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第9章 轮盘赌预测机
第9章 轮盘赌预测机
现 代流行的轮盘赌似乎最早出现于1796年的巴黎。在19世纪的蒙特卡洛，这项刺激的赌博风靡于皇室和富人阶级，当时还涌现了不少文学作品和歌曲。这个游戏赔率高、规则简单、极度依赖好运，这三点让赌徒们痴迷于各种下注策略。这些策略极为复杂，赌徒们无法精确分析，但这些策略中似是而非的“道理”很容易激起赌徒们虚无的期望。
最著名的当属雷伯切尔策略［Labouchère，也被称为取消策略（cancellation system）］。该策略应用于等额赔赌，即输赢的金额等于赌注。在轮盘赌中，猜红黑就符合这个条件，两种颜色各有18/38的胜率。雷伯切尔策略的第一步是写下一串数字，例如3、5和7，其总和是你想要盈利的目标（本例中总和为15）。第一次下注的数量是这串数字中第一个和最后一个数字的和，也就是3+7，即10。如果赢了，则在数字串里划去最值，于是只剩下5。因此第二次下注的数量就是5，如果再次获胜，就达到了盈利目的。如果输了，就在最初的数字串后加上10，使这串数字变成3、5、7和10。随后的赌注相应变成新数字串极值的和，就是3+10，即13。每次输钱后都会在数字串里增加一个新数字，而赢钱则会划去两个数字。这样一来，只要获胜次数略超过总次数的1/3就能达到既定目标。这有什么陷阱吗？现实是，运用类似策略的赌徒们似乎不怎么赢钱。
这是因为从概率学理论来看，如果轮盘赌上的所有数字都随机出现并且出现概率一致，那么就可以证明任何下注策略都是无效的。然而事情似乎在19世纪末出现了转机，伟大的统计学家卡尔·皮尔森（1857—1936）发现法国报纸上每天刊登的轮盘赌数字有规律可循[1]。这个谜题后来被解开了：报纸的记录员工作结束时编造了一些数字刊登在报纸上，而不是每天花上几个小时盯着赌博轮盘记录数字。皮尔森发现了“统计规律”其实是因为记录员未能捏造出完美的随机数列。
如果下注策略无效，那能否通过寻找有缺陷的赌轮，使得在多次赌博中，某些数字出现的概率高于其他数字呢？1947年，两位芝加哥大学的研究生——艾伯特·希布斯（1924—2003）和罗伊·沃尔福德（1924—2004）发现里诺有个赌轮似乎更经常出现数字9。他们借此以200美元的本金赢得了12 000美元。次年他们在拉斯维加斯的宫殿俱乐部（Palace Club）里发现了同样的情况，这次他们赢了30 000美元。随后他们休学了1年，在加勒比海航行度假[2]。回国后这两名学生重新回到科研行业并获得了成功。希布斯受聘于加州理工学院，是加州理工喷气推进实验室（Caltech’s Jet Propulsion Laboratory）的主任。沃尔福德成了加州大学洛杉矶分校的医学研究员，他经研究发现热量限制可以增加小鼠约一倍的生命长度。多年后希布斯写道[3]：“我想要征服太空，而我的室友，沃尔福德，则希望征服死亡。”
费曼在告诉我无法战胜轮盘赌的时候，他一定知道有些赌轮是偏心的。因为1年前希布斯就是在他的指导下从加州理工学院取得的博士学位。对大赌场来说，偏心的赌轮已经是过去式了[4]，因为如今赌场对设备的保养更加重视。
这就是1960年9月我和克劳德·香农打算制作轮盘赌预测计算机的大背景。当时，据我们所知，所有人都认为从物理学的角度预测轮盘赌的结果是不可能的。
此时，我在麻省理工学院的两年期合约只剩下最后一年，所以我们俩必须在9个月内完成这项工作。我们每周基本上有20多个小时在香农的房子里钻研。那幢三层木屋建造于1858年，坐落在距剑桥几英里的米斯蒂克湖畔（Mystic Lakes）。它的地下室是小玩意儿的天堂，里面估计有价值超过10万美元的电子器械和机械。其中有上千个机械和电动零件——电机、晶体管、开关、滑轮、齿轮、冷凝器和变压器等。我非常乐意与这位从儿童时代就开始摆弄电子器械、物理和化学实验的终极“器材高手”一起工作。
