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又一波新浪潮
市场混沌行为的研究，把经济学家的完全竞争市场之梦打了个粉碎。赫斯特的H指数表明，市场并不如有效理论的假设，它不是线性的；而最初从物理学混沌理论发展出来的原则，对有效市场理论中市场理性的假设也提出了怀疑。
1987年詹姆斯·格雷克（James Gleick)出版的畅销书《混沌》（基本上就是对自然科学领域的混沌做了一番通俗的介绍），让混沌理论流行开来。1988年，圣菲研究所（Santa Fe Institute)出版了一本专著，凸显了混沌理论在经济和金融领域的潜在角色。之后，多恩·法摩尔（Doyne Farmer)和诺曼·帕卡德（Norman Packard)又将它轰轰烈烈地带入了“物理金融学”的领域（也即物理和金融的融合学科）。这两人在物理金融学上的探索，托马斯·巴斯（Thomas Bass)在1999年出版的《预测者》(Predictors)做过详尽介绍。由于这些作品广为传播，混沌理论在经济和金融系统非线性动态行为的研究中变得日益重要，发展迅速。
通过混沌理论，物理学家发现，宇宙中许多以前认为是随机（不可预测，没有表现出模式）的现象并不随机，而是有着明显的模式。简单地说，混沌理论认为，宇宙中出现的事件，看似随机，其实有模式可循。因此，表面上的随机系统（只包括传统线性模型下的随机运动或行为）说不定是确定的，或是表现出更复杂的内在依存性，只不过，这种依存性超出了简单线性模型所能揭示的范围。
混沌理论起源于19世纪法国数学家和物理学家亨利·庞加莱（Henri Poincare)的研究。庞加莱研究的是著名的三体问题。牛顿利用运动定律和万有引力法则证明，人能够准确地计算出两个互相吸引的物体将来的位置和速度。然而，不管是牛顿，还是之后的任何人，都没能计算出三个或三个以上互相吸引的物体将来的位置和速度会是什么样子。
科学家们在发送太空探测器上火星和其他星球时，反复碰到这个“三体问题”。他们绘出航线图，说明探测卫星到达时，目的地行星（不是发送探测器的那颗行星）正处在自己轨道上的什么位置。但不管怎么测绘，总是必须进行中途修正，因为牛顿物理只能准确预测两个物体之间的相互作用，碰到三个物体，就无能为力了（好多探测器就这么在太空里迷失了）。庞加莱把三体问题归结到多体系统本身固有的非线性上，因为“初始条件上的细微不同，会在最终现象上造成极大的差异。在前者上出一点小错，在后者上就变成了大错”。这一看法，也即现在混沌理论的核心内容，叫做“对初始条件的敏感依赖性”。
说到对初始条件的敏感依赖性，典型的例子就是气象学里的蝴蝶效应。它的首倡者是20世纪60年代初麻省理工学院的气象学家爱德华·洛伦茨（Edward Lorenz)。他说：“事关气象的动态方程对初始数据非常敏感，这个地方的蝴蝶扇没扇翅膀，说不定就关系到另一个地方发不发龙卷风呢。”
假设有一块空荡荡的冰球场。一个人在场地中央放置一枚冰球，然后朝球场的另一头击打它。他测量了击打的角度、冰球受力的角度，以及冰球反弹的角度。随着冰球在球场周围不断反弹，他继续记录冰球的受力和反弹角度。
假设没有摩擦，冰场上冰球的运动规律是这样的：它撞上围栏的角度，总是等于它从围栏反弹开去的角度（类似的事，打台球的人应该很熟悉）。这样的规律意味着我们确立起了一套确定性的系统，在这个系统下，冰球将来的位置总是能够精确预测出来的（假设已知它的实际或平均速度）。
但现在假设冰球最初的位置偏差了小小的几度，这个变化非常小，测量的人根本就没观察到。等冰球撞击了围栏一两次之后，预测者预测的位置说不定就不准确了──尽管只有一点点的误差，可以忽略不计。可随着冰球之后又一次次地撞上围栏，误差量将呈指数倍扩大。很短的时间里，预测就会错得离谱了。
因为冰球初始位置测量上出现的误差，让冰球的运动显得随机和不可预测；但要是一开始测量准确，也就能准确预测了。混沌系统的标志性特征，正是这种对初始条件的敏感依赖性。为了测明敏感依赖性的存在，洛伦茨和他的后继者们开发出了一些有趣的工具。
