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凸性
未知
凸性
作为利率敏感性的度量方式，久期显然是固定收益资产组合管理的重要工具。然而关于利率对债券价格的影响，久期法则仅仅是一种近似表达。我们重复一下，式（5-2）和与其等价的式（5-3），说明债券价值变化的百分比近似等于修正久期和债券收益率变化的乘积，表达如下：
该式表明价格变化百分比与债券收益率变化直接成比例。如果确实是这样，债券价格变化百分比作为它的收益变化的函数的图形将是一条直线，其斜率等于-D*。然而，图5-1清楚地表明，债券价格和收益率之间不是线性关系。对于债券收益率发生的较小变化，久期法则可以给出良好近似的值。但是，对于较大的变化，它给出的数值就不太精确了。
图5-3表明了这一点。像图5-1那样，此图表明债券价格变化百分比是对债券到期收益率变化的反应。曲线代表的是30年期、票面利率为8%，最初以8%的到期收益率出售的债券价格变化百分比。直线代表的是根据久期法则预测的债券价格变化百分比。直线的斜率是债券在初始到期收益率时的修正久期。在此收益率时，其修正久期为11.26年，所以直线是-D*Δy=-11.26×Δy的图形。注意这两条线在初始收益率时相切。于是，对于债券到期收益率较小的变化，久期法则的度量相当精准。但是对于较大变化，在两条线之间有一不断扩大的“间隔”，这表明久期法则越来越不准确。
图5-3 债券价格的凸性：30年期、票面利率8%的债券，初始到期收益率为8%
注意图5-3中，久期近似值（直线）总是低于债券的价值：当收益率下降时，它低估了债券价格的上升程度，并且当收益率上升时，它高估了债券价格的下降程度。这是因为真实价格-收益关系的曲率。曲线的形状，比如价格-收益关系的形状是凸的。价格-收益曲线的曲率被称为债券的凸性（convexity）。
我们可以将凸性量化为价格-收益曲线斜率的变化率，并将其表示为债券价格的一部分。作为一个实用法则，大家可以将债券具有较高凸性视为在价格-收益关系中曲率较高。如在图5-3中，不可赎回的债券的凸性是正的：收益率增加时，斜率变大（即这个负数的绝对值变小）。
注：我们在之前的注释中指出，表示修正久期的式（5-3）可以改写为：dP/P=-D*dy。于是，D*=1/P×dP/dy就是价格-收益曲线的斜率，即债券价格的微分。同理，债券凸性等于价格-收益曲线的二阶倒数（斜率的变化率）除以债券价格：凸性=1/P×d2P/dy2。期限为T年且每年付息一次的债券凸性公式为：
式中，CFt是在日期t支付给债券持有人的现金流；CFt代表到期前的利息支付或是在到期日最后利息加上面值。
凸性有助于我们在债券价格变化时提高久期的近似性。考虑凸性时，式（5-3）可以修正为：[1]
等式右边的第一项与久期法则相同，参见式（5-3）。第二项是对凸性的修正。注意，如果债券的凸性是正的，不管收益率是涨还是跌，第二项都是正的。这种观察与前面看到的事实一致，即当收益率变化时，久期法则总是会低估债券的新价值。把凸性考虑进来的式（5-5）更精确，它预测的债券价值总是比式（5-2）预测的值更高。当然，如果收益变化很小，式（5-5）中凸性这一项乘以（Δy）2，得出的乘积极其小，使久期的近似值不会有什么增加。在这种情况下，久期法则给出的线性近似将是足够精确的。因此，凸性在利率有一个很大的潜在变动时才会作为一个更重要的实际因素。
【例5-2】 凸性
在图5-3中，债券是30年期的，票面利率是8%，出售时初始到期收益率为8%。因为票面利率等于到期收益率，债券以面值或1000美元出售。在初始收益时债券修正久期为11.26年，凸性为212.4。（在在线学习中心www.mhhe.com/bkm，可以找到电子数据表来计算30年期债券的凸性。）如果债券收益率从8%上升至10%，债券价格将降至811.46美元，下降18.85%。根据久期法则，即式（5-2），价格会下降：
这比债券价格实际下降的幅度更大。带凸性的久期法则，即式（5-4）更为准确：
这更接近于债券的实际变化。［注意当我们使用式（5-5）时，我们必须把利率表示为小数形式，而不是百分比形式。利率从8%升至10%表示为Δy=0.02。］
如果收益变化很小，比如说0.1%，凸性则无足轻重。债券价格实际下降至988.85美元，降幅为1.115%。如果不考虑凸性，我们将预测价格下降：
