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历史收益率的时间序列分析
未知
历史收益率的时间序列分析
时间序列与情境分析
在着眼未来的情境分析中，我们设定一组相关的情境和相应的投资回报，并对每个情境设定其发生的概率，最后计算该投资的风险溢价和标准差。相反，资产和组合的历史收益率只是以时间序列形式存在，并没有明确给出这些收益率发生的概率，因为我们只观察到日期和持有期收益率。所以必须从有限的数据中推断收益率的概率分布，或者至少是分布的一些特征值，比如期望收益和标准差。
期望收益和算术平均值
使用历史数据时，我们认为每一个观测值等概率发生。所以如果有n个观测值，便将式（1-11）中的p（s）替换为1/n，这时期望收益可表示为：
【例1-6】 算术平均值与预期收益
表1-7显示了标准普尔500指数在2001～2005年持有期收益率的时间序列。在样本期间中，将n=5的观察期间每一个持有期收益率看作样本期间的年度收益，并等可能发生，概率为1/5，表中的B列使用0.2作为概率值，C列显示每年持有期收益。运用式（1-13），可以得到持有期收益的算术平均值。
表1-7 标准普尔500持有期收益的时间序列
例1-6举例说明了算术平均值在投资学中广泛应用的逻辑。如果每个历史收益的时间序列都真实代表了可能的概率分布，那么从历史数据中计算得到的算术平均值就是预期持有期收益的恰当估计。
几何（时间加权）平均收益
我们看到算术平均值是期望收益率的无偏估计，那么关于整个样本期间的投资组合的实际表现，这些时间序列是如何体现的呢？我们继续运用例1-6来进行说明。
表1-7中F列显示了2001年年初投资1美元在标准普尔500指数上的财富指数。2005年年末财富指数的数值为1.0275美元。这是1美元的最终价值，意味着5年投资持有期收益率为2.75%。
样本期间的收益表现可以用某一年化持有期收益率来衡量，由时间序列中复利终值反推而得。定义该收益率为g，则有
式中，1+g是时间序列的总收益1+r的几何平均数（可以使用Excel中GEOMEAN命令），g是年化持有期收益率。
投资者称g为时间加权（区别于货币加权）的平均收益，它强调了在平均过程中每个历史收益为等权重的。两种平均方法的差别十分重要，因为投资经理作为投资者常常要经历基金数目显著变化的情况，可能需要购买或者赎回其投资份额，而规模大时比规模小时能获得更多的投资回报（或损失），不能单纯看收益率。
收益率波动越大，两种平均方法的差异就越大。如果收益服从正态分布，预期差异为分布方差的1/2，即
（注意：使用式（1-15）时，需要将收益率换成小数形式，而不是百分数形式。）当收益率服从正态分布时，式（1-15）的拟合效果较好[1]。
【例1-7】 几何平均值与算术平均值
例1-6中的几何平均值0.54%显著小于算术平均值2.1%。这种差异有时使人们困惑，主要是来自投资收益率的正负对组合终值的影响不同。
观察到2002年和2003年的收益分别为-0.221和0.2869，这两年的算术平均值是0.03295。然而，如果你在2002年年初投资100美元，2002年年末你也许只能得到77.90美元。要弥补这个亏损，2003年你需要赚21.1美元，这将得到一个相对巨大的收益率27.09%，为什么只是弥补亏损，这个数值会比2002年你损失的22.1%大这么多呢？这是由于你以2003年的数值为基准，这个基准明显小于100美元。较小的基准就意味着它将产生较大的收益率。即使投资组合在2003年的收益率达到28.69%，即收益为77.90×1.2849=100.25美元，这也只是高于100美元的数值。这揭示了两年的年化收益率（几何平均）只有0.12%，明显小于算术平均值3.295%。
方差和标准差
当人们考虑风险时，关注的是偏离期望收益的可能性。实际中，无法直接预期，所以通过偏离期望收益估计值的平方和来计算方差。改动式（1-12），按每个观测值等概率出现，样本平均值作为E（r）：
