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1999年
资本资产定价模型（CAPM）、均值-方差分析、市场投资组合、贝塔、风险溢价、系统性风险、联合正态协方差定理、托宾分离定理、同质信念
马科维茨（1952年3月）和马科维茨（1959）研究的是可以推荐给理性投资者的决策法则（规范性的模型）。夏普（1964）则问道，如果经济系统中的每一个人都按照马科维茨的建议操作情况会是什么样子（说明性的模型）。这促成了第一份公开发表的资本资产定价模型（CAPM）的出现。在CAPM中，预期证券收益（μ j）等于无风险收益r加上市场范围内的风险规避指数（θ>0）与证券收益和市场组合收益之间协方差［Cov（r j，r M）］的乘积，即μ j=r+θCov（r j，r M）。
事实上，夏普的等式与上述等式有些差别。夏普令B j≡Cov（r j，r G）/σ 2G，他指出B j=-［r/（μ G-r）］+［1/（μ G-r）］μ j，其中G是均值-方差有效投资组合，相互之间完全正相关，见夏普（1964），p.438，脚注22。值得注意的是，他并没有说G与包含所有证券的市场投资组合完全正相关。
此外，CAPM等式可以被解释为对单期期末不确定现金流的折现。
为了说明这一点，令r j≡X j/P j，其中P j表示证券j的当期价格，X j表示该证券的（随机的）期末价值（可能是价格加上股利）。那么CAPM等式可以重写为：
法玛（1968，p.37，等式18）将CAPM重新表述为现在最为流行的“β”形式：
这可以再变换为：β j=（μ j-r）/（μ M-r）。在摄氏温度中，0℃表示水的结冰点；100℃表示水的沸点。与摄氏温度类似，贝塔系数度量的是证券的风险，市场投资组合的系数被设定为1。那么贝塔系数为2的证券的预期超额收益（相对于无风险收益）将是市场超额收益的2倍。在诸多版本的CAPM中，该版本是应用最持久的。
CAPM模型是建立在马科维茨（1952年3月）、罗伊（1952）与托宾（1958）模型之上的，该模型假设所有的投资者在选择最优证券投资组合时只考虑组合收益的均值和方差。在投资组合方差相同的情况下，投资者追求预期收益最大化；在预期收益相同的情况下，投资者追求收益方差最小化。可以获得无风险证券，且假设证券市场是完美与竞争的。尽管假设投资者拥有相同的信念（对所有证券的预期收益与收益之间的协方差他们观点都是相同的），但他们可以有不同程度的风险规避（换言之，他们在投资组合的预期收益与收益的方差之间的权衡是不同的）。这意味着出于定价的目的，正确的证券风险测量因素不是自己收益的方差而应是系统性风险，即与市场投资组合之间的协方差。市场投资组合包含了经济系统中的所有证券，单个证券在所有证券市场中的权重取决于自身的价值。
鲁宾斯坦对资本资产定价模型（CAPM）的推导
下面是推导CAPM的一种方法（鲁宾斯坦，1973年10月）：每一个投资者i=1，2，…，I都要解决如下投资组合选择问题：
解决这个问题关键是选择每种证券j=0，1，…，m在投资组合中的比例x ij。根据惯例，我将证券j=0设为无风险证券，证券j=1，…，m为不同的风险证券。使用拉格朗日乘数技术，上述表达式可重写为：
一阶条件（由于U′（W i1）>0，U″（W i1）<0，这样可以保证描述最大化）是：
W i0E［r jU′（W i1）］=ξ i
对无风险证券（j=0）来说：W i0rE［U′（W i1）］=ξ i。因此，
rE［U′（W i1）］=