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传统的业绩评价理论
未知
传统的业绩评价理论
平均收益率
我们在第1章中定义了持有期收益率（HPR），并且解释了算术平均与几何平均的差异。设想我们根据一个投资组合5年内（即20个季度）的收益率评价其业绩，可以用这些收益率的算术平均作为对下一季度收益率的估计，同时也可以用几何平均收益率来进行估计。几何平均收益率是指可以产生相同累积回报的20个季度的连续收益率。因此，几何平均收益率可定义为：
等式右侧是1美元初始投资在5年观察期内20个季度收益率累计复利的终值。等式左侧是1美元初始投资以每季度rG累计复利的终值。由此我们可以解出1+rG（注：这个公式给出季度收益率的几何平均。当观测区间长度为h年（本例中为1/4）年复利定义为1+rGA=（1+rGh）1/h。一般T个观测值的h年化几何平均收益是1+rGA=。在本例中，季度观测值T=20，时间长度h=1/4年，1/hT=1/5，因此为了得到年化几何平均，我们应该对5年投资期间收益开5次方根。）：
在几何平均中，每一期的收益率权重相同。因此，几何平均收益率又被称为时间加权收益率（time-weighted average）。
为了可以更好地理解后面的复杂问题，我们先看一个简单的例子。考虑一只股票，每年支付股利2美元，当前市价为50美元/股。假如你现在购买该股票，获得2美元股利，然后在年底以53美元卖掉它，那么你的收益率是：
另一种计算收益率的方法是把投资转化为现金流贴现问题。设r为收益率，它能使投资所创造的所有现金流的现值等于初始投资。在本例中，股票以50美元购得，年底产生的现金流包括2美元（股利）加53美元（出售股票）。因此，解方程50=（2+53）/（1+r），也得到r=10%。
时间加权收益率与美元加权收益率
如果我们的投资已持续了一段时间，且在此期间，我们还向投资组合注入或抽回了资金，那么测算收益率就比较困难了。继续看我们的例子，假如你在第1年年末购买了第二股同样的股票，并将两股都持有至第2年年末，然后以每股54美元的价格售出。
那么你的总现金流为：利用现金流贴现法（DCF），令现金流入的现值与现金流出的现值相等，便可得到这两年的平均收益率
解得r=7.117%。
该值叫作内部回报率，也叫作美元加权收益率（dollar-weighted rate of return）。之所以称为“货币加权”，是因为第二年持有两股股票和第一年只持有一股股票相比，前者对平均收益率有更大的影响。
时间加权收益率（几何平均）是7.81%：
这里的美元加权收益率比时间加权收益率要小一些。原因是第二年的股票的收益率相对要小，而投资者恰好持有较多股票。
美元加权收益率和投资表现
每个家庭都面临着艰巨的储蓄目标，譬如孩子的教育和退休。这些目标中的一些能够储蓄避税，譬如IRAS或者401（k）退休计划和529大学费用计划。这些账户本身和其他家庭资产账户分离。
家庭在选择投资场所时有绝对的自由，并且家庭投资希望不时查看投资结果。他们应该怎么做呢？答案很简单，首先，家庭应该保留一份到期资金流入流出的电子账单。在这个设置中，任何投资期间的美元加权平均收益将产生有效的到期回报率。[1]
风险调整收益
评估投资组合的业绩，仅计算出其平均收益是不够的，还必须根据风险调整收益，这样，收益之间的比较才有意义。在根据投资组合风险调整收益的各种方法中，最简单、最普遍的方法是将特定基金的收益率与其他具有类似风险的投资基金的收益率进行比较。例如，可以把高收益债券组合归为一类，把增长型股票组合归为一类，等等。然后确定各项基金的平均收益（一般是时间加权平均收益），并在各大类中根据对比情况（comparison universe）对各项基金的相对业绩进行百分比排序。例如，在由100只基金组成的大类里，第9名的管理者排序为90%，表示在本期评估内其业绩比90%的同类竞争者要好。[2]下文专栏报告了先锋基金近期对于不同资产集合基准对比指数的修订内容。
