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投资组合最优化
投资组合优化工具主要是基于资产管理行业的经典理论——现代投资组合理论（modern portfolio theory，MPT）的基本原理。MPT的核心原理是，投资者一贯是风险厌恶型的，这意味着如果两种产品收益相同但风险水平不同，投资者会偏好低风险产品。据此可以得到一个推论，只有存在额外收益作为补偿，投资者才愿意承担额外的风险。由此引入了风险调整收益（risk-adjusted return）的概念。均值方差优化技术是基于MPT构建投资组合的一种常用方法。均值和方差是传向优化器的两个输入变量，输出变量是在各个风险水平上具有最高收益的一系列投资组合。这里的均值是指进行评估的各种资产的平均期望收益，方差是对各种资产期望风险的度量，通过计划持有的各种资产收益的标准差来计算。传向优化器的第三个输入变量是这些资产的期望相关系数矩阵（expected correlation matrix）。优化器使用这些输入量，可以输出在不同风险水平下可以达到最高可能收益的一系列投资组合，称为有效边界（efficient frontier）。
量化交易策略，除了使用阿尔法模型、风险模型和交易成本模型外，还需要说明这些模型中所包含的信息以及与这些模型相关的约束条件。例如，投资组合优化工具可能被用来解决最优投资组合问题（例如最大化风险调整收益），说明各种可能持有产品的期望收益，持有产品收益的波动性，持有产品相互之间的相关性以及最小化对应于风险模型中的各种风险因素的风险敞口。在真实交易中，宽客也会采用其他几个额外的输入变量，包括①以货币表示的投资组合规模，②期望的风险水平（通常以波动率或预期下跌来度量），③其他会缩小优化工具可行域的约束条件，例如股票交易中主要经纪商提供的卖空限制列表（hard-to-borrow list）。这些输入变量并不是优化工具必须使用的，前两种就比较任意，但这些变量可以帮助构建切合实际并且对宽客更加有用的投资组合。
这些技术被称为优化工具的原因在于，它试图去寻找分析师所给定函数的最大值（最优值），这个函数称为目标函数（objective function）。优化工具通过算法在各种可行的产品组合中进行定向搜索，以实现最优化的目的。对于给定组合，优化工具检验其收益和风险特征，并与之前的组合进行比较，检测出导致投资组合改进或退步的原因所在。通过这种方法，优化工具可以很快定位一系列最优投资组合，即那些在给定风险水平下收益已经达到最高的组合。那些组合是允许进行的或不允许进行的，由阿尔法模型、风险模型和交易成本模型来决定。很多宽客使用的目标函数和开始的一样：在考虑收益的波动性的前提下最大化投资组合的收益。但实际上有无数的目标函数可以使用。例如，可以相对于峰谷间的下跌而不是相对于收益波动率，使用目标函数来极大化投资组合收益。风险和收益的对比这一指标也是可以选择的，完全可以极大化只关注投资组合期望收益的目标函数。
我们可以使用图6-1来形象地阐释最优化工具。图中，X轴和Z轴表示两种假设的金融产品ABC、DEF所有可能的组合，Y轴表示包含ABC和DEF的可能的投资组合的期望夏普比率。夏普比率是优化工具常用的目标函数，这里仅用来进行解释。进一步假设ABC的期望收益为正，而DEF的期望收益数值与ABC相同，但却是负值。优化工具寻找可以使目标函数取到最大值的投资组合，结果肯定是100%持有ABC而100%卖出DEF。显然优化工具不需要根据图形来找到这个最优点，但这种可视化可以帮助解释优化工具所试图达到的目标。
图6-1 最优化过程示意图
优化工具的输入变量
就像上文所提到的，优化工具所需要的输入变量有期望收益、期望波动率以及各种备选产品间的相关系数矩阵。我们需要对宽客如何得到估计量和期望值有所理解，因为这些对于模型的效果起着关键作用。以下我们逐一介绍这些输入变量。
