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利率风险
未知
利率风险
我们知道债券价格与其收益之间存在反向关系，并且我们也知道利率会有大幅波动。随着利率的涨跌，债券持有人会有资本利得和损失。这些利得和损失使得固定收益投资具有风险性，即便利息和本金支付有保障，例如国债。
为什么债券价格会对利率波动做出反应？需要记住的是，在竞争市场中所有证券给投资者的期望收益率应该是相当的。当债券发行的票面利率是8%，而市场的竞争性收益率也是8%时，债券将以面值出售。但是，如果市场利率升至9%，那么还有谁会以面值来购买利率为8%的债券呢？这时债券价格一定会下跌，直到它的期望收益率上升至具有竞争力水平的9%为止。相反，如果市场利率下跌至7%，相对于其他投资的收益而言，这种票面利率为8%的债券会更具吸引力。于是，渴望得到这种收益的投资者会抬高债券价格，直到高价购买债券的人获得的总收益率不再高于市场利率。
利率敏感性
债券价格对市场利率变化的敏感性对投资者而言显然十分重要。为深入了解利率风险的决定因素，可以参见图5-1。该图表示了票面利率、初始到期收益率和期限互不相同的四种债券，当到期收益率变化时，债券价格相应的百分比变动。所有这四种债券都表明，当收益率增加时，债券价格下降，并且价格曲线是凸的，这意味着收益下降对价格的影响远远大于相同程度收益增加对价格的影响。我们将这些性质归结为以下两点：
（1）债券价格与收益成反比：当收益升高时，债券价格下跌；当收益下降时，债券价格上升。
（2）债券的到期收益率升高导致其价格变化的幅度小于等规模的收益下降导致其价格变化的幅度。
图5-1 作为到期收益率变化的函数的债券价格变化
比较债券A和B的利率敏感性，除到期时间外，其他参数均相同。图5-1表明债券B比A期限更长，对利率更敏感。这体现出另一基本性质。
（3）长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。
这不足为奇。例如，如果利率上涨，由于现金流以更高的利率水平贴现，则债券的价值会有所降低。越是远期的现金流，提高贴现率的影响会越大。
值得注意的是，当债券B的期限是债券A的期限的6倍时，它的利率敏感性却比债券A大不了6倍。尽管利率敏感性随到期时间延长而增加，但却不是按到期日延长的比例增加的。因此，我们有了第四条性质。
（4）当债券期限增加时，债券价格对收益率变化的敏感性增加，但增速递减。换句话说，利率风险变动小于债券期限变动。
债券B和C，除票面利率之外，其他参数均相同，这时表现出另一特征。票面利率较低的债券对市场利率变化更敏感。这体现出债券价格的一个普遍性质。
（5）利率风险与债券票面利率成反比。低票面利率债券的价格比高票面利率债券的价格对利率变化更敏感。
最后，债券C和D，除债券的到期收益率之外，其他参数均相同。债券C具有更高的到期收益，对收益变化的敏感性更低一些。这样，可以得到最后一个性质。
（6）债券价格对其收益变化的敏感性与当期出售债券的到期收益率成反比。
前五条性质曾被马尔基尔[1]所论证，有时被称为马尔基尔债券定价关系。第六个性质被霍默和利伯维茨[2]论证。
期限是利率风险的主要决定因素。但是，期限本身不足以测度利率的敏感性。例如，债券B和C（见图5-1）的期限相同，但是较高票面利率的债券对利率变化有着较低的价格敏感性。显而易见的是，我们不能仅靠债券期限来量化其利率风险。
为理解票面利率或到期收益率等债券特征为什么会影响利率敏感性，我们从一个简单的数字实例开始讨论。表5-1提供了不同到期收益率和期限为T的半年票面利率为8%的债券价格。其中，利率表示为年百分率（APR），即将半年收益率翻倍，以获得约定的年化收益率。当利率从8%上升至9%时，最短期限债券的价值下跌小于1%，10年期债券下跌6.5%，而20年期债券下跌9%以上。
表5-1 票面利率为8%的债券价格（半年付息一次）
①到期收益率为9%的等值债券除以（初始）收益率为8%的债券，再减去1。
让我们现在来看看类似的例子，不过这次不是票面利率为8%的债券，而是零息债券，结果见表5-2。请注意，对于每种期限，零息债券价格的下降比例大于票面利率为8%的债券。因为我们知道长期债券比短期债券对利率变动更为敏感，所以这一观察表明，在某种意义上，零息债券代表一个期限更长的债券，而不是期限相同的息票债券。
