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指数模型在组合管理中的实际应用
未知
指数模型在组合管理中的实际应用
本节讨论的基调表明在投资组合管理实际运用中指数模型是受欢迎的。从马科维茨模型转到指数模型是一个重要的决定，因而第一个问题就是指数模型比马科维茨全协方差模型差吗？
指数模型比全协方差模型差吗
这个问题类似一般关于简约模型的价值问题。做一个类比，我们通过在回归方程中增加解释变量来考查这个问题。我们知道增加解释变量在大多数情况下会增加R2，不会使R2下降。但是这不一定就意味着它是一个更好的回归方程（注：调整后的R2可能会下降，增加的变量并没有足够的解释力量来弥补额外的自由度。）。一个更好的标准是看回归方程的预测能力。一个值得注意的问题是增加一个有利于对样本内解释能力的变量是否有利于样本外的预测精确性。增加变量可能增加显著性，但同时对预测精确性是不利的。换句话说，包含自变量不多的简约模型常常有优越性。预测因变量的值依赖两个因素：系数估计的精确性和自变量预测的精度。当我们增加变量时，这两个精确性都会受损。
用完全分散化的马科维茨模型或多指数模型来代替单指数模型时，这个问题也会出现。增加一个指数需要预测该指数组合的风险溢价和各证券对新指数的β值。与单指数模型相比，马科维茨模型在资产协方差结构上更灵活。但如果不能在任何置信度下估计协方差，这个优势是不现实的。运用全协方差矩阵需要估计数以千计的风险值，即使在原理上马科维茨模型更好，但是太多的估计误差累计对投资组合的影响可能导致其实际上劣于单指数模型推导出来的投资组合。
相比全协方差模型潜在的优越性，单指数模型框架的实际好处非常明显。它的另一个决定性优点是分解了宏观分析和证券分析。
行业指数模型
无疑，指数模型吸引了行家的关注。因为它接近有效，为证券分析提供了一个方便的基准。
一个没有证券特别消息或内部信息的投资经理会认为证券的α值为0。按照式（4-9）将预测这个证券的风险溢价等于βiRM。如果就总收益预测重新表述，则：
一个预测市场指数收益E（rM）并观测无风险短期国债收益率rf的投资经理能运用这个模型决定任何证券的基准期望收益。β系数、市场风险、公司特有风险σ2（e）都可以从历史证券特征线中估计得到，也就是说从证券超额收益对市场指数超额收益的回归中得到。
很多地方可以得到这些回归结果，或称“β指引”，表4-6是一个例子。它一般使用标准普尔500指数作为市场组合的代理，运用最近60个月的观测值去计算回归参数，并在回归中使用总收益而非超额收益。在这种方法下，他们的估计用一个变形的指数模型：
而不是：
为了理解这个变形的影响，把式（4-27）变为：
比较式（4-26）和式（4-28），会看到如果在样本期rf是一个常数，这两个公式有相同的自变量rM和残差e，因此两个回归方程中的斜率系数是相同的。（注：实际上，rf是随时间变化的，然而，rf的变动和股票市场变动相比太小，对于β估计微不足道。）
表4-6中的β刻画的截距项α实际上是α+rf（1-β）的估计量。如果要保证这一计算过程合理，则需要保证rf（1-β）在以月度计算的基础上非常小，且相对于股票收益率的波动而言可以忽略不计。但注意到β≠1，当式（4-27）中使用超额收益率时，式（4-26）的回归截距并不等于指数模型的α。
切记这些α值是事后的估计值，并不是说可以事前预测出这些α值。事实上，证券分析博弈本质上是在事前预测α值。一个好的组合做多未来α值为正的股票，做空未来α值为负的股票，这样才会打败市场。
表4-6的其他数据和讨论惠普时所用的表4-3基本相同。回忆R2，这里看到对于大多数公司R2低于0.5，意味着股票的公司特有风险超过系统风险，也说明分散化的重要性。
残差标准差一列是回归残差的标准差，或称回归的标准误差，就像Excel，“β指引”也包含α、β估计的标准误差，便于评估估计的准确性。注意到α的标准误差偏大。
Intel的残差标准差为6.27%，R2为0.369，这说明（e）=6.272=39.31，因为R2=1-σ2（e）/σ2，可以计算英特尔的总标准差为：
这是英特尔样本期的月度标准差，所以年化后标准差为7.89＝27.33％。
最后一列称作调整后β，调整β值的动机是：在整个期间，平均而言股票的β值似乎有向1变动的趋势。对这种现象的一个解释来自直觉。企业通常生产特定产品提供特定服务。通过采用不同的方法，一个新的公司可能和老公司相比有很多不一样的地方，比如从技术到管理风格。然而随着公司的成长，一个公司通常会分散化经营，首先是扩大到其他相似产品，后来进行更多样化的经营。当公司变得越来越传统，它开始与经济中的其他成分越来越相似。因此β值有向1变动的趋势。
表4-6 市场敏感度统计数据：2004~2008年60个月的股票总收益对标准普尔500指数收益
资料来源：Compiled from CRSP（University of Chicago）database.