1.期望收益
在传统金融界，如在私人财富管理领域，通常会将期望收益等同于长期以来的历史收益，因为目标通常是创建一个不需要大幅度重新调整的资产分配策略。相反地，宽客倾向于使用阿尔法模型得到期望收益。就像我们在讨论阿尔法模型时所提到的那样，阿尔法模型的输出变量通常都会包含期望收益和（或）预期波动方向，或其他用来指示备选产品吸引力的输出变量（如某种得分）。方向性预测也可以看作对收益的预测，相当于预测时认为所有的正收益都相等，所有的负收益也都相等（通常受到最小阈值参数的限制，在投注前预测的收益至少具有一定的显著性不为零）。在这类优化过程中，对收益的准确预测并不重要，重要的是对于每个潜在头寸方向的预测。所以方向性预测中每个头寸期望收益的数值并无不同，唯一密切相关的是预测的符号（收益的正负）。
2.期望波动率
无论是传统金融界还是量化交易界中的很多从业人士，都倾向于使用历史数据计算出的实际波动率作为优化工具的第二个输入变量，但也有些人使用对波动率的预测值。预测波动率的最常见方法是使用随机波动模型（stochastic volatility models）。Stochastic在希腊语中是随机的意思。在统计学中，随机过程具有一定的可预测性但又包含有一定的不可预测性或随机性在其中。这里需要理解统计学家所说的过程是什么，过程是指连续变化的序列，在这里基本上可以理解为时间序列。随机波动预测模型的基本理念是，波动率一段时间内会在较高水平，接下来的一段时间就会处于低位（即存在可预测性的波动率周期），偶尔还会有所跳跃（某种随机和不可预测性部分）。最为常用的是1986年丹麦计量经济学家提姆·波勒斯列夫（Tim Bollerslev）[2]在《计量经济杂志》（Journal of Econometrics）所提出的广义自回归条件异方差模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，GARCH）。以GARCH模型为基础进行随机波动建模的方法不胜枚举。基本上所有的方法都认为，波动率在一个集中时段相对平稳，接下来就会比较动荡，再接着恢复平静，如此周而复始。图6-2展示了一个描述市场波动率的图形。2000~2003年，标准普尔500指数极为震荡，接下来的2003年年中至2007年年中，该指数就很平稳，然后从2007年年中至2008年又是极其波动的一个时期。即便是在平稳期，波动率也会有短时间周期性的波动。GARCH类的模型可以对这种模式下的波动率进行很好的建模。
事实上，还存在很多预测波动率的方法，可以按照评估价格预测策略的方式加以理解。这些模型的预测方法主要是基于波动率的趋势法、回复法或其他基本面方法。可以在不同时间跨度上应用这些模型，可以用这些模型来预测单个产品的波动率，或多个产品的相对波动率等。例如，GARCH模型是理解时间序列数据变化规律的一种方式。GARCH中的A表示自回归（autoregressive），是一个突出强调均值回复过程的统计术语。自回归模型的系数为正表示该时间序列具有趋势项（也称为自相关）。自回归模型的系数为负则表示产品的波动性。这种情形下，该时间序列和产品的波动性有关。
图6-2 标准普尔500指数历史波动率
3.期望相关性
优化工具的第三个输入变量是相关系数矩阵。相关系数是衡量两个产品变化的相似程度的核心度量，取值范围介于-1到1之间。相关系数为1表示完全类似，相关系数为-1则表示两种产品完全相反，或负相关。相关系数为0则表示完全不相关，表明两种产品完全不类似，但也不是反向变动的。一个有趣的事实是，相关系数与产品随时间的变化趋势并没有什么关系。例如，同一工业分组中的两个企业，如两家航空公司。如果第一家公司在竞争中胜出，得到了更多的市场份额，那么第一家公司可能会处于上升趋势，而第二家公司则会处于下降中（假设整个市场基本上是在横盘中）。但是这两家公司之间的相关系数可能会很高，因为它们的收益仍主要受整个市场、所处板块以及受所处行业的驱动，且不说航空公司所面临的更加细分的市场要素（如油价等）。
