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二阶投票
我们的序言中有记录，我们中的一人在2007年访问里约回来之后，开始着迷于整合土地的问题。在考虑土地所有者如何投票决定是否接受开发商的报价而不损害真正想要留在家中的少数业主时，他在2009年偶然找到了一个解决方案，让VCG的想法可以应用到实际的投票中。34
为了了解它是如何工作的，让我们回到我们这一章开头的例子。假设日本就枪支管制或移民改革等重要问题定期举行公民投票。每个公民每年都会获得一份“发言权积分”的预算，他可能会在当年就花在公民投票上，或者像健太郎那样存起来，在未来使用。为了将发言权积分转换成选票，选民可以动用他的预算，在投出选票的时候花费尽可能多的余额，但是选票的成本是其发言权积分的平方根。因此，我们称这个系统为二阶投票（quadratic voting，QV）系统。投一票需要一个发言权积分，我们仍将其表示为1。你可以用4买2票（4的平方根），用9买3票，等等。平方根也被称为“根”（radical，root的另一种表达方式），因此这是一种平方根的市场，除了商品是公共的而非私人的。如果赞成票数超过反对票数，就可以通过公投。
让我们回到健太郎参与投票的枪支管制公投。每个日本人都有权投票赞成或反对该提议。像健太郎这样的农村选民强烈支持这一提议。在故事中，他花了400拿下20票；其他农村选民有的花费81拿下9票，有的花费121拿下11票，等等。大多数日本人居住在城市并且不赞成枪支权。但是，考虑到日本的犯罪率很低，以及被提议的改革对城市地区的豁免程度，大部分人都有比枪支管制更优先考虑的提议；他们以1买得1票或4买得2票进行反对。政府对票数进行统计：如果赞成枪支权的票数超过反对的票数，改革提议就通过。在这个故事中，健太郎和其他农村选民的支持力度足以超过城市居民的温和反对，赢得这一天的胜利。
这个制度可以让人们通过投票反映他们偏好的强度。当前系统的关键缺陷（人们只能有效地登记三种偏好：是、否、中立）被消除了。这使得两件事情成为可能。首先，一个充满激情的少数派可能压倒冷漠的大多数，解决多数人暴政的问题。其次，投票结果应该最大化整个集体的福祉，而不是以牺牲另一个子集体的利益为代价。
但请记住，按照萨缪尔森的规则，每个公民都必须按她对这个问题的关心程度成比例地投票。QV究竟如何实现这一点，来避免搭便车的问题？
回想一下公共产品标准定价模型的问题，其中，影响力与你支付的多少成一对一的关系，那些对问题最关心的人想要购买所有的投票，而那些几乎不关心的人却不想买。问题在于，对于那些非常关心的人来说，投票太便宜了，但是对于那些不在乎的人来说，投票太贵了。解决这个问题的方法是让那些已经买了很多票的人比购买第一票的人付出更多的代价。这可以诱导那些不在乎的人至少购买几张选票，并限制那些非常关心而购买太多的人。这正是QV所做的，我们在表2-1中列出了投票总成本和边际成本（投下一票的成本）。
重要的不是每一票的总成本，而是投下一票的边际成本与投票数量成比例增长。该表格显示了投票的边际成本作为投票数的函数。它表明这总是（在1）35与投票数成比例。在边际成本上，投4票约是投2票的2倍（7而不是3）；投8票约是投4票的2倍（15而不是7），等等。正因为如此，这个二阶规则是唯一一个引导理性的个人按照他们对问题的了解和关心程度来购买选票的方法，正如我们现在解释的那样。
表2-1 QV下投票数和成本
