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马科维茨资产组合选择模型
未知
马科维茨资产组合选择模型
证券选择
组合构造问题可以归纳为多个风险资产和一个无风险资产的情况。在两风险资产的例子中，该问题有三步。首先，确认可行集的风险收益权衡；然后，通过计算使资本配置线斜率最大的各资产权重确认最优风险组合。最后，确认最合适的投资组合，由无风险资产和最优风险组合构成。
第一步是决定投资者面临的风险收益机会，由风险资产的最小方差边界（minimum-variance frontier）给出。这条边界线是在给定组合期望收益下方差最低的组合点描成的曲线。给定期望收益、方差和协方差数据，所描成的曲线如图3-10所示。
注意到所有单个资产都在该边界的右方，至少当存在卖空机制时是这样的[1]。这说明由单个资产构成的风险组合不是最有效的。分散化投资可以提升期望收益降低风险。
所有最小方差边界上最小方差组合上方的点提供最优的风险和收益，因此可以作为最优组合，这一部分称为风险资产有效边界（efficient frontier of risky assets）。对于最小方差点下方的组合，其正上方就存在具有相同标准差但期望收益更高的组合。因此最小方差组合下部的点是非有效的。
第二步是包含无风险资产的最优化。与之前一样，我们寻找报酬-波动性比率最高的资本配置线，如图3-11所示。
图3-10 风险资产的最小方差边界
图3-11 风险资产有效边界和最优资本配置线
这条资本配置线优于其他资本配置线，与有效边界相切，切点是最优风险组合P。
最后一步是投资者在最优风险资产P和短期国库券之间选择合适的比例构成最终组合，如图3-8所示。
现在我们考虑构造组合每一步的细节。在第一步中，风险收益分析，投资经理需要每个证券的期望收益率和标准差、证券间协方差矩阵的估计值。投资经理现在有E（ri）和n×n的协方差矩阵，矩阵对角线上是n个，其余是n2-n=n（n-1）个协方差值，且关于对角线对称，所以有n（n-1）/2个数值需要估计。如果我们在50只证券中进行组合管理，则需要估计50个期望收益值，50个标准差，50×（49/2）=1225个协方差。这一任务很艰巨。
一旦这些估计完成，任意风险组合（各资产权重为wi）的期望收益和方差都可以通过协方差矩阵或通过下列式（3-2）、式（3-3）的延伸公式计算得到：
之前我们提到分散化的理念有很长的历史了。“不要把鸡蛋放在一个篮子里”这句话早在现代金融理论出现之前就已存在。直到1952年，哈里·马科维茨[2]正式发表了包含分散化原理的资产组合选择模型，为他赢得了1990年的诺贝尔经济学奖。他的模型就是组合管理的第一步：确认有效的组合集，即风险资产有效边界。
风险资产组合边界背后的核心原理是，对于任意风险水平，我们只关注期望收益率最高的组合，或者说，边界是给定期望收益风险最小的组合集。
确实，计算风险组合有效集的两种方法是等价的。可以考虑表示这一过程的图解，图3-12显示了最小方差边界。
图3-12 有效投资组合集
图3-12所示是一个最小方差程序的算法，横向为每一个期望收益水平，我们寻找方差最小的组合，用方形标记该点，或者竖向每一个方差水平，我们寻找期望收益率最高的组合，用圆形标记该点，都可以得到图3-12所示的最小方差边界的基本形状，然后去掉下面虚线部分，因为它是非有效的。
这一步完成之后，我们就得到了一系列有效组合，因为最优程序的解包含组合的内部权重wi，期望收益率E（rP）和标准差σP。这些数据随后进入最优化程序中。
现在我们回过头来看一下，到目前为止投资经理都做了什么。证券分析师分析得到的估计值转化为一列期望收益值和一个协方差矩阵，这些估计值被称为数据输入表，进入最优化程序中。
在进行第二步选择最优风险资产之前，先考虑一个实际问题。一些客户可能会受到约束，比如卖空限制。对于这类客户，投资经理需要在寻找有效组合的程序中排除资产头寸为负的情形。此时有效组合可能是单个证券，比如拥有最高期望收益率的证券也会是前沿边界组合之一，因为无法通过卖空机制用多个证券构造期望收益率相同风险却较低的组合。
约束条件不仅仅包含卖空的限制，客户还会要求最低的股利收益率，此时就需要各证券的股利收益率数据，并加一个约束语句来保证所有证券的预期股利收益率高于设想的某个值。
投资经理可以调整有效边界来满足客户不同的要求。当然，附加额外要求后的报酬-波动性比率只会次于无额外要求的情形。所以，客户在附加投资的额外要求时应该考虑到这些非法律要求的限制所带来的成本。
另一种约束条件是从政治或道德上排除在某一特定产业或特定国家的投资。这种投资称为社会责任投资，必须承担降低报酬-波动性比率的成本，这一成本可以看作对隐含理由做的贡献了。