在量化交易中使用标准的相关系数，会带来很多问题，对其中的大部分问题稍后我们将从各个方面进行讨论。最为关键的是，产品间关系的度量随着时间会很不稳定，即使是长期来看也会很不可靠。例如，考虑具有两个产品的投资组合：标准普尔500指数基金和日经225指数基金。可以看到，使用1984年1月份以来的两个指数的历史数据进行计算，这两个指数的相关系数就在0.37左右。使用连续365天内每周的收益数据来计算两种指数在该时段的相关系数，图6-3展示了直到2007年两者的相关系数。由于美国和日本处于不同的时区，因此这里使用了每周的收益，而不是日收益数据。相对于美国（标准普尔500指数）的变化，日本（日经225指数）的走势会滞后一天。解决这一问题，或者使用比每日收益更加低频的数据（如这里所使用的每周收益），或者将日本市场的收益滞后一天。
图6-3 标准普尔500指数和日经225指数之间的年滚动相关系数
从图6-3可以看出，标准普尔500指数和日经225指数之间的相关性随时间变化很大。使用截止到1989年10月的数据时，相关系数达到最小值0.01；使用到2008年中期的数据时，二者相关系数达到最大值为0.66。更为糟糕的是，从1985年11月到1989年10月，相关系数从0.02变动到0.58，之后又回到0.01。即便将连续滚动时间窗的宽度调整为5年，相关系数的变化范围也从0.21到0.57。
类似于在之前的例子中我们考虑产业门类一样，如果在交易策略中具体考虑金融产品的合理分组，相关系数随着时间的稳定性将会大为改进。这可以通过在相对阿尔法策略中具体定义“相对”和（或）在风险模型中具体给定得以实现。例如，如果模型将埃克森美孚公司（XOM）和雪佛龙公司（CVX）归类为同一种公司就是很合理的，因为这两个公司有着诸多相似之处：市值规模处于同一量级，都是石油公司，都在美国，都进行全球化运作等。而基于基本面数据把雪佛龙公司（CVX）和阳光微系统公司（JAVA）进行比较就显得不那么合理，因为JAVA并非石油公司而是科技板块的小盘股而已。可以预见的是，这两组公司（XOM vs.CVX，CVX vs.JAVA）可比性的差别在数据上也会有所体现（见图6-4）。
图6-4 相似金融产品和非相似金融产品的相关系数
从图6-4可以看到，在长达20多年的时间里，埃克森美孚公司（XOM）和雪佛龙公司（CVX）的相关性还是很强的。在这个时间段内，相关系数最低约0.40，最高可达0.89，在整个时间段上的相关系数为0.7。而雪佛龙公司（CVX）和阳光微系统公司（JAVA）的相关性就弱很多，在整个时间段上的平均水平只有0.14，两年期的相关系数最小的为-0.14，最大的仅为0.36。此外，埃克森美孚公司（XOM）和雪佛龙公司（CVX）间相关性随时间的变化比较平缓。尽管这两组相关系数都有些不稳定，但很明显埃克森美孚公司（XOM）和雪佛龙公司（CVX）这一组的问题，要比将雪佛龙公司（CVX）和阳光微系统公司（JAVA）放在一起要少一些。坦白地讲，金融产品间相关程度的不稳定性或多或少是客观存在的事实。这并不是优化工具的错，也不是作为一个统计量的相关系数的错误，金融业本身恰恰就是这样。
这种不稳定性主要源于，有多种动态因素共同决定金融产品间的相关性。例如，如果股市正在经历大幅下跌，雪佛龙公司（CVX）和阳光微系统公司（JAVA）之间的相关性可能会暂时高于平常水平；或者原油供应的不确定性对雪佛龙公司（CVX）造成了影响，而阳光微系统公司（JAVA）并不受其影响，二者间的相关性可能会暂时降低；或者其中一家公司具有重大消息，也会造成相关性的下降。