我们以1 500美元的价格从里诺某公司购买了一个修复过的轮盘赌轮，又从麻省理工学院的实验室借来了闪光灯和专用计时钟（其秒针每秒公转1周，用来替代我早期在电影实验里使用的秒表）。计时钟的刻度精确到0.01秒，能够大大提升计时精度。台球室里有个巨大的石头桌子，可以平稳地安放赌轮，所以我们选择在那里动工。
赌轮设计经典、机械精良、外形优雅，为轮盘赌增色不少。整个赌轮由定子和转子组成。定子是较大的固定件，其顶部有圆形轨道，供庄家开赌时抛掷小白球。开球后，小白球先在圆形轨道里减速运行，随后滑落到倾斜的定子内侧，进入旋转的中间部分（即转子，其旋转方向与开球方向相反），最后落于标有数字的格子中。
小白球的运动复杂，包含几个不同的阶段，描述其运动非常困难。我们打算从最初的设想入手，将小白球的运动状态拆分为数个阶段逐一分析。
首先我们通过测量小白球在圆形轨道的公转周期来估算它在何时何处会离开圆形轨道。如果公转时间很短，说明小白球速度较快，能够持续在圆形轨道运动；如果公转时间较长，那么说明小白球速度减慢并且很快会掉入转子部分。
为了测量小白球的速度，我们在小白球每次经过特定位置时启动秒表，当小白球再次经过这个参考位置时终止计时，两次点击秒表的时间差就是小白球在圆形轨道的运动周期。
启动停止秒表的开关偶联着闪光灯，每次触发都有点迪斯科舞厅的感觉。我们把房间的灯光调暗，以便观察启动停止秒表时闪光灯照亮小白球的位置，从而判断它和参考位置的相对关系。这能让我们了解每次启动停止秒表的位置误差，矫正秒表计时，使小白球公转周期的测量更为科学。直观地掌握了计时误差后，我们在计时上更为精准。通过练习，计时误差从最初的0.03秒下降到了0.01秒。后来在赌场实战时，我们还能保持这样的精度，只不过为了隐藏设备，我们只能练习用大脚趾操作藏在鞋里的开关。
现在，我们能够相当准确地预测小白球在何时何处会充分减速并离开圆形轨道了。下一步便是判定小白球在定子的倾斜部分的运动情况（持续时间和运行距离）。绝大多数赌轮在此区域共有8个叶片或转向板。小白球一般会击中它们，其结果是运动情况随机化。根据小白球和小挡板碰撞的不同情况，其运动轨迹可能延长或缩短。不过大量实验发现该挡板导致的不确定在我们的预测方法中可以忽略不计，它们反而能成为小白球和转子位置的参考。
最后，小白球进入转动的转子部分，并在不同编号的格子间弹跳，这给我们的预测方法引入了另一个不确定因素。
总误差是各项误差的叠加，例如计时误差、格间弹跳、挡板碰撞以及赌轮可能的倾斜。假设所有的误差大致服从正态分布（高斯分布，也称钟形分布），那么只有在预测误差的标准差（不确定性的度量）不超过16个格子（0.42圈）时才能取得获胜优势。我们的结果非常理想，误差的标准差在10个格子左右，即0.26圈。这能够获得每笔赌注44%的利润。如果我们同时对预测数字两侧相邻的各2个数字下注（共下注5个数字），那我们会大大降低风险，并且仍然有43%的优势。
通过物理学原理来解析轮盘赌，让人联想起刺激的俄罗斯赌轮。在那个残酷的赌博里，物理学能帮助你生存。这项赌博的名字似乎是从1937年乔治·苏德兹的故事里来的：
“你听说过俄罗斯赌轮吗？”……1917年前后，在驻扎在罗马尼亚的俄国军队中，一些军官会突然拿出左轮手枪，在弹舱里留下一颗子弹，拨动转轮，关上弹仓，指向自己的脑袋，然后扣下扳机……
左轮手枪旋转的弹仓使人联想到轮盘赌的转子。弹仓有6格，其中只有1格装弹，那中弹的可能性似乎是1/6。不过如果使用的是一支保养良好、与地面垂直（弹仓与地面平行）的左轮手枪，那子弹的重力就会使填充的弹格更有可能在其旋转到底部的时候让弹仓自动停下来。如果此时再上膛，赌徒就改变了自己的中枪率（相较于男性，女性都相当聪明，压根就不会玩这个）[5]。如果弹仓本身就偏心，那重力的影响也取决于枪支的自身构造。我的小女儿告诉我现代法医也意识到了这点，她有超过20年的地方检察官助理经验。
