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基本统计数据和量化系统
开展回溯测试时需要最基本的统计学知识。因为我们必须明确采用某种交易策略的市场最佳状况，确定这一点当然需要有效的统计数据。为了提高特定数据的准确性，必须采用统计学方法。短期内，有些投资方法的回报比较丰厚，但如果没有经过统计学验证，都不过是个例而已。
例如，投球手击球时，10次有3次击中，若分值达到0.3分，就算拥有很不错的长打能力。纵观棒球运动员的职业生涯，一般对投球手的平均得分不会太在意，除非数百次击球后保持了很高的平均分，这样的数据才有意义。因此，若想成为击球高手，至少需要500次击球高分的纪录。
若基金经理从业只有一年，或者回溯测试的时间还不长，由于这个基金经理的表现没有经过验证，他的业绩高很有可能只是运气好，因此这样的结果还不太可靠。我们需要测试T统计量[1]和概率的确认。试想一下2008年金融市场崩盘的情景，有半数的对冲基金成立时间只有短短几年。难道对冲基金经理集体的表现优于美国标普500指数，我们就有理由相信他们的投资技巧更高明？未必如此！
假设我们使用方差分析（Analysis of Variance），有个基金经理的阿尔法值为每季度1%，95%可靠区间的显著性要求是T统计量为1.5和2，且概率值为0.30。现在我们加入更多的统计数据，经过8个季度的观察分析后认为决定系数为0.50，我们从中能得出什么结论？
阿尔法值可以确定，基金要比指数的表现好，我们或许能得出这两个结论。然而，我们不能确定这是否可以完全归因为投资技术，T检验值低于2，而30%概率也说明了运气的因素居多。且观察的区间为8个季度，不算太长；决定系数为50%，看起来较低。这表明指数只会影响50%的基金表现。剩余50%的情况如何？基金有没有在其他指数里安插资产（这种现象被认定为表现不稳定）？若指数覆盖是大盘股，那么基金经理在小盘股中投入较多，由于资产流进其他指数里，则基金与美国标普500指数的决定系数可能会降低。另外，短短一段时间的表现并不会涉及创造阿尔法值所需要承担的风险，如流动性。
众所周知，我们在检查基金经理的回报率时，统计学基础比较有用。有关这一问题，有很多统计学书籍可供大家参阅。不过参加大学里统计课程的学习就是一个掌握基本统计办法的好途径。通常情况下，顾问和负责人员要求至少3年的投资表现记录才能有比较可靠的统计数据。晨星机构在进行基金评级时至少需要5年的时间，才能给出正常的基金评级（新基金除外）。有些人还会留意到有些基金经理因为各种原因一点记录都没有，这种现象一想就明白，在回溯检测中比较容易交差。证券投资组合不可能成为基金记录的一部分，可以作为投资方法的附属品来看待。诸如交易成本之类的局限和经济问题应该整理出来，提供给客户，让他们感受到潜在的风险和机遇。
要挑一个工作时间短，没有记录的基金经理，还有一个行为学上的理由。我们不再管有没有道理，都会在某个区域进行投资，打定了主意的事情不会轻易改变。（当投资人都要投资对冲基金时，他们都很乐观，相关的标准也有可能放松。）即使这个经理没有自己的工作记录，他（她）有可能已经从业“若干”年了。若投资者做好投资的心理准备时，他可以用多种手段说服自己接受任何一个基金经理及其投资方法。
要对基金的表现进行衡量，从而确定其统计显著性，其中一种办法就是观看T测试和概率论的价值。统计学基础知识给我们提供了更多的方法，这些方法应该为资深和知识渊博的分析师和负责人使用。我们可以在诸如晨星和其他评级机构提供的报告里了解这些方法。
一般来说，人们往往注重绝对回报。对于蓝筹股来说，能保持30%的回报是相当不错的长期回报，即使小盘股也保持了10%～12%的年收益率。若是负增长30%，自然是很不好的行情。
那么上涨30%，是否就是很好的现象呢？人们知道幼稚的客户往往会比较开心，有了增长，自然是求之不得的。然而，更理智的分析会表明这样的回报本身算不得特别，更不用说很理想了。当我们开展相对表现分析和风险调整分析时就会得出这样的结论。
例如，假设你获得了30%的回报，而指数的增长却达到35%，你就可以说表现并不如意，尤其是你支付了积极管理的费用后更是如此。2009年，有些股票指数增长超过了30%（而纳斯达克指数却超过了40%）。美国标普500指数增长超过20%，加权后的美国标普500指数上升了40%。因此，我们不可能轻易确定30%正增长的好坏，但可以确定这样的增长是否和股票市场的指数变化方向保持一致。假设指数上涨了25%，那么30%的回报很不错，因为它超过了指数的增长。然而，你必须考虑风险因素，并对此回报进行风险调整分析。若在投资指数的时候承担了同样的风险，回报是否会与此相同；若某类投资承担的风险比投资股票市场指数的风险大，那么这样的回报就未必如意了。
由此可见，尽管绝对回报可以用来衡量投资技巧，但若忽略风险因素，这一指标分析的长期结果就很具有误导性。我们在这里简单论证一下。若你在汉堡天堂（Burger Heaven）工作，薪酬是每小时10美元。这一工作非常枯燥，薪水也很低。不过对于学生来说，这可能是比较好的兼职渠道，能赚点零花钱，甚至可以交学费。如果你要靠这点儿薪水养家糊口，除非这种工作能保证你日后晋升到管理者甚至连锁店店长的位置，否则绝对没有什么出路。
假如此刻你的朋友告诉你，有另外一份工作每小时可以“轻松”赚100美元，你不用继续这种没有出路的工作，你肯定对此感兴趣，希望了解更多的信息。当然你要问的是“该不会是让我去贩毒吧？”
“当然不是。”你的朋友说。这绝对是合法的工作，而且不费力气。你每天戴着眼罩、头顶一个苹果在帐篷里工作。你可能会听到一些奇怪的声音。那是雨果（Hugo）在削苹果，你可能会问这到底是干什么。朋友告诉你说，每隔一小时，雨果就会扔飞刀过来，把苹果分成两半，然后你就能拿100美元；雨果很准的，几乎没有失过手。什么叫几乎不失手？
“你不是疯了吧！”你问你的朋友，“给我每小时1 000美元，我也不干。我可不想找死！”
现在，我们用统计学分析一下这个问题：头顶苹果、被人扔飞刀，拿回报；你承担的风险是，万一扔飞刀的人失手，或者有偏差，你就小命不保了。若是能百发百中，那么你可能会接受这份工作；但若飞刀偏离了，那会出现什么情况呢？（见图13-1）
图 13-1 飞刀示意图
资料来源：Used by permission of Palicka/N/A.