这些排名通常编制成表进行公布，如图6-1所示。该表汇总了1个季度、1年、3年和5年四个评估期的业绩排名。图中每个长方形最上面和最下面的线分别表示位于5%和95%的管理者的收益率，中间的三条虚线分别表示位于75%、50%（中位数）和25%的管理者的收益率。菱形代表某一特定基金的平均收益率，方块代表市场基准指数的收益率，如标准普尔500指数。从菱形在格子中的位置就很容易看出该基金在对比情况下的经营业绩。
图6-1 同类对比（截至2010年12月31日）
在业绩评估中，与其他相同投资基金的业绩比较是第一步。然而，这些排名并不十分准确，甚至可能产生误导。例如，在某个特定的环境下，一些经理可能更注重投资组合中的某一部分资产，这样的投资组合特征就不再具有可比性。例如，在资本市场中，某个经理可能更关注高β值或快速增长的股票；类似地，在固定收益证券的情况下，不同的经理关注不同的久期。上述情况表明，寻求更精确的风险调整方式是相当有必要的。
因此，两种考虑风险调整的业绩评估方法同时出现了，它们是均值-方差比值标准和资本资产定价模型（CAPM）。杰克·特雷纳（Jack Treynor）[3]、威廉·夏普（William Sharpe）[4]和迈克尔·詹森（Michael Jensen）[5]立即认识到了CAPM在评估经营业绩上的特殊意义，随即，学者掌握了一系列业绩评估方法，学术界涌现出了大量对共同基金业绩评估的研究成果。之后不久，市场上又出现了一些代理人，他们为投资组合管理人和其他客户提供评级服务并收取固定回报。
华尔街实战
先锋基金调整22只指数基金的基准
先锋公司计划将6只国际股票指数基金的业绩跟踪基准转变为富时指数及16家美股和平衡指数基准。这一新的业绩基准由芝加哥大学证券价格研究中心（CRSP）开发。长期来看，业绩评价标准由当前MSCI到22只基金复合指数的转变预期会为基金持有人节约大量成本。
“富时和CRSP综合指数，全面覆盖多个市场，满足先锋基金对市场业绩基准‘最佳实践’的要求，”先锋首席投资官Gus Sauter如此说。
“我们同样看重客户的利益，因此与多家业绩基准单位达成了许可协议，长期以更加低廉的成本增加指数基金和ETF持有人财富。”通常，为获得授权需要付费给指数编制公司，而这一费用占投资者持有指数基金和ETF费用的比例在不断上升。Sauter指出，与富时和CRSP两家指数编制公司的长期合作协议将保证该项成本未来相当确定。
2009年，CRSP与先锋公司合作开发了多个新的可投资指数标的——CRSP系列指数。先锋基金将成为首家追踪CRSP业绩基准的投资公司。CRSP系列指数不仅涵盖了全美市场，还包括不同细分市值板块和风格组合，采用独特的市值加权方法，降低了股票在相近指数间变化引起的波动，分享在相同系列指数中的份额。这种方法在最大限度地提高风格纯度的同时降低了指数交易量。
16只先锋股票和指数平衡基金约有3670亿美元总资产规模，将跟踪CRSP基准，其中包括先锋最大的指数基金，即1970亿美元的先锋全股票市场指数基金。基金和ETF股份（股票代码：VTI）将从MSCI美国市场指数转换为CRSP美国全市场指数。
基准的变化将包括22类基金份额，包括ETF。这一转换可能会比较漫长，全部完成预计将历经数月。先锋美国股票指数基金将继续跟踪罗素和标准普尔基准，11只先锋行业板块股票基金继续追踪MSCI基准则不会做出调整。
资料来源：October 2，2012 © The Vanguard Group，Inc.，used with permission.
