Local EPUB Text
统计套利的实际应用
一般的讨论
在统计套利模型中，交易的两个或多个金融工具的价格一般而言是基本面相关的，可以跨越各种资产类别和名称。在股票市场，发行股票的公司可能属于同一行业，因此对市场的变化所做出的反应会非常接近。也有一种可能，这些股票是由同一家公司发行的。一家公司通常会发行多种类型的股票，这些不同类型的股票分别享有不同的股东投票权利。即使是同一家公司发行的同一类证券，也会由于在不同交易所上市交易而导致有利可图的日内价差。在外汇市场，模型选出的交易资产配对可以是外汇现货和其对应的衍生产品（如期货合约）。同样的衍生品和现货的配对可以用在股票和固定收益证券上。被动型指数，如ETF，当指数和构成该指数的标的物出现短暂的价差偏离时，也存在套利机会。在期权市场上，交易对可以是两个标的物相同但到期日不同的期权。
本部分内容讨论一些应用在不同金融工具上的统计套利例子。表8-1列出了接下来要讨论的策略清单。挑选出来的策略主要为了展示套利的基本理念。这份清单并不是一份完整的策略清单，市场上还有很多基本面套利的机会。
表8-1 本节提到的按资产类别分类的基本面套利策略汇总
股票
基于股票基本面模型而获得成功的统计套利策略非常多。这部分主要回顾以下比较流行的股票统计套利交易策略：配对交易、隶属于同一发行人的不同类别的股票套利、市场中性配对交易、流动性套利和大对小信息溢出等。
配对交易
配对交易是统计套利策略中最简单的也是使用最广泛的。从数学上讲，开发统计套利交易信号的步骤是基于任意两个金融工具的价格水平或其他变量特征的关系。对于任意两个金融资产i和j，基于其价格水平的Si，t和Sj，t的关系可以通过下述步骤得到。
1.确定具备足够流动性的金融工具：所有在期望的交易频率单元内可交易的金融资产。例如，对于一个小时级别频率的交易策略，应当选择那些每小时至少有一次交易的股票。
2.步骤1特定的t时段内，测量任意两只股票i和j的价差：
式中，对于每日观测而言，T是个足够大的数字。根据统计学上的中心极限定理（centra imit theorem，CLT），在所选的交易频率内，应该达到30个的绝对最小观测值。对于日内数据，会显示出较强的季节性，即在一天内的某几个小时，某种关系会持续地显现。因此，强烈建议选取一个较大的T值，通常是大于30天的观测数据。出于对推断结论稳健性的考虑，最好是可以选取T为500天（两年）的观测值。
3.对每一股票配对，选择具有（即同升共跌）最稳定关系的一对股票。Gatev、Goetzmann和Rouwenhorst（1999）采用了一种简单的最小化每对每两种流动性较好的股票计算历史收益差的平方和方法：
股票价格关系的稳定性也可以通过协整（cointegration）或其他统计方法来评估。
下一步，对每一只股票i，选择使式（8-2）具有最小平方和的股票j与之配对。
4.估计价差的基本分布性质的方法如下。
价差的均值：
标准差：
5.关注股票价格的价差。
在特定的时间t，如果
那么卖出股票i并且买入股票j。但是，如果
则买入股票i并且卖出股票j。
6.如果股票间的价差翻转使我们获得预期的盈利，那么就立即平仓了结头寸；如果价格朝我们预先设定的相反方向变动，则止损出局。
除了发现价格层面的统计异常现象，统计套利还可以被应用到其他变量，比如两只股票或传统基本面关系的相关性。关于基本面因素的统计套利实施细节，在下文会详细提及。
配对交易策略可以根据市场的状况进行动态调整，使之适应市场。统计关系所考虑的变量（比如均值）可以调整，例如，可以通过对最近观测值施加更高的权重来计算移动平均值。类似地，标准差的计算也可以只使用最近的观测样本来反应最新的经济环境状况。
经济与金融的学术研究领域中证明的统计关系，使得许多交易商产生了持续的正收益。全面理解经济理论，将有助于数量分析师区分该统计关系是固有的还是随意的，进而可以提高该统计策略的获利能力，同时降低交易操作的风险。
除了在估计统计关系时的技术问题以外，统计套利策略也会受到许多不利的市场条件影响。
隶属于同一发行人的不同类别的股票套利
对于由同一发行人发行的两类不同权益的股票，股票价差会在相对稳定的价格区间内浮动，这是非常合理的。同一公司发行的不同类别的普通股通常仅在两个特征上有所不同：表决权和发行股数。