表5-2 零息债券价格（半年计一次复利）
①到期收益率为9%的等值债券除以（初始）收益率为8%的债券，再减去1。
实际上，这种对有效期限的洞察力对我们进行数学上的精确计算是十分有用的。首先，注意在此例中两只债券的期限并非债券长期与短期特征的准确度量。票面利率为8%的20年期债券有多次利息支付，其中大部分是在债券到期之前进行的。每次支付都可以认为有它自己的“到期日”。因此，债券的有效期限是所有现金流的某种平均到期时间。相比较而言，零息债券只在到期时进行一次支付。因此，它的到期时间是一个明确的概念。
较高票面利率债券价值的很大部分与息票紧密联系，而不是与最终支付的票面价值相联系。所以，“息票资产组合”倾向在较早、短期支付上赋予更大的权重，它导致息票债券的“有效期限”较短。这解释了马尔基尔提出的第五个性质，即价格敏感性随票面利率而下降。
相似的逻辑可以解释第六个性质，价格敏感性随到期收益率上升而下降。较高的收益降低了所有债券偿付的现值，对较远期偿付而言，情况更是如此。因此，在收益较高的情况下，债券价值的较大部分来自其较早的支付。较早的支付具有较低的有效期限和利率敏感性。于是，债券价格对收益变化的整体敏感性就较低。
久期
为了解决债券多次支付的“期限”含糊不清的问题，我们需要一种测度债券发生现金流的平均期限的方法。我们也可以使用此方法来测量债券对利率变化的敏感性，因为我们知道价格敏感性会随到期期限的增加而增大。
弗雷德里克·麦考利[3]把有效期限概念定义为债券久期。麦考利久期（Macaulay’s duration）等于债券每次息票或债券本金支付时间的加权平均。每次支付时间相关的权重都应当与该次支付对债券价值的“重要性”相联系。实际上，每次支付时间的权重应该是这次支付在债券总价值中所占的比例。这个比例正好等于支付的现值除以债券价格。
权重wt与在时间t所发生的现金流（标注为CFt）有关，表示为：
式中，y代表债券到期收益率。公式右边的分子代表在时间t所发生现金流的现值，分母代表债券所有支付的值。这些权重的和为1.0，因为以到期收益率贴现的现金流总额等于债券价格。
用这些值来计算所有债券支付时间的加权平均，就可以得到麦考利久期公式，表示为：
作为公式（5-1）的应用，在表5-3中可以得到票面利率为8%的付息债券和零息债券的久期，两种债券都是2年期。假设到期收益率均为10%，或半年5%。B栏中显示周期（半年）的每次支付的贴现率为5%。每次支付期限（F栏）的权重等于该时点的支付现值（E栏）除以债券价格（E栏中的现值总额）。
表5-3 计算两种债券的久期（栏中的总额遵从化整误差）
G栏的数字是支付期限和支付权重的乘积。每个乘积都是式（5-1）中相应的一项。根据公式，我们可以把G栏的数字相加计算出每一债券的久期。
零息债券的久期正好等于到期时间，即2年。这很好理解，因为仅有一次支付，而支付的平均期限必须是债券的期限。相比较，2年期债券的久期稍短一些，为1.8852年。
表5-4用来说明生成表5-3中所有内容的公式。表的输入（详细说明债券支付的现金流）在B～D栏中给出。在E栏中，我们用假设的到期收益率来计算每次现金流的现值。在F栏中，我们求出式（5-1）中的权重。在G栏中，我们计算支付期限和支付权重的乘积。所有这些数据都对应式（5-1）的计算中所需的数据。在单元格G8和G14中所计算得到的总额就是每个债券的久期。
表5-4 计算久期的电子数据表公式
久期之所以是固定收益投资组合的关键概念至少有三个原因：首先，它是资产组合有效平均期限的简单归纳统计；其次，它已经被证明是资产组合规避利率风险的一种基本工具，这些将在后面探讨；最后，久期是资产组合利率敏感性的一种测度，这是需要在此探讨的内容。
我们已经知道债券价格的利率敏感性通常随着其债券期限的增加而增加。久期的测度能够量化这种关系。具体而言，当利率变化时，债券价格的变化率与其到期收益率的变化是相关的，可用公式表达如下：
债券价格的变化率等于债券久期乘以（1+债券收益率）的变化率。
实践者运用式（5-2）时，在形式上略有不同。他们将修正久期（modified duration）定义为D*=D/（1+y），这里Δ（1+y）=Δy，于是式（5-2）改写为：