尽管得到了广泛的应用，各种风险调整的业绩测度指标有着各自的缺点。更重要的是，它们的可靠性依赖于相当长期的一致管理、稳定的业绩水平和富有代表性的投资环境（比如牛市和熊市）。但在实际操作中，我们往往需要在未能得到必要数据时就做出决定。
现在，我们列出一些经风险调整的业绩测度指标，并考察其适用的条件。
夏普比率：/σP 夏普比率（Sharpe’s ratio）是用某一时期内投资组合的平均超额收益除以这个时期收益的标准差。它测度了对总波动性权衡的回报。（注：我们在rP与rf上加上横线是要说明，由于在测度期无风险利率并不是不变的，因此我们要用样本的平均值。类似地，我们也可以用样本数据计算超额收益。）
特雷纳测度：/βP 与夏普比率指标类似，特雷纳测度（Treynor’s measure）给出了单位风险的超额收益，但它用的是系统风险而不是全部风险。
詹森α（投资组合α）：αP= 詹森α（Jensen’s alpha）是投资组合超过CAPM预测值的那一部分平均收益，它用到了投资组合的β值和平均市场收益，其结果即为投资组合的α值。（注：在很多例子中，投资表现评价都是基于多因子市场假设形成的。比如，当使用法玛-弗伦奇三因子模型时，詹森α是αP=-βPM（）-sP-hP，其中sP是SMB组合的加载，hP是HML组合的加载。多因子的特雷纳测度依然存在。）
信息比率：αP/σ（eP） 信息比率（information ratio）是用投资组合α除以该组合的非系统风险，也称为“循迹误差”。它测量的是每单位非系统风险所带来的超额收益。非系统风险指原则上可以通过持有市场上全部投资组合而分散掉的那一部分风险。
晨星风险调整收益：MRAR（γ）= 晨星比率（Morningstar rating）是超额收益的调和平均，收益率是t=1，…，T的月度观测值（注：（1+rt）（1+rft）数值近似于1加超额收益Rt。），γ衡量风险规避程度。高γ意味着对于风险的更多厌恶。对于共同基金，晨星比例中γ=2，这对于零散投资个体来说是较为合理的系数取值。MRAR可以被解释为由γ作为风险厌恶系数的投资者无风险等价组合的超额收益。
注：MARA测度是源于更复杂效用方程而不是第2章中均值方差方程的确定性等价的超额收益几何平均。效用方程叫作常系数风险厌恶函数（CRRA）。当投资者拥有CRRA效用函数时，资本配置并不会随着财富而增加。风险厌恶系数为A=1+γ，当γ=0（即A＝1），效用函数正好是超额收益的几何平均。
每一种指标都有其可取之处。由于各种经风险调整后收益指标在本质上是不同的，因此它们对于某一基金业绩的评估并不完全一致。
业绩的M2测度
虽然夏普比率可以用来评价投资组合的业绩，但其数值的含义并不那么容易解释。格雷厄姆和哈维提出了改进的夏普比率指标，并由摩根士丹利公司的利娅·莫迪利亚尼（Leah Modigliani）和她的祖父、诺贝尔经济学奖得主弗朗哥·莫迪利亚尼（Franco Modigliani）进行了推广。[6]他们的方法被命名为M2测度指标（表示莫迪利亚尼平方）。与夏普比率指标类似，M2测度指标也把全部风险作为对风险的度量，但是，这种收益的风险调整方法很容易解释特定投资组合与市场基准指数之间的收益率差额。
M2测度指标的计算方法如下：假定有一个管理投资基金P，当我们把一定量的国库券头寸加入其中后，这一经调整的投资组合的风险就可以与市场指数（如标准普尔500指数）的风险相等。如果投资基金P原先的标准差是市场指数的1.5倍，那么经调整的投资组合应包含2/3的基金P和1/3的国库券。我们把经调整的投资组合称为P*，它与市场指数有着相同的标准差（如果投资基金P的标准差低于市场指数的标准差，调整方法可以是卖空国库券，然后投资于P）。因为P和市场指数的标准差相等，所以我们只要通过比较它们之间的收益率就可以来考察它们的业绩。组合P的M2测度指标计算如下
【例6-1】 M2测度
利用下表中的数据，P的标准差为42%，而市场指数的标准差为30%。因此，调整后的投资组合P*可以由30/42＝0.714份的P和1-0.714＝0.286份的国库券组成。
某特定样本期内的数据如下：
图6-2 资产组合P的M2