另一种统计解释是：我们知道所有证券的平均β值等于1，因此在估计一个证券的β值之前，最好的预测就是其β值等于1。当在一个特定样本期间估计β值时，保留了一些样本误差，β值和1差距越大，存在估计误差的可能性越大，随后则更容易趋向于1。
样本期间，β系数的估计是我们最好的猜测。然而，给定β值向1的变化趋势，未来β系数的预测应当顺势调整。
表4-6简单地调整了β估值。[1]方法是取样本β估计值和1进行加权：
【例4-1】 调整β
表4-6中的60个月间，Intel的β是1.6，因此它的调整β是1.4，向1前进了1/3。
没有Intel的更多信息，如果我们估计市场指数收益为10%，短期国债为4%，从“β指引”中我们得到：
样本期回归α值为-1%。因为Intelβ大于1，所以指数模型估计的α更大一些。如同式（4-28），需要减去（1-β）rf才能得到指数模型的α。在任何情况下，α的标准差为0.81%，α的估值远小于标准差的2倍，所以无法拒绝α为0的原假设。
预测β
调整后的β可以用来理解历史数据估计的β值不是未来β的最好估计：β有向1移动的趋势，这意味着我们可能要为β构建一个预测模型。
一个简单方法是收集在不同期β的数据，然后估计回归方程：
得到a和b的估计值，就能运用该公式来预测未来的β值
然而，何必限制用这么简单的方法去预测β值，而不研究其他财务变量在预测β值方面的有效性呢？比如，如果相信公司规模和负债比率是β值的两个决定因素，把式（4-30）扩充为：
现在利用a、b1、b2和b3的估计值来预测未来的β值。
该方法被罗森伯格和盖伊[2]使用，他们发现下列变量有助于预测β。
（1）收入变量
（2）现金流变量
（3）每股收益增长率
（4）市值（公司规模）
（5）股息收益
（6）资产负债比率
罗森伯格和盖伊也发现通过控制一个公司的财务特征值，行业类型有助于预测β。例如，他们发现金矿开采行业的平均β值比单独使用财务特征预测得到的估值低0.827。这并不奇怪，对金矿开采行业-0.827的β值调整反映出金价和市场收益是相反变动的。
表4-7 行业β和调整因素
专栏华尔街实战描述了有关α的赌局。
华尔街实战
关于α的赌局
对于相信有效市场的人来说，最近交易所交易基金（ETF）数量近年来快速增长可以看作是铁证。ETF是追踪某一特定指数的证券组合，它通常要收取一定百分比的管理费。它们允许投资者以低成本的方式投资于一个涵盖国际权益市场、政府和公司债市场，以及商品市场等广泛的投资组合。
但随着ETF的资产和指数基金的增长，行业中的另一个部门却发展得更加迅猛。精算公司Watson Wyatt估计包含对冲基金和私募投资等的“另类投资”（alternative investment）在2005年增长了20%，为1.26万亿美元。进行这项投资的人要支付更高额的管理费并期望获得一个更好的收益。一个增长最快的资产类别——对冲基金的基金，收取的管理费最高。
为什么人们要支付高昂的管理费呢？部分原因是投资者已经可以区分市场收益率、β（系统性）风险和经理人绩效（以α来度量）。“为什么不对β和α分开定价呢？”Hendenrson全球投资者（一个基金管理公司）的Arno Kitts问道。“β是一种商品而α则是一种技术。”
没有一家公司擅长所有的投资领域。这导致了一种“核心和卫星”的模式，在这种模式下，资产的一部分投资于盯住某种指数的投资组合，而另一部分则交给某些领域的投资专家。但这样也会造成一些问题。独立经理人之间的关系相对简单，然而要研究和监督专业投资者的行为就很困难了。这将导致中间人的产生，即经理的经理（传统的机构业务中）和基金的基金（在对冲基金行业），从而提高管理费用。
