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1977年
衍生工具、期权、期权定价、布莱克-斯科尔斯公式、对数正态分布、波动、动态策略、自我融资策略、套利、投资组合修改、复制投资组合、动态完善、下跌即撤销期权、对冲关系、牛型价差关系、蝶形价差关系、时间价差关系、支出函数、隐性波动、作为期权的公司证券、违约期权、状态价格
布莱克-斯科尔斯（1973）是有关衍生定价的经典文献。布莱克和斯科尔斯假设，一份标准欧式看涨或看跌期权的标的资产的收益服从奥斯本（1959）描述的几何布朗运动。因此，①标的资产的局部收益是连续的，也就是说，只有当价格经历了所有中间价格才能从S 0到S t；②标的资产收益的局部波动性是固定的。接着他们提供了期权定价公式的两个依据，其中一个基于默顿（1973年9月）的跨期CAPM模型，另一个明显是根据默顿的建议基于这样一种思想：期权的自我融资策略和标的资产是局部无风险的。两个依据都得到相同的随机偏微分方程。在到期日期权价值max（0，S t-K）的条件约束下解该方程。其解就是著名的布莱克-斯科尔斯公式。该公式表达的是一份看涨期权的价值C 0与当前价格S 0、股息收益率d（不包含在原方程中）、标的资产的波动性σ、无风险收益率r、行权价格K以及到期时间t之间的关系：
式中
其中，N（·）是标准正态分布函数。该公式的高明之处就在于：给定6个影响因素，我们无须知道标的资产在整个期权周期之间的期望收益就可以知道期权的价值。
该公式对投资金融理论的真正重要性不在于公式本身，而在于它的推导过程。早在10年前，凯斯M·斯普伦克尔（1962） [90]和詹姆斯·邦尼斯（1964） [91]就推导过类似的公式。斯普伦克尔是在假定标的资产价格成对数正态分布的情况下通过整合期权收益从而推导出看涨期权的现行价格。其期权价格公式中包含标的资产的期望收益率m和一个未设定的期权收益风险调整后的贴现率x。邦尼斯考虑的是斯普伦克尔公式的一个特例：投资者为“中性风险偏好”，标的资产的期望收益率等于期权收益贴现率（m=x）。这样，他得到了后来著名的布莱克-斯科尔斯公式。尽管他宣称“投资看涨与看跌期权的投资者不关注风险，且他对不同股票期权使用相同的贴现率，但他没有将其解释为无风险收益率r-1”。事实上，他计算该参数的方法是选择能使期权价格（根据他公式计算出来的）最能拟合市场价格的x值。第一位将x解释为无风险收益率r-1的应该是爱德华O.索普，接着是加利福尼亚大学的一位数学家爱尔文，虽然他从未公开发表这一结果。但是，邦尼斯或索普都没能理解一个关键思想，即连续时间、连续状态的套利理论可以用来将这一贴现率与无风险收益率等同起来——而索普就差那么一步了，因为他已经清楚地明白买入标的资产进行动态套利期权的道理，这从他1969年写的文章 [92]以及他与卡索夫合著的《跑赢市场》一书 [93]可以看出。
在布莱克和斯科尔斯的第二个更有力的证据中，显然是受了默顿的建议，他们指出，标的资产和看涨期权的套利仓位可以选择成局部无风险的，无须知道资产的期望收益就可以纠正套利比率。随着标的资产价格的移动，不断通过套利的累积利润与损失来调整套利交易，那么交易就能一直保持局部无风险直至期权的到期日。在随后的研究中，该论据通常转而表述为：通过不断修改一个包含标的资产及其覆盖期权寿命期现金的“自我融资”投资组合，就可能复制期权的到期日回报。因此，如果没有套利，组建套利交易的初始成本必定等于期权的现行价格。事实上，正如考克斯曾指出的那样 [94]，布莱克-斯科尔斯公式本身所说的初始套利组成部分肯定是：。购买d -tN（x）单元的标的资产，每单元价值S 0，资金来自无风险借款 。