香农学识渊博又常有奇思妙想，和他组队工作简直就是享受。在讨论预测机的保密问题时，他提到社会关系学家在研究谣言和秘密传播的过程中发现，如果随机选取两人（比如在美国），那他们经常可以通过不超过另外3人而产生联系，该现象被称为“3度分离”（three degrees of separation）。最简单的验证方法是询问被访者认识哪些著名人物，因为他认识的著名人物很可能和你认识的著名人物有共同的朋友。因此你和被访者的联系就是：（1）你和你认识的著名人物；（2）你认识的著名人物和他认识的著名人物；（3）他认识的著名人物和他。如果是这两位名人直接认识，那就称之为“2度分离”（twodegrees of separation）。
我那爱检验的老毛病又犯了，不过每次检测这个理论时，我都能得到确实的答案。有一次在从曼哈顿去普林斯顿的火车上，我发现邻座那位优雅、尊贵又慈祥的女士看起来似乎有些焦虑。她不会英语、法语和西班牙语，但能听懂我蹩脚的德语。于是我了解到她的问题是不知道该在哪里下车去费城。给她指路后我们简单聊了几句，我了解到她是匈牙利的经济官员，正在从布达佩斯去会议地点的途中。我决定再次检验“几度分离”理论。
“你在布达佩斯认识任何姓斯尼塔的人吗？”我问道。
“当然，斯尼塔是非常著名的家族，”她回应道，“比如电影人米克罗斯，他同时也是工程师和心理学家。”
“啊！”我惊叹道，“他们是我妻子的亲戚。”
我、薇薇安、布达佩斯的斯尼塔和邻座的经济学家就构成了2度分离。到目前为止，我和陌生人之间从没发生过超过3度分离的情况。
1990年，约翰·奎尔在以“6度分离”为题的舞台剧里，将这一概念引入流行文化。分离维度的概念类似于1969年的埃尔德什数（Erdös number），通过计算“共同作者情况”，来描述某位数学家与匈牙利高产数学家保罗·埃尔德什的关系。如果你和埃尔德什共同发表了文献，那你的埃尔德什计数就是1。如果你的埃尔德什计数不是1，但是和埃尔德什计数为1的人共同发表了文献，那你的埃尔德什计数就是2，以此类推……
简单的几步就能连接不同的陌生人从很大程度上解释了谣言传播的速度和广度。如果你有个很好的投资想法，那你会有意识地保密。1988年，《纽约时报·科学时报》（New York Times Science Times）报道，数学家通过借用1967年某位社会学家提出的“6度分离”理论，成功地解释了社会网络是如何“缩小我们的世界”的。然而克劳德·香农早在1960年就知道了这个理论。
香农喜欢制造精巧的小玩意儿。其中有一个能根据他的指示将硬币翻转一定的次数并将他选择的一面朝下。他还从工作室（他将其戏称为“玩具室”）里拉了一根缆线到厨房。当克劳德拉动缆线时，厨房终端的假手指会悄无声息地呼唤他的妻子贝蒂。
工作之余，克劳德会教我三球杂耍（他能够骑在独轮车上玩这个）。院子里有一根拴在两个木桩间的钢索，他经常在上面行走，而且也鼓励我学着用平衡杆走钢丝。克劳德能同时做三项运动（玩三球杂耍、骑独轮车和走钢丝）中的两项。他的目标是在钢丝上骑着独轮车玩三球杂耍。有一天我发现他弄来两块巨大的泡沫塑料，外形像一双雪地靴。克劳德说它们是能“在水面上行走”的鞋子。于是他就在家门口的湖面上穿着它们行走，邻居们都惊呆了。好奇之下，我也试着走上湖面，然而实在是太难保持平衡了。
我们相处得十分愉快，因为从最初开始科学就是玩乐，而修补和建造东西更是如此，这过程让我们的好奇心得到了充分的满足。
美式轮盘赌中，赌轮有38个小格，其中有36个依次被标以数字1到36，这36个小格中，又各有18个分别涂成红色和黑色。另有两个绿色小格，即0和00（零和双零），它们以对位分列在转子两侧，将其余36个小格等分为两部分。非0数字的赔率是35：1，这表示你不仅能够赢回赌注，还能再赚取其35倍的收益。如果赌轮上没有0和00，这个游戏将非常公平。因为平均来看，在每次下注都是1美元的情况下，玩家在每36次下注中有1次会赢，从而获利35美元；而余下的35次则会每次输1美元。因此总体来看没有输赢。但是增加了0和00之后，玩家每38局会赢1次，获利35美元，输37次（37美元），总体来看每38轮净输2美元。因此赌场对于单一号码下注的获胜优势是2/38，即5.26%。欧式的轮盘赌则稍微好一些，因为赌轮上只有一个0。
