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1977年
卖空、异质信念、投资组合分离、有利赌博定理、信息聚合
有关卖空和股票价格的学术研究在21世纪早期出现了复兴。文献认为，几个明显反常的证券价格行为的例子，究其根本可能原因在于没能完全理解卖空限制的后果。
有关不确定下市场均衡的标准金融范式是夏普（1964）、林特纳（1965年2月）、莫森（1966）以及特雷诺（1999）的CAPM。该模型有个跟我们相关的重要假设：所有投资者对所有证券未来收益联合分布的信念是一样的。在这一情况下，如同我们从该模型的投资组合分离特性中所知道的：如果所有投资者有着相同的信念而且存在无风险证券，则每位投资者都将将财富分配于现金、一只共同基金以及包含市场所有证券的市场投资组合之中。阿罗（1965/B）已经证明，在一个非常一般的风险规避环境下，每位投资者都将至少把部分财富投资于一笔有利投机。而市场投资组合就是一笔有利投机（因为它的均衡期望收益超出无风险收益），所有投资者都会做多市场。这样，卖空限制就不存在约束效应，因为没有投资者会做空市场（以及任何风险证券）。投资者会贷出、借入以及购买风险证券，但不会卖空。然而，一旦允许存在异质信念，在其他条件一样的情况下，那些对某些证券收益持足够悲观态度的投资者就会希望卖掉这些证券，而相对乐观的投资者则会采取相反的交易行为。
最有意思的市场分割形式可能来自卖空限制。这些限制特别有趣，是因为①他们与异质信念联系在一起（如前所述，在同质信念的初始CAPM中，这些限制是不具约束力的）；②每位投资者选择受其约束的程度（与纯分割模型不同）；③以及现实美国市场的一些特征造成了对卖空的限制：
（1）要想卖空，就必须要找到贷方，而且贷方还要有动力临时参与股份。卖空的收入作为保护股票贷方的质押物。返回给卖空者的质押利率被称为“退税率”。为了鼓励贷方贷出股份，退税率必须低于质押物能赚取的完全利率。这样，贷方就赚得利率与退税率之间的差异。在供给十分有限的时期，退税率甚至可能为负，这样卖空者不仅赚不到任何卖空收入，而且还要给贷方支付额外的费用。
（2）为了理解损失卖空头寸的非对称性，考虑“用手头证券卖空”：同时买卖相同证券。如果投资者没有收到任何卖空收入的利息，即便他必须投资自己的资金来买入，他也只能获得零回报。如果卖空是对称的，投资者应该能赚取投资的无风险收益（如果他赚到卖空收入的利息，这就会发生）。
（3）如果卖空发生之后，经纪商再也找不到贷方愿意继续卖空交易，那卖空方就被迫提前平仓。
（4）卖空可能会伤害另一类投资者，他们在“卖空逼仓”中成功地垄断了股票的不稳定供应。
（5）投资者不能在低于或等于之前交易价格后卖空。
（6）如果股价猛然升高，比卖空方全部清仓的价格高出100%，那么他遭受的损失比当股价猛然下跌（因为有限责任，跌100%）时买入方遭受的损失要大，然而，通过买入看跌期权来卖空就没有这个缺陷。
（7）不论卖空持有期长短，卖空的所有利润和损失都不利地被当成短期资本利得。
（8）许多机构投资者，尤其是共同基金，被合同排除在卖空行列。
通过买入看跌期权来卖空很大程度上绕过了前6大障碍。不过，尽管在看跌期权购买中损失卖空收入利息不是清晰可见的，但是可以依据看涨-看跌的平价关系式从看跌期权相对于类似看涨期权的价格中推断出来。几份经验研究表明，看跌期权购买者获得的隐含退税率往往明显低于市场无风险收益率。例如，斯蒂芬·菲格莱维斯基和格温德琳P.韦伯（1993） [126]和奥费克-理查德森-怀特洛（2002） [127]。
类似这样的非对称限制使得米勒（1977）提出，相对悲观的投资者往往不会在市场中表达意见，因为他们发现卖空的成本非常高昂。而另一方面，相同的情况却不会阻止乐观的投资者发表看法。因此，特别当投资者对股票的看法存在巨大分歧而且卖空很困难时，米勒认为，当前的股票价格往往只反映更为乐观的信息，因为潜在卖空者的负面信息从来不会进入股价之中。哈耶克（1945）的信息聚合模型失败了，这些股票的当前价格高出当所有信息都反映在价格之中时的股票价格。
早在40年前威廉姆斯（1938）就观察到了一个类似的现象：
在多个股票市场上，每只股票只会被那些比其他人更看好该股票的人持有，那些更喜欢其他股票的人不会成为该股票的所有者，即便他们愿意接受对该股票以及对所有其他股票的观点。……换句话说，在一个多只股票市场上，大多数人都会认为除了他们自己持有的股票之外所有股票的价格都太高了。如果大多数人对其他人投资的看法是对的，那么股票的价格将普遍偏高，因为几乎每只股票都有其独特之处，从而吸引自己特殊的拥护者，他们将股票的价格抬高。如果每只股票都是某投资者的最爱，那么需持怀疑态度对待每个价格。（pp.28~29） 43
