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在市场数据中寻找循环周期
常规的滤波数学理论在过去五十年里得到了长足发展。数据传输、声音和图像传输、电子信号学以及电子时代的其他发展成果，呼唤人们用更精密的数学方法去识别和理解波形。现在我们有带通滤波器、数码信号处理器、小波模型、非线性谱分析和高阶谱分析，以及以上各种方法的衍生工具等。对于我们在这里的目的而言，无须用到如此复杂的方法。由于价格波浪形态不是建立在固定参数基础上的，我们只需要对周期进行能够满足要求的初步估算即可。一旦我们对周期做出了估算，就可以获得用于预测，以及确定时间窗或移动平均线的长度所需的信息。
傅立叶分析（频谱分析）
对于时间序列的数据进行波浪分析，最常用也是最简单的方法就是傅立叶分析（Fourier analysis）。绝大多数的软件程序里都包含这种分析，而且还有许多种变体形式。但是傅立叶法也有很多问题，因为它需要有大量的数据。对于市场预测来说，所用的数据越多，波形的变化就越大，就越有可能算不出准确的参数。因此傅立叶分析应该只用作一种针对市场时间序列数据进行周期分析的基本方法。一种更有效率的方法是快速傅立叶变换（faster Fourier transform，FFT），可以减少分析所需的时间。傅立叶分析的第二个问题是它不能分析周期之间的相位关系。也就是说，如果一个周期比另一个周期与水平轴相交的时间早一些或者晚一些，这两个周期的相位差别不会被记录下来。这使得对多个周期混合时的预测变得非常困难。图19-6显示了频谱分析的一个示例。
图19-6 针对时间序列循环周期数据的频谱分析
资料来源：Rainbow 5.04 by Optimal Designs Enterprise。
最大熵谱分析
20世纪80年代初，约翰·埃勒斯（John Ehlers，2002）提出了一种尝试，既能解决傅立叶法存在问题，又同时不影响其结果准确性的方法。埃勒斯用到了叫作最大熵谱分析（maximum entropy spectral analysis，MESA）的方法，并推出了相应的电脑分析软件。这个方法只需要用很短的时间序列数据，就可以确定数据的周期。这种方法可以确定用于预测的最近和最相关的波形，同时可以记录每个周期的不同相位。
简化（且更实用）的方法
傅立叶分析和最大熵谱分析提供了确定周期的方法，但是却要依赖复杂的数学工具。当然更简单的工具，如趋势去除、包络线或者中心移动平均线，也都可以帮助我们确定周期。有时候，即使裸眼也能用来判断周期，而无须借助复杂的数学和电脑软件。
目视观察
市场数据中的起主导作用的周期的各个低点，在很多情况下很容易被肉眼发现。周期的准确的低点位置很难确定，但是周期的总体震荡是平淡无奇的。股市周期分析之父赫斯特在其著作《把握盈利股票交易时机的诀窍》中使用了包络线法，用来追踪价格曲线的主要高点和低点。这些包络线与过滤器不同，不是可以提前确定，但是却可以随手在图上画出来。当价格试探包络线带的上下边界时，赫斯特在价格图上画出了箭头，以供稍后进行检查。当他完成这些手工画出的预测标记后，发现箭头的方向可用来确定箭头之间是否存在比较稳定的周期。我们不建议手工画图，而是推荐使用2柱线连接转向法（见第12章），图19-7显示了这种方法。
当然，使用这类方法也有风险。人类大脑经常杜撰一个实际上并不存在的周期，或者为了符合自己对已有周期的预期，人为发明出一些转折点。赫斯特的方法只不过是在金融数据中寻找潜在周期时，最初所做的观察。如果用这种方法判断在数据中确实存在周期现象，则赫斯特之后会采用更复杂的方法，如傅立叶法和移动平均线来分析具体的周期。
震荡指标是用肉眼判断金融数据中是否存在周期现象的另一种方法。第18章介绍了很多在中心水平线附近震荡的震荡指标。通过观察震荡指标的低点情况（因为周期常在低点出现同步），我们可以观察每个低点之间是否存在有规律的时间间隔。如果答案是肯定的，那么就可以初步认定在金融数据中可能存在周期现象。