在赌注大小方面，香农建议我参考约翰·凯利1956年发表的文章[6]。我把它稍做修改后将其作为21点、轮盘赌、其他赌博、体育博彩和股市的下注原则[7]。对轮盘赌而言，凯利策略是在数个相邻的数字上下注，这样虽然会降低少量预期收益，却能极大地降低风险。
每次庄家推动赌轮都是新的开始。我们通过轮盘赌计算机测量转子的自转周期，并预测它的运动情况（如果庄家再次推动转子，就需要重新计算）。测量完成后，计算机会发出依次升高的8音阶：do、re、mi……这可以想象成钢琴的音阶：中音C、D、E……高音C，然后再重复。通常我们会在小白球还要转3到4圈的情况下计时，因为越接近后期测量越准确。而且即使剩余3圈也足够我们下注。计算机会在小白球首次通过赌轮上的参考点时开始计时，此时重复音阶会改变并且节奏加快。当小白球再次通过参考点时，重复音阶立即停止，最后听到的那个音阶就是下注的数字。如果误判剩余圈数则音阶不会停止，除非是为了迷惑庄家，不然我们不会下注。计算机几乎能在最后输入的同时做出预测，所经历的计算时间可以忽略不计！
克劳德和我始终在研究轮盘赌，即使是在我和曼宁、艾迪去内华达州测试21点策略的时候。在内华达州之行中，我也顺道检测了赌场里的轮盘赌是否和实验室模拟的一致。我发现许多赌盘都有些倾斜，好在我们早已发现并懂得如何利用这一点，因为它在一定程度上限制了小白球停下的轨道区域。赌轮的倾斜程度以半筹码高至一筹码高为主。所以我们果断地在赌轮的一个脚下垫了一个硬币（厚度正好是筹码的一半，即半筹码高的倾斜程度）来继续实验，果然这会提高预测的获胜优势。
几个月来我们不断测试各种方案，最后我们把预测计算机拆分为两部分，这正好需要两个人配合。其中一个人带着由12根晶体管组成的计算机，其尺寸类似于一包香烟。数据输入要通过大脚趾来掌控暗藏在鞋里的开关。计算机预测的结果则通过由常见而便宜的遥控飞机改装成的无线电发射模块传播。另一个人需要扮演赌徒的角色，携带着无线电接收器，通过收听到的音阶来下注。这两个人可以装作互不认识。
下注的人需要在单侧耳道中塞入微型喇叭收听音阶，小喇叭通过极细的电线连接到藏在衣服里的接收器。我们用透明树脂把电线贴在身上并涂成肤色。不过那些发丝般纤细的铜丝经常会断。我们花了一个多小时进行电话咨询，终于在马萨诸塞州伍斯特市的某五金店找到了符合我们要求的电线。
1961年4月到6月，我们狂热地研发轮盘赌计算机，因为下个月我就要举家离开麻省理工学院回到洛杉矶，然后在秋季去新墨西哥州立大学执教。可惜我们离开的时候它还是没完工，所以几周后我又乘坐红眼航班回到了波士顿。夏日的早晨天气晴朗，7点我就来到香农的家门口，随后在那里住了3个星期，克劳德和我一起拼命推进这个项目。功夫不负有心人，在经过大量优化和测试后，我们的可穿戴计算机终于在1961年的6月底成型。
回到洛杉矶，我告诉薇薇安轮盘赌计算机已经就绪，克劳德和我想测试一下。8月的某一天，我、薇薇安和香农夫妇在拉斯维加斯相聚。在旅馆安顿后，我们出发去寻找合适的赌轮。我们相信预测计算机能应对所有状况，所以在第二天就选择了一个喜欢的赌场。不过选完的时候天色已晚，于是我们一边吃晚饭一边盘算次日的计划。
第二天早上我们兴奋地醒来。克劳德带着计算机和无线电发射器，他将用大脚趾操作隐藏在鞋子里的开关。我带着接收器，钢制电线沿着脖子连接着右耳道里的耳机。当我准备出发去赌场的时候，克劳德歪着头，顽皮地坏笑着问道：“是什么让你这么做？”
克劳德其实是暗示，一旦我们在轮盘赌桌上采取行动，他会把计算机的奇怪声音（实际上这是音阶）传到我耳中。不过现在回想起来，在穿戴着自己研发的设备的那一刻，到底是什么使我这么做呢。