请计算投资组合P与市场的下列业绩评估测度指标：夏普比率、詹森α、特雷纳测度、信息比率（假设此时国库券利率为6%）。在哪种测度指标下，投资组合P的表现要比市场好？
该组合的期望收益率为（0.286×6%）＋（0.714×35%）＝26.7%，比市场指数的平均收益率少1.3%。所以该投资基金的测度为-1.3%。
图6-2给出了M2指标的一个图形表述。当我们把组合P与国库券以适当比例组合的时候，就可以沿着P的资本配置线向下移动，直到调整后投资组合的标准差与市场指数的标准差相等。这时P*与市场指数的垂直距离（即它们期望收益率间的距离）就是测度。从图6-2中可以看出，当投资基金P的资本配置线的斜率小于资本市场线的斜率时，即它的夏普比率小于市场指数时，P的M2测度就会低于市场指数。
注：从图6-2中可以看出，实际上M2和夏普比率是直接相关的。用R代表超额收益，S代表夏普比率，图中显示RP*=SpσM，因此，
作为投资组合整体评价标准的夏普比率
假定珍妮·克莱斯构建了一个投资组合并持有了很长一段时间，在这期间她没有调整该投资组合的构成。进一步假定所有证券以日计算的收益率具有相同的均值、方差及协方差。这些假设与现实相距甚远。同时，它们对于理解传统业绩评估的缺点也是至关重要的。
现在我们试图评估珍妮手中投资组合的业绩。她是否选择了好的证券？这个问题包含了三层意思。首先，“好的选择”是和其他哪些选择比较得出的？其次，在两个明显不同的投资组合之间进行选择时，我们应该采用何种合适的标准来评价它们呢？最后，假如我们找到了合适的评价标准，是否存在一种方法，可以把该投资组合的基本获利能力和随机性的好运气分开？
本书的前几章主要是在讨论如何确定投资组合选择标准。如果投资者的偏好可以用一个均值-方差效用函数来描述，我们就能得到一个相对比较简单的评价标准。所用的效用函数为
式中，A表示个体风险厌恶的系数。采用均值-方差的偏好选择，珍妮就可以使夏普比率指标最大化，也就是使比率（［E（rP）－rf］/σP）最大化。在第3章中我们谈到，这种评价标准会让投资者选择有效边界切点的投资组合。现在摆在珍妮面前的问题就变成了如何找到具有最大夏普比率的投资组合。
两种情景下合适的业绩测度方法
对珍妮的投资组合选择做出评估前，首先要确定该投资组合是不是她的唯一的投资组合。如果不是，我们就还需要知道她其他的投资组合。投资组合评价标准的正确与否在很大程度上取决于该组合是不是她所有的投资工具，或者只是她全部财富中的一部分。
该投资组合代表珍妮所有的风险投资 在这种最简单的情况下，我们只需确定珍妮的投资组合是否具有最大的夏普比率。按照如下三步进行分析。
（1）假设证券的过去业绩就是其未来业绩的代表，这意味着证券在珍妮持有期间所实现的收益与珍妮预期证券未来收益的均值、协方差等特征是相同的。
（2）如果珍妮选择消极策略，如持有标准普尔500指数的投资组合，确定珍妮应选择怎样的投资组合作为标杆。
（3）把珍妮投资组合的夏普比率值与最佳投资组合的夏普比率值进行比较。
总的说来，当珍妮的投资组合就是她所有的投资时，与之比较的标准就应是市场指数或另一个特定的投资组合。业绩评估就是把实际的投资组合与所选定的标杆组合的夏普比率指标进行比较。
珍妮的投资组合只是她所有投资资金中的一部分 如果珍妮是公司的财务主管并管理着公司的养老基金，那么这种情况就可能发生了。她现在可以把整个基金划分为几个部分，然后分给一些投资组合经理。但她为了能重新调整基金的投资去向以期提高今后的整体业绩，必须评价每一位投资组合经理的业绩。正确的业绩评估指标应该是什么呢？
尽管α值是衡量业绩的基础，但仅仅这一个指标不足以确定P对组合的潜在贡献。下面的讨论说明了为什么在这种情况下，特雷纳测度是最为合适的标准。
夏普比率是平均超额收益（回报）和总标准差（投资组合总风险）的比值。它是资本市场线的斜率。然而，当雇用许多资产管理人进行组合管理时，非系统性风险被大大分散，系统性风险成为风险的相关测度。最合理的衡量表现的矩阵是由平均超额收益和β比值构成的特雷纳矩阵（因系统的SD=β·市场SD）。
根据相关数据得到表6-1，并据此结果得到图6-3。注意，我们是在期望收益-β平面（而非期望收益-标准差平面）上描出P、Q两点，这主要是因为我们假定P、Q只是总基金中众多子投资组合元素中的两个，因此，非系统风险就在很大程度上得到分散，最后只剩下β作为其合适的风险测度指标。图中证券市场线（SML）与P、Q的距离就是αP与αQ的值。