优化技术
优化方法有很多种，从1952年马科维茨最初提出的方法到复杂的机器学习类方法。本节对这些最常用方法进行综述。
1.无约束条件的优化方法
无约束条件的优化方法是优化方法中最基本的一种，如果愿意的话，该方法可以把所有的资金投入单一金融产品。实际上，无约束优化方法是很怪异的，该方法经常做的事情是提出只有一种金融产品的投资组合，就是把所有的钱都投入到具有最高风险调整收益的金融产品上去。
2.带约束条件的优化方法
为解决这一问题，宽客们指出如何在优化过程中添加约束条件和惩罚项，从而得到更加“合理的”结果。约束包括头寸规模限制（如分配给某一头寸的占比不能超过整个投资组合的3%）或对产品组的头寸加以限制（如在任何板块的投资不能超过投资组合的20%）。但对宽客而言，这里存在一个很有意思的谜团：如果无约束的优化方法倾向于选出不可接受的最优解，从某种程度上讲是约束条件推动了投资组合构建而不是优化方法。例如，假设一个投资组合包含100个金融产品，优化方法要求分配到每个头寸的规模不能超过投资组合的1.5%，平均仓位自然是1%。那么，（根据阿尔法模型）最优仓位只是平均仓位的1.5倍，这和等权重方法很接近。虽然没有什么矛盾之处，但这似乎并没有运用最优化过程。
优化方法中的另一种约束条件包含风险模型的集成。假设实施某一个约束条件有好几种途径（正如在第4章所讨论的那样），包括惩罚项和硬性约束条件等。例如，如果我们只是想消除板块风险，一个简单的途径是修正相关系数矩阵，使同一板块的所有股票间具有很高的正相关系数，之后优化方法便在修正后的相关系数矩阵基础上寻找最优解。或者，我们也可以引入一个惩罚函数，当板块风险处于低位时给予很小的惩罚（例如，克服这一惩罚的期望收益本身也很小），但随着板块风险水平上升到低位时的两倍，需要应对这种风险增长的期望收益，要远远超过板块风险在低位时阿尔法收益的两倍。换句话说，期望边际回报增长的速度必须比期望边际风险快得多；风险增加得越多，期望收益必须增长得越快，以保证优化工具接受二者的相互抵消而接纳风险的增加。
交易成本也可以用多种方式加以处理。宽客可以建立每只股票的市场冲击函数的经验模型，并让这些市场冲击模型作为输入变量进入优化工具。或者，宽客也可以简单建立一个市场冲击函数，以波动率、交易量、订单规模等作为输入变量，得出市场冲击模型的一般解。这是宽客常用的两种得到期望交易成本的方法，之后将其作为投资组合优化的输入变量。
为实现优化目标，需要设计数学公式和编程技术，使用上文所提到的各种输入变量，通过迭代求解寻找使投资组合的目标函数达到最大值的均衡状态（如期望收益与期望波动率间的均衡）。优化方法试图一次性解决很多问题：在考虑相关性和波动率的前提下最大化承担单位风险所得到的收益，同时还要满足各种硬性约束（如最大头寸规模限制），并且还要考虑风险因素和交易成本。与系统化交易策略的其他很多层面相比，尽管优化过程很复杂，但是已经有很多封装好的软件包（包括免费开源的代码库）可以很容易得到这些最优解。
重新回到图6-1，可以很形象地看到，对优化问题添加约束条件，需要在空间中找出不满足约束条件的区域。例如，如果我们对市场敞口加以约束，要求在ABC和DEF上的投资额相差不能超过20%。这时，空间中的绝大部分区域会被优化工具忽略掉，优化时只在满足最大敞口约束条件的区域进行搜索，具体可见图6-5。通过与图6-1进行对比，可以发现由于敞口限制未进行搜索的区域是对应于夏普比率为0的平面上沿着坐标轴有点像三角形“翅膀”的扁平区域。值得注意的是，由于我们限制了优化工具进行搜索的区域，可能会出现限制条件过多而不存在最优解的情况。