债券价格的变化率正好是修正久期和债券到期收益率变化的乘积。因为债券价格的变化率与修正久期成比例，所以修正久期可以用来测度债券在利率变化时的风险敞口。实际上，下面可以看到，式（5-2）或等效的式（5-3），对于债券收益率的大幅度变化仅仅是近似有效的。只在考虑较小或局部的收益率变化时，这种近似才变得准确。
注：对于债券收益变化，学习微积分的人会认识到修正久期和所得的债券价格成比例。对于收益的较小变化，式（5-3）可以重写成：
这样，在现价的相邻位置，它给出了债券价格曲线的斜率测度。实际上，式（5-3）可以根据y演化出以下的债券定价公式：
式中，CFt是在日期t支付给债券持有人的现金流。CFt代表到期日之前的利息支付。
【例5-1】 久期
表5-1中，考虑2年期、票面利率为8%且半年支付一次的债券，其出售价格为964.54美元，到期收益率为10%，该债券的久期是1.8852年。为进行比较，考虑以下零息债券，其期限和久期都是1.8852年。正如在表5-3中看到的，因为债券利息每半年偿付一次，最好把半年定为一个周期。于是，每一债券的久期是1.8852×2＝3.7704个（半年）周期，且每一周期的利率是5%。因此，每一债券的修正久期是3.7704/1.05=3.591个周期。
假定半年利率从5%上涨至5.01%。根据式（5-3），债券价格应该下降：
现在直接计算每一债券的价格变化。息票债券的初始销售价格是964.540美元。当收益涨至5.01%时，价格下降到964.1942美元，下降了0.0359%。零息债券的初始卖价是1000/1.053.7704=831.9704美元。收益率更高时，它的卖价为1000/1.05013.7704=831.6717美元。价格下降了0.0359%。
结论是：相同久期的债券实际上利率敏感性相同，并且价格变化百分比（至少对于收益变化小的债券而言）等于修正久期乘以收益变化。（注：注意例5-1的另一层含义：我们从例子中可以看到当债券采取一年两次付息时，将每次支付周期定为半年是很合适的。这也就说明我们可以将麦考利久期与（1+半年到期收益率）相除来修正久期的计算，这个除数通常又写作（1+债券等值收益率/2），一般来讲，如果一只债券每年n次付息，修正久期与麦考利久期的关系可表示为D*=D/（1+yBEY/n）。）
什么决定修正久期
我们在前面列出的马尔基尔债券价格关系，给出了利率敏感性的决定因素。久期使我们能够量化敏感性，例如，如果我们在利率上投机，久期将告诉我们这个赌注有多大。反之，如果我们想对利率保持“中性”，且仅与所选债券市场指数的利率敏感性相匹配，则通过久期我们可以测量这一敏感性，并在组合中模拟。正因为如此，了解久期的决定性因素至关重要。因此，在这一小节里我们总结出几项有关久期最重要特性的“法则”。债券价格对市场利率变化的敏感性受到三个方面因素的影响：到期时间、票面利率和到期收益率。
我们已经建立了如下法则：
久期法则1：零息债券的久期等于它的到期时间。
我们已经看到息票债券比相同期限零息债券的久期短，因为最后支付前的一切息票利息支付都将减少债券的加权平均时间。这说明了久期的另一个一般性质。
久期法则2：到期时间不变，当息票率较高时，债券久期较短。
这一性质与马尔基尔的第五条关系相对应，它可归因于早期息票支付对债券支付平均期限的影响。票面利率越高，早期支付权重也越高，且加权支付平均期限就越短。换言之，债券总值的较高部分与较早的利息支付密切相关，这种较早的利息支付对于收益率不太敏感。在图5-2中，比较票面利率为3%和15%的债券久期图，它们的收益率相同且都是15%。票面利率为15%的债券久期曲线位于票面利率为3%的债券相对应的久期曲线之下。
图5-2 债券久期与债券期限
久期法则3：如果票面利率不变，债券久期通常会随着期限增加而增加。债券以面值或者超出面值销售，久期总是随期限增加而增加。
久期的这一性质与马尔凯的第三条关系相对应，非常直观。奇怪的是久期不会总是随期限增加而增加。对于贴现率很高的债券（见图5-2中3%票面利率的债券），随着期限增加，久期最终会下降。然而，事实上所有可以交易的债券都可以安全地假定久期随到期时间的增加而增加。
注意在图5-2中，零息债券的期限和久期是相同的。但是对于息票债券，到期时间增加一年时，它的久期增加却少于一年。在图中久期的斜率小于1.0。
虽然到期时间长的债券通常是长久期债券，但是久期可以更好地说明债券长期的性质，因为它还考虑了债券的支付情况。只有在债券不支付利息时，到期时间才是一个准确的数据，这时，期限和久期是相等的。