考虑凸性，我们可以得到更加精确的答案：
在这种情况下，即使不考虑凸性，久期法则也相当精准。
投资者为什么喜欢凸性
凸性一般被认为是一个备受欢迎的特性。曲率大的债券价格在利率下降时的价格上升大于在利率上涨时的价格下跌。例如，在图5-4中，债券A和B在初始收益率时久期相同。令价格变化率为利率变化的函数，则这两个函数的曲线是相切的，这表示它们对收益率变化的敏感性在切点处相同。但是，债券A比B更凸一些。当利率波动较大时，债券A的价格上涨幅度更大而价格下降幅度更小。如果利率不稳定，这是一种有吸引力的不对称，可以增加债券的期望收益，因为债券A从利率下降中得到更多的好处，而从利率上升中损失较少。当然，如果凸性是我们希望得到的，那它肯定不是免费的午餐：对凸性较大的债券而言，投资者必须付出更高的价格，并接受更低的到期收益。
图5-4 两种债券的凸性
可赎回债券的久期和凸性
图5-5描述了可赎回债券的价格-收益曲线。当利率高时，曲线是凸的，对于不可赎回的债券也是如此。例如，当利率是10%时，价格-收益曲线位于切线之上。但是当利率下降时，可能的价格会有一个上限：债券价格不会超过其赎回价格。所以当利率下降时，我们有时候说，债券受制于价格限制——它的价值被“压”低到赎回价格。在这一区域，例如，当利率为5%时，价格-收益曲线位于切线之下，此时称曲线具有负凸性。[2]
图5-5 可赎回债券的价格-收益率曲线
注意在负凸性区域，价格-收益曲线表现出不具吸引力的非对称性。对于同样的变化幅度，利率上升引起的价格下跌幅度大于利率下降引起的价格上涨幅度。这种非对称性来源于这样一个事实：债券发行人保留赎回债券的选择权。如果利率上升，债券持有人会有损失，这与不可赎回债券是一样的。但是，当利率下降时，投资者不但没有获取资本利得，还会被赎回拥有的债券。这样一来，债券持有人就好像处于抛硬币时“正面输，反面也没赢”的境地。当然，投资者在购买这种债券时已经因为这种局面得到了补偿。可赎回债券在出售时的初始价格低于其他类似的不可赎回债券（也就是初始收益率较高）。
式（5-5）强调了负凸性效用。当凸性为负时，右边的第二项必然为负，这意味着债券价格的实际表现不及久期近似值的预测。但是，可赎回债券，或是更普遍地说，有“嵌入期权”的债券，用麦考利久期是很难分析的。因为这类期权的存在，债券提供的未来现金流变成不可知的。例如，若债券被赎回，它的现金流量终止且它的本金偿还比开始预测的时间要早。因为现金流是任意的，我们无法对未来现金流支付的时间做加权平均，而这对于计算麦考利久期是必要的。
华尔街的惯例是计算有嵌入期权债券的有效久期（effective duration）。有效久期不能用需要现金流的简单公式（5-1）来计算。使用考虑了嵌入期权的更复杂的债券估值方法，而且有效久期被定义为债券价格变化率与市场利率变化量之比：
这一公式似乎仅仅对表示修正久期的式（5-3）做出了一些修正。但是，它们还是有重要区别的。第一，注意到我们不用债券自身的到期收益率变化来计算有效久期（分母是Δr而不是Δy）。这是因为有嵌入期权的债券可能会被提前赎回，到期收益率通常是无关量。实际上，我们计算了利率期限结构变化引起的价格变化。第二，有效久期公式依赖于一种嵌入期权的定价方法。这意味着有效久期将成为某些变量的函数，而这些变量与传统久期无关，例如利率的波动。相反，修正久期或者麦考利久期可以从确定的债券现金流和到期收益率中直接求出。
【例5-3】 有效久期
假设可赎回债券的赎回价格为1050美元，今天的售价是980美元。如果收益率曲线上移0.5%，债券价格将下降至930美元。如果收益率曲线下移0.5%，债券价格将上升至1010美元。为了计算有效久期，我们计算：
那么，债券有效久期为：
换言之，在现值左右利率波动1%，债券价格变化8.16%。
久期和抵押贷款支持证券凸性
实际上，抵押贷款支持证券市场是赎回规定发挥重要性的最大市场。近年来，公司很少会发行有赎回条款的债券，并且可赎回公司债券的新发行数量已经在稳步减少。相反，抵押贷款支持证券市场在近20年正快速扩大，一直持续到金融危机为止。即使是在2012年，房利美和房地美也联合发行了超过1万亿美元的新抵押贷款支持证券。
