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高级模型
订单预定补充是指按照市场秩序重新下单的过程，图15-16显示了在限价订单中补充订单的实例。
图15-16 限价订单补单过程
程式化的补充函数假设订单拥有一个“影子”的形式，即当流动性用完之后，订单又得到补充的一种结构。假定影子订单的存在独立于当前价格水平——影子订单随着价格的变动而沿着价格轴上下滑动。订单中的流动性回归到订单的影子形式被称为订单弹性（resiience）。
订单弹性h（ES）是关于交易过程的一个函数，可以描述为：
式中，Et是在时间t距离当前市场价格P的p分笔时的可用限价订单的总规模；Xt是总订单流量，在0≤t≤T时，E0=0且ΔX=ΔEt；h（ES）函数测量的是订单按照ΔXt的订单规模从p分笔恢复到市场价格P的速度，并且它满足以下特性：
·函数中，X是严格递增的。
·该函数是开区间的莱布尼茨函数，满足[0，）：对于所有的x和y，满足|h（x）-h（y）|≤C|x-y|式中，C是独立于x和y的常数，且该函数具有一阶导数。交易商执行策略X衡量市场上总订单数量，总订单数量需要变换求出。如此，x0=X，xT=0。交易商的交易率定义为
交易工具的价格过程St可以假设遵循任何连续性过程。独立于价格过程St，策略X对价格S的预期影响可以以成本C来衡量：
冲击成本的期望值可以通过以下部分汇总得出：
关于最新的最优交易执行研究方向，主要集中于在以下严格假设下开发最优执行算法：
1.几何布朗运动是现代资产定价模型最为常用的假设。
2.广义价格函数可用于描述冲击成本框架中任何可凭经验观测到的价格变化。
本节回顾了基于两种价格演变模型建立的最新模型。
价格波动遵循几何布朗运动
大多数证券定价模型假设价格波动遵循几何布朗运动，价格增量dSt依赖于当前价格水平St以及漂移项μ：
设定与采取任何风险优化措施无关，普通执行成本函数可以表示如下（见Forsyth等人推导过程，2011）：
式中，与先前一样，最优执行率为。在服从几何布朗运动的假设下，由此得到的成本最小化最优解依赖于价格波动路径。然而，如Forsyth等人2011年所证实的，许多交易策略都会得出一致的结果。
建立欧拉-拉格朗日（Euer-Lagrange）方程，得出成本最小化交易策略下最优闭式解：
由此产生的预期最小成本，，变为
过程见Forsyth（2011）等人的推导。
价格波动遵循以广义冲击成本为基础的函数
然而，大多数传统的资产定价模型，如布莱克-斯科尔斯（Back-Schoes）期权定价模型，假设证券价格的波动过程服从几何布朗运动，而新一代模型则提出在建立短期价格波动模型时要更切合它们以往的经验。在这些模型中，T时的价格水平波动预期如下（见Gathera，2011）：
St=S0+前一交易的影响+风险（噪声） （15-17）
式中，风险或噪声分量在价格水平上是独立的，为。前一交易的影响可以使用执行策略X交易率变化以及，以及测量订单弹性函数h（Et）将其量化。预期执行成本可以表示为
为了最小化预期执行成本E|C|，需要计算下列方程：
可以解释如下：成本最优值的计算要求交易率的成本不变。由于成本直接依赖于交易量冲击成本Et，最优条件的设定要求交易量冲击成本保持不变。
Et=const （15-20）
详细介绍可见Obizaeva和Wang（2005）、Afonsi和Schied（2010），以及Gathera（2011）发表的文章内容。
案例1：指数型市场弹性
当市场弹性可以假设服从指数形式h（Et）=e-pt时，式（15-17）可以写成
式中，交易策略X的期望执行成本可以表示为
为获取Et的适合条件，Obizhaeva和Wang（2005）指出，Et可表示为
式中，E0测量所选时间0以前交易的残余影响情况，部分积分得出
标准化E0通过E0=1，恒定交易量冲击成本的最优条件为
式（15-25）转化为
式（15-21）执行成本的原始最优条件可以扩展为
将式（15-27）交易量冲击成本要素代入式（15-26），可以得到以下结果：
最优交易率ut可以表示为
式（15-29）可以解释如下：当市场弹性函数假定为指数时，最优执行策略包括：
·执行过程初始时，大宗交易规模为δ。
·执行过程终止时，大宗交易规模为δ，时间为T。
·时间加权平均价格类小型委托单在交易率p时的连续性，p是指数市场弹性函数的参数，即h（Et）=e-pt。
图15-17所示的是T=1时最优执行策略和p=0.1时指数市场弹性。图15-18所示的是不同交易频率的最优执行策略。
图15-17 线性永久冲击以及指数临时冲击衰退算法的最优执行
资料来源：Gathera，Shied and Synko（2011）.
图15-18 不同交易频率的具有指数弹性的最优执行
资料来源：Obizhaeva and Wang（2005）.
案例2：幂律型市场弹性
当市场弹性可以假设服从幂律函数h（Et）=t-γ时，最优策略可以通过恒定交易量冲击条件得出：
最优交易率为
式中，γ为h（Et）=t-γ的参数化常数，δ由下式决定：
对于离散n，γ函数被定义为关于离散n的Γ（n）=（n-1）！函数，以及关于连续z的函数。在初始执行时间0到结束执行时间T时所进行的大宗交易中，所得到的最优策略是连续的。最优执行计划如图15-19所示。
图15-19 线性永久冲击以及幂律衰退临时冲击算法的最优执行
资料来源：Gathera，Shied and Synko（2011）.
案例3：线性市场弹性
当市场弹性为直线时，市场的弹性函数为h（Et）=（1-pt）+，最优策略可以根据恒定交易量冲击条件再次被推导出来：
最优交易策略中包括大宗交易之间没有交易间隔的谐波大宗交易，如图15-20所示。
图15-20 线性永久冲击以及线性临时冲击衰退算法的最优执行
资料来源：Gathera，Shied and Synko（2011）.
总体交易执行计划可分为2N笔交易，且每一交易规模为，因此总体交易规模X满足