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单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
未知
单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
本节将研究可行的风险收益组合。这是资产配置中的“技术性”部分：它只涉及给定广阔资本市场中投资者可以投资的机会。在2.5节会讨论资产配置中不同投资个性化的部分——风险收益可行集中个体的最优决策。
假设投资者已经确定了风险投资的组合构成，现在所要考虑的是在投资者投资预算中给风险投资组合P的比例y，剩余部分1-y分配给无风险资产F。
定义风险组合P收益率为rP，期望收益为E（rP），标准差为σP。无风险资产收益率定义为rf。在下面的数字例子中，我们假设E（rP）=15%，σP=22%，无风险资产收益率rf=7%。因此，风险资产的风险溢价为E（rP）-rf=8%。
风险投资组合的投资比例为y，无风险投资组合比例为1-y，整个组合C的收益率rC为
取期望值，得
这一结果很容易解释。任何一个投资组合的基本收益率都是无风险资产收益率。另外，投资组合总期望获得风险溢价，希望获取这一溢价的投资者为风险厌恶的，如果没有风险溢价，他们不会愿意持有风险资产。
当把一个风险资产和一个无风险资产放到一个资产组合中，整个组合的标准差就是风险资产的标准差乘以它在投资组合中的比例[1]。由于风险投资组合的标准差为σP=22%，所以
这表明组合的标准差与风险资产的标准差和投资比例都是成比例的。总之，整个投资组合的期望收益率为E（rC）=rf+y［E（rP）-rf］=7+8y，标准差为σC=22y。
下一步是在期望收益-标准差平面坐标中标出给定某个y值投资组合的特征，如图2-4所示。无风险资产F在纵轴上，因为其标准差为零，风险资产P位于标准差为22%、期望收益为15%的坐标点上。如果投资者只选择风险资产，则y=1.0，整个组合就是P。如果选择y=0，则1-y=1.0，整个组合就是无风险资产F。
图2-4 单个无风险资产和单个风险资产的投资可行集
当y落在0与1之间时，更有趣的组合会是什么样子的呢？这些组合坐标点会落在连接F和P之间的直线上。这条直线的斜率为［E（rP）-rf］/σP，本例中为8/22。
结论非常直观。随着风险资产投资比例y的增加，组合期望收益以8%的速率增长，标准差以22%的速率增长。每单位额外风险的额外收益是8/22=0.36。
为了给出点F和P之间直线的方程，我们重新整理式（2-4）得到y=σC/σP，替换到式（2-3）中来描述期望收益和标准差之间的权衡关系：
因此，整个组合关于标准差的期望收益函数是一条直线，截距rf，斜率
图2-4为一系列投资可行集，即一系列不同的y值产生的所有投资组合期望收益与标准差的配对组合。图形是以rf点为起点，穿过P的一条直线。
这条直线被称为资本配置线（capital allocation line，CAL），表示对投资者而言所有可能的风险收益组合。资本配置线的斜率记为S，等于每增加一单位标准差整个投资组合增加的期望收益。因此，斜率也被称为报酬-波动性比率（reward-to-volatility ratio），或者夏普比率。
一个投资组合在风险资产和无风险资产之间等分，即y=0.5，此时的期望收益E（rC）=7+0.5×8=11%，意味着风险溢价为4%，标准差σC为0.5×22=11%，在直线上表示为F和P的中间点。报酬-波动性比率为S=4/11=0.36，与P完全一致。
资本配置线上处于投资组合P右边的点是什么呢？如果投资者能够以无风险利率7%借入钱，就可以构造出P右边的点。
【例2-3】 杠杆
假定投资预算为300000美元，投资者额外借入了120000美元，将所有可用资金投入风险资产中。这是一个通过借款杠杆获得的风险资产头寸。这样的话，
此时1-y=1-1.4=-0.4，反映出无风险资产的空头头寸。投资者不以7%的利率借出，而是借入资金。组合的收益分布仍然呈现相同的报酬-波动性比率：
正如预计的，杠杆风险投资组合比无杠杆投资组合的标准差要高。
当然，非政府投资者并不能以无风险利率借入资金。借款者的违约风险导致贷款者要求更高的贷款利率。因此，非政府投资者的借款成本超过rf=7％，假设借入利率为=9%，在这样的条件下报酬-波动性比率，也就是资本配置线的斜率将是［E（rP）-］/σP＝6/22=0.27。资本配置线在P点被扭曲，如图2-5所示。P点的左边，投资者以7%借出资金；P点的右边，投资者以9%借入资金。
图2-5 借贷利率不相等时的可行集
在实际操作中，如果你在经纪人那里开立了保证金账户，借钱投资风险资产的方式将会非常容易且直接。你只需要告诉经纪人你要以“保证金”额度购买风险资产。保证金方式不能超过购买资产总价值的50%。因此，如果你的账户净值为300000美元，你可以再借入300000美元购买额外的股票[2]。这样你的风险资产头寸就达到600000美元，负债为300000美元，即y=2.0。
[1] 这是一个统计学中基本原理的应用：如果一个随机变量乘以一个常数，那么新变量的标准差也应由原标准差乘以该常数。
[2] 保证金交易要求投资者在经纪人处开立的保证金账户中存放证券。如果证券市值低于保证金维持水平值，追加保证金的指令会被发出，要求存款使账户净值达到合适的水平。如果追加不成，监管要求部分或全部证券由经纪人卖出，收益用于补偿要求的保证金。