资本配置和分离特性
已经有了有效边界，可以进行第二步引入无风险资产。图3-13显示了有效边界和三条资本配置线。和之前一样，把资本配置线向上旋转直到与有效边界相切，切点为最优风险组合P，且该资本配置线的报酬-波动性比率最大。这时投资经理的任务已经完成，组合P是投资经理为客户找到的最优风险组合。
图3-13 有效集组合和资本配置线
最令人惊叹的结论是投资经理会向所有客户提供风险组合P，无论客户的风险厌恶程度如何[3]。客户不同的风险厌恶程度通过在资本配置线上选择不同的点来实现。相比之下更加厌恶风险的客户会在无风险资产和最优风险组合P之间更多投资于无风险资产。
另外一种寻找最优风险组合的方法是通过一开始就引入无风险利率。这种方法下，我们编写计算表的程序来优化组合P的夏普比率。这里值得一提的原因是可以免去画有效边界而直接找出CAL斜率最大的组合。计算表程序最大化夏普比率完全不受预期收益或方差限制（仅需要受制于组合的权重之和为1）。图3-13显示的问题解决方案是找出使CAL斜率（夏普比率）最大的组合，不需要考虑预期收益或标准差。预期收益和标准差可以通过计算组合权重和式（3-15）、式（3-16）很容易得到。
这个方法不能直接给出整个最小方差边界，不过这个缺点可以通过寻找以下两个组合来弥补：第一个我们熟悉的最小方差组合，即图3-12中的G。组合G是通过不管预期收益如何的情况下最小化方差得到，参见图3-13。组合G的预期收益较无风险利率大（即风险溢价为正）。
另外一个组合，我们在后文中将详细介绍，最小方差边界上的非有效组合，它与最优风险组合的协方差（相关系数）为零。我们称该组合Z。一旦确定了组合P，我们通过数据表程序解出与P的协方差为零的最小化标准差组合。
边界组合的一个重要特性是，最小方差边界上的任何两个组合构造出的组合依然在边界上，它处在边界上的位置取决于组合的权重。因此组合P加组合G或Z可以得到整个效率边界。
这一结果称为分离特性（separation property），阐明组合决策问题可以分为两个独立的步骤[4]。第一步是决定最优风险组合，这是完全技术性的工作。给定投资经理所有证券的数据，最优风险组合对所有客户就是一样的。然而，第二步整个投资组合在无风险短期国库券和最优风险组合间的配置，取决于个人的偏好。在这里客户是决策者。
这里关键的问题是：投资经理为所有客户提供的最优风险组合都是组合P，换句话说，不同风险厌恶程度的投资者会满足于由两个共同基金构成的市场：一个基金在货币市场进行无风险投资，一个持有资本配置线与有效边界切点上的最优风险组合P，这一结果使得职业投资管理更有效率且成本也更低。一家投资管理公司服务于更多的客户而管理成本增加得很少。
但是在实际中，不同的投资经理对证券估计的数据是不一样的，因此会得到不同的有效边界，提供不同的“最优”组合。这种偏差来自证券分析的差异。值得一提的是通俗的GIGO（garbage in-garbage out）原则也可以应用于证券分析。如果证券分析质量很差，那么被动的市场指数基金生成的资本配置线都会优于由低质量证券分析生成的资本配置线。
当一个数据输入表采用证券最近的收益率来表示其真实的期望收益率时，将会使得到的有效边界失去意义。
考虑一个年均标准差为50%的股票，如果用它10年平均来估计收益，估计的标准差将达到=15.8%，这一平均基本无法代表来年的期望收益[5]。
正如我们看到的，不同客户的最优风险组合也因其各自的约束条件而不同，比如股利收益约束、税收因素和其他客户偏好。即使如此，这部分分析说明一定数量的组合就可以满足大量的投资者，这是共同基金行业的理论基础。
最优化技术是组合构造问题中最容易的部分，基金经理间真正的竞争在于证券分析精确性上的角逐。这种分析和合理的解释是组合构造的艺术。[6]
分散化的威力
前面介绍了分散化的理念，但是由于系统风险的存在，分散化带来的益处存在限制。有了前面的工具，我们可以重新考虑这一问题，同时深入窥探分散化的威力。
回忆式（3-16），组合的方差为
考虑最简单的分散化策略，组合中每一资产都是等权重的，即wi=1/n，这时式（3-16）可写作［将i=j的情况从连加符号中移出，Cov（ri，ri）=］
定义平均方差和平均协方差为
得出组合的方差为
现在检验分散化的效果。当证券之间的平均协方差为零时，即所有风险都是公司特有的，由式（3-20）可知组合方差在n变大时趋近于零。因此，当证券间收益不相关时，分散化降低组合风险的威力是无穷的。
然而，更重要的是，经济层面的风险因素使股票收益存在正相关性。在这种情况下，当组合高度分散化后，组合方差为正。当n变大时，尽管公司特有的风险最终被消除了，但是等号右边第二部分趋于。因此分散化组合不可消除的风险取决于不同证券间收益率的协方差，这反过来就是经济中系统性因素的显现。