图形与吸引子
传统上，时间序列数据是用传统的坐标几何来绘制的。例如，要绘制一只股票价格的时间序列，那么，价格就标示在纵轴上，时间标示在横轴上。
在物理学中，惯常的坐标几何图形可以变成一种更强大的图形，也即绘制在相空间的“相图”，它能描绘出一个系统存在的各种变化可能性。为了说明时间序列数列的坐标几何图与同一数据的相图有什么样的异同，我们使用钟表这个经典的例子，同时引入“吸引子”的概念。
不妨设想一台受机械力驱动的稳定钟摆。它会以一个稳定的速度来回摆动，除非我们关掉它的动力，否则它是不会停下来的。如果用坐标几何图来描绘这台钟摆的运动，它会是一条上下波动的线，随着时间的推移，它的高度保持不变，如图3-1所示。
图 3-1 受力钟摆的时间阶段图
我们可以把受力钟摆的相空间图预先设想成一个矩形。在相空间的任何时刻，钟摆的角度都决定了一个点在横轴上的位置，而速度则决定该点在纵轴上的位置。故此，相空间的钟摆图会形成一个环，说明钟摆的连续运动重复通过相同的位置序列，如图3-2所示。这种不断的重复就叫做一个有限循环，或一个极限环吸引子，因为钟摆（可称之为一个系统）只受这唯一一个（有限）循环的吸引。
图 3-2 受力驱动钟摆的相空间图：“极限环吸引子”
再来想想不受持续机械力驱动的钟摆，你要先手动地把它拉到轨道的一端，再松开手。因为没有持续的机械力驱动，钟摆会来回摆动，速度渐渐放慢，越来越接近静止。对这种不受力的钟摆进行解析几何描绘，一开始是跟前述受力钟摆同样的上下波形线，但这条波形线的高度会随着钟摆的速度放缓而逐渐降低，如图3-3所示。
这种钟摆的相空间图，一开始也会显得像是要形成圆环的样子，但由于它的速度不断变慢，图形会随着钟摆放缓而螺旋向内。相应的，图形会趋近于原点，如图3-4所示。本例中的原点，叫做点吸引子，因为钟摆（或系统）受唯一的一个点所吸引。
描绘这种图的另一种方法是，把相空间设想为解析几何时间序列图的侧视图。实际上，它就是从收缩的那个侧面看摆动时序图的样子。
图 3-3 不受力驱动钟摆的时间序列图
图 3-4 不受力驱动钟摆的相空间图：“吸引力子”
现在来考虑第三种吸引子，也即物理学家所说的“奇异吸引子”。奇异吸引子描述的系统是这样的：该系统的相图既不是一个圆环，也不是螺旋形，而是显现出一些看似随机的轨道：它们既不重复，也没有周期性。然而，它们的运动范围是有限的。换句话说，相图存在于一个有限的空间，但在这个有限的空间里，有着数量无限的解。
请看图3-5和图3-6。图3-5描述了一个模拟天气系统的时间序列图，它暗示行为是完全随机的，类似典型的股票市场价格图。图3-6描述了相同系统的相图，揭示了一个奇异吸引子。我们还是可以把图3-6看成是时间序列图3-5的侧面图，概述了解析几何图形在相空间的表现形式。
图 3-5 模拟天气系统的时间序列图
图 3-6 模拟天气系统相图：“奇异吸引子”
极限环吸引子和点吸引子没有表现出对初始条件的敏感依赖性：不管从什么地方开始，不受持久机械力的钟摆总会停在原点（也即它的点吸引子），而受力钟摆则会永远在轨道上循环（也即它的有限循环吸引子）。
包含了奇异吸引子的系统，则对初始条件表现出了敏感依赖性：系统在将来某个时刻所处的位置，是由系统开始的地方（或它之前所在的地方）所决定的。
拉伸
相图绘测的是，一个变量相对于其他所有变量的可能值会出现的值，故此，也就描述了一个系统可能出现的所有状态。相空间的维度等于所述系统中的变量数。一个系统是否表现出对初始条件的敏感依赖性，是由所谓的“李雅普诺夫指数”（Lyapunov exponent, LE，因其发现者，俄罗斯数学家亚历山大·李雅普诺夫而得名）所决定的。
李雅普诺夫指数衡量的是一个变量在相空间相较于另一个变量的速度。正李雅普诺夫指数衡量的是相空间的拉伸：一个变量对另一变量的发散速度。负李雅普诺夫指数衡量的是相空间的收缩：系统受干扰后的还原速度。故此，点吸引子和极限环吸引子的李雅普诺夫指数绝不为正，因为这类系统总在收缩。