从某种意义上说，威廉姆斯-米勒的观点可以追溯到林特纳（1969）。显然是林特纳首次正式分析了在卖空约束下（卖空被禁止）的均衡价格信息。尽管米勒引用了林特纳的文章，但奇怪的是他只提到了文章与卖空限制不相关的部分。而后来成为卖空文献核心的异质信念与卖空之间的清晰联系是由林特纳提出来的。
为了推出更为具体的结论，除了CAPM常用的假设（见林特纳，1970）之外，林特纳还另外假设，所有投资者都有指数效用函数（见威尔森，1968），为了得到参与者信念不同情况下的聚集解析形式结果。林特纳的第一个重要结论是，对给定证券，其均衡价值只取决于那些持有该证券的投资者。那些在没有卖空限制时随时准备将股票出售、在有卖空限制时不持有股票的投资者对股票的均衡价格没有直接影响。也就是说，只有那些最终持有该证券的投资者的偏好和信念才对其均衡价格有着直接影响。那些不持有证券的投资者只通过影响大家共同持有的其他证券的价格从而对该证券价格产生间接影响。例如，假设有三只证券1，2，3以及两位投资者A和B。在均衡状态下投资者A持有证券1和2，投资者B持有2和3。这样，投资者B通过影响证券2，进而影响投资者A对证券1的需求，从而间接影响证券1。令人奇怪的是，林特纳并没有得出威廉姆斯-米勒的结论，即因为证券由相对乐观的投资者持有，因而定价会偏高。相反，林特纳认为，任何证券的定价都只直接取决于持有该证券的投资者的信念和风险规避，在决定价格的过程中，那些持有较多数量证券的投资者的信念和风险规避将被赋予更多的权重。事实上，如同林特纳指出的（pp.395～396），在他的模型中，其他条件不变的情况下，持有证券的投资者越少（按他的术语，“市场越小”），该证券的风险溢价就越高，其市场价格也就越高。实际生活中，由于投资者青睐的证券数目通常较少，其分散化的程度较低，持有的投资组合方差较高。这样就降低了人们对风险证券的喜好以及风险证券的价格。林特纳还指出，只有当部分投资者就是对部分证券毫无兴趣且从不交易时，有卖空限制的市场与无卖空限制的市场之间才存在正式的联系——该联系由默顿（1987）进行修正。林特纳只对纯分割问题得出结论，不然他本可以得出与威廉姆斯和米勒完全相反的结论：卖空限制，通过降低市场规模，从而降低了证券价格。
罗伯特·杰若（1980） [128]进一步改进了威廉姆斯-米勒的假说。马科维茨（1952年3月）和罗伊（1952年）的均衡-方差投资组合选择模型得到一个令人不安的结论：在无卖空限制的情况下，最优投资组合往往包含大量做多某些证券，而持有的资金来源于大量卖空另一些证券。在极端的情况下，假设证券A和B的收益完全正相关，但投资者认为证券A的期望收益要稍高于证券B。他会充分利用两者期望收益的细微差异，卖掉大量的证券B，用其收入买入大量的证券A——几乎是个无风险的套利。在这种情况下，对卖空实施限制不仅禁止了卖空证券B，抬高了其价格，而且还明显减少了投资者持有证券A的规模，从而降低了A的价格。杰若总结说，综合考虑这些因素后就能得到，卖空限制能提高某些证券的价格同时压低另一些证券的价格。不过，他还证明出，在林特纳的异质期望模型环境中，如果投资者出现不一致的唯一来源在于他们的期望收益（特别是当投资者对方差的信念是一样时），那么对卖空的限制就只会提高风险证券的价格。
尽管在米勒的文献之前还有威廉姆斯（1938）、林特纳（1969）、夏普（1970） [129]以及其他文献，但米勒是首次强调该假设的几个推论的文献。米勒还观察到大量的异象，这些异象与标准模型相冲突，但有可能从非对称的卖空限制中找到解释：
（1）不难发现，权证，尤其是接近到期日的权证，往往价格较高，正如索普-卡索夫（1967）提出的那样。这是因为在高隐含杠杆情况下，乐观投资者最感兴趣的就是这些证券。
（2）从三段论来看，由于观点的分歧往往带来风险增加，同时依据米勒的理论，观点分歧最大的证券其定价往往最高，因此对存在观点分歧的证券，风险增加和过高定价（以及低期望收益）往往同时出现。例如，股票IPO时的过高定价这一异象可能原因在于IPO时投资者对该股票的意见分歧最大。
（3）高换手率与观点相对分歧往往同时出现；因此，高换手率是观点分歧的市场痕迹证据。我们不难再次发现，正如菲利普L库利和罗德尼L罗恩菲尔特（1975）宣称的那样，换手率高的股票其收益较低。 [130]