同时注意在图5-2中，当它们以不同的到期收益率出售时，两种利率为15%的债券有不同的久期。较低收益率的债券，久期更长。这是可以理解的，因为收益越低，债券支付期越远，其现值就越大，而且它在债券总值中占的比例也越大。于是，在加权平均计算久期的过程中，远期支付的权重更大，导致测量出来的久期更高。这就确立了久期法则4。
久期法则4：保持其他因素都不变，当债券到期收益率较低时，息票债券的久期会较长。
我们上面已经提到，这个性质给人的直观感受是，较高的收益率降低所有债券支付的现值，同时会较大幅度地降低远期支付的价值。因此，在收益率较高时，债券总值的更多部分依赖于它的早期支付，这样就降低了有限期限。法则4就是上述债券定价关系中的第六条，适用于息票债券。当然，对于零息债券，久期等于到期时间，与到期收益率无关。
最后，我们给出永久期限债券的久期公式。该公式源于式（5-1）给出的久期公式并与其一致，但是对于无数的现存债券而言，这一公式使用更为便捷。
久期法则5：终身年金的久期是：
例如，当收益率为10%时，每年支付100美元的终身年金的久期为1.10/0.10=11年，但是当收益率为8%时，久期为1.08/0.08=13.5年。
式（5-4）表明，期限和久期的差别可以非常显著。终身年金债券的到期时间是无限的，然而当收益为10%时，它的久期只有11年。年金早期现金流的现值加权对于久期的计算起决定性作用。
注意在图5-2中，当到期时间变长时，收益率为15%的两种息票债券的久期将收敛于有相同收益率的终身年金的久期，即7.67年。
息票债券的久期公式有点乏味，且像表5-3那样的电子数据表用来修正不同期限和票面利率时会很麻烦。此外，它们假定债券处于利息支付周期开始的阶段。幸运的是，电子数据表程序，如Excel，给出了处于利息支付期间的债券公式的概括。表5-5演示如何利用Excel计算久期。
表5-5 运用Excel函数计算久期
利用Excel日期函数DATE（year，month，day），在单元格B2和B3中输入支付日期，例如今天的日期和到期日。在单元格B4和B5中以小数形式输入票面利率和到期收益率。在单元格B6中，输入每年的支付周期。单元格B9和B10中显示麦考利久期和修正久期。该电子数据表表明，在表5-3中的债券久期确实是1.8852年。这只两年期债券并没有确定的支付日期。我们将支付日期任意定为2000年1月1日，到期日正好是两年后。
可交易债券的久期变化范围很大。假定几种债券为半年支付的息票债券且半年收益率为4%，表5-6给出了表5-5计算出的久期。注意久期随着票面利率增加而变短，并一般随到期时间增加而增大。根据表5-6和式（5-2），如果利率从8%上升至8.1%，票面利率为6%的20年期债券的价值会下降约10.922×0.1％/1.04=1.05%，然而票面利率为10%的1年期债券的价值仅仅下降0.976×0.1％/1.04=0.094%。[4]同时注意表5-6中，对于无期限债券而言，久期与票面利率无关。
表5-6 债券久期（到期收益率=8%APR；半年票面利率）
[1] Burton G.Malkiel，“Expectations，Bond Price，and the Term Structure of Interest Rates，”Quarterly Journal of Economics 76（May 1962），pp.197-218.
[2] Sidney Homer and Martin L.Liebowitz，Inside the Yield Book：New Tools for Bond Market Strategy（Englewood Cliff，NJ：Prentice Hall，1972）.
[3] Frederick Macaulay，Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates，Bond Yields，and Stock Prices in the United States since 1856（New York：National Bureau of Economic Research，1938）.
[4] 注意债券每半年付息一次，我们使用的是名义上的半年期到期收益率（即4%）来计算修正久期。