表6-1 投资组合业绩
①α＝超额收益-（β×市场超额收益）=。
如果我们把wQ的比例投资于投资组合Q，那么国库券中的投资比例即为wF=1－wQ，于是最终投资组合Q*的α值和β值就会由Q的α值、β值及比例wQ来决定
因此，所有如此生成的投资组合Q*就都可以在连接原点与Q点的直线上找到。我们把这条线称为T线，其斜率为特雷纳测度。
图6-3也显示了投资组合P的T线。P的T线显然更陡，尽管它的α值较低，但它应该是一个更佳的投资组合。在任意给定的β值下，P与国库券的混合投资组合会比Q与国库券的混合投资组合有更大的α值。
图6-3 特雷纳测度
【例6-2】 令β值相等
假设我们把Q与一定比例的国库券混合组成投资组合Q*，并使该组合的β值与组合P的β值相等。解出混合比例wQ
因此，投资组合Q*的α值为
它显然小于P的α值。
换句话说，在这种情况下，该投资组合T线的斜率就是其合适的业绩评估标准。投资组合P的T线的斜率TP可按下式计算
像M2测度一样，特雷纳测度也是一个百分比。当你把市场超额收益从特雷纳测度指标中减去后，你将会得到图6-3中的TP线收益与β=1时的证券市场线收益之差。我们把这个差称为特雷纳平方，或T2测度（类似于M2）。但请注意，正如夏普比率与特雷纳测度不同，M2和T2也是不同的。它们可能对相同的投资组合得出完全不同的排序。
α在业绩度量中的作用
掌握了一些代数知识之后，就可以得出前面介绍过的各种业绩度量方法之间的关系，如下表所示。
①r表示市场组合与P组合之间的相关系数，r＜1。
因为所有模型都要求α为正，所以α在业绩评估中使用得最为广泛。然而。对夏普比率来说，仅α为正并不能保证更好的组合业绩，因为利用证券的误定价意味着背离了分散化投资的原则，而这会引发一些成本。共同基金可以在增加标准差从而使夏普比率下降的情况下获得正α值。
业绩度量实例
在讨论了度量业绩的各种可行标准后，我们还须解决一个统计学的问题：我们能够利用事后的数据来评价事先决策的质量吗？在对这个问题集中讨论之前，先让我们看一下珍妮的投资组合在过去12个月中的收益率情况。表6-2列出了珍妮的投资组合P和她另一种可能的选择投资组合Q，以及市场指数M的每月超额收益。表6-2的最后几行是样本的均值和标准差。从这些数字以及P与Q对M进行的线性回归中，我们得到了进行业绩评估所必需的数据。
表6-2 投资组合P、Q和基准指数M12个月中的超额收益 （%）
表6-3中所列的业绩评估数据显示，投资组合Q比投资组合P更具冒险性，因为Q的β值（1.4）要明显地高于组合P的β值（1.40比0.70）。另外，从剩余标准差来看，投资组合P似乎要分散得更好一些（P为2.02%，Q为9.81%）。由于两个投资组合都具有较大的夏普比率（即正的M2测度）、正的α值以及更高的风险调整后收益，投资组合P、Q的表现都要好于市场指数标准。
表6-3 业绩评估数据
那么，从上述指标来看，到底哪一个投资组合更具吸引力呢？如果P或Q是珍妮的所有投资基金，Q应该更被看好，因为Q具有更高的夏普比率（0.49∶0.43）和更大的M2测度（2.66%∶2.16%）。对于第二种情况，即P、Q只是珍妮所有投资中的一部分时，Q也更胜一筹，因为它有更高的特雷纳测度（5.38∶3.97）。然而，当把P、Q这两种积极投资策略与消极的市场指数投资相结合时，由于P的信息比率高（0.81∶0.54），因此投资组合P要优于投资组合Q。所以，这个例子说明证券的业绩评估在很大程度上依赖于该证券组合在投资者所有资产中的作用与地位。
但是，上述分析只建立在短短12个月的数据之上，因此我们不能完全确定结论是否可靠。其实就算更长时间段的样本观察值也可能不足以使决策更清晰，因为这本身就是一个需要更加深入探讨的问题。
业绩操纵和风险调整收益
目前表现评价指标都基于每个时期收益率独立且来自同一分布的假设，即统计特性表现为收益率独立同分布。当薪酬与表现挂钩的管理人违背体系随意操作时，这个假设会从内部瓦解。即便对投资者有害，管理人也会使用能够改进表现衡量体系的策略。长此以往，管理人薪资也可能会与组合获利表现相脱钩。
