Local EPUB Text
长期投资
未知
长期投资
考虑一名投资者为其25年后的退休于今天储蓄了1美元，把这1美元投资于一个风险股票投资组合（获得的股利也进行再投资），这个股票组合的月收益率为1%，那么退休后他的这笔退休“基金”会增长近20倍，其终值为（1+0.01）300=19.79（美元）（增长了1879％）。同时比较投资于一个25年无风险月平均收益率为0.5%的国债时，投资的终值只有1.005300＝4.46（美元）。可以看出0.5%的月风险溢价会使投资的总收益比无风险国债多3倍多，这就是复利的作用。你可能会问既然如此为什么还会有人投资于国债，很明显这是一个风险的超额收益问题。那么风险与收益这种权衡关系的本质是什么呢？一个长期收益率波动的投资风险较难理解，因此对它的刻画十分重要。
仿照之前的例子，我们继续用二叉树来构造一个股票基金终值的概率分布。与之前不同的是，这次不采用月利润简单相加，而是根据分布确定一个收益率并以之按复利计算终值。例如，假设某个股票组合的月收益率可以近似看成如下分布：月收益率50%的可能性是5.54%，50%的可能性是-3.54%。这种构造的月期望收益是1%，其风险用月收益标准差来衡量是=4.54%。2个月后的事件树如下所示：
300个月后二叉树会产生301种不同的可能结果，而每种结果的概率可以通过Excel中的BINOMDIST函数来获得。由此我们计算得到期末终值的均值为19.79，标准差为18.09。我们可以用这个标准差来度量19.79-4.29=15.5（1550%）的风险溢价吗？回想前文里讲的收益分布的非对称性会使标准差衡量的风险水平出现偏差的情况，所以我们必须先看看这个事件树最终的分布情况。
图1-9画出了期末可能价值的发生概率，可以看出分布的非对称性是很明显的。很高的正偏度表明标准差对风险的度量并不适用。实际上，以复利计算多期二项分布的终值时，其收敛于对数正态分布（lognormal distribution）。对数正态分布描述的变量在取对数后服从正态分布。
图1-9 25年后的概率分布服从对数正态分布
正态分布与对数正态分布
我们前文指出过，正态分布的一个重要特性是它的稳定性，即服从正态分布的收益加总后的结果依然服从正态分布。但是这一特性不适用于正态分布收益的乘积，这样我们依然寻找较长时段收益的分布。例如，两个时段的实际收益率r1和r2均为正态分布，这两个时段总收益率（1+r1）（1+r2）-1不是正态分布。正态分布不能用来做我们想象的简化分布，但是对数正态分布可以。什么是对数正态分布？
一个随机变量X，如果其对数形式ln（X）服从正态分布，则X服从对数正态分布。这样如果瞬间股票价格服从正态分布（即在一个极短时段收益呈正态分布），那么一个较长时段的复利收益以及未来的股票价格服从对数正态分布。[1]反过来，如果股票价格服从对数正态分布，其连续复利收益（CC）服从正态分布。既然不管时段多长，连续复利收益服从正态分布，如果采用连续复利收益率而非实际收益率，我们依然可以利用正态分布带来的种种简化。
回顾一下连续复利收益公式rCC=ln（1+r），如果有实际收益率，我们即可计算连续复利收益率。如果rCC服从正态分布，则可以用它进行各种分析和计算。如果有需要，也可以从rCC反推实际收益率，即r=-1。
我们看看当股票价格服从对数正态分布时能得出些什么样的规律。假设对数股票价格服从预期年化增长率为g、标准差为σ的正态分布。收益受到随机冲击时，这些波动对价格的影响并非对称。一个正向的向上冲击提高了股价，则下一个冲击较上一个大。反过来也一样，一个负向冲击降低了股价，下一个冲击则较小。这样，一连串的正向冲击将有一个较大的上行影响，一连串的负向冲击将产生较大的下行影响。因此，即便g为0波动性推动股价上行。这种额外移动有多大？这取决于最小价格变动的大小，事实上，它恰好等于其方差的一半。这样连续复利收益率m将大于g。预期的年化连续复利收益率（CC）等于
有了正态分布的CC，我们预期期初财富W0复利到年末为=Wem。因此预期实际利率等于