图13-1中，字母g代表好（good），能够成功把苹果劈成两半，而X代表不好，刀可能会偏离苹果，导致人员伤亡。g点只是个小范围，而X的范围很大，那么可以说这一举动的风险很大。你可以明白（X-g）是标准差公式的初值
其中，s代表了标准差；∑代表了总和；Xi代表了数字；μ代表算术均数；N代表了观察次数。
我们看到，虽然这一工作的回报较高，但风险却让人难以接受。换言之，你把回报除以偏差、波动或者标准差，就能判断是否可以接受相应的风险/回报率了。
这就自然而然引出了风险调整超额回报分析的问题，并非所有的工作都要承担为雨果工作那样的风险。然而，冒险派依然会接受工作，忍受雨果或好或不好的飞刀技术。若雨果5次有1次失手，你还会接受这份工作吗？多半你可能不会接受。要是每小时的报酬是1万美元呢？若雨果1 000次里有1次失手，且每小时能获得100万美元，你随时可以退出，那么你会不会考虑这份工作呢？我敢肯定很多人愿意试一试。当然，由于这件事情本身性命攸关，因此你可能会留意到底有多少人愿意承担，然后再做决定。
保守型的投资人会远离这种营生，不管回报如何。你为此要构建效益曲线，因为投资人情感上往往会因为高回报变得更加贪婪，愿意冒险，他们可能会更倾向于为雨果工作。一开始，他们比较谨慎、保守，随着时间的流逝，他们会变得更加贪婪、大胆。也许是他们看惯了其他人做这份工作毫发无损。只可惜，大限之日可能随时到来。2008年，私募股权和对冲基金投资人就碰到了这样的情况。2008年以前，一切看似没有什么大碍，回报看似很丰厚。然而，2008年，股市暴跌，投资完全无法变现。在雨果的案例中，我们要按照风险来衡量额外回报，这就叫收益对风险比率（reward-to-variability ratio），也称夏普比率（Sharpe ratio）。
衡量风险调整超额回报
投资领域中，有多种方法可以衡量风险调整超额回报，包括夏普比率、特雷诺指数（Treynor）、詹森指数（Jensen Alpha）和信息比率（Information Ratio）。这些指标都是对照风险来判定额外回报。根据上述指标，哪些基金效益比较好？请看例子。
假设：
·市场回报率=10%
·无风险收益率=5%
·p代表投资组合回报率
·额外回报的标准差为SDe
·基金A的回报率（p）为15%，标准差（SDa）为10%，贝塔系数（Ba）为1.2，额外回报的标准差SDe为5%
·基金B的回报率（p）为20%，标准差（SDb）为25%，贝塔系数（Bb）为2.0，额外回报的标准差SDe为15%
夏普比率=（Rp-Rf）/SD投资组合a、b
基金A=（15-5）/10=1.0
基金B=（20-5）/25=0.6
因此基金A更理想。
特雷诺指数=（Rp-Rf）/B投资组合a、b
基金A=（15-5）/1.2=8.3
基金B=（20-5）/2.0=7.5
因此基金A更理想。
詹森指数=Rp-CAPM
（注：CAPM（资本资产定价模型，Capital Asset Pricing Model）=Rf+B a，b（Rm-Rf））
基金A=15-[5+1.2×（10.0-5.0）]=4.0
基金B=20-[5+2.0×（10.0-5.0）]=5.0
由此可见，基金B更理想。
假设基金A的额外回报标准差（SDe）是5%，而基金B的额外回报标准差（SDe）是15%，则信息比率为：
信息比率=（Rp-Rm）/Sde
基金A=（15-10）/5=1.0
基金B=（20-10）/15=0.7
因此基金A更理想。
投资顾问可能会重用其中某一种方法。提醒大家注意的是我们不仅关注投资的绝对回报，更要关注经过风险调整的相对回报。除了阿尔法值以外（市场有可能并不产生额外回报，或者回报率为零），你还要衡量指数的夏普比率、特雷诺指数和信息比率，从而确定投资是否划算。这些比率数值越高，代表投资比市场表现和其他类型投资更好。基金经理可能会给出各类基金的排名，但是基金A与之相比，依然不够有力，即使只跟市场指数相比也是如此。若市场指数的标准差是2.5，其夏普比率将会是（10-2.5）/5=1.5，远远低于基金A的夏普比率1.0。在这种情况下，其他条件相当，那么人们往往选择跟随市场指数，不会选择基金。
[1]用来对计量经济学模型中关于参数的单个假设进行检验的一种统计量。一般的t统计量写成t=（估计值-假设值）/标准误，当假设值为0时，便得到通常的t统计量。——译者注