管理人可以在给定投资期间内影响衡量表现的指标，因为他们可以观察到收益来源并据此相应调整组合。一旦这样，近期收益率将很大程度上取决于最初的收益率。
英格索、施皮格尔、高特斯曼和韦尔奇[7]展示了本章衡量投资表现被操纵的测度指标。唯一的特例是衡量表现操纵情况的测度指标晨星风险调整收益率。就像我们现在使用夏普比率的逻辑一样，晨星风险调整收益率模型的细节推导具有挑战性，但逻辑很直接。
正如第2章分析资本分配中减少无风险资产投资（借贷）并不会影响组合的夏普比率，即夏普比率在风险资产中所占比例y是相同的，因为保持夏普比率不变，超额收益、风险溢价以及标准差均和y成正比。但是如果y产生变动呢？如果在观察到投资表现之前决定改变投资杠杆率，夏普比率不受影响，因为两部分收益率不相关。
设想管理人已经在评价期内，虽然实现的超额收益在前期评价中并不知道，未来持续收益的分布也和过去相同，但整体夏普比率将会是某些（复杂的）前期已知和后期未知收益的平均。在后期操作中，提高杠杆将会增加平均表现的权重，因为不论好坏杠杆都会放大收益。因此，如果早期收益率表现不好[8]，管理人希望在之后的时间里增加杠杆。相反地，期初收益表现较好将会要求降低杠杆，增加期初时期的收益权重。如果期初收益非常好，管理人会将几乎全部组合投入无风险资产中。这个策略将导致前期和后期收益率负相关。
平均看来，投资者无法跑赢这类策略。杠杆套利效用是递减的，且它只有利于管理人，因为这一策略允许他们在观察到最初表现后在整个评价期内调整投资权重。[9]因此，投资者将会禁止或者至少打消追逐这类策略。然而，当仅有一个表现测度指标的时候，投资表现就是几乎不可能被操纵的。
一个可以证明操纵表现的测度指标（MPPM）必须满足四个要求：
（1）测度指标应该产生单值的分数可以进行排序。
（2）分数不依赖于组合的美元价值。
（3）无信息的投资者不应该期待与基准组合相背离来提升预期分数。
（4）测度应该与标准金融市场均衡条件相一致。
英格索等证明了晨星RAR满足这些要求，且实际上是可以证明操纵投资表现的测度指标（MPPM）。有趣的是，起初晨星推出MRAR的目的并不是MPPM，它只是尝试适应投资者的常系数风险厌恶函数。
图6-4a展现了基于统计模拟100个组合的夏普比率和MRAR散点图。对于组合36%的超额收益率是随机生成的，年预期收益7%，标准差在10%～30%变化。因此，这些拟合的共同基金真实夏普比率在0.7和0.23之间，均值为0.39。因为抽样变异，实际模拟中的100个夏普比率和总体参数有很大的不同。夏普比率在-1.02和2.46间波动，平均值为0.32。100个MRAR在-28%和37%之间波动，均值为0.7%。两个测度指标相关系数为0.94，说明夏普比率能很好地追踪MRAR，而散点也显示拟合点均紧密地分布在一条斜率为0.19的直线周边。
图6-4b（和图a一样是散点图）阐述了当最初组合投资表现被观察到，并允许杠杆变化操纵的效果。特别是在评估的中间36个月期间。[10]操纵的效果对于拥有极端价值组合的影响很显著。对于最初MRAR为正且较高的组合，向无风险投资转变可以防止前期高夏普比率被稀释或者在后期出现反转。对于最初MRAR为负担数值较高的组合，当杠杆率增加，我们会看到两种效应。首先，MRAR因为高杠杆效果适得其反相对于图a使得MRAR看起来更糟糕。与此相比，夏普比率在图a中看起来更好。一些夏普比率由负转正，然而其他看起来并没有更糟（因为后期标准差增加降低了负夏普比率的绝对价值）。
图6-4 MRAR计分与夏普比率在有控制与无控制下的相关性
图6-4b中数据数量化显示出夏普比率的改进。相反，MRAR却由正值减少到年收益-2.74%，而前后两期平均收益的相关性也从正变为负。这些均是由于杠杆从1.0增加为1.39所致。[11]
晨星2002年引入MRAR这个指标，它和那些管理人有极大自由和动机进行操纵的对冲基金特别相关。进一步的讨论可以参见第8章。我们希望未来MRAR测度能成为标准业绩表现统计量，帮助投资者筛选那些拥有较好投资决定权把控的管理人。
已实现收益与期望收益