如果怀疑可能存在周期现象，有一种量化确认方法是在图表底部，标记处每一个发生的低点。然后在一张白纸的边缘画一条线，将这条线对准图表的第一个标记点，然后在纸上对应后面一个低点的位置上画一条线。这样我们就可以在纸上测量出这两个低点之间的距离。接着将第一条竖线移到第二个标记点对齐，在纸上对应第三个标记点的位置上再绘制第二条线。这样我们可以看到，第二条线就在第一条线的附近，但极少有可能与第一条线正好重合。现在我们已经测量了两个周期的长度，而且可以马上看出这两个周期的差别。继续按照上述方法，用第一根线对准后续的低点，然后测量出之后每一个周期谷底之间的长度。当完成这一步骤后，纸上会显示出低点之间的间隔长度，然后我们可以估算出周期的长度。当第一根线对应最后一个低点时，前一个周期的这些线所在的区间，可以用来估计下一个周期谷底出现的位置。
图19-7 包络线——连接两个柱线低点法（美国钢铁日线图：2014年11月25日～2015年6月22日）
借助尺子或者圆规，也可以用肉眼判断周期的长度。将本例中第一个低点和第二个低点记录下来，然后测量第二个低点和第三个低点的距离并记录，依次进行。一旦把这些数据导入电子表格，马上可以得出平均值、标准差和其他统计数据。
趋势去除法
由于具体的周期行为在很大程度上取决于下一个更高级周期的方向，要确定是否存在周期，第一步就是“去除趋势”。将现有的价格除以这些价格的移动平均值，将趋势去除。计算结果会在图表的0线附近来回震荡，这个震荡曲线的低点与所分析的周期的低点是对应的。
图19-8显示了去除趋势法的过程。将当前收盘价除以11日中心算术移动平均值，可以得到趋势去除曲线。这个33.6日的周期（比理想的40日循环周期稍短）清晰地显示出了上涨走势。
图19-8 趋势去除曲线1～11日算术移动平均线，显示了33.6日周期的低点（美国钢铁日线图：2014年7月24日～2015年6月23日）
图19-9显示了去除趋势法的第二个例子。将当前的价格数据除以6日算术移动平均值进行趋势去除，这个移动平均线的周期相当于图19-8中使用移动平均线周期的一半。图19-1显示了间隔17.2天的低点，即图19-8中显示的34天周期的一半。
图19-9 趋势去除曲线1～6日算术移动平均线，显示了17.2日循环周期的低点（美国钢铁日线图：2014年7月24日～2015年6月23日）
使用每日收盘价作为分子进行趋势去除，如果加大分母，趋势去除曲线将会起伏不定，这很难解读。因此可以尝试在分子中也使用移动平均线，但是在这样做之前，我们必须先解决一些问题。
中心移动平均线
移动平均线和利用这个移动平均线进行平滑处理的数据之间的关系，并不一定总在股票价格图中显示出来。事实上，移动平均值一般标记在最近的价格数据点上，其实应该把这个移动平均值标记在计算周期一半的时点上。（Hurst，1970年，第65页）
赫斯特的意思是说，移动平均值既应该是价格的平均值，又应该是时间的平均值。多数图表考虑到了这是价格的移动平均值，却把这个平均值错误地绘制在所用价格数据最近的时点上。例如，第1～11天价格的11日移动平均值一般都标记在第11天上。由于移动平均值是对应时段的价格平均值，因此应该把这个数值标记在周期或者这一时段的中点上。也就是说，第1～11天价格的移动平均值应该标记在第6天上。按照这种方法绘制的曲线叫作中心移动平均线（centered moving average）。图19-10显示了11日中心移动平均线和按照普通方式标记的11日移动平均线的区别。在本章下文有关周期的讨论中，我们都使用中心移动平均线。
图19-10 11日中心移动平均线（实现）和11日移动平均线（虚线）的对照（美国钢铁日线图：2014年7月24日～2015年6月23日）
请注意，图19-10中的中心移动平均线比传统的移动平均线更好地反映了价格的走势。它位于所有价格震荡的中心位置，不像传统的移动平均线那样偏处于价格曲线的右侧。当中心移动平均线对应周期更长时，传统移动平均线向右偏移的情况会更明显。中心移动平均线更好地反映了价格的趋势，但是移动平均线本身是一个滞后的指标，没有信号提示功能。可用于识别周期，但不能用来预测周期。
包络线
如图19-7所示，赫斯特使用了手工绘制的包络线来预测价格数据中可能存在的周期现象。一旦可以做出初步的周期估算，我们就可以使用移动平均线来更准确地量化这个周期。