需要指出的是，我们这里使用的例子都是简化过的，只是考虑了具有两种产品的投资组合，考虑了高相关性和一个简单约束条件。在实际操作中，搜索曲面不可能看起来这么简单，存在一个清晰的趋势趋向于唯一的一个极值点。在更为复杂的情形下，可能会有很多极值点散布于全空间的各个区域。在设计搜索最优解的算法时，需要在搜索的全局性和搜索速度间进行平衡。搜索范围并不那么彻底的快速搜索算法可能会找到曲面上的一个局部极值点就停止搜索，即使在投资组合可能的范围内还存在更好的投资组合方式。进行彻底搜索的算法可以找到全局最优解，但会因为其搜索时间过长而不具有实用性。
图6-5 带有约束条件的最优化过程示意图
3.布莱克-李特曼优化方法
1990年以布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）模型成名的费希尔·布莱克（Fischer Black）和高盛公司的鲍勃·李特曼（Bob Litterman）提出了一种新的优化算法。这个算法最初记载在高盛的内部备忘录上，后来在1992年发表于《金融分析师杂志》（Financial Analysts Journal）[3]。布莱克-李特曼优化方法解决了优化工具的输入变量带有测量误差的一些相关问题。最为重要的是，他们提出了一种方法，在投资者期望中融入了置信度的概念，并把这些与历史数据结合了起来。例如，历史上雪佛龙公司（CVX）和埃克森美孚公司（XOM）的相关系数为0.7左右，而交易者的阿尔法模型预测埃克森美孚公司（XOM）将上涨，雪佛龙公司（CVX）会下跌。这时，尽管存在着历史经验，雪佛龙公司（CVX）在预测时间段的相关性会很低甚至为负值。布莱克-李特曼优化方法利用投资者对不同金融产品收益的预测来调整真实观测到的产品间的相关系数。进一步讲，如果在某种程度上投资者对某些预测很有信心而对另一些不太有信心，可以将二者结合起来。如果投资者预测两种产品间会出现显著的偏离但预测的置信度不高，而历史上二者间相关性很强，那么就应该使用更接近历史相关性水平的一些指标方法。如果投资者的信心越强，在使用布莱克-李特曼优化方法决定相关系数时，预测收益就会发挥更为重要的作用。一些宽客偏好这种优化方法，就是因为它可以提供更加全面的方法，将阿尔法模型与优化工具的其他输入变量组合使用。
4.格里诺德-卡恩方法：优化要素投资组合
另一种值得一提的优化方法是格里诺德（Grinold）和卡恩（Kahn）在开创性论著《积极投资组合管理》（Active Portfolio Management）[4]中提出的。绝大部分优化方法试图确定头寸规模，而这种投资组合优化技术的直接目标就是建立信号的组合。格里诺德和卡恩所提出的这种方法应用很广泛。这种方法的主要思想是建立因素投资组合群，其中每个投资组合都是基于规则（实际上通常都是等权重或等风险权重）考虑单一种类的阿尔法预测而构建的。所以，可以考虑构建动量型投资组合、价值型投资组合和成长型投资组合。每一种投资组合都会使用历史数据进行模拟，就好像是根据历史数据来挑选股票。例如，价值型投资组合会使用历史数据进行模拟，通过买入低估值的股票卖出估值过高的股票来模拟可以得到的收益，就像真实交易在进行一样。通过这种方式，可以模拟得到各种投资组合收益的时间序列数据。然后在进行优化时，这些模拟的投资组合可以作为可供投资组合选择的金融产品。
这个方法的一个优势在于，投资组合的数量更加易于管理，根据在阿尔法模型中所使用的单个因素的数量，通常不会超过20个。因此在进行优化时，并不是优化含有几千种金融产品的投资组合，而是优化几种要素投资组合的混合。从所需要的数据量上就可以看出后者更加容易一些。要素投资组合优化方法可以包含风险模型、交易成本模型、投资组合规模和风险目标作为输入变量，这一点和其他优化方法基本相同。