如果将年化CC用到期限为T的一项投资，不管T是大于或小于1年，该投资将按照r（T）=-1速度增长。预期累计收益率rCCT与T成比例，即E（rCCT）=mT=gT+（1/2）σ2T，预期的期末财富为
累计收益率的方差也与时段长度成比例，即Var（rCCT）=TVar（rCC）（注：当实际年收益率，r，呈对数正态分布时，Var（r）=e2m（-1）。），但是其标准差与时段长度呈平方根的关系，即σ（rCCT）=。
上式提供了降低长期投资风险的途径。因为预期收益与时段长度成比例增长，而标准差增长的速度较慢，这样一项长期风险投资的预期收益相对于其标准差增长更快。也许预期损失也随着投资期限增加而下降。我们将在例1-11分析这种可能性。
【例1-11】 短期和长期收益损失风险
预期月度收益率为1%的连续复利收益率等于ln（1.01）=0.00995（即每月0.995%）。假设无风险为0.5%/月，相当于连续复利收益率ln（1.005）=0.4988%。实际收益标准差4.54%意味着连续复利下月度标准差4.4928%。因此CC风险溢价是0.995-0.4988=0.4963%，标准差等于4.4928%，夏普比率等于0.4963/4.4928=0.11。换句话说，股票组合的绩效劣于无风险资产的前提是股票收益较均值低0.11倍标准差。采用正态分布，我们发现收益率低于无风险收益率的概率为45.6%（你可以在Excel的NORMSDIST[2]公式输入-0.11可得）。这是投资者后悔的概率，有了这个，投资者宁愿投资于短期国库券而非股票。
如果投资期为300个月，累计超额收益高达0.4963%×300=148.9%，标准差为4.492×=77.82，意味着夏普比率高达1.91。在NORMSDIST公式中输入-1.91，你会发现300个月期间损失的概率仅为0.029。
注意，损失的概率并不是一种完善的投资风险度量方法。这个概率不考虑潜在损失的大小，而一些可能损失虽然发生概率小，却意味着完全的破产。25年投资的最坏情况远比1个月的最坏情况要差得多。图1-10和图1-11用图像展示了长期风险的累积。
图1-10 拔靴法和正态分布下25年持有期收益率（50000个样本），右侧为统计值
图1-10 （续）
一个更好地度量长期投资风险的方法是用可以抵御损失的保险的市场价格。这种保险溢价必须考虑到损失的可能性和损失的大小。
尽管一个投资组合的保险兑现赔偿的概率很低，但是可能损失的金额和时机[3]可能会使这样的保险拥有较高的保费。比如，用标准的期权定价模型计算得到一个10年期的投资损失的保险价格几乎达到期初投资金额的20%左右，而与期限越长损失风险越小的结论相反，在市场上期限越长的保险保费竟然更高，甚至达到30%。
长期未来收益的模拟
图1-6中的频率分布仅仅提供了收益分布性质的大体描述，很难用来反映长期投资。一个从过去了解未来长期收益分布的方法是从有效样本中模拟出未来的收益。实现这一任务的一个流行的方法叫作拔靴法。
拔靴法是一个可以避免各类收益分布假设的实验过程，直接简单假设历史样本中的收益结果发生的可能性相等。例如，可以从历史年收益的样本中随机抽取25年的数据来模拟一个25年期投资的可能未来收益。将25个收益率按复利计算可以得到1种期末收益，这一过程重复千次便可以得到长期收益率的概率分布。
现在让我们再回顾一下纳西姆·塔勒布（Nassim Taleb）的黑天鹅事件[4]。塔勒布用欧洲人闻所未闻的黑天鹅比喻历史上从未发生过的事件。黑天鹅象征的是尾部风险：它发生概率极低，但影响巨大而且无法根据以往经验预测。拔靴意味着将未来收益局限在过去收益的区间或者过去极端收益发生的频率，这将大大低估了尾部风险。注意在正态分布条件进行模拟，我们允许不限制坏的结果，但是不允许肥尾，因此低估其发生概率。然而，因一种特定的概率分布总是预先设定了未来事件的形态。
描述不确定的难点主要是知道投资者如何就低概率灾难发生进行反映。有人认为长期投资风险较低低估了极端事件的风险。昂贵的组合保险表明绝大多数投资者不会轻视这种极端风险。就现在的实验而言，我们证明即使以过去最糟的美国历史数据进行模拟也会产生投资惨败的情况。