如果其他所有条件都相同，健太郎对改变投票结果的重视程度是邻居鸣子的重视程度的两倍（她反对枪支权利），那么在边际上健太郎需要支付的积分是鸣子的两倍。例如，健太郎购买16票，而鸣子购买8票。健太郎和鸣子购买的确切票数取决于他们将成为关键选民（pivot voters）的可能性，或者有其他的原因使得健太郎和鸣子这样去购票。因此，如果健太郎以256（162）的价格购买16票，这并不意味着他在该项目上的价值等于31。但如果假设健太郎和鸣子具有相似程度的投票动机，并且投票数与他们对这个问题的关心程度成正比，这确实意味着健太郎的投票数将是鸣子的两倍。
QV实现了搭便车和多数人暴政之间的完美平衡。如果投票成本增加得更快，比方说，是投票数的4次方，那些具有强烈偏好的投票人就会投票太少，然后我们又会回到大多数人的部分暴政。如果投票成本增加太过缓慢，那些有强烈偏好的人就会有太多的发言权，因为部分搭便车的问题会占上风。
因此，在QV的情况下，社区可以确定哪些人（支持者或反对者）愿意为项目放弃更多的总体发言权，尽管它不知道任何个人（或集体）对项目的重视程度。至关重要的是，QV既重视数字又重视利益强度。一大群有较弱偏好的人可能会胜过一小群有强烈偏好的人，但不会胜过一大群有强烈偏好的人。
QV并不能完美地为最多数的人实现最大的幸福，我们称之为“最优”的，只是近似而已。这种近似的质量取决于不同的个体有多大相同程度的动机去投票，并与他们对改变结果的价值成正比。对于完全理性和自私的人，他们只关心投票的结果，投票的唯一动机是他们的投票改变结果的可能性。对于这样的个体，QV达到最佳状态的条件与市场经济中完全竞争的条件密切相关。36
但是，当公民不是完全理性和自私时，QV可能遇到更大的问题。如果公民投票的原因不是基于他们狭隘的愿望来改变投票而获得他们最想要的结果，那么QV将表现良好，以至于其他动机（与个人价值成比例）在很大程度上与个人直接受到这个问题的影响不相关。例如，如果枪支管制的支持者并非真正关心这个问题，而是出于社会动机而投下许多赞成的票，那么提议可能会通过（尽管它更适合于不通过），除非有类似的社会动机推动反对者投更多票。37类似的问题可能出现在勾结、贿选或欺诈行为中，就像在1p1v制度中出现的问题一样。38与1p1v一样，防范这种可能性需要严格的法律执法来打击欺诈和（权力）滥用；社会规范来反对压制、贿选和勾结；以及公民义务感，让公民在其知识范围内参与。
QV提出的一个更基本的问题是，它最大化了或应该最大化什么样的价值或“幸福”的概念。这就给我们带来了一个根本性的问题：我们如何衡量“最多数人的最大幸福”？如何将一个人的幸福与另一个人的幸福相比较？许多经济学家认为这项任务是不切实际的。他们认为，我们所能做的就是确保没有人的幸福能在不减少别人幸福的情况下增加，这是所谓的帕累托效率（Pareto efficiency），而幸福的总量是公平分配的。
就像市场一样，QV（近似）确保了帕累托效率。公平的一个自然概念是平等地分配公共物品的影响力：给予每个人相同的能以单位来衡量的影响力或发言权。39如果平等收入的市场是私人物品公正分配的自然模型，那么我们认为具有平等发言权的QV是关于集体决策公正选择的自然模型。40
QV能解决偏好强度不一的问题，因为它允许那些偏好较强的人以与偏好强度成比例的方式影响投票结果。[1]他们可能仍然会败给大多数人，但他们不会败给有弱偏好的大多数人（除非这个大多数数目极为庞大）。当所有人的偏好相似时，大多数人将胜过少数人——他们也应该如此。但是，当少数人有足够强烈的利益偏好时，他们可以保护他们的利益不受多数人的支配。此外，正如我们下面将要回顾的，QV为我们在本章开头讨论的民主悖论提供了一个令人满意的解决方案。
[1] 同理，偏好强度较弱的人也能以同样的方式影响投票结果。——译者注