我们最终需要根据各个模型的权重来确定各个头寸的权重。这种方法下头寸权重的计算方式，通过例子加以说明最容易理解。假设我们有两个阿尔法要素，都只进行方向性预测（＋1为买入信号，-1为卖出信号）。在要素投资组合中，简单起见我们假设有100只等权重的股票，也就是说在每一个投资组合下，每只股票都占1%的权重。假设根据要素投资组合优化方法，计算出第一个投资组合占60%权重，第二个占40%权重。那么每只股票的权重就是1%（各个要素投资组合内产品的权重）乘以要素给出的信号（买或者卖）再乘以所属要素投资组合的权重。假设对一家公司，第一个阿尔法模型预测为＋1，第二个预测为-1，则最终分配给该公司的权重为[（1%）×（＋1）×（60%）]＋[（1%）×（-1）×（40%）]＝＋0.2%，意味着我们买入该公司股票在整个投资组合中的占比为0.2%。
5.重新取样效率
在《有效资产管理》（Efficient Asset Management）一书中，理查德·米肖（Richard Michaud）提出了另一种投资组合构建模型[5]。米肖是试图改进优化工具的输入变量，但并不是提出新型的优化方法。他提出的重新取样效率（resampled efficiency）相关方法解决了针对估计误差的过度敏感性问题。米肖认为这实际上是优化方法中最为重要的问题。之前，我们已经从例子中看到了标准普尔500指数和日经225指数间相关性的不稳定。这意味着，如果我们使用历史数据去计算对未来的期望，换句话说去估计两种产品在未来的相关性。相对于在未来会观察到的真实的相关性，我们很可能会得到错误的估计。宽客在阿尔法预测、波动率预测和相关性估计中都会出现这样的估计误差。结果表明，均值方差优化工具对这类误差极为敏感，如果期望存在很小的扰动，就会导致所推荐的投资组合发生很大的改变。
米肖提出使用蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation）的方法对数据进行重新取样，以减小优化工具输入变量的估计误差。蒙特卡罗模拟方法会对历史数据进行多次重新组合，基于真实观测得到多个时间序列。例如，假设根据1982~2008年标准普尔500指数的收盘价，我们对趋势跟随策略进行检验。但是我们想对这个策略的稳健性有所了解，以应对未来并不像过去完全一样的情况。所以，我们可以利用标准普尔500指数的收益分布，分布可以告诉我们标准普尔500指数的盈亏数额以及对应的频率，利用分布我们又可以产生很多抽样样本作为历史数据来使用。以这种方式对收益数据进行重组，我们将不再那么依赖历史数据，因为我们已经得到了很多“历史数据”可以用于检验策略。有意思的是，在这些抽样得到的“历史数据”中，平均收益和收益波动率会维持不变，因为这些数据是基于同样的收益分布得到的。现在我们可以看出在各种假设情形下我们的策略表现好或者坏的频率有多高，因此也可以知道如果未来和过去的情形不完全一样，这个策略在未来表现好坏的可能性大小。与只是简单利用产品观测到的收益序列数据相比，这种方法被认为可以提供更加稳健的预测结果，因为宽客可以从更多层面把握产品的表现。这种直觉正是蒙特卡罗模拟方法的要义所在。
对于这种重新取样技术，有一点值得注意：只有当有足够的信心认为所使用的历史样本数据能很好地代表整个分布时，这种重构历史分布的方法才真的有用。如果你想使用1988~2006年标准普尔500指数每日收益数据，你可能会认为有了一个很好的样本数据集：大约19年的每日收益数据。但是，你会遗漏很多负向收益的极大值，因为1987年、2007~2008年的熊市时间段的数据都不包含在内。具体而言，使用19年的样本数据，样本中只有9天标准普尔指数下跌超过4%，只有11天上涨超过4%。如果额外包含3年（1987年，2007年，2008年）的数据，会有另外19天的下跌幅度超过4%（有一个交易日下跌幅度超过20%），也会有另外16天的上涨幅度超过4%（有一个交易日的上涨幅度差不多12%）。
6.基于数据挖掘的最优化方法