在对某个投资组合进行评估时，评估者其实并不了解投资组合管理者对该投资组合最初的预期，当然更不清楚这些预期是否合理。他只能在事实发生之后观察投资组合的业绩，同时还希望随机干扰不会掩盖投资组合的真实收益能力。但事实上风险资产的收益是“白噪声”的，这无疑会使这个问题复杂化。为了避免这种错误，我们就必须定出该种业绩评估指标的“显著性水平”，以确定其是否可靠地反映了组合的实际获利能力。
假设现有一个投资组合管理者乔·达特，如果其资产组合的月α值为20个基点，那么显然他每年会有2.4%的α值（未计复利）。我们还假定乔的投资组合的收益具有固定的均值、β值和α值。这确实是相当严格的假设，但其实它们和一般情况下业绩指标的处理前提是一致的。我们再假定在评估期内该投资组合的β值为1.2，每月残差的标准差（非系统风险）为2%，如果市场指数的标准差为每月6.5%（每年22.5%），那么乔的投资组合的系统方差为
于是该投资组合和市场指数之间协方差的相关系数就为
这个数字表明该资产是高度分散化的。
为了从证券市场线上估计乔的投资组合的α值，我们把投资组合的超额收益对市场指数进行回归。假设我们通过线性回归幸运地估计出了方程的参数，那么对N个月内证券市场线的估计为
然而评估者在做线性回归时根本不知道真实数据是多少。因此，他还必须计算α估计值的t统计量，从而确定他是否应拒绝该投资组合α值为0的原假设（也就是该投资组合并没有更出色业绩的假设）。
在证券市场线回归中α估计值的标准差近似为
这里N是样本数，是样本非系统风险的估计值。α估计值的t统计量于是就应为
假定我们要求的显著性水平是5%，在这个显著性水平下，就应为1.96（若N能足够大）。把=0.2和=2代入式（6-2），解得N值为：
这说明什么？乔确实是一位才能出众的分析师，使用的例子是他喜欢的假设方式，即远离那些令人头痛的统计难题，假设参数在长期内不会改变，而且样本期内的“表现”也无可挑剔，回归估计结果全部令人满意。但这仍需要乔花去他一生的工作精力来证明其具有的出色能力。我们不得不得出结论，在实际工作中，统计数据的干扰性问题使得业绩评估工作变得尤为困难。
除上述难题外，由于基金经理的平均任期只有4.5年，这更加剧了业绩评估的不准确性问题。也就是说，就算你非常幸运地找到了一个对其未来表现非常有信心的基金，但它的经理也差不多或者已经离职了。下面华尔街实战讨论了这个问题。
华尔街实战
是否应追随基金经理
投资共同基金的初衷在于让专业人士帮你挑选股票和债券。但很多时候，天有不测风云——经理可能会退休、跳槽甚至死亡。投资者决定购买共同基金很大程度上取决于该基金经理的投资记录，因此这种变化往往会让人不安。
在经理离开后，事态发展并无定数。但是，事实证明经理对于基金表现的真实贡献往往被高估了。比如，晨星公司研究比较了1990～1995年有过经理更换和经理没有变动的基金表现，五年后的2000年6月，前五年间业绩最佳的基金继续超越了其他同行——无论这些基金有没有换过经理。而在前五年表现糟糕的基金不论是否更换经理，业绩依然不佳。共同基金公司无疑会继续推出明星经理并且宣传他们过去的投资记录，但投资者应当更加关注于基金本身的表现。
基金经理们过去三五年的投资记录促进了基金公司的发展。但是仅仅几年的业绩数据很难成为出众才智的有力证据。想要在统计上有显著性，一个经理至少要有十年以上的投资记录。
共同基金行业就像一个旋转木马，上面坐着不同的基金经理任你挑选，但是投资者不必担心。从设计上来说，基金经理离开后几乎不会对共同基金产生影响。这是因为为了降低风险和一系列困扰，共同基金通常是由各自管理着一小部分资产的股票挑选人团队共同管理的，并非由单独一个经理和他的副手管理。与此同时，即使是所谓明星经理身边也有一大批研究人员和分析师，他们充当了和上报纸头条上的经理同等重要的作用。
别忘了，即使经理离开了，投资还在那里，持有的基金并没有改变。这和一家公司的CEO离开引起股价下跌是不同的。最好的做法就是密切关注一切可能影响基金基本投资质量变化的因素。
进一步说，不要低估了基金公司“经理板凳”（managerial bench）的宽度和广度，通常来说，大型的基金公司都有大型人才储备。他们也清楚当经理变动时，投资者倾向于离开基金。