对点吸引子而言，它的维度总是收缩到一个固定的点上，也即原点；对极限环吸引子，所有的维度都会收缩到除了因其相对位置不变而创造了整个循环的那一点之外的另一点上（因此李雅普诺夫指数为0）。对奇异吸引子来说（也包括并未对初始条件表现出敏感依赖性的系统），至少有一个李雅普诺夫指数为正，这样附近的轨道上才会存在发散。
创造李雅普诺夫指数的作用是跟信息理论联系起来，确定以二进制计算机语言传递的信息得到正确理解的可能性。它衡量了随着额外比特的信息加入系统，沟通不确定性的增加情况。
为了应用到公共资本市场上，衡量我们对当前条件的认识，人们把信息比特的概念做了重构。举例来说，在股票价格数据（如每日收益）的一段时间序列上，正李雅普诺夫指数指的是信息量或预测力每天的损失。
比如，李雅普诺夫指数是每天0.05，意味着信息在20天以后就变得毫无作用（也即1/0.05）。因此，李雅普诺夫指数衡量的是信息在特定时间内做预测的可靠性。
波士顿基金经理彼得斯同样用月度数据，计算了标准普尔500指数（1950～1989年间）的李雅普诺夫指数。他的计算结果是，李雅普诺夫指数稳定等于每月0.024 1。每月的李雅普诺夫指数等于0.024 1，意味着信息的可靠性以每个月0.024 1的速率在衰变，因此，从这一尺度来看，系统的平均周期长度大致等于三年半（1/0.24 1约等于42个月）。请注意，这一结果跟彼得斯用H指数所做的分析是差不多匹配的。
彼得斯还计算标准普尔500指数（1928～1990年）90日交易数据的李雅普诺夫指数，此时该指数等于每90天0.098 83。这一结果跟月度李雅普诺夫指数和H分析计算的结果是基本相符的：系统的平均循环周期长度约为4年（1/0.098 83约等于10个90交易日周期）。基于上述计算，公共资本市场表现出了对初始条件的敏感依赖性，属于混沌行为而非简单的线性有效行为。
分形
检验混沌的另一种方法是判断系统是否具有分形维度。有着分形维度的系统不服从欧式几何定律。欧式几何从维度上对自然做了简化和组织：欧氏几何里有点，点没有维度；有直线，直线只有一个维度；有平面，平面只有两个维度；有立体，立体有三个维度。这样的简化其实是试探性的：自然物体并不完全与之吻合。然而，直到分形几何确立起来以前，我们要应付的就只有这些维数。
分形几何是由数学家兼科学家伯诺伊特·曼德勃罗（Benoit Mandel-brot)最初确立的，1993年，他赢得了沃尔夫物理学奖。他观察到，自然物体并不像欧式几何描述的那么简单：“云不是球形的，山也不是锥形的。”又比如，一张纸，折叠有限次之后，该如何把它用欧式几何归类呢？
它不是纯粹的三维，因为它没有固定的形状（它有折痕，有裂缝）。（从数觉的角度来说，它的整个表面并不是完全可分的。）它也不是二维的，因为它有深度。事实上，它的维度介于二和三之间。这一性质使得这张折叠过的纸分形了：它的维度是一个分数（2.X)。
对时间序列数据而言，维数取决于数据所属的系统是随机的，还是非随机的。如果系统是随机的，那么来自该系统的数据会表现出这种随机性，并有一个尽可能最大的维数。假设数据写在一张纸上，那么数据的最大维数就是2（也即纸张本身的维度）。此时，数据填满了一个平面。
如果一个系统是非随机的，来自该系统的数据也会表现出这种非随机性，同时体现出分形维度：数据不会填满平面，而是重叠在一起。重叠在一起，表明相互关系在影响数据（也即，使得它非随机）。
随机和非随机时间序列的这些不同特性，可以用另一种不同的方式来理解。比方说，一张折叠的纸，我们一般认为是三维物体，但也可以看做是将一个分形嵌入了大于它自身的维数上。这个较大的维数，就叫做嵌入维数。
分形在放置到嵌入维数时，仍保留着自己的分数维；随机分布却不然。因此，不同于非随机分布，随机分布会填满自身的空间，就像气体充斥了容器那样：气体分散开来，因为它们的分子并不是绑在一起的。当然，这就是前面讨论过的布朗运动的显著特征。
彼得斯计算出标准普尔500指数的分形维数是2.33，他还计算了全球其他股票市场的分形维数，它们无一例外都是分数。日本股市是3.05，德国是2.41，英国是2.94。其实，这就是股票市场并不符合有效市场描述的最有力证据。