布莱克-斯科尔斯第一个证据的反转（从复制现金的股票和期权到复制期权的股票和现金）首次出现在默顿（1977）。默顿指出，这种看问题的方式很清楚地说明，期权的价值并不是被假定遵循伊藤过程，而是能证明他们的确服从伊藤过程（因为其自身的随机过程能通过正确管理一个包含标的资产和现金的投资组合而得到复制）。而且，我们可以确定一个即便不存在的期权的价值。
再回到阿罗（1953），阿罗十分困惑：正如前文所述，如果一个人充分考虑了与决策相关的状态的个数，那么构成整个市场的证券的数目将会无比大。虽然比状态-证券的思想稍微逊色，阿罗1953年的文章亦包含了他解决难题的主要方法：一个刚开始不完备的市场可以通过长时间投资组合调整的机会成功地变得完备起来——这是日后诸多跨期均衡模型以及现代期权定价理论背后的重要思想。
让我们看一个简单的例子，只考虑在三个未来日期中状态的演进。在图2-1中，现在日期（0）的状态假定是已知的。在日期1可能发生三种状态A、B和C。每种状态在日期2又会产生三种新状态，同样，日期2的每种状态在日期3还会带来另外三种状态，这样，在日期3一共有27中可能的状态。正如在点数问题中的一样，知道较早日期的状态就能缩小在随后日期发生的状态的可能。因此，如果在日期发生A，那么只有在A节点后的那些状态才会出现在日期2；而在B和C后的那些状态便不会出现。
图2-1 状态-空间演化图
再假设，在一个经济体中，投资者在日期0购买证券，最终目的是为了在日期3积累财富。与帕斯卡和费马类似，阿罗考虑了两种组织证券市场的方式，一种可能是，在日期0有27只证券，各自在日期3获得不同的回报。有了27个状态和27只证券，我们就有了一个完备市场。投资者通过在日期0投资一个由27只证券组成的“购买并持有”投资组合，就可以在日期3区别所有27个状态。为了保留证券的个数，阿罗又接着提出，在日期0只有3只证券，这3只证券在日期1拥有不同的价值，覆盖3个状态A、B和C；因此，市场刚开始是不完备的。现在如果状态A发生，那么在日期1一个由3只证券组成的新市场就形成了。这3只证券将在日期2拥有不同的价值，从而发生在日期2可能出现的3种状态。投资者可以将投资组合清算，再投资于那时可得的证券。同样，在日期2，给定发生的状态，也会出现一个由3只证券组成的新市场，这3只证券将在日期3拥有不同的价值，从而发生在日期2可能出现的3种状态。在这个组织证券市场的第二种方法中，每个日期需要的证券数为3，总共需要的证券数为3＋3＋3＝9。这种方法神奇地减少了市场完备所需要的证券数。我们现在不需要27只证券，只需要有9只证券就可以得到完备市场。为了区分这两种组织市场的方法，金融经济学家们说，第二种方法是一个动态完备市场，因为投资者必须时常调整投资组合才能实现完备性的效果。 29
不过，在上述例子中，日期1开放的市场在日期0并不存在。而布莱克-斯科尔斯却说明了同样的“长期”证券（初始在日期0就存在的证券）是如何随时间发生交易从而使得市场动态完备的。虽然必须开放的市场数目基本与阿罗的一致，但必须产生的最终交易工具数目却不相同。事实上，布莱克和斯科尔斯阐述了仅有两只证券就足以使得市场达到动态完备！因此，布莱克-斯科尔斯模型对资产定价基础工作的真正重要性在于它阐释了长期证券在市场完备中的作用。
除了这一点，阿罗与布莱克-斯科尔斯描述的情景本质上是非常接近的。为了直观地描述，假设你正试图决定现在持有什么样的证券。而现在市场是不完备的，没有足够的证券，你无法量身打造一个能在不远的将来为你带来最佳回报的“买入并持有”投资组合；你只能依靠在中间市场阶段不断调整你现在选择的投资组合从而弥补缺失的证券。但是要知道现在应该做什么，你必须先了解在每个中间状态你能够怎样调整你的投资组合。 30
阿罗的解决方法并没有真正减少投资者做出现在决策所需要的信息量。投资者如何才能知道未来的状态价格如何呢？阿罗的方法最终并不令人满意。
