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协方差
正如科克伦（Cochrane， 1999b）所论证的那样，如果预期收益与FF3模型（法玛-弗兰奇三因子模型）一致，投资者就只应持有根据这三个因子构建的线性投资组合。任何偏离这一组合的投资都会增加投资组合的方差，而不会增加其预期收益。这是对现代投资组合理论中的基金分离定理经典结果的多维扩展。由于我们不再只面对一个因子（β），因此用图形表示不是那么简单，但从直觉上仍有相同的感受。
然而，丹尼尔和迪特曼指出，协方差与预期收益没有直接联系。这表明，投资者可以通过单独估计协方差矩阵，利用特征模型使均值方差最优化，构建优秀的投资组合，从而取得预期收益。与有效市场观点不同的是，对协方差矩阵进行更为精确的估计会带来收益。
尽管丹尼尔和迪特曼认为通过建立协方差矩阵模型可能会有显著的收益，但意外的是相关方面的研究并未继续深入。然而，预期回报受到了学术界和从业人员的高度关注，使用方差、协方差和相关性对其进行历史估计已成为一种常见的做法——实际上，整个风险管理行业都是建立在使用方差、协方差和相关性的历史估计的基础上。
陈、卡尔塞斯基和拉孔尼修克（Chan、 Karceski和Lakonishok， 1999）探索了使用CAPM模型（资本资产定价模型）和FF3模型以及一系列其他模型，估计方差/协方差矩阵和相关性的可能性。作为一个体现协方差估计在投资组合优化过程中重要性的例子，他们假想了一个具有完美远见（能够完美而有效地预测未来的协方差）的投资者，同时增加了没有卖空机制、投资组合中每只股票的最大权重为2%这两个约束条件。每年这个假想的投资者都会从纽约证券交易所和美国证券交易所随机挑选的250只股票中，选择最小方差的投资组合。这项试验从1973年到1997年一直重复进行。通过这种策略构建的投资组合标准差为6.85%，而对照组（随机选择的250只股票，同等权重）的标准差则是16.5%。当然完美远见是一个非常不切实际的假设，但是陈、卡尔塞斯基和拉孔尼修克发现，当模型被用来预测协方差时，仍然能够得到比对照组更低的标准差。
为了研究各种模型的预测能力，陈、卡尔塞斯基和拉孔尼修克从1968年到1997年在纽约证券交易所（NYSE）和美国证券交易所（AMEX）上市的国内股票中，随机抽取了250只。这些模型的预测是基于过去60个月的数据而形成的。在每年的4月底，每个模型的协方差预测都会与已实现的样本协方差进行比较。他们的检验表明，简单地对历史数据使用外插法进行预测，会导致数据过度拟合。 CAPM模型和FF3模型提供的预测，比使用历史数据更为可靠。
这些模型能够有效地平滑数据，从而比纯粹使用外插法生成的极端预测值更少。也就是说，这会产生更小的预测误差。有趣的是，陈、卡尔塞斯基和拉孔尼修克发现预测相关性的提升并不会带来收益的增加（见表5.1）。然而，检验我们预测风险的能力，和检验预测回报的能力相同，也需要投入大量的精力。
莫斯科维茨（Moskowitz， 2001）使用GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）来量化每个异常值对同期和未来协方差风险的贡献。他发现市场资产组合（即股票风险溢价）对协方差的贡献最大、预测效果最好。他还发现，市值因子（SMB）相关的异常回报，与协方差矩阵有密切关联，并且确实提高了对协方差的预测能力。然而，账面市值比因子（HML）和动量（MOM）相关的回报，与协方差风险无关。
陈（Chen， 2001）将麦金利（MacKinlay， 1995）的工作扩展到我们在前一章中讨论过的动态环境中。他使用的跨期CAPM模型传导了两个关键特性。首先，一个因子必须预测未来市场回报，以证明其风险溢价是合理的。它可能包含有关未来预期收益或未来波动率的信息，但其风险价格必须与该因子所包含的有关未来的信息数量一致。其次，各种因素的风险溢价也必须与经济主体承担风险的意愿挂钩。陈有效地测试了SMB因子、 HML因子和动量（MOM）是否有预测收益或预测风险的能力。
利用1953年4月至1999年12月的数据进行估计后，不能否认这样一个事实，即在这些影响因素中，没有能够预测未来回报或未来波动性的任何信息。然而，当施加风险溢价必须与代理人承担风险的意愿相联系这一条件限制时，模型拒绝了HML因子和动量（MOM）与这里建立的跨期CAPM模型的一致性。然而， SMB因子并没有被模型拒绝。这实际上是在说，规模这个因素大致上能够由市场正确定价（确定风险溢价），但价值型/成长型和动量并非均衡因素。