使用历史数据，估计方差为：
由式（1-16）估计得到的方差是有偏的，这是由于采用的是对样本算术平均值的偏差，而不是未知的真实期望E（r），故导致了一些估计误差。这又称为自由度偏差，可以通过方差算术平均值与因子n/（n-1）的乘积来消除误差。方差和标准差变为：
【例1-8】 方差和标准差
数据表1-7D列显示了偏离算术平均值的平方，D12单元格给出标准差为0.1774，为偏离平方与概率乘积和的平方根。
D13单元格显示了标准差的无偏估计值为0.1983，这略微大于D12中0.1774。如果样本很大，n/（n-1）接近于1，这时自由度的调整可以忽略不计。
高频数据中的均值与方差估计
观测值的频率越高是否导致估计值越准确呢？这个问题的答案令人惊讶：观测值的频率不会影响均值估计的准确性。样本时段的长度而非样本观测值的数量能改进估计的准确性。
10年总收益率除以10与12乘以120个月平均收益率能提供同样精度的预期年化收益率估计。平均月度收益率与10年的平均收益率具有一致性，额外的月度收益率观测值对平均收益估计提供不了额外的信息。但是，更长的样本期，相比10年的收益率，100年的收益率能提供更准确的收益率估计，这里有个前提条件，即100年间收益分布不发生改变。
这里暗示一个规则：即使使用很长时段的样本，你依然相信收益分布不变。遗憾的是，老数据往往包括较少的信息。19世纪的数据是否可以用来做21世纪的收益率？可能不行，这说明我们在估计平均收益时受到局限。
相反，增加样本值可提高标准差或更高阶矩的估计准确性。所以我们可以用变频观测值来提高标准差和更高阶矩的估计准确性。
标准差估计先从方差估计开始。当日度收益不相关时，月度方差可以简单相加。当月度方差相同时，年化方差等于。[2]总的来说，T个月的方差等T乘以单个月的方差。所以，标准差的增长率为，即σA=σM。均值和方差随时间段成比例增长，而标准差随时间段长度的平方根的增长而增长。
收益波动性（夏普）比率
最后，必须注意到，应该假定投资者关注的是他们购买投资组合相对于国库券获得的预期超额收益和相应的风险。尽管国库券的利率不固定，我们仍然知道购买债券并持有到期的收益。其他投资比安全的国库券收益率更高，也难免带来更多的风险。投资者为风险资产定价使得其风险溢价能够弥补预期超额收益带来的风险。这样利用溢价的标准差代替总收益标准差来衡量风险更好。
【例1-9】 夏普比率
参见表1-6，投资股指基金的情境分析得到5.76%的风险溢价，超额收益的标准差为19.49%。这表明夏普比率等于0.3，与历史股指基金的业绩一致。夏普比率在度量分散化投资组合风险-收益的权衡时是一种合适的方法，但是将其运用在单个资产比如投资组合中的单个股票时是不合适的。
收益（风险溢价）和风险（通过标准差来衡量）之间的权衡意味着人们需要利用投资的风险溢价与标准差的比率来度量投资组合的吸引力。
注意，夏普比率将风险溢价（与时段长度等比例变化）除以标准差（与时段长度为平方根关系）。因此，用高频收益计算年化收益时夏普比率增大。例如，用月度收益计算年化夏普比率，分子乘以12，分母乘以；这样年化的夏普比率为SRA=SRM。总体来说，一项长期投资为T年的夏普比率以比率增加。
这一比率被广泛用于评估投资经理的业绩。
[1] 我们被告知，度量某时段的历史收益时采用几何平均值，而估计未来收益表现时用算术平均。问题是，如果同样的样本出现在未来，收益采用几何平均，那么这是不是预期收益的最佳估计呢？令人惊讶的是，答案是否定的。未来的结果总是包括正的或负的意外（与预期相比）。一连串的正的意外相对一连串负的意外对期末财富影响较大。正因为这种非对称性，几何平均是对未来平均收益的低估。这个低估等于方差的一半，所以采用算术平均来纠正这个误差。
[2] 当月度收益不相关时，我们可以不关心它们之间的协方差。12个月度收益之和的方差等于12个月方差之和。如果月度收益相关，年化方差时需要调整收益之间的序列相关性。