对布莱克-斯科尔斯（1973）的期权定价模型也有相似的评判。该模型假设，标的证券的波动性和未来利率是可以提前预测的（而且保持不变）。但是要知道未来波动性和利率就相当于得提前知道未来市场的状态价格。 31更为一般地，当金融经济学家们假设投资者部分了解有关证券价格行为变化的随机过程时，他们更愿意采用阿罗解决问题的办法。例如，仅仅假设市场组合收益服从随机游走对未来状态价格的演变有着重要影响。由于状态价格取决于未来主观概率和风险规避，因而它对这些重要变量的变化有着重要影响。如果随着总体市场财富的变化社会风险规避程度也发生变化，那么市场组合收益就很难服从相同风险中立的概率分布，从而使得任一只股票的收益不可能拥有相同风险中立的分布，这违反了布莱克-斯科尔斯模型的一个重要假设。 32
默顿（1973年春季号）对布莱克-斯科尔斯（1973）的期权定价理论进行了多方面的扩展。他指出，在可预测变化的利率条件下，欧式期权应该根据利率按照一个在期权到期日到期的零息债券来定价。他加入了标的资产的预测股息收入，并设计了一个包含不确定未来无风险收益的广义化公式。他还为舶来期权，即“下跌即撤销”障碍期权（与标准期权的区别在于：在看涨期权的寿命期，如果期权标的资产的价格低于预先指定的障碍水平，期权就即可撤销），首次设计了一个解析公式。
另外，在一个比布莱克和斯科尔斯假设的更为一般的环境里，默顿仅仅假设无套利和市场完备，便推导出了许多将看涨或看跌期权的价格与标的资产的现行价格联系起来的“广义套利不等式”（“对冲关系”）、两只仅行权价格不同的类似期权之间的价值关系（“牛型价差关系”）、三只仅行权价格不同的类似期权之间的价值关系（“蝶型价差关系”）以及两只仅到期日不同的类似期权之间的价值关系（“时间价差关系”）。
对于美式看涨期权：
·对冲关系：S 0≥C 0≥max（0，S 0-K，S 0d -t-Kr -t）。
·牛型价差关系（对两只除了K 1<K 2之外都类似的期权）：C（K 1）>C（K 2），且C（K 1）-C（K 2）≤K 2-K 1。
·蝶型价差关系（对三只除了K 1<K 2<K 3之外都类似的期权）：C（K 2）≤λC（K 1）+（1-λ）C（K 3），其中，λ≡（K 3-K 2）/（K 3-K 1）。
·时间价差关系（对两只除了t 1<t 2之外都类似的期权）：C（t 2）≥C（t 1）。
如果看涨期权为欧式期权，那么对冲关系式就变为S 0d -t≥C 0≥max（0，S 0d -t-Kr -t）；牛型价差关系式变为C（K 1）>C（K 2），且C（K 1）-C（K 2）≤（K 2-K 1）/r -t；只要标的资产在期权到期日之前有股息支出，时间价差关系式就不必成立。
证明标准期权的蝶型价差关系式
为了说明它们是如何被证明的，我们看看蝶型价差关系式。在这里，为了简便起见，假设三只期权的行权价格是等差分布的，即K 3-K 2＝K 2-K 1；而且所有期权都是欧式期权。假设一只期权以行权价格K 1买入，两只期权以行权价格K 2售出，还有一只期权以行权价格K 3买入。那么该蝶型价差的支出为：
Max（0，S t-K 1）-［2max（0，S t-K 2）］+max（0，S t-K 3）
再假设所有可能的S t的数值范围为零到无穷。不难看出，上述支出函数不可能为负（可能为正）。因此，如果不存在套利，该式的现值，C（K 1）-2C（K 2）+C（K 3），也肯定为非负。重新组合一下不等式就得到了蝶型价差关系式。
马克B.加曼（1976） [95]指出，在没有对标的资产价格概率分布的限制以及假设标的资产自身是零行权价格的支出保护期权时，这些条件是保证在所有针对相同标的资产同时存在的期权之间不存在‘买入并持有’套利机会的充分且必要条件。雅克夫B.博格曼、布鲁斯D.格朗迪和兹维·威纳（1996） [96]研究了如下问题：从期权支出函数推导出的套利特征在多大程度上来自到期日之前的期权定价函数？他们说明，给定一个固定的无风险收益率和标的资产价格的单变量扩散过程（连续时间、连续状态过程，局部波动性仅是现行资产价格时间的连续函数），任何一个欧式期权衍生物（任意连续支出函数，因而不限于标准看涨与看跌期权）在其生命期都延承了其支出函数的重要特征：德尔塔的上下限、单调性以及标的资产价格的凹性或凸性。
