公式可能会导致总资产的大幅波动，所以大部分投资者都选择用更低的比例下注，通常是凯利比例的一半或更低些；（2）对于短期或者想要规避风险的投资者，凯利公式的适用性并不强，其他投资策略可能效果更好；（3）想要完完全全应用凯利公式，需要知道收益结果的确切概率，这在大部分赌场中是可以做到的；而当面对像投资等不那么确定的情况时，最好使用保守的结果估计来计算相应的凯利赌注。
正如我在《维尔莫特》杂志中所指出的[11]那样，沃伦·巴菲特的思维方式和凯利公式是一致的。巴菲特某次出席埃默里大学活动时，在问答环节里被商学院的学生问了这样一个问题：按照畅销书《财富公式》和凯利公式的观点，应该怎样选择投资数额。巴菲特和他的同僚查理·芒格当时正管理着2亿美元的资产，他们把大部分钱分成每项投资只有500万美元或差不多数额的小额款项。不过有时巴菲特也愿意用75%的财富做某一项投资。在有极端优势的局面下大量注资也是凯利赌注的显著特征之一。
在普通人的一生中，成年以前，我们的消耗远大于我们的产出。随着不断受到教育和训练，我们对社会的贡献渐渐多于社会对我们的支持。在这段时期，谨慎的资产投资者会积累足够多的财富，使自己在年龄增加、工作收入减少时，能够通过提取之前积累的财富来维持自己的生活。
在这个问题上，如果想要用存款完全支持自己的生活，你每年能花多少钱而不会导致资金枯竭呢？当然，这并没有标准答案，因每个人不同的需求、欲望和环境而异。我所认识的一个退休的人拥有1 000万美元的财产，他生活得很好并相信自己的投资回报跟得上通货膨胀，他在用完所有存款前每年能有40万美元的开销，这足够他过他想要的生活。用最“保守”的方式回答这个问题：当把钱投入像短期国债这样的低风险并紧跟通货膨胀的产品中时，用投入的资金除以你能活的最多年数，得出的结果就是你每年的安全开支。
如果你想要像捐赠基金那样源源不断地产生资金该怎么办呢？计算机模拟的结果[12]显示，即使是最好的长期投资，比如股票或者商用房地产等，未来每年的花费也应该被限制在原资金经过通胀调整的2%这一数字以下。这一保守得惊人的数字是基于未来投资结果会和美国历史上的投资和风险结果类似这一假设得到的结论。在这种情况下，捐赠基金永不枯竭的概率高达96%。
之所以会得出2%这么低的开支上限是因为，如果在早期投资时受到严重的市场衰退的影响，资金量可能会大大缩减，任何高于2%的开支要求都有可能直接清空所有资产。
[1] 共同基金管理公司和对冲基金合伙公司除了持有的资产外，本身也有一部分分开的、有相当数额的市场价值，不过这部分价值都已经被计算在私募股权分类中了。
[2] 这部分效应的数学讨论，有时被称作“波动抽利”（volatility pumping），详见《凯利资产增长投资公式：理论及其应用》（The Kelly Capital Growth Investment Criterion:Theory and Practice），莱昂纳德·麦克林、爱德华·索普、威廉·赞巴编，世界科学出版社，2010年。
[3] 参见：《美国房价泡沫的成因》（Causes of the United States Housing Bubble），维基百科页面，2009年9月16日版；威廉·赞巴，《1980—2009年有效的和无效的》（What Signals Worked and What Did Not 1980—2009），第I、II、III部分，《维尔莫特》杂志，2009年5月、7月和9月刊。
[4] 一般而言，大量资金投入导致的过量通货膨胀出现在商用房地产中，而不在民用房地产中。然而房主和潜在购房者却通常不理解两者的差异，他们被不同时期不同地点的房产大赢家的故事所误导。这也是股票投资市场里投资者的常见错误，不要对这点感到惊讶，因为这两者通常是同一批人。行为金融学家对这一人类行为趋势有过充足的分析。
[5] 参见：约翰·赫琴格，《普林斯顿捐赠基金缩减23%》（Princeton’s Endowment Declines 23 percent），《华尔街日报》，2009年9月30日，C3版。
[6] “财富公式”这个标题可能听上去非常熟悉，这正是1961年我在美国数学协会上演讲的标题。比尔·庞德斯通曾体贴地问我，他是否能够把这个标题用在他的书上。在《击败庄家》一书中，我很自然地称这一公式为凯利赌博系统，从1966年后，我就称其为凯利公式，而这个名字也就此保留下来。
[7] 在21点赌博中，结果要么是赢，要么是输，只是二者的概率不同。市面上常见的公式就是针对输–赢两种情况的凯利公式的，其中，f为下注占总资金的百分比，p为获胜概率，b为赌注所赢得的倍率。事实上，凯利公式本身是由信息熵公式E=p×ln（1+f×b）+（1–p）×ln（1–f）取一阶导为0后直接推算出来的，E为期望值，p为获胜概率，f为下注百分比，b为获胜倍率。整个公式可分为两部分理解：加号以前是获胜的信息熵，即有p的概率获得f×b的资金；加号以后的部分是失败的信息熵，即有1–p的概率损失所有赌注，损失的所有赌注就是f，因此在后半部分用–f代替前半部分的f×b即可。这条公式也可以推广到大于两种结果的情况，广义的结果可以被总结为E=ΣiPi×ln（1+qi），即总期望等于每一种结果的概率乘以结果数值的对数，也就是说，第i种结果的概率为Pi，其对应的收益/损失为qi，可正可负，正的代表获利，负的代表损失，对E求一阶导为0就能得到凯利最优解。——译者注
[8] 可以在我写的文章里读到详细的细节，大部分文章都在我的个人网站上：www.edwardothorp.com。
[9] 除了庞德斯通的历史以外，有一定数学基础的读者可以在《凯利资产增长投资公式：理论及其应用》里读到相关方面的近期发展。《凯利资产增长投资公式：理论及其应用》，莱昂纳德·麦克林、爱德华·索普、威廉·赞巴编，世界科学出版社，2010年。
[10] 参见：斯科特·帕特尔森，《从过去的数学优势角度打量市场》（Old Pros Size Up the Game），《华尔街日报》，2008年3月22日，A9版。格罗斯2014年离开了PIMCO并前往骏利集团（Janus）进行资产管理。
[11] 参见：爱德华·索普，《理解凯利公式》（Understanding the Kelly Criterion），《维尔莫特》杂志，2008年5月，57—59页，网址：http://undergroundvalue.blogspot.com/2008/02/notes–from–buffett–meeting–2152008_23.html。
[12] 这一结果是数学家阿特·奎夫模拟的（阿特·奎夫是加州大学伯克利分校的博士——译者附注）。