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比较不同持有期的收益率
未知
比较不同持有期的收益率
考虑一个寻求安全投资的投资者，比如投资美国国库券[1]。假设我们观察很多不同期限的零息票国库券。零息票债券简单地说是以票面价值折价出售，收益来自购买价和最终票面价值[2]的差价。假设国库券价格为P（T），面值为100美元，持有期为T年。我们把期限为T年的无风险收益率表示成投资价值增长的百分比。
当T=1时，式（1-6）提供了1年期的无风险收益率。
【例1-2】 年化收益率
假定面值为100美元的零息国库券的价格和不同的年限如下所示。我们运用式（1-6）可以计算出每一种证券的总收益率。
不出意料的是，在例1-2中持有期越长，总收益率越高。我们应该怎样比较不同持有期的投资收益呢？这就需要我们将每一个总收益换算成某一常用期限的收益率。我们通常把所有的投资收益表达为有效年利率（effective annual rate，EAR），即一年期投资价值增长百分比。
对于1年期的投资来说，有效年利率等于总收益率rf（1）。总收入（1+EAR）是每一美元投资的最终价值。对于期限少于1年的投资，我们把每一阶段的收益按复利计算到1年。比如，对例1-2中6个月的投资，我们按2.71%的收益率复利计算得到1年后的投资终值1+EAR=1.02712=1.0549，意味着EAR=5.49%。
【例1-3】 有效年收益率与总收益率
对于例1-2中的6个月的国债来说，T=1/2，1/T=2，因此
对于例1-2中25年的国债来说，T=25，因此
对于投资期长于一年的投资来说，通常把有效年利率作为年收益率。比如，例1-2中，持有期为25年的投资在25年里增长了4.2918（也就是1+3.2918）。所以有效年利率可以表达为：
总的来说，我们可以把有效年利率与总收益率rf（T）联系在一起，运用下面的公式计算持有期为T时的回报。
我们可以用一个例子来说明。
年化百分比利率
短期投资（通常情况下，T＜1）的年化收益率是以简单利率而不是复利来报告的。这被称为年化百分比利率（annual percentage rate，APR）。比如，当涉及月收益率（例如信用卡的利率）时，年化百分比利率即为12乘以月率。通常说来，如果把一年分成n个相等的期间，并且每一期间的利率是rf（T），那么，APR=n×rf（T）。反之，你可以通过年化百分比利率得到每个期间的实际利率rf（T）=T×APR。
通过这个过程，例1-2中6个月债券（6个月的利率为2.71%）的年化百分比利率为2×2.71=5.42%。概括一下，对一个期限为T的短期投资来说，每年有n=1/T个复利计算期。因此，复利计算期、有效年利率和年化百分比利率的关系可以用下面的公式来表示
即
【例1-4】 有效年利率与年化百分比利率
在表1-3中我们运用式（1-8）可以得出有效年利率为5.8%的与不同复利计算期限时相对应的年化百分比利率。相反，我们同样可以得到年化百分比利率为5.8%时有效年利率的值。
表1-3 年化百分比利率和有效年利率
连续复利
从表1-3（和式（1-8））中可以明显地看到年化百分比利率和有效年利率随复利计算频率变化而产生的差异。随之而来的问题是，随着计算利息的频率不断提高，年化百分比利率和有效年利率的差异可以达到多大？换句话说，当T不断变小的时候，（1+T×APR）1/T的极限是多少？当T趋近于零，我们得到连续复利（continuous compounding），并且可以用下面的指数函数得到有效年利率与年化百分比利率（在连续复利时，用rcc表示）的关系：
e大约为2.71828。
为了从有效年利率得出rcc的值，我们将式（1-9）化简，如下所示：
这里ln（·）是一个自然对数函数，是exp（·）的反函数。指数函数和对数函数都可以在Excel中进行计算，分别叫作EXP（·）和LN（·）。
【例1-5】 连续复利利率
当给定有效年利率为5.8%时，连续复利计算的年化百分比利率rcc为5.638%（见表1-3），与按日复利计算的年化百分比利率差不多。但对复利频率较低的利率（比如半年）来说，为了得到相同的有效年利率，年化百分比利率的值竟然高达5.718%。也就是说当计算复利频率较低时，达到相同有效回报所需的年化百分比利率会更高。
尽管连续复利看起来是烦琐的数学，但在很多情况下运用这种利率能够简化预期回报和风险的计算。举例来说，在连续复利情况下，对于任何期限T，总收益rcc（T）就可以简单表示为exp（T×rcc）（注：推导自式（1-9）若1+EAR＝，则（1+EAR）T＝。）。换言之，总收益与时间阶段T之间成正向关系。这比用指数按不同阶段的复利计算要简单得多。另一个例子是，回顾式（1-1），实际利率rr、名义利率rn和通货膨胀率i之间的关系rr≈rn-i，只是一个近似值，式（1-3）已给予证明。但是当我们将所有的利率都看作连续复利，式（1-1）就是完全准确的，也就是rcc（实际利率）＝rcc（名义利率）-icc。
注：
[1] 国库券收益和不同期限债券的收益率可以在网络上找到，比如雅虎财经、MSN财经或者直接从美联储获取。
[2] 美国财政部发行的短期国库券为零息债券，期限最长为1年。而金融机构通过购买一般国库券进行本息分离来构造最长达30年的零息票国库券。