发起抵押贷款的贷方通常把贷款卖给联邦代理，如房利美或房地美。原始的借方（房主）继续按月支付给贷方，但是贷方把付款转手给购买贷款的代理。代理可能一次把很多抵押贷款汇合在一起变成抵押贷款支持证券，然后在固定收益市场中销售。这些证券被称为转递证券，因为从借方得到的现金流先流向代理（房地美或房利美），然后又流向抵押贷款支持证券的最终购买者。
例如，假定10个30年期抵押贷款，每一个的本金值为100000美元，组合成100万美元的资金池。如果抵押利率为8%，那么每一贷款的月付为733.76美元。（首付的利息份额是0.08×1/12×100000美元＝666.67美元；剩下的67.09美元分期偿还，或是本金的按期预缴。在后期，本金余额较低，月付较少的部分用于利息，而更多的用于分期偿还。）抵押贷款支持证券的持有人会收到7337.60美元，即资金池中10个抵押的全部支付。[3]
但是，现在记得房主有权随时预缴贷款。例如，如果抵押贷款利率下降，房主可能决定以较低利率重新贷款，用收益来付清原始贷款。当然，预缴贷款的权利恰好与偿还可赎回债券的权利相似。赎回价格就是贷款的剩余本金余额。因此，抵押贷款支持证券最好看作可提前赎回的分期付款贷款的资产组合。
与其他可赎回证券类似，抵押贷款支持证券受负凸性的约束。当利率降低且房主预缴抵押贷款时，本金偿还传递给投资者。投资者得到的不是投资的资本利得，而是贷款未付的本金余额。因此，抵押贷款支持证券的价值作为利率的函数，如图5-6所示，与可赎回债券的图形看起来很像。
图5-6 抵押贷款支持证券的价格-收益曲线
然而，抵押贷款支持证券和可赎回公司债券有一些不同。例如，通常发现抵押贷款支持证券售价高出本金余额。这是因为房主不会在利率降低时马上再融资。一些房主也不想承担再融资的费用和麻烦，除非收益足够大。如果另一些房主计划近期搬家，他们可能决定不进行再融资。也有一些房主再未考虑过再融资的决定。因此，尽管抵押贷款支持证券在低利率时表现出负凸性，但它隐含的赎回价格（贷款本金余额）不是一个在其价值上不可突破的上限。
简单的抵押贷款支持证券引发了大量的抵押担保衍生品。例如，抵押担保债券（CMO）进一步把抵押贷款支持证券的现金流重新转向几种衍生证券，称为MBS的“拆分”。这些拆分可能用来向愿意承担该风险的投资者分配利率风险。[4]
右表是一个简单的抵押担保债券结构的示范。底层的抵押资金池被分为三个部分：每一个都有各自不同的有效期限以及所产生的利率风险敞口。假设原始的资金池为1000万美元的15年期抵押贷款，每一部分的利率均为10.5%，且被分为如右表中的三个部分。
进一步假定资金池中贷款余额的8%会提前预缴。于是，每年整个抵押资金池的现金流就如图5-7a所示。每年总支付缩小8%，因为原始资金池的贷款的这一比例部分被付清。每个条形的浅色部分代表利息支付，深色部分代表本金支付，包括贷款分期付款和预缴。
在每个周期中，每一贷款拆分部分在承诺的利率和支付本金余额的基础上收到应有的利息。但是，刚开始时，所有本金支付、预缴和分期付款都流向贷款拆分部分A（见图5-7b）。从图5-7c和图5-7d中观察到：当贷款部分A结束前，B和C只收到利息。一旦贷款拆分部分A全部付清，所有本金支付流向贷款拆分部分B。最后，当贷款拆分部分B终止时，所有本金支付流向贷款拆分部分C。于是，贷款拆分部分A就成了“短期支付”，其有效久期最短，而贷款拆分部分C成了期限最长的贷款划分部分。因此，这是在贷款拆分部分中一种相对简单的利率风险分配。
图5-7 流入整个抵押集合的现金流和拆分到三个部分的现金流
在实践中，这一主题有可能有多种变化及应用。不同的贷款划分部分可能收到不同的利息。根据抵押贷款预缴速度的不确定性，有些贷款拆分部分有可能被区别对待。复杂的公式可能用来规定每一贷款拆分部分应分配的现金流。实际上，抵押资金池被看作现金流的来源，并根据投资者的偏好重新分配给不同的投资者。
[1] 为使用凸性法则，必须以小数而不是百分比来表达利率。
[2] 上过微积分课程的人会发现这一区域的曲线是凹的。但是，债券交易员不说这些债券显示出凹性，更喜欢用的术语是负凸性。
[3] 实际上，继续为贷款提供服务的原始贷方和担保贷款的转递代理各自保留每月支付的一部分作为服务收费，于是投资者每月收到的支付比借方支付的数量略少。
[4] 机构抵押贷款支持证券的信用风险并不是个问题，因为按揭支付是由机构，现在是由联邦政府保障的。在抵押担保债券市场，部分结构通常用于重置不同部分的利率风险而不是信用风险。