我那时正处于人生的转折点，可以在两个截然不同的方向上做出选择。选项之一是作为职业赌徒漫游世界，每年赢得数百万美元。我可以在21点和轮盘赌之间游弋，还可以花一些奖金作为伪装，投注于其他在赌场中具有获胜优势的赌博，例如掷骰子和百家乐。
另一个选择是继续学术生涯。要走的路取决于我的性格。还是那个问题，是什么让我如此？正如希腊哲学家赫拉克利特说过的：“性格决定命运。”现在切换回拉斯维加斯，看着记忆中的我们走向轮盘赌桌。
我们四人来到赌场。薇薇安和贝蒂一边散步一边闲聊，我和克劳德装作互不认识。除我之外，他们都没怎么在赌场玩过，紧张是难免的，还好不是太明显。克劳德站在赌轮边上，对小白球和转子进行计时。作为伪装，他会逐一记下每轮获胜的数字，看上去就像个注定会失败的赌徒。而我坐在赌桌的另一头，离赌轮和克劳德都有些距离。
克劳德全神贯注地等待庄家推动转子。他选择转子上绿色的0和定子上的小挡板作为参考点，当它们首次相遇时，他的大脚趾就会按动鞋子里的无声水银开关（就像当初在实验室里点击秒表开关）。当绿色的0再次通过参考点时，大脚趾就再次按动开关。其间用时就是旋转周期。而他第二次点击后，8个音阶——哆、来、咪……就会在我的耳朵里响起，转子每旋转一次就重复一次。现在转子的速度和它与定子的相对位置关系被输入了计算机。我们也考量了转子悬浮于摩擦系数非常低的宝石轴承上逐渐减速的情况，而且庄家有时候会在转子减速的时候再推一把，所以克劳德每隔几分钟就需要重新计算其运动情况。
我已经随时准备下注。庄家开球了，在小白球绕着定子的圆形轨道运动的情况下，克劳德关注着它每次通过参考点的时间。当他认为只剩三四圈时，就会用另一个大脚趾按动开关，于是音阶节奏相应加快。而在小白球完成了下一次公转后，克劳德会再次按动开关将音阶终止，最后的音阶告诉我在哪里下注。开始我们只是测试，我也只下注了1毛钱。玩了几圈后，计算机展示了它的强大，让我赚了好几毛钱。我每次都在5个相邻的数字上下注。这策略在欧洲很常见，法国人称相邻的数字为“邻居”。
我们把赌轮上的数字分成8组（每组5个数字，0和00各出现2次），因此我们的分组包括了40个数字（赌轮上只有38个）。我们把这些含5个数字的数字组戏称为“八分仪”（octants）。从概率学上来说，玩家对所有这5个数字下注，平均大概能在38次赌局里获胜5次（略超过八分之一），而在其他情况下会输，总体来看是每38美元会损失2美元，即5.3%的劣势。然而用我们的计算机设备能够让在那5个数字上下注的获胜概率增加5倍，从而取得44%的获胜优势。
不过我们也遇到了问题。有一场我正玩得顺手，突然发现边上的女士惊恐地看着我。虽然不知道为何，但是我明白应该立即离开。于是我迅速冲到洗手间，结果在镜子里看到耳机从耳朵里滑落，就像个未知昆虫似的。更为讨厌的是，即使经常把成堆的小筹码兑换成大面额筹码，我们还是没什么机会下大注。这就要怪耳机线了，虽然换成了钢的，但还是太细太容易断。每次遇到断线，我们只能中断赌局，返回房间修理。
不过，在设备运行正常的时候一切都很完美。我们知道最终总能解决耳机线的问题，大不了用粗一些的钢丝，再留盖住耳朵和脖子的长发，让耳机线藏匿其中。我们也努力说服不乐意这么做的妻子们在她们时髦的长发下“戴上耳机”。
在我下注的时候，没人发现我和克劳德的异常，也没人意识到我们四人的关系。即便如此，我也明白如果赌场发现了我们的小秘密，他们很容易就能阻止我们：只要在开球前对我们说“不能再下注了”（而不是保持他们的惯常做法——在小白球快离开定子时终止下注）就可以。为防止他们发现我们的秘密，我们需要找些东西转移他们对我们赢钱的注意力。根据之前21点的经验，这需要花费很多精力。我们四人也都不想多动脑子学习掩饰、化装和误导。之前21点的报纸宣传让我很长时间都会直接被赌场认出来。所以我们四人也不愿意再遇到类似情况。因此，虽然有些不舍，我们还是搁置了这个项目。我到现在都觉得这个决定正确而英明。