拥有较高级别表决权的股票通常要比普通投票权或无表决权的股票价值更高，因为有高级别表决权的股票使得股东对公司的发展方向有更多的掌控，见Horner（1988）以及Smith和Amoako-Adu（1995）的研究。Nenova（2003）发现，在大多数国家，有表决特权的股票存在溢价现象。这种溢价大小根据不同国家之间，法制环境、对投资者的保护程度，以及强制接管规定等因素的不同而有所不同。在透明度最高的国家，如芬兰，表决特权股票的溢价接近于0；在韩国，表决特权股票溢价可以达到股票市场价值的将近50%。
拥有较高发行量的那类股票通常流动性更好，这促使交易活跃的投资者赋予它们更高的价值（见Amihud and Mendeson，1986，1989；Amihud，2002；Brennan and Subrahmanyam，1996；Brennan，Chordia，and Subrahmanyam，1998；Eeswarapu，1997）。同时，流动性较好的股票较流动性较差的股票能更快地反映市场信息，从而创造出信息套利的机会。
一个典型的交易机制可能如下：如果没有什么充足的理由，价差范围扩大至平均每日价格范围值的两倍标准差之外，那么就可以认为该价差会在接下来的几小时内回归。
这种双类别股票策略有两个主要缺点，而且可能无法运用于资产管理规模（assets under management，AUM）较大的基金。
1.能够在公开市场发行两种不同类别股票的上市公司数量非常有限，这一点使得策略的适用条件受到限制。例如，在2009年1月，从雅虎财经上筛选出的在纽交所发行的双类别股票的上市公司只有8家，它们分别是：Bockbuster，Inc.；Chipote；Forest City Entertainment；Greif，Inc；John Wiey&Sons；KV Pharma；Lennar Corp.；Moog，Inc。
2.对于双类别股票中流动性较差的那一类股票，通常它们的日成交量都比较小，这一点进一步限制了此种策略的应用。表8-2给出了2009年1月6日在纽交所上市的同一公司双类别股票的收盘价和日成交量。对于所有的B类股票，2009年1月6日的日成交量甚至都不到100万股，这对于一个维持任何合理交易规模的交易策略来说都太小了。
风险套利
风险套利或市场中性套利策略指的是基于经典的金融均衡理论所发展出来的一类交易策略。绝大多数此类策略的核心思想是基于Sharpe（1964），Lintner（1965）和Back（1972）的资本资产定价模型（CAPM）。
表8-2 2009年1月6日纽交所上市的同一公司双类别股票的收盘价和日成交量
CAPM的基本理念是所有股票的收益率都受到市场大市收益率的影响。每一只股票与整个市场的联动程度又各不相同，并且这种变化程度在不同的时间内也会随之不同。例如，奢侈品公司的股票在大盘上涨时也会产生正的收益，然而酿酒公司和电影公司反而会在大盘下跌时表现出很高的正收益。
CAPM的公式如下：
式中，ri，j是股票i在时间t的收益率；rM，t是时间t的市场指数收益率；rf，t是t时刻的无风险利率，如美国的联邦基金利率。该等式的估计值可以通过普通最小二乘法回归得到，参数估计值是和。参数估计值代表了该股票的非常规收益，参数估计值代表的是该股票相对于市场变化的程度。
最简单的基于CAPM的股票市场中配对交易套利策略是，同时交易两只股票，它们对市场的变化反应一致，即具有相同β但不同α的股票配对。这种策略被称作市场中性策略，做多其中一只股票，同时做空另一只，可以使得两只具有相同的股票可以中和投资组合所面临的市场风险。
通常情况下，用于配对的股票属于相同或相近的行业，当然也不是必须如此。股票i和j的和由式（8-3）的CAPM得出。一旦两只股票的α和β参数及它们的标准差被确定，就可以由假设检验的方法检验两个参数之间的差异是否统计显著，这里只列出β的检验式：
式中，ni和nj分别是用来估计式（8-3）的样本股票i和j的样本容量。
标准的t统计量由下式确定：
α系数的差异性检验也遵循上述步骤，得出式（8-4）~式（8-6）的β。
与其他的估计值t检验一样，当t统计量落在式（8-7）的区间内时，可以认为两个β在统计上是近似的：
与此同时，α值之间的差异必须在统计意义上和经济意义上显著，即α值之间的差异必须至少要大于交易成本（trading cost，TC），t检验也必须有很强的统计显著性，一般至少要达到95%的置信水平：
