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1657年
概率论、期望、套利、状态价格、赌徒破产问题
在1657年之前，惠更斯就已久负盛名，是他发现了土星光环和土星最大的卫星“泰坦星”（土卫六），是他首次注意到了火星表面的斑纹。他还在1656年发明了摆钟。紧接着，惠更斯又在1657年出版了他第一篇有关概率的著作，这是一篇16页的论文，在文中他阐述了期望的特征。虽说他的论文赫赫有名，但他与帕斯卡（1654）、帕斯卡-费马（1654）一样，仍然没有使用现代概率的概念。而且，尽管惠更斯的结果可以用现代概率与期望的概念来解释，但他脑子里有别的想法。对他而言，期望就是赌博中参与者应该付出的赌资。可以说，是投资学的某个问题推动了现代概率论的产生（而不是人们猜想的概率论推动投资学发展），这是思想史上令人称奇的逆向发展之一。
根据伊恩·哈金对惠更斯命题的评论 [14]，我们看看如下的抽奖游戏。游戏参与方有P1和P2两人。由游戏主持方抛掷硬币，由P1来猜结果。如果P1猜对了，P1将获得X>0的奖金，P2则一无所获。我们将奖金分配写作（X，0）。如果P1猜错了，P1将一无所获，P2则获得X>0的奖金，即奖金分配为（0，X）。惠更斯有个隐含假设：参与者交换序列并不会改变各自得到的奖金。因此，在这个例子中，奖金分配（X，0）的价值应该等于（0，X）的价值。接着，他又提出，如果每个参与者支付价格（或者赌资）P=X/2，那么该游戏是公平的（假设1）。这跟我们现在所说的套利原理是一致的。设想，如果P>X/2，那么游戏主持方肯定盈利，因为他的总收入大于他提供的奖金：2P>X。而如果P<X/2，那么两个参与者可以合谋赚取利润，而游戏提供方则利益受损。
接着，惠更斯将游戏规则修改了一下，让获胜方同意支付K作为对输方的安慰奖，0<K<X，这样任何一方最后都不会两手空空。此时，每个人得到的奖金或者为X-K，或者为K，机会均等。惠更斯假定，这一修改并不改变参与者支付的游戏价格P（假设2）。惠更斯还假定，奖金分配结果相同的两种抽奖游戏的价格必须是一样的（假设3）——该假设我们现在称为“单一价格法则”。
惠更斯以三个命题开始：
命题1：如果参与者获得A或B的机会均等，那么他的期望值为（A+B）/2。
命题2：如果参与者获得A、B或C的机会均等，那么他的期望值为（A+B+C）/3。
命题3：如果参与者获得A的机会次数为n 1次，获得B的机会次数为n 2次，那么他的期望值为（n 1A+n 2B）/（n 1+n 2）。
命题1和命题2针对等概率状态。按照现代词汇解释，命题3涉及了我们现在讲的概率不等情况下的期望概念。我们可以看到比率n 1/（n 1+n 2）≡p，于是期望等于pA+（1-p）B。
在300多年后的今天，我们认为命题1理所当然是成立的。可是在1657年，情况可不是如此。
对惠更斯命题1的证明
假设两个参与者参加一项公平抽奖游戏I，奖金为A＋B（A<B）。根据假设1，要使游戏公平，参与游戏的价格必须等于（A＋B）/2。再假设，获胜方必须向对方支付一笔安慰奖A。因此，不管哪个参与者，只要他获胜，他就得到（A+B）-A=B；如果他输了，则得到安慰奖A。可以看出，这个抽奖游戏的奖金分配结果与另一公平游戏II——参与者有均等机会获得A或B（假设2）——的分配结果是一样的。既然游戏I和游戏II的分配结果一样，那么他们的价格也必须是一样的（假设3）。即游戏II的公平价格等于游戏I的公平价格：（A＋B）/2。命题1得证。
命题2的证明如下：现在有三个参与者P1、P2和P3。既然游戏是公平的，那么如果P1赢得所有赌资X，他得向P2支付B，向P3支付C。因此，如果P1赢，他得到A≡X-（B+C）。同样，如果P2赢，他向P1支付B；如果P3赢，他向P1支付C。这样，P1有均等机会获得A、B或C。P2和P3也是如此，他们也有均等机会获得A、B或C。表1-1显示了这些结果： 3
表 1-1
命题3进一步扩展了假设2。惠更斯现在提出一个有n 1+n 2个参与者的抽奖游戏。每个参与者的赌资为X。游戏是公平的，因为总奖金为X×（n 1+n 2），每个参与者获胜的机会均等。第一个参与者与其他n 1-1个参与者达成协议，如果他获胜，他将向每个人支付A；相反，如果是他们中某人赢了，则得向他支付A。对于另外n 2个参与者，他答应赢了后向他们每人支付B；如果他们中某人赢了，也向他支付B。接着，根据与前两个定理证明类似的道理，他证明了定理3。
令人惊讶的是，惠更斯脑子里的原概念是“价值”而不是“概率”。把他的定理与现代金融联系起来，仿佛他是直接使用状态价格π a和π b来思考估值问题（利率近似为零，因此r=1）。其中，出现π a的概率为n 1/（n 1+n 2），出现π b的概率为n 2/（n 1+n 2）。这样，抽奖游戏的价值为π a（A）+π b（B）。
在状态价格的解释中，同样出于套利的原因，状态价格π a和π b的总和必须为1，而且两者都为正。然而，现代理论并没有接受惠更斯的隐含假设，即在等概率状态中改变参与者序列并不改变游戏价值。也就是说，在现代理论中，机会均等的奖金分配（X，0）和（0，X）并不等值。