麻省理工学院的媒体实验室把我们的设备列为可穿戴设备的始祖，也就是那些具有能让人将其穿戴在身上的功能的计算机设备[8]。1961年年末，我制造了第二个可穿戴计算机——能预测财富赌轮的设备。作为轮盘类赌博的预测计算机，这个设备仍然采用以脚趾开关输入信息、用扬声器输出结果的方式，只不过它被改进为用单晶体管构造，单人即可使用[9]。它大概有火柴盒那么大，能在赌场里用得很顺手。不过这项赌博很少能让我大赚，好几次，庄家都在我下重注的时候再次推动赌轮。
在1966年，我公开发表了轮盘赌的分析策略[10]，因为我很清楚自己再也不会使用它了。后续的文献里我也逐一揭示了各处细节[11]。某位加州大学圣克鲁兹分校的数学家打电话给我，向我详细咨询了整套原理。他们学校的一群物理学家后来组成了名叫“幸福馅饼”的小组（Eudaemonic Pie），使用了10年后的先进技术来制作他们的轮盘赌计算机，结果和我们一样获得了44%的优势，并且也遇到了类似的硬件问题[12]。后来，据说使用轮盘赌计算机的团体赢了很多钱。
香农和我还讨论了设计可穿戴21点计算机的可能性。利用我当时分析21点的程序，计算机不仅可以计牌，还能完美地决策，胜率比最厉害的玩家还高1倍。这是一个早期的，甚至可能是第一个计算机战胜人类的赌博案例，多年后的计算机GO和Jeopardy，逐渐能够完美地和最佳棋手在国际象棋上博弈并获胜。在我和香农之后，也有其他人制作并贩售可穿戴的21点计算机。当时，内华达州的法律并没有禁止这么做，所以随着21点和轮盘赌的可穿戴计算机越来越多，赌场的利润大幅下降，因此内华达州的设备法律在特殊情况下被迅速通过，并在1985年5月30日颁布[13]。它禁止使用或者拥有任何能够预测结果、分析出现概率、分析赌博和下注策略或计牌的设备，对应的刑罚是罚款和监禁。这部指代宽泛的法律甚至禁止使用印着《击败庄家》任何内容的手掌大小的策略卡片。在2009年，某位企业家在iOS平台编写了一个能够计牌并向玩家推荐21点策略的iPhone应用程序。不过赌场会提醒玩家，在赌桌上这样做涉嫌犯罪。
克劳德和我每隔几年就通信一次，最初的内容都是关于轮盘赌的，后来我们越来越清楚，我们已经不想在这上面做进一步的讨论了。我记得最后一次通信是在1965年年末或1966年年初，我在信中回顾了当时在他黑板上看到211（2的11次方，即2048，代表1美元经过11次翻倍后达到的数额，也是他的投资目标）后，我们之间关于股市的讨论。我告诉他我发现了一个投资小部分股票的非常规策略，估计每年能赚30%。如果有足够的时间，终将超越211的目标。他从未对此发表评论。虽然有些自负，但这个策略的实盘回报率约为20%。
我们最后一次见面是在1968年旧金山的一次数学会议上。他留给我最后的话语是：“我们只能在儿时做朋友了。”
克劳德于2001年逝世，贝蒂把他的大量文献和设备都捐献给了麻省理工学院博物馆，其中就包括轮盘赌计算机。它随后被出借给德国帕德博恩的海因茨利多富电脑博物馆（Nixdorf Computer Museum），于2008年春天展出。超过35 000人次在前8周参观了这个设备。
当克劳德在1961年8月的拉斯维加斯走向轮盘赌时，他用的是只有我们四个人见过的东西。这是世界上第一台可穿戴计算机。对我来说，可穿戴计算机就如其名：能完成其任务的可穿戴计算机。虽然它对后续可穿戴设备的发展影响有限，但如今可穿戴计算机已四处可见，比如我的苹果手表。
在21点和轮盘赌之后，我在想，有其他可以被战胜的赌博吗？
[1] 参见：卡尔·皮尔森，《演化中的死亡概率和其他研究》（The Chances of Death and Other Studies in Evolution），伦敦，纽约，阿诺德出版社，1897年。