一旦找到了一对股票满足了式（8-7）～式（8-9），交易商可以买进具有高α值的股票，同时卖空具有低值的股票。并且，持有头寸的时间为事先根据模型预测确定好的时间长度。
基本的市场中性配对交易策略还有一些其他变种，比如用于解释一些股票特有的因素（如股票基本面）的策略。例如，Fama和French（1993）证明下面的三因子模型在股票配对交易中表现得很成功：
式中，ri，t是股票i在时间t的收益率；MKTt是时间t的广基市场指数收益率；SMBt（sma minus big，小减大）是t时刻小市值股票减去大市值股票的市场指数或投资组合的收益率之差；HMLt（high minus ow，高减低）是t时刻高账面市值比的股票减去低账面市值比的股票形成的投资组合的收益率。
流动性套利
在经典的资产定价理论中，如果某一金融资产给潜在的投资者造成了不便，那么该资产应当给投资者更高的收益率以补偿。流动性不足就是这种不便之一，较低的流动性使得个体投资者更难了结头寸，从而带给他们更高的成本。从另一方面来说，如果流动性已经反映在资产的定价中，那么有限流动性的时期可能会给那些灵活的投资者提供获取丰厚利润的交易机会。
事实上，相当多的研究发现，流动性较低的股票具有较高的平均收益，具体可参见Amihud和Mendeson（1996）；Brennan和Subrahmanyam（1996）；Brennan、Chordia和Subrahmanyam（1998）；以及Datar、Naik和Radciffe（1998）。但是，如果只凭流动性低这一点而交易股票，却无法获取正的超额收益。相对较高的平均收益仅仅是补偿了潜在投资者持有这些低流动性股票的风险。
然而，Pastor和Stambaugh（2003）发现，至少有一部分观测到的金融资产流动性不足是由市场层面的原因造成的。如果把市场层面的流动性因素反应在单个资产收益率中，那么市场流动性套利策略会收到正的超额收益。
Pastor和Stambaugh（2003）发现，对市场层面流动性暴露大的股票相对于不受市场流动性影响的股票要有更高的收益率。为了测度证券i对市场流动性的敏感度，Pástor和Stambaugh（2003）设计了一个测度γ，可以用下面的最小二乘法估计得到：
式中，ri，t是股票i在时刻t的收益率；vi，t是股票i在时刻t的成交额；是股票i在时刻t的超出市场收益率的部分：。的正负号代表t时刻交易委托订单流的方向；当股票的收益率为正时，可以假设市场的买单数量大于卖单数量，反之亦然。公式中还有前一时刻的收益率ri，t，这是为了使该式能反应大多数金融资产收益率时间序列中普遍具备的一阶自相关的影响。
大对小的信息溢出
市值相对较小的股票或其他证券我们称为“小”。对“小”的精确定义，不同的交易会有所不同。以2002年的纽交所为例，“小盘股”是指那些市值低于10亿美元的股票，市值在10亿~100亿美元的称为“中盘股”，“大盘股”则是那些市值超过100亿美元的股票。
小盘股被认为对于新闻和信息的反应要显著地慢于大盘股。Lo和MacKinlay（1990）发现，小盘股的收益率随大盘股收益率的变化而变化。一种对于该现象的解释是大盘股的激进交易更多，因此对于信息的吸收相对于小盘股更有效。Hvidkjaer（2006）进一步发现，小盘股相对于大盘股“反应极其慢”，并且把这种不充分的反应归结于小投资者的低效行为。
对于小盘股反应缓慢的一种解释是，小盘股对于机构投资者相对缺少吸引力，而这些机构投资者是构建市场价格的市场信息的主要来源。小盘股对于机构投资者没有吸引力是因为它们的规模，一家投资机构的中级经理，通常要管理2亿美元的资产，如果该投资经理打算投资小盘股，即使把分散投资做得足够好，也会显著地推动这些小盘股的价格，进而影响他们的获利，同时也增加了他们头寸的流动性风险。此外，持有一只股票超过5%必须上报给美国证券交易委员会，这使机构投资者投资小盘股更显麻烦。因此，小盘股大多数由小投资者交易，他们大多数只使用日线数据和传统的“低技术含量”的技术分析来做决定。
小盘股的市场特征是低流动性、高无效性，因此也造就了可获利的交易机会。Lorente、Michaey、Saar和Wang（2002）进一步研究了成交量中所蕴含的信息，他们发现小盘股和买卖价差较大的股票，在成交量放大时表现出动量效应；大盘股和买卖价差小的股票在成交量放大时并没有表现出动量效应，甚至有时候还表现出了反转效应。因此，可以根据小盘股与大盘股滞后收益率之间相关性和协整的结果，以及大盘股和小盘股的成交量来交易小盘股。
