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本福特法则
1998年5月，财经记者贺宛男发表了重磅文章《东拼西凑的10%》，揭露了许多当年上市公司操纵财务数据的手法。有趣的是，它们的目的都是相同的：千方百计地将净资产回报率做到10%以上。
为什么会出现这种情况？因为当时证监会有规定，上市公司必须连续三年净资产回报率在10%以上，才有资格配股。现在A股市场的主要融资手段是定向增发，而在20世纪90年代，还没有“定增”这个“新生事物”，所以配股资格是决定上市公司能否融资的关键。
2000年，财经作家周俊生在其专著《金钱的运动》中谈及此事。他指出，其实用不着去搜寻具体的操纵证据，只要把所有A股上市公司的净资产回报率数据拿出来汇总一下，立即可以发现：净资产回报率在10%左右的公司数量异常集中。仅此一条，足以说明问题。
图8给出了1998年和2019年的A股上市公司净资产回报率分布。两相比较，可见当年的数据确实异常。
这种不需要微观证据，直接从宏观上给出证明的方法，叫作统计审计，以上只是一个简单案例。统计审计里面还有一个非常强力的工具，叫作“本福特法则”。
图8 A股上市公司ROE分布
本福特法则的内容，可以这样简单理解：把上市公司的历年财务数据拿出来，不论什么项目，统统罗列在一起，只看它们的首位数。应当预期，其中大约有30%是以1为首位数字的。如果不是，那么这一堆数据中，很可能有假。此时你应当警觉起来，准备做进一步的审查。
这是什么道理呢？从数学上说，时间序列数据之间通常存在着一些比较稳定的比例关系。比如说，销售收入每年增长15%左右，净资产每年增长10%左右，等等。那么对一个等比数列来说，显然首位数字出现1的概率是明显大于其他数字的。
你可以这样想，等比数列从1增长到2需要很长的时间，而从2增长到3所需要的时间就短多了，因为基数变大了；从8到9甚至一步就跨过去了；从10增长到20也相对慢，从20到30或者从30到40就相对快多了。从100到200、从1000到2000也都同理。
按照严格证明，对任何一个无限等比数列来说，首位数字出现1的概率大约是30.1%，出现2的概率是17.6%，出现9的概率只有4.6%。当然实际数据不可能吻合得这么完美，所以本福特法则的检验标准就是首位数字出现1的概率大约为30%。
事实上，除了时间序列数据，本福特法则还有更广泛的适用场景。比如说，世界各国的上市公司市值数据也符合本福特法则。
以2020年5月为例，当时美国市场上所有上市公司的市值数据中，以1为首位数字的占29.7%，日本为28.5%，英国为28.4%，法国为29.3%，德国为26.5%，韩国为26.1%，都与本福特法则预测的30%相差不多。我们也可以更换其他时间节点，比如2019年8月或者2009年3月，结论都是差不多的。对于这一点，读者们可以自行验证。
这个现象怎么理解？这说明，如果将一个国家的上市公司视为一个整体，则它们的市值分布存在着一些宏观规律。我们可以用雁群来打比方。在微观上，每一只大雁的飞行固然有其微观的表现规律，有时快，有时慢；但是在宏观上，整个雁群的形态却是稳定的。每当有某几只大雁相对落后时，就会有另外几只大雁向前突进，从而形成一个动态的平衡。
我们可以对全体美股的市值数据取对数，然后分档归类，不难发现，它基本符合正态分布。也就是说，美股上市公司中，市值在1亿美元到10亿美元的数量最多，市值在百亿美元和千万美元级别的数量较少，市值在千亿美元以上或者百万美元以下的就很罕见了。详见图9。
正态分布的数学意义是无穷多个二项分布的叠加，所以我们也可以这样来理解美股上市公司这个群体。假设有数千个企业，最初它们都具有同样的市值，每过一个时期，其中一部分公司的市值会增长，另一部分会下降。经过若干期之后，只有少数公司能够持续上升，另有少数公司将会持续下降，这两类公司构成了正态分布的两翼。而更多的公司表现涨跌互现，它们的市值也因此聚集在一起，形成了正态分布的中腹。
图9 美股市值分布（取对数后）
注：横轴上的数值为市值的对数，纵轴数值为公司家数。
请注意，上述过程决定了一个国家上市公司市值的整体分布形状，它与具体某家公司市值上升或下降的概率无关。在牛市中，每家公司的市值都更有可能上升，但是仍然只有少数能够高速增长，同样也会有少数公司掉队落后，留在中间的总是大多数。所以在整体扩张的同时，它的形状仍然可以保持不变。熊市中的情况也是这样。
当然，我们这里观察的都是全球最大的几个股票市场。在较小的市场中，本福特法则就很有可能不成立了。比如沙特，它的市场结构就不是什么“雁群”，而是阿美石油这一只“大象”带领着一群“小老鼠”。