[2] 参见：《洛杉矶时报》，2003年2月27日，B12版，《艾伯特·希布斯的讣告》；也可参见威尔逊1965年、1970年的文章。
[3] 希布斯后来所写可参见加州理工学院希布斯的讣告所引用的话（http://pr.caltech.edu/periodicals）。
[4] 几十年后，职业赌徒比利·沃尔特斯研究并利用了有效赌轮，如同拉塞尔·T. 巴恩哈特在《战胜轮盘赌》［Beating the Wheel，卡罗出版社（Carol Publishing），纽约，1992年］里描述的那样。理查德·R. 麦肯奇（Richard W. Munchkin）的著作《赌博奇才》［Gambling Wizards，亨廷顿出版社（Huntington Press），拉斯维加斯，内华达州，2002年，第16—18页］中记录了对沃尔特斯的采访。他能在短短几分钟内，仅凭一张塑料扑克牌就判断出分割赌轮数字的小格是高是低、是松是紧，会使得哪些数字受到影响。有时为了更好地评估，他也会检查赌轮是否水平，转子是否偏心。
[5] 感谢理查德·科恩提供的帮助。
[6] 参见：凯利·J. L（Kelly, J. L），《信息速率的新解释》（A New Interpretation of Information Rate），《贝尔系统技术杂志》（Bell System Technical Journal），第35卷，1956年，第917—926页。
[7] 参见：爱德华·索普，《常见赌博的最佳策略》（Optimal Gambling Systems for Favorable Games），《国际统计学会综述》（Review of the International Statistical Institute），第37卷，1969年，第273—279页；爱德华·索普，《21点、体育博彩和股票市场中的凯利条件》（The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market），《资产负债管理手册》 （Handbook of Asset and Liability Management），第1卷，S. A. 赞尼奥斯以及W. T. 津巴编辑，爱思唯尔出版社（Elsevier），纽约，2006年。
[8] 被称为可穿戴计算机，参见：《可穿戴计算机简史》（A Brief History of Wearable Computing）中的时间轴——麻省理工学院媒体实验室（www.media.mit.edu/wearables/ lizzy/ timeline.html）。
[9] 参见：保罗·奥尼尔，《打破银行的教授》，《生活》杂志，1964年3月27日，第80—91页。
[10] 参见：爱德华·索普，《击败庄家》，第二版，古典出版社（Vintage），纽约，1966年。
[11] 参见：爱德华·索普，《轮盘赌系统策略1》 （Systems for Roulette I），《博弈时代》，1979年1、2月；爱德华·索普，《轮盘赌的物理学预测1、2、3、4》（Physical Prediction of Roulette I, II, III, IV），《博弈时代》，1979年5、6、7、8月；爱德华·索普，《赌博中的数学》（The Mathematics of Gambling），莱尔斯图尔特出版社（Lyle Stuart），斯考克斯，新泽西州，1984年。
[12] 参见：托马斯·A. 巴斯（Bass, Thomas A.），《幸福馅饼小组》（The Eudaemonic Pie），霍顿米夫林出版社（Houghton Mifflin），纽约，1985年。
[13] 某不知情人士写信给维基百科，声称我们当年在轮盘赌中使用计算机是欺诈行为。这不是事实。我们和后续许多使用轮盘赌和21点计算机的人不能被当时的内华达州防欺诈法上诉。这就是当年内华达州立法机构必须要通过立法来禁止“赌博设备”的原因。