移动平均线可以将价格数据处理得更为平滑。就周期而言，一条移动平均线代表了这个移动平均周期内更剧烈的价格震荡，有效地剔除了比移动平均周期幅度更小的价格活动或波动。图19-11包括了35日周期的中心移动平均线。在这条移动平均线上，超过或低于移动平均值的剧烈震荡，大约每隔35日发生一次。为了确定价格曲线在这条移动平均线附近震荡的幅度，我们画出与这条移动平均线平行的包络线。注意，价格每隔35日就会试探一下两条包络线围成的带状区域的下边界。
图19-11 35日中心移动平均线和10%的平行包络线（美国钢铁日线图：2014年7月24日～2015年6月23日）
下一步画出周期减半的中心移动平均线和包络线，如图19-12所示。图中显示的是18日周期的中心移动平均线。这一移动平均线对所有短于18日的波形进行了平滑处理，同时包括了18日（及以上）的波形。将35日算术移动平均值减去18日周期中心移动平均值，表现了18～35日之间或者35日循环周期存在的情况。
图19-12 完全循环周期（35日）和半循环周期（18天）的移动平均线及包络线（美国钢铁日线图：2014年7月24日～2015年6月23日）
18日周期包络线触及或靠近35日周期包络线然后出现上涨的多个点，都是35日周期的低点。分析结果也正好是35天，这纯属巧合。一般来讲，这个周期只能说比较接近，而不能说非常精确。为了更准确地判断是否存在周期，我们应该至少使用7个例证。现有一个规范的35日周期，我们知道它触底反弹的价位和日期。下文讨论周期的预测时，我们将用这个数据来预测下一个35日周期。
即使根据包络线进行预测，也会发生不准的情况。由于更高一级周期的趋势非常强烈，较短周期的影响会减弱，这一现象就很有可能发生。为了解决这种问题，我们可以求助于趋势去除方法。由于我们想分析35天周期和更短的周期，因此就用5日简单算术移动均值除以18日简单算术移动均值的比值画一条曲线，用来除去价格数据的趋势。我们用5日简单移动平均值将短周期的每日波动平滑掉，之所以用18日简单移动平均值，是因为它代表了超过18天的周期，即34天周期。
图19-13展示了这条去除趋势的曲线，34日低点清晰地标记在34日竖线上。在每条竖线上，都有一个小谷底代表34日低点。这相当清楚地证明了价格数据中存在着34天的周期。
图19-13 5日简单移动平均值和18日简单移动平均值之比去掉趋势（美国钢铁日线图：2014年7月24日～2015年6月23日）
我们再观察一个周期，看看是否存在短于34天的周期。在图19-9上，通过趋势去除法，可以看到存在着17天的周期。但是我们不能准确指出这个周期有多大，因为没使用中心移动均值。要知道，接近一半的周期的移动均值可以代表整个周期。现在我们基于18日简单移动均值计算一条趋势去除曲线，这样就可以代表34日或更长时间的周期，可以剔除更长周期带来的影响，给出小于34日周期的更准确的数据。图19-14是收盘价与18日中心简单移动均值的比率。
图19-14 收盘价与18日中心简单移动均值的比率显示短期18日周期高点和低点（美国钢铁日线图：2014年7月24日～2015年6月23日）
观察图19-14可知，竖的虚线之间的间隔刚好是17天，从10月的主要低点开始，在这10条虚线中，比率的下降表明每一条竖线所在日期发生了一个周期低点，其中有两个例外情况分别发生在12月末和2月。现在针对美国钢铁公司股票，我们有充分的证据表明每间隔17天或者34天都会出现低点。
我们还注意到较短周期的相位与34日周期的相位常常不一致。这就是35日周期的实际低点往往是比较圆滑而不是尖形的原因。假如两个周期同时到达低点，构筑底部几乎同时发生，就会形成V形的底部形态。
这种在已知某一主导周期的情况下，寻找比其更短的周期的分析过程称为“向下结网”（nesting downward）。我们同样可以使用35日这一周期，推导更长周期的情况。这意味着投资者需要处理大量数据，但是在利用周期数据做出交易或决策之前，这是必须做的一个练习。投资者确定了投资周期后，应该至少了解下一个更长或更短周期的情况，因为这些会影响到我们所研究的周期的情形。此外，每完成一个周期就必须重复分析，以确认有关周期的观点是否正确。
前面的分析以及本章提到的其他分析方法，都可用于所有的时间序列数据，与价格柱线的间隔无关，无论是日线、周线还是月线交易，甚至是分钟交易都可以应用。正如第14章中提出的，对短于一天的周期分析，只能限于那些24小时开市的证券交易上，因为短于一天的数据不可能考虑当日收盘后与第二天开盘之前这段时间的因素。