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单因素证券市场
未知
单因素证券市场
马科维茨模型的输入数据
组合选择的成功依赖于输入数据的质量，即证券期望收益率和协方差矩阵的估计。长期来看，有效组合会超过输入劣质数据得到的组合。
假设你的证券分析师要全面分析50只股票，这意味着输入数据如下：
这一任务令人生畏，更别说50只证券构成的组合依然相对较小。n=100时，估计值增加到5150。若n=3000，约为纽约证券交易所股票的数量，我们需要估计450万个以上的值。
应用马科维茨模型进行组合最优化的另一难题在于相关系数的估计误差会导致无意义的结果，这是因为部分相关系数相互冲突，如表4-1所示[1]。
表 4-1
假设你构造的组合资产A、B、C的权重分别为-1、1、1，经过计算你会得到组合方差为-200%。而方差值必须是非负的，因此我们确信相关系数的估计值相互冲突。当然，真实的相关系数矩阵一定是相互一致的[2]，但是我们并不知道相关系数真实值，而估计值总是不准确的。不幸的是，相关系数矩阵的相互冲突与否并非一眼就能看出，所以亟待寻找更简单的模型。
引用一个简化描述证券风险来源方式的模型让我们可以使用更少且具有一致性的风险参数和风险溢价的估计值。因为受共同经济因素影响，证券间协方差为正，这种简化才得以面世。一些常见的经济因素包括商业周期、利率、自然资源成本等。这些变量未预期的变化会导致整个股票市场收益率未预期的变化。通过将这种不确定性分解为系统性和公司层面的来源，我们大大简化了协方差和相关系数的估计。
收益的正态分布和系统性风险
我们总是可以将任何证券i的收益率分解为期望收益率和非期望部分之和：
ei的均值为0，标准差为σi，它描述了证券收益的不确定性。
当相关的证券收益率可以用正态分布来很好地近似时，我们称其服从联合正态分布。这一假设意味着，任何时间证券收益受一个或多个变量共同决定，如果一个以上的变量导致证券服从正态分布，那么这种收益被称为服从多元正态分布。我们先从简单的单因素证券市场开始，扩展在后续章节会具体介绍。
假设引起所有公司的证券收益变化的因素是一些影响所有公司的宏观经济变量m，那么可以将不确定性分解为经济整体的不确定性（用m表示）和特定公司的不确定性（用ei表示）此时，我们将式（4-1）改写为：
用宏观经济因素m度量未预期的宏观突发事件。因此，它的均值为0，标准差为σm。相反，ei只衡量特定公司的突发事件。注意到m没有下标是因为m影响所有公司。最重要的是，m和ei是不相关的，因为ei是公司层面的，和影响整个经济的宏观因素独立。于是ri的方差来自两个独立的部分——系统的和公司的。因此：
经济因素m产生证券间的相关性，因为所有证券都会对同一宏观经济新闻有所反应，但是公司层面的事件，假设中认为在公司之间是无相关性的。因为m与ei不相关，所以两只证券i和j的协方差为：
此外，一些证券对经济冲击比其他证券更为敏感。例如，汽车公司对经济条件的反应比制药公司要剧烈得多。所以可以加一个对宏观经济条件的敏感性系数。因此，如果定义希腊字母βi为公司i的敏感性系数，那么改变式（4-2）得到单因素模型（single-factor model）：
式（4-5）表明证券i的系统性风险由其βi系数决定。周期性公司对市场的敏感性更高，所以系统性风险就更大。证券i的系统性风险为，总风险为：
任意两证券间协方差为
就系统性风险和市场暴露而言，这一公式表示公司间存在近似替代关系，β值相等的公司，其市场风险也相同。
到目前为止，我们只使用了证券收益联合正态分布的统计意义。仅证券收益的正态性就保证了组合收益也是正态的，且证券收益和共同宏观因素之间存在线性关系。这大大简化了组合分析。然而，统计分析并未识别共同宏观因素，也未能确定该因素在长期投资中如何作用。尽管如此，共同因素、单个证券的方差以及证券间的协方差在长期中变化非常缓慢（通过实证可以证明）。现在我们需要寻找一个变量来代表共同因素，这一变量必须可以观察，易于估计其波动性和单个证券对其的敏感度。
[1] 感谢西北大学凯洛格管理学院的Andrew Kaplin、Ravi Jagannathan提供本例。
[2] 数学上，一个相关矩阵不能产生负的投资组合方差的性质，被称为正定性。