外汇
一些经典的模型被证明在短期的外汇市场上是有效的。这一部分的统计套利应用于三角套利（trianguar arbitrage）和非抛补利率平价模型（uncovered interest rate parity modes）。其他基本面的外汇模型，比如弹性价格货币模型、黏性价格货币模型和资产组合模型，在统计套利框架下都可以产生持续盈利的交易。
三角套利
三角套利是利用三种外汇对合理交叉价格的暂时性偏离来套利。下面的例子仿照Dacorogna等人（2001）描述的欧元/加元（EUR/CAD）的三角套利。这个策略利用EUR/CAD和“合成”EUR/CAD价格的偏离机会进行交易，其中合成欧元/加元价格由下式来计算：
如果EUR/CAD的市场卖价低于合成EUR/CAD的买价，此时可以买入EUR/CAD，同时卖出合成的EUR/CAD，并且等待当市场价格和合成价格恢复一致时，平仓获利。而市场卖价与合成买价的价差应当足够大，至少大于欧元/美元（EUR/USD）和美元/加元（USD/CAD）两者的价差才能保证该策略有利可图。EUR/USD和USD/CAD的汇率价格应当是同时获取的，在计算价格时，即使存在1秒的延误，也可能由于发生了没有观察到的但在背后影响价格的交易，而导致这种关系被显著扭曲；当交易员收到延误的第二个报价时，该价格可能已经恢复到了无套利均衡状态。
非抛补利率平价套利
非抛补利率平价（UIP）是这样的关系中的一种。Chaboud和Wright（2005）发现，UIP在美国东部时间下午4~9点时，对于基于高频和日内汇率的变化预测上面表现得最好。UIP可以写成如下的形式：
式中，it是本币一个周期的利率；是外币一个周期的利率；St是即期汇率，代表一单位外币的本币值。例如，如果把美元当作本币，瑞士法郎当作外币，根据UIP等式，可以计算瑞士法郎/美元的均衡汇率为：
该表达式可以非常方便地转换成下面便于做线性估计的回归形式：
当式（8-16）的两边出现了统计偏差，那么统计套利的机会就出现了，据此可以做交易决策。
指数和ETF
指数套利的原理是利用指数和构成指数的那些股票所出现的价差进行交易。在“一价定律”（Law of One Price）下，指数的价格应当等于组成指数的证券组合的价值，其中几个证券按照它们在指数中的权重进行加权。偶尔，指数和相对应的证券会背离“一价定律”，因此出现了套利的机会。如果构成指数的组合价格在扣去手续费后仍然大于指数本身的价格，则可以卖出指数组合的那些证券，同时买入指数，并且持有至指数定价被市场修正时再平仓获利。类似地，如果构成指数组合的价格在扣去手续费后仍然小于指数本身，则可以卖出指数，同时买入组合，当获利后平仓。
Aexander（1999）发现，基于协整关系的指数套利策略可以产生持续的正收益，具体步骤如下：
1.投资组合的经理首先选择一个基准指数。对于投资国际证券的组合经理，可以选择欧洲、亚洲或远东（EAFE）摩根士丹利指数及其成分指数，并且把目标定位组合回报超过EAFE。
2.接着，该投资组合经理决定哪些国家将会引领EAFE，具体方法是通过误差修正模型（ECM），把og（EAFE）作为因变量，构成指数价格的对数作为自变量（解释变量）：
式中，β1…βn系数如果统计显著，则说明在对应国家指数x1…xn上分配资金是可行的，如果模型残差是平稳的，α则代表超过EAFE基准指数的预期超额回报。β1…βn以根据投资者的个人偏好在估计过程中设限。
一个绝对回报策略可以按步骤2确定的比例买入成分指数，同时卖出EAFE指数实现。
期权
对于期权以及其他具有非线性支付结构的衍生工具，统计套利的对象一般是具有相同标的物，但其他特征有一项不同的衍生工具组成的交易配对。这个不同的特征经常要么是到期日，要么是衍生品的行权价。策略的构建过程和之前提到的步骤差不多。
跨资产
统计套利不仅仅限于单一的某类资产。相反，统计套利可以应用在金融产品及其衍生品组成的交易配对上，或者是两个有着相同基本面价值的金融工具上。
基差交易
期货是在跨资产统计套利中经常被选择的一类金融工具。期货价格是标的资产价格的线性函数，很容易通过下面的模型定价：
式中，Ft是t时刻期货合约的价格；St是t时刻标的资产的价格（如权益股、外汇汇率或利率等）；T是期货离到期日的时长；rt是t时刻的利率。对于外汇期货；rt是本币和外币的利率差。