按照现代观点来看，状态价格不仅反映概率，还反映了风险程度与风险规避程度。我们知道，惠更斯隐含在假设1背后的观点——参与者获得X或0机会均等的赌博的价值等于X/2——并不一定成立。如果现实中不存在另外一种奖金为0或X的反向赌博，那么惠更斯的观点就不成立。根据惠更斯的假设，如果两类赌博都以相同数量存在于同一市场，那么风险可以完全分散，赌博的价格应该等于期望收益。但如果只存在一种赌博而另一种不存在，由于风险不能完全分散，赌博的价格就可能高于或者低于期望价值，是高是低取决于其收益与其他可投资项目的相关程度、赌博与对参与者而言重要的其他因素的关系以及参与者的风险规避程度。或者，由于非赌博因素造成参与者的其他财富在两种状态下不一致，那么这两种赌博的价格也会不一致。比如，如果在第一种状态下参与者的总体财富低于第二种状态，那么即便两位参与者增加额外赌注，分配结果为（X，0）的价值也将高于（0，X）的价值（当然，根据前文说过的简单套利理论，不管两种赌博的价格怎样，两者之和肯定等于X）。
突然想到一个现实生活中的例子，2000年爱荷华大学曾办过一次总统选举赌博，获胜者可以拿走全部赌注。参与者可以出资P B，如果布什当选总统，他可以赢得1美元；如果布什落选，他得0。参与者还可以出资P G，如果戈尔当选总统，他可以赢得1美元；如果戈尔落选，他得0。如果我们忽略还有第三位候选人获胜的概率，套利原则要求两种价格之和P B＋P G＝1美元。事实上，这只是个极度近似值。我们是否可以像惠更斯那样将P B理解为布什当选的期望价值，将P G理解为戈尔当选的期望价值呢？这可不一定。假如参与者预期布什当选总统时的经济状况好于戈尔，而且参与者们都是风险规避型，那么戈尔当选所增加的1美元的效用将大于布什当选增加的1美元。或者，参与者赌布什赢而布什真的当选，那么参与者就无法获得如果他打赌戈尔而且戈尔当选所能获得的额外1美元，他会因此遗憾。因此，下注布什或者戈尔的价格不仅取决于主观概率，还取决于效用。最终，赌布什赢的价格P B将略微低于布什当选的主观概率，而赌戈尔赢的价格P G将略微高于戈尔当选的主观概率——不管怎样，两者之和都等于1。
利用3个基础命题，惠更斯证明了另外11个命题，提出但未解决5个问题，其中有些问题是由费马提出来的。定理4至定理9针对的是当时帕斯卡-费马（1654）讨论的点数问题。而定理10至定理14则移至新的领域。简单地说，命题10回答这样一个问题：一个人需要掷多少次骰子才会掷出6点？惠更斯利用反向递归的方法解决了这一问题。掷一次就能掷出6点的概率X 1=1/6，而不是6点的概率为5/6。掷两次能得到6点的概率等于第二次得到6点的概率1/6加上第二次没有得到但第一次得到6点的概率（5/6）X 1。即掷两次得到6点的概率为X 2=1/6＋（5/6）X 1。同理，掷三次能得到6点的概率等于第三次得到6点的概率1/6加上第三次没有得到但前两次得到的概率（5/6）X 2。即掷三次得到6点的概率为X 3=1/6＋（5/6）X 2。继续推下去，我们可以得到掷k次得到6点的概率为X k＝1/6＋（5/6）X k－1。根据该公式，我们不难看出，当k=4时，掷出6点的概率在1/2至671/1296之间［尽管惠更斯没有解出该数列的公式，我们不难得到X k＝1－（5/6） k］。
最后一个命题，命题14，他把这种递归方法再深入一步，用以分析比赛轮数没有限制的情况。该定理回答如下问题：假如两位选手轮流掷两枚骰子。如果A先掷出7点，则A赢；如果B先掷出6点，则B赢；且由B先掷。问：A获胜的几率为多少？显然，A在第一轮就得到7点的概率为6/36，而B在第一轮得到6点的概率为5/36。惠更斯建立了两个联立方程。设A获胜的概率为p，那么B获胜的概率最终为1－p。每当B掷骰子时，情况都和比赛刚开始时一样，A赢的概率都将为p。而每当A开始掷时，A最终获胜的概率将大于p，假设是q。因此，根据定理3，当B开始掷骰子时，A最终获胜的概率等于：
同理，当A开始掷骰子时，A最终获胜的概率等于：
通过解联立方程，我们可以得到p=31/61，即A胜败的概率之比为31∶30。
惠更斯在书中最后附上的5个问题是赌徒破产问题，最初由帕斯卡提出：两位赌资相同的选手开始比赛。他们将依序进行多轮比赛。每一轮，第一位选手获胜的概率为p，如果获胜他将从第二位选手的赌资中拿走1个单位；相应的，第二位选手获胜的概率为1－p，获胜后他从第一位选手的赌资中也拿走1个单位。一旦某位选手赌资输完，比赛就结束。问：比赛最多出现n轮的概率是多少？
赌徒破产问题对日后随机游走与布朗运动的发展起了至关重要的作用。按照现代术语来说，就是在两个吸收壁之间随机游走，其中一个吸收壁显示第一位选手的得失，另一个吸收壁显示第二位选手的得失。1713年，哈尔德（2003）在他与皮埃尔·雷蒙德·蒙特莫特的通信中曾提到尼古拉斯·伯努利解答了这一问题：两位选手赌资不同，能进行多轮比赛。假设选手A的初始赌资为a，B的初始赌资为b；每轮A赢的概率为p，B赢的概率则为q=1－p。那么，B破产的概率R（a，b；p）（亦即A赢得所有赌注）的概率为：