管理费用的存在也许暗示着投资者能够预先识别老练的基金经理人。但是，研究表明这是非常困难的。而且，即便投资者能识别有能力的经理人，这些超额的业绩也将反映在管理费的提高中。“一个不成比例的α收益将给经理人而非客户。”Schroders的资产经理人Alan Brown说道。
在任何情况下，投资者都很有可能去追寻α收益，即使存在如ETF和盯住基金等更便宜的另类投资。华信惠悦咨询公司（Watson Wyatt）的Craig Baker说道，虽然不是每个人都能找到超过市场收益的投资机会，但找到这些机会的那些人将具有先行优势。只要这样一种信条存在，经理人就能收取高额的管理费。
资料来源：The Economist，September 14，2006.Copyright © The Economist Newspaper Limited，London.
指数模型和跟踪证券组合
假设投资经理相信自己找到了低估的组合。他的证券分析团队估计了这一组合超额收益的指数模型方程（用标准普尔500指数）并得到以下估值：
因此，组合的α值为4%，β值为1.4。这个经理相信其证券分析的质量，但是担心近期大市的业绩。如果购买该组合而市场整体下滑的话，投资依然有可能亏损，即使组合的价值相对被低估。他想要一个可以利用其证券分析但又独立于市场的组合。
为了这个目的，可以建立一个跟踪证券组合（tracking portfolio，T），组合P的跟踪证券组合是为了配对组合P收益中的系统部分。核心理念是以这个组合去跟踪组合P收益中对市场敏感的部分。这意味着跟踪组合要有和P一样的β值，但是非系统风险越小越好。这一过程也称为β捕捉。
投资组合P的跟踪组合将有一个标准普尔500指数的杠杆头寸，目的是使得它的β值达到1.4。因此，T包含1.4权重的标准普尔500指数和-0.4权重的短期国库券。因为T由标准普尔500指数和短期国库券构建，因此其α值为0。
现在考虑购买投资组合P，但同时通过做空跟踪组合T来消除系统风险，组合T消除了投资组合P多头头寸的系统性风险敞口：整个组合头寸是市场中性的。因此，即使市场表现不好，这一组合也不会受影响。但是组合P的α值保持不变。最终组合C，每美元的超额收益为：
这一组合仍然是有风险的（残差风险eP），但是系统性风险被消除了，而且如果P是合理分散化的，其系统性风险也会很小。从而实现了目标：投资经理锁定4%的α，但消除了系统性风险敞口。这一分离寻求α和选择系统性风险敞口的过程称为α搬运。
这一“多头-空头策略”是很多对冲基金的行为特征。对冲基金经理找到被低估的证券并试图进行纯赌博。他们对冲掉所有外在的风险，只是对察觉到的α下注。跟踪组合是对冲不需要的风险敞口时常用的方法。对冲基金经理使用指数回归的方法或其他更复杂的变形来创建跟踪组合，这是对冲策略的核心。
[1] 更复杂的方法见Oldrich A.Vasicek，“A Note on Using Cross-Sectional Information in Bayesian Estimation of Security Betas，”Journal of Finance 28（1973），pp 1233-39。
[2] Barr Rosenberg and J.Guy，“Prediction of Beta from Investment Fundamentals，Parts 1 and 2，”Financial Analysts Journal，May-June and July-August 1976.