期货合约和对应标的资产的统计套利通常称作“基差交易”（basis trading）。和股票配对交易一样，基差交易遵循下面的步骤：估计同期价差的分布；持续监测该价差；根据该价差进行交易。
Lyons（2001）研究了以下六种货币对的基差交易：马克/美元、美元/日元、英镑/美元、美元/瑞士法郎、法国法郎/美元和美元/加元。该策略对现货和期货的价差下注，并假定该价差会回归至其均值或中位数。具体而言，当期货价格超过现货价格于一个事先设定的水平时，则卖出外汇期货；当期货价格低于现货价格于一个事先设定的水平时，则买入外汇期货。Lyons（2001）发现，当这个事先设定的水平设为基差的中位数水平时，该策略的夏普比率可以达到0.4～0.5。
期货/ETF套利
对于宏观经济新闻的反应，期货市场被证明要比现货市场更快。Kawaer、Koch和Koch（1993）使用Granger因果检验发现，标准普尔500指数期货相较于标准普尔500指数本身对于新闻的反应要更快。Sto和Whaey（1990）也发现了类似的影响：如果每隔5分钟计算一次收益率，则标准普尔500指数期货和货币市场指数期货都要领先股票市场指数5～10分钟。
期货市场的这种快速调整很有可能是因为期货和股票市场的历史发展造成的。芝加哥商品交易所，作为北美最大的期货合约结算中心，早在20世纪90年代就推出了功能齐全的电子交易平台，而股票交易所则直到2005年前还一直在使用人工交易员和机器混合的清算机制。因此，快速的信息套利策略在期货市场表现得非常完美，而系统的股票策略时至今日仍然不发达。在本书撰写期间，期货和现货市场的领先滞后关系已经从Stoll和Whaey（1990）研究时的5～10分钟降低到了1～2秒。但是，这对低手续费的高频交易系统仍然是有盈利机会的。
多个金融工具/资产的协整
统计套利模型也可以建立在两个或多个完全不同的金融工具上，甚至可能来自完全不同的资产类别。很多时候，这类多资产的模型可以使用协整的方法开发。协整（cointegration）指的是一种状态，在该状态下，历史参数中的两个或多个金融资产的价格同步变化。一个两资产的协整模型可以写成如下形式：
式中，P1，t是第一个金融工具的价格；P2，t是第二个金融工具的价格；α和β是普通最小二乘法的系数。如果模型的残差εt是平稳的，那么称金融工具1和金融工具2是协整的，这意味着两者的价差有均值回归的性质。有许多检验残差平稳性的检验方法。最简单的检验工作是这样的，如果至少有90%的残差观测值εt落在εt均值的两倍标准差内，则可以认为该残差序列是平稳的。
为了进一步对两个证券的关系进行微调，统计套利研究者会在等式中加入已实现的价格变化滞后值，使用向量自回归模型探测交易时刻前几期的统计套利关系：
回归式（8-20）和式（8-21）所使用的滞后阶数k，是由系数βk和δk的统计显著性决定的。如果βk和δk的t统计量绝对值小于2，那么第k期滞后则不考虑，第k期滞后为回归的终止滞后期。
另一种常见的提高统计套利模型绩效的方法是使用额外的金融工具来扩展式（8-19）：
与式（8-19）一样，多资产协整统计套利的关键标准是残差项的平稳性。与式（8-20）和式（8-21）类似，式（8-22）也可以拓展加入观测价格的滞后项。
总结
统计套利在高频环境下非常有用，因为它提供了非常清晰的条件定义，这些条件在高频设置中以系统的方式容易实现。基于可靠的经济理论开发的统计套利策略，相较于仅依靠统计现象开发的策略，要更有效且更长久。
章末问题
1.金融市场上的交易商是哪三类？他们是如何区分并且共存的？
2.统计套利背后的关键原则是什么？
3.假设你正在考虑使用SPY和电子迷你标准普尔500指数期货进行统计套利。根据式（8-18），SPY和电子迷你期货存在理论上的数学关系。假设回归式（8-20）和式（8-21）的协整模型的短期估计得到系数β1和δ1是显著为负。在这种情况下，如何操作才能套利？
4.假设，在长考察周期上，两个股票的高频收益率满足式（8-3）～式（8-10），（同样的β，不同的α，α1>α2）。短周期上，这样的关系正好相反，在过去30分钟内，α1<α2。对于这种现象，如何进行统计套利？
5.一个ETF的数据是每日更新的。假设你打算对ETF和其对应篮子的证券进行套利。你计算了高频ETF收益率，并对其关于篮子内的股票使用协整模型，选出那些统计显著的变量。你如何根据你的模型发现进行具体的套利？