最后，对于担心管理人变动的投资者，这里有一个解决方案——指数基金。指数基金并不依赖于明星经理，这种共同基金通过购买股票和债券来跟随某个目标指数，如标准普尔500指数。在这种情况下，经理是否离开不再重要。与此同时，指数投资者也就省去了当经理离开时撤离基金所要缴纳的税款。更重要的，指数投资者不需要为明星经理高昂的工资买单。
资料来源：Shauna Carther，“Should You Follow Your Fund Manager？”Invesopedia.com，March 3，2010.Provided by Forbes.
[1] Excel函数XIRR允许你在任何日期输入总数。给出初始值、期间不同日期的现金流（付款代表正现金流，提款代表负现金流）和终值，Excel函数可以计算两个日期间的IRR值。
[2] 我们研究了部分共同基金样本的α值分布。发现从这些样本中得出来的任何结论都存在存活者偏差，因为如果基金破产了就将被踢出样本组。在本章中，重点讨论单个基金业绩的评估方法。当选准一只基金后，就不存在存活者偏差了。但是做比较时的样本组一定要排除存活者偏差，一个只由幸存基金组成的样本组必然比基准组业绩更好，而相对表现比任何个别基金更差。
[3] Jack L.Treynor，“How to Rate Management Investment Funds，”Harvard Business Review 43（January-February1966）.
[4] William F.Sharpe，“Mutual Fund Performance，”Journal of Business 39（January 1966）.
[5] Michael C.Jensen，“The Performance of Mutual Funds in Period 1945-1964，”Journal of Finance，May 1968；and“Risk，the Pricing of Capital Assets，and the Evaluation of Investment Portfolios，”Journal of Business，April 1969.
[6] John R.Graham and Campbell R.Harvey，“Market Timing Ability and Volatility Implied in Investment Advisors′（6-1）Asset Allocation Recommendations，”National Bureau of Economic Research Working Paper 4890，October 1994.该论文中关于风险调整收益的部分最终发表于“Grading the Performance of Market Timing Newsletters，”Financial Analysts Journal 53（November/December 1997），pp.54-66.Franco Modigliani and Leah Modigliani，“Risk-Adjusted Performance，”Journal of Portfolio Management，Winter 1997，pp.45-54.
[7] Jonathan Ingersoll，Matthew Spiegel，William Goetzmann，and Ivo Welch，“Portfolio Performance Manipulation and Manipulation Proof Performance Measures，”Review of Financial Studies 20（2007）.
[8] 那些不能加杠杆的管理人会转而投资高β股票。如果这是个广泛现象，就可以解释为什么高β股票相对于低β股票定价更高。
[9] 降低操纵行为的方法是频繁的评价组合表现，但同时也会降低测度指标的统计精确性。
[10] 为了让练习更贴近实际，杠杆率设定为2（资产负债率为1）。
[11] 100个基金中，杠杆比率在38个投资组合中降低。至少1/7的组合杠杆率增加，1/12的组合杠杆率不仅出现增加，而且在不考虑市值时会增加更多。