默顿还指出，标的资产投资组合期权的价格低于相应期权投资组合（每一期权对应相同标的资产中的一种资产）的价格。
布莱克-斯科尔斯公式的一个重要应用在于从期权价格中发现期权标的资产的风险中立分布。由于布莱克和斯科尔斯假设风险中立的对数正态分布，这就等于发现了其标准差。学者和从业者们都将此称为期权的“隐含波动性”。将布莱克-斯科尔斯公式倒过来，已知期权价格C 0求波动性σ，就得到了期权的隐含波动性。虽然有限定性条件，然而这是由普通的证券价格求状态价格的首个实践方法。首次将其出版的是拉塔尼-伦德尔曼（1976）。
正如布莱克和斯科尔斯在文中指出的，以及文章标题所示的，该理论可以应用于公司证券（股票和债券），因为公司证券可以理解为期权。假如一家企业的融资完全由股票融资和发行一次零息债券组成。这样股东就拥有了一个“违约期权”：即在债务到期日他们可以选择支付债务本金或选择违约。如果选择前者，他们就拥有公司支付债务之后的剩余；如果选择后者，他们将拱手将所有权让给债权人，自己一无所剩。只要公司在债务到期日的价值低于债务本金，股东就会行使违约期权。这样，可以将股票理解为一份针对企业价值的看涨期权，其行权价格等于债务本金，到期日即为债务的到期日。同理，债务也可以理解为一个投资组合，其中包含一个无违约风险的零息债券，该债券的本金和到期日与债务相同；一份针对企业价值的看跌期权，其行权价格等于债务本金，到期日为债务的到期日；详见我对莫迪格利安尼-米勒（1958）证明投资价值守恒定理证明时提出的股票和债券的支出关系式。
默顿（1974）将该思想应用于零息公司债券的定价，并指出，违约溢价是标的公司波动性、债券到期日以及承诺本金支付与企业现行价值比率这三个因素的函数。在随后年份，模型得到其他人的扩展，用于分析可提前偿还与可转换的附息公司债券、次级债券、安全契约以及公司选择资产风险与公司资本结构构成之间的关系，后者带来了企业破产的内生性。事实上，正如随后研究工作所说明的，期权定价方法是评估一系列证券的重要工具。
评价布莱克、斯科尔斯和默顿贡献的另一方法是将布莱克-斯科尔斯模型视为将阿罗（1953）抽象研究结论具体化的大门。从1953年至1973年这20年，人们很难意识到状态证券的思想是一项多么重要的抽象理论。只要状态价格无法被测度，它们的实际应用就受到明显限制。但自1973年开始，随着之后布里登-利曾伯格（1978）以及鲁宾斯坦（1994）的细致研究以及交易所交易期权市场的同时扩展，度量状态价格的分布成为可能。基础金融理论与实践之间的新联系仍是一个值得关注的领域。
在经济学或金融学领域没有哪篇文献在如此短的时间内带来如此广泛的应用。在公开出版一两年内，布莱克-斯科尔斯公式成为美国第一批在新成立的芝加哥期权交易所进行交易的期权的定价标准。1973年4月23日交易所第一天开门交易，几乎与布莱克和斯科尔斯的文章发表是同时的。事实上，布莱克-斯科尔斯公式，与其同名的广义化公式（考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（1979）和伦德尔曼-巴特（1979））一道，成为人类历史上最为广泛使用的包含概率的运算法则。正如杰拉尔德R.福尔哈伯和威廉J.鲍莫尔（1988） [97]指出的，界于发明与应用之间的最短时间的经济创新容易是那些有助于克服未来不确定性以及应用于这样的市场：进出容易从而竞争特别激烈——特别符合新期权定价理论的条件。
因为“为衍生物定价发明了一种新方法”，默顿和斯科尔斯1997年获得了诺贝尔经济学奖（布莱克于1995年英年早逝）。