做这一模拟实验中的主要决策就是选取过去多长时间来获得未来收益率观测序列值。答案就是我们应该尽可能多地用全部可靠历史样本来包括低概率极值点。
这一实验一个重要的目标就是评估美国长期股票投资收益分布的非正态性带来的潜在影响。基于这个目的，分别用拔靴法对大盘股和小盘股25年年收益率分布进行模拟，并和用正态分布得到的类似样本进行比较。结果如图1-10所示。其中图1-10a显示了美国大盘股的历史收益和用正态收益分布构造的频率分布，图1-10b显示的是小盘股，并附有分布的相关统计量。
我们先看大盘股。可以看到历史数据模拟和正态收益分布分别构造的频率分布差异很小，但却是显著的，尽管1年期和25年期的年均收益、标准差只有很小的差别，但是偏度与峰度上微小的差别结合在一起就构成了显著的收益损失可能性的差异。对于小盘股，因为偏度和峰度的差异太小所以形成的分布图非常近似。
我们如何考虑长期投资的风险呢？正如下表所示，损失的概率很小，大盘股发生损失的概率为1％，小盘股的为5％。这与我们在例1-11中的计算相符；投资期限延长，损失概率下降。
那么对于投资者其他期限长度的长期投资风险又是怎样的呢？图1-11又将25年和10年做了比较。为了有可比性，我们必须考虑给10年期投资期末再加上一个15年的国债作为补充。（为了完成这一比较，从80年国债历史中抽取15年的样本，并给每个样本加上从风险资产收益历史中抽取的10个风险收益率。）结果如图1-11所示，其概率分布揭示了终值组合的风险差异，从统计量中也可以明显地看出这些差异。
图1-12显示了25年期大盘股的财富指数和投资于国债的财富指数走势的比较。不同股票组合的收入范围从收入最低组合，到前1%低组合、前5%低组合、均值组合、中值组合。前5%低组合与国债投资相比还是有显著的收益损失。综上所述，这个分析清晰地说明投资股票的风险在长期中更小这一结论并不成立。
图1-11 按年复利累计，拔靴法获得的25年持有期收益率（50000个样本）
图1-11 （续）
图1-12 部分大盘股组合的财富指数和短期国库券组合
注：注意最差组合、1%、5%和国库券的对比。
很多业界人士认为对于长期投资者来说，投资风险不很重要。下面专栏表明年化收益标准差对于较长时期而言下降了，但是在投资总收益方面则并无明显变化。
华尔街实战
时间和风险
许多投资新手对股票市场持怀疑态度。他们认为权益投资就像俄罗斯轮盘游戏一样，玩得越久赔得越多。实际上，历史数据告诉我们结果恰好相反。降低风险最容易的方法就是投资权益，而增加收入最容易的方法则是延长你持有投资组合的时间。
下图中的历史数据比较了1950～2005年不同持有期的小股票、大股票、长期和中期国债的收益率。
资料来源：CRSP，Federal Reserve.
图中显示，如果持有1年的话，那么在这样短的持有期内，小公司股票无疑是最好的选择。
如果投资年限大于1年呢？你可以顺着横轴向右看，即使投资期限只增加1年变为2年，权益的波动率也会迅速下降，这时你需要点击放大按钮（Zoom In）才能看清楚。当投资期限变为10年时，政府债券的下行风险要比小公司股票低很多。但点击调整通货膨胀（adjust for inflation）按钮后，你会看见债券的低风险完全是一种假象。通货膨胀将使投资回报率低的投资组合的实际回报率为负值。
现在让我们来看投资20年的收益率。调整通货膨胀后，20年长期国债的最优收益率将明显低于小公司和大公司股票的收益率。与公众的预期相反，在最坏的20年里，债券投资在调整通货膨胀影响后实际上是赔钱的。同时，投资小公司股票在20年里能获取不错的回报，即使在市场最恶劣的情况下。
资料来源：Abridged from“Time vs.Risk，”SmartMoney.com，July 31，2010.© 2013 Dow Jones & Company，Inc.Used with permission via icopyright.