最后我们对数据挖掘类方法在投资组合构建模型中的应用加以简单介绍。一些宽客使用机器学习方法，如监督学习或遗传算法等来解决优化问题。支持在投资组合构建中使用机器学习方法的观点认为，均值方差优化方法是一种数据挖掘类方法，通过在各种可能的投资组合中进行搜索，寻找表现出最好特征（通过优化工具的目标函数得以体现）的一类。机器学习领域差不多也在做基本相同的事情，这一领域已经受到了学界不同学科的关注，而不只是投资组合优化，投资组合优化仅仅是个金融领域的一个主题。所以，有充足的理由相信，使用机器学习类方法寻找最优投资组合的质量，比其他算法尤其是均值方差优化技术的质量要更好一些。
关于优化方法的结语
投资组合优化的一个有趣的副产品是，根据阿尔法模型预测产品在未来的收益为正，但在最终的投资组合中却作为空头头寸（反之亦然）。怎么会出现这种情况？假设我们在美国要交易一组股票，风险模型加在优化工具上的一个约束条件是，投资组合对各个门类呈风险中性。换句话说，对于投资组合中某一工业门类（比如在软件业板块）的多头头寸的每一美元，都会有针对该行业的一美元空头头寸（以保证在软件业的净头寸为0）。但是如果软件行业的每一只股票期望收益均为正该怎么办呢？优化工具可能会对具有最高期望收益的软件公司建立多头头寸，而对期望收益最低的公司建立空头头寸。
当然，使用优化工具来构建投资组合的资深宽客中，使用最简单的优化工具（尤其是无约束优化）的只是少数。尽管优化方法背后隐藏的意图是很清楚的，但所使用的技术本身是量化交易系统中最适合被冠以黑箱之名的部分。由于阿尔法模型、风险模型、交易成本模型以及头寸限制、所期望的风险水平等之间复杂的交互作用，相对于输入变量而言，优化工具的输出有时很令人困惑。我们不得不考虑阿尔法模型内部不同种类的阿尔法要素间的交互作用，进一步加剧了这种复杂性。换句话说，具有最高期望收益的产品在投资组合中很可能会具有较大的头寸。具有与阿尔法模型预测方向相反的头寸，这种奇怪的现象通常都出现在投资组合中具有较小头寸的产品上，因为考虑到交易成本或风险管理的重要性高于其期望收益。
最后一种现象有时被称为替代效应。如果预测ABC的收益要高于DEF，我们希望在投资组合中能反映出这一点。但是如果ABC的预期交易成本要昂贵很多，而同时ABC和DEF的相关性又很好，优化工具可能会选择投资于DEF，而不是ABC。
[1] Harry Markowitz，“Portfolio Selection，”Journal of Finance 7，no.1（March1952）：77–91.
[2] Tim Bollerslev，“Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，”Journal of Econometrics 31（June 1986）：307–327.
[3] Fischer Black and Robert Litterman，“Global Portfolio Optimization，”Financial Analysts Journal（September–October 1982）：28–43.
[4] Richard Grinold and Ronald Kahn，Active Portfolio Management：A Quantitative Approach for Producing Superior Returns and Controlling Risk（New York：McGraw‐Hill，1999）.
[5] Richard Michaud，Efficient Asset Management：A Practical Guide to Stock Portfolio Optimization and Asset Allocation（New York：Oxford University Press，2001）.