（4）罗森堡-麦吉本（1973） [131]提供证据表明，高换手率和高贝塔经常同时出现。因此，我们会观察到高贝塔股票的收益低于CAPM所预测的，如布莱克-詹森-斯科尔斯（1972）所发现的。
（5）米勒推测，封闭式基金折价异象产生的原因至少部分来自卖空限制。事实并不是封闭式基金以折价出售，而是个别证券正以溢价出售。对个别证券比较乐观的投资者不能通过购买股票的投资组合而充分利用其信念，相反他们比较偏好购买特殊的股票。
威廉姆斯-米勒的观点还有一个不幸的负效应：既然如哈耶克（1945）所认为的那样价格不会反映所有潜在投资者的信念，那我们用已实现收益来推断他们的事后概率分布就会存在偏差，正如经验研究通常假设的那样。
如同约兰·梅沙（1983） [132]指出的那样，林特纳的模型没能讲到投资者不持有特定证券的决策内部化。为了得到纯粹的结果，梅沙设计了一个林特纳卖空限制下异质信念指数效用CAPM的特例。特别的，他假设除了对均值的看法不一样之外。投资者的偏好和信念是类似的；对每只证券的均值，投资者的信念是连续地从最悲观到最乐观。为了避免持有证券j的决策会依赖其他风险证券的价格以及期望收益，梅沙聪明地假设，每只证券的已实现收益都有一个结构，如同马科维茨（1959）和夏普（1963）的对角线或市场模型，r j-r=α j+（r M-r）β j+ε j，其中，多头和空头都允许出现在市场因素中，所有投资者对市场因素的概率信念都是一样的。这就意味着，投资者分散化严格限定于不同的阿尔法α j。另外，为了避开证券禀赋带来的烦琐性，他假设所有投资者都是从拥有100%的现金开始，然后开始交易、持有风险证券。这样，持有证券j的投资者将是那些阿尔法最高的投资者。对任一证券j，都存在一个特定的α j*，阿尔法低于该值的所有投资者都不会持有证券，而阿尔法高于该值的投资者才会持有证券。除了受到标准的CAPM中其他变量的影响，均衡价格还收到持有该证券的投资者n j的个数以及平均阿尔法值（Σ kα k）/n j的影响。其中，求和是从1到n j，只对持有多头的投资者。
菲格莱维斯基（1981） [133]对威廉姆斯-米勒的假说进行了早期的直接验证。该假说意味着，如果某投资者能辨认信念差异极高的股票和时间，那么他就应该能发现那时的股票被过高定价。菲格莱维斯基使用空头的在外发行股票的比例作为反映信念分散的指标。考虑到卖空的巨大成本，那些选择卖空的投资者与选择持有的投资者相比，肯定拥有非常负面的信息。也有人认为：卖空头寸较高的股票将被定价偏低，因为在某个时点卖空者需要购买股票来平仓，这会促使未来价格上升。菲格莱维斯基选择1973年至1979年为研究时段，其经验证据支持了威廉姆斯-米勒的假说，也支持了他利用卖空头寸比率作为反映信念分散程度的做法，但那些被找到的股票其价格并没有高得足以弥补大多数投资者卖空所损失的利息。他的结论还证实了早先发表的约瑟夫J.赛尼卡（1967） [134]对卖空头寸可预测性的研究结论。赛尼卡研究更早期的时段1946~1965年，使用头寸公开的半月公告。
陈-洪-斯坦（2002） [135]使用所有权“宽度”来验证威廉姆斯-米勒假说。他们用市场上做多投资者的数量来度量股权宽度，以此反映被抑制的卖空需求（即，投资者越少，被抑制的需求就越多，因为此时更难找到股份贷方）。如果该指标有效且假设被证实，那么股权宽度的下降就能预测未来股票收益的下降。陈、洪和斯坦使用共同基金样本证实了这一预期。之所以选择共同基金样本是因为他们能找到相应的股权宽度信息。他们假设，这些基金的所有投资者是做多头，因为极少共同基金从事卖空交易。就这一样本而言，他们的预期被证实。而且，他们还指出，股权宽度与动能正相关。因此，人们观察到的动能可以预测收益这一异象 [136]，部分原因可能就是因为动能是股权宽度变化的一个副产品，而根据威廉姆斯-米勒的假说，股权宽度变化会引起股票收益的变化。
威廉姆斯-米勒假说还可能解释人们最近发现的异象。卡尔B.迪特尔、克里斯托夫J.马洛伊、安娜·谢尔比纳（2002） [137]试图解释分析师盈利预测中较为分散的股票其未来收益为什么低于其他类似股票。威廉姆斯-米勒假说认为，预测差异代表了分析师对股票收益看法的分歧，因而该假设可以用来解释未来较低的股票市场收益（因为这些证券最可能被过高定价了）。另外的观察支持了这一解释：小股票的分散效应更明显，这些股票特别难被卖空，没有在交易所交易的机会，但卖空可以通过卖掉看涨期权或买入看跌期权轻松实现。对那些增长型股票，分散效应也较明显，这些股票收益预测的一定分散程度代表了投资者对当前价格存在较高的分歧。