再论无风险收益率
本章开头在没有谈及投资期限时，简单提出了实际和名义无风险收益率的概念。总体原则是，无风险收益率的期限应该与投资期限相匹配。长期投资者需要以长期无风险债券收益作为基准的无风险收益率。利率总体上与期限相关，越长的期限通货膨胀越难预测。因此通胀风险与期限长短相关。
认识到风险资产的风险溢价是一个真实的数字很重要。风险资产的预期收益率等于无风险利率加风险溢价。这个风险溢价是无风险收益率的增加量，无论无风险收益率是实际的还是名义的。
投资者以每个对应期限的实际收益率作为投资的衡量基准，因此实际风险资产收益率应该是实际无风险收益率加风险溢价。即便是长期限国债的无风险名义利率由于未来通胀和利率的不确定性也包含有风险溢价。
通胀保值债券（TIP）承诺向投资者支付一定期限的保护通胀的实际利率。这样我们可以把一定期限风险投资的预期实际收益率看作相同期限TIP国债的利率加风险溢价。
同时存在名义国债和TIP也提供有用的信息。这两种债券预期收益率之差称为远期通胀率，既包含预期值也包括相应的风险溢价。
那我们为什么在表达超额收益时通常用1月期的短期国库券收益率呢？主要是因为我们都在讨论短期投资。严格意义上，在讨论长期投资时，必须要用相应的实际无风险利率。
收益率研究的方向在哪里
要想更多地了解收益的分布特别是罕见的极端事件，我们需要大量数据。通过加速收集日数据不是办法，等我们有了大量数据时，分布就发生变化了。但这样做还是有些帮助。
高频的收益率数据来自每一笔交易。最近天体物理学家开发的统计方法可以从这些数据中提取关于收益分布的有价值成分。这一收益形成过程可以描述为由瞬间正态分布加总形成对数正态再加上偏离正态分布的跳跃，其中的跳跃可以分解为大量的小跳加上尾部的大跳。[5]
希望用不了多久业界人士就可以购买这样的研究成果，获得各种期限风险投资的精确风险参数。
长期预测
我们之所以用算术平均收益来预测未来收益，是因为算术平均收益对相同持有期的期望收益的估计是无偏的。但是用短期的算术平均收益来预测长期累积收益将会出现偏差。这是因为对期望收益进行估计的样本误差会在长期复利计算中产生非对称性影响，且正的误差比负的误差影响更大。
Jacquier、Kane和Marcus证明长期总收益的无偏预测要求计算所用的复利采用算术和几何平均收益率的加权值。几何平均的权重系数等于预测期的长度和样本长度的比值。例如，用80年的历史样本预测25年期的投资累积收益，其无偏估计应采用的复利利率是
这个改进剪掉了大盘股0.6%的历史几何平均风险溢价，小盘股2%的算术平均风险溢价。预测的投资持有期越长得到的比率就越小，而当前中年投资者的预测期限就要取决于他们的寿命预期了。
[1] 如图1-9所刻画的二叉树也有类似情况。尽管情况很糟糕，股票价格也不可能为负，这样其分布受限于零。但是在情况很好时，股票价格上涨不受限，这样一个很长时段的复合收益表现出很长的右尾，但左尾受限于最糟糕的-100%。这就出现对数正态分布的非对称倾斜的特征。
[2] 在有些版本的Excel，该式是NORM.S.DIST（z，TRUE）。
[3] 这里的时机是说股票价格下降和惨淡的经济有关联性，而在这种情况下投资者非常需要额外的收入来弥补投资损失，所以能补偿这种损失的保险其市场价值是非常显而易见的。
[4] The Black Swan；The Impact of the Highly Improbable，New York，Random House，2010.
[5] 更详尽了解这一方法，参见Yacine Ait-Sahalia and Jean Jacod，“Analyzing the Spectrum of Asset Returns：Jump and Volatility Components in High Frequency Data.”Journal of Economic Literature 50（2012），pp.1007～1050.