为了进一步考察系统风险和各证券间相关性的关系，简单假设所有证券的标准差都为σ，证券间相关系数都为ρ，协方差为ρσ2，此时式（3-20）化为
证券间相关性的影响这时就很明显了。当ρ=0时，我们得到保险原理，组合方差在n变大时趋于零。然而，当ρ>0时，组合方差为正。实际上，当ρ=1时，不论n如何，组合方差等于σ2，说明分散化没有意义。在完全相关的情况下，所有风险都是系统的。更一般的情况，当n增大，系统性风险保持为ρσ2。
表3-4给出了证券数量扩大时ρ＝0，ρ＝0.4两种情况下的组合标准差。其中令σ＝50%。正如我们预想的，组合风险在ρ＝0.4时更大。更令人吃惊的是，相关系数为正时，组合风险随着证券数量上升而下降的速度相对慢很多，因为证券间的相关性限制了分散化的空间。
表3-4 相关性和无相关性的证券等权重构造组合的风险减少
注意到对100个证券构成的组合，彼此不相关的情况下标准差为5%，和零标准差还有一段距离。当ρ=0.40，标准差很高，达到31.86%，非常接近于不可分散的系统性风险，为==31.62%，说明进一步分散化也没什么意义了。
上面计算中最重要的一点是：当我们持有分散化组合时，某一证券对于整个组合风险的贡献取决于该证券和其他证券之间的协方差，并非该证券的方差，这意味着风险溢价也取决于协方差而非收益的变动。
资产配置和证券选择
如同之前看到的，证券选择和资产配置理论是一样的。这两步都需要构造有效边界，并在有效边界上选择一个最优组合。既然这样，是否还有必要区分资产配置和证券选择呢？
有三个因素需要考虑。首先，出于储蓄的天性和对利益的追求，社会对专业投资管理的需求呈迅速上升态势。其次，金融市场和各类金融工具的繁荣使得专业投资管理的收益超过一般的业余投资者。最后，投资分析有巨大的规模效益。最终的结果是有竞争力的投资公司随着行业的发展扩大其规模，组织管理的效率也变得非常关键。
一个大型的投资公司很可能既投资于国内也投资于国际市场，其资产范围更广，每种资产都需要相应的专家。因此，每一资产类组合的管理不再集中，一步最优化所有证券也显得不太可能，即使理论上可以实现。
实践中总是独立地最优化每类资产中的证券选择，同时，高一级的管理会更新各资产类的最优情况并调整完善资产组合的投资权重。
最优组合和非正态收益
此前使用的组合最优化技术是建立在收益正态分布的假设下的。然而，收益率可能的非正态性要求我们关注诸如在险价值、预期损失这类强调最坏情况损失的风险度量方法。
我们知道，在肥尾分布下需要重新考虑资本配置，因为此时在险价值和预期损失值会很高。特别地，当预测到较高的在险价值和预期损失值时，我们应当适当减少风险组合的配置。当我们选择最优风险组合时，分散化对在险价值和预期损失也是有影响的，只不过，这种情况下分散化的效果很难用正态分布情形的方法来展现。
目前，估计在险价值和预期损失一个实用的方法是自举法（拔靴法）。我们从一个组合的资产收益历史数据开始，计算组合收益看成从组合中资产历史收益中抽取一次，可以计算无穷多的随机组合的收益。这种方法计算的5万个收益就足够估计出在险价值和预期损失。此时我们可以比较最优风险组合和其他组合的在险价值与预期损失，如果某个组合的值比最优组合低的话，我们可能会倾向于这一组合。
[1] 当不存在卖空机制时，同等风险下，最高期望收益的证券一定在有效边界上，有效边界上的证券，在同等收益时，方差是最小的。当卖空机制存在时，可以通过卖空低收益、买进高收益证券的方式构建出更高收益或更低波动性的更优组合。
[2] Harry Markowitz，“Portfolio Selection，”Journal of Finance，March 1952.
[3] 附加额外约束条件的客户，会得到另一个的最优组合，会次于无附加约束条件时得到的组合。
[4] 由James Tobin首次发现，“Liquidity Preference as Behavior toward Risk”，Review of Economic Statistics 25（Feb 1958 pp.65-86）
[5] 而且无法通过观察更高频的收益率来避免这一问题，在第1章中我们指出用样本平均估计期望收益的精确性取决于样本时期，而非样本期内观察频率。
[6] 你可以在Wealthcare Capital Management白皮书中找到一些有意思的关于实际操作中有效分散化问题的讨论，网址：http://www.finance ware.com/ruminations/WP Efficiency Deficiency.pdf.或www.mhhe.com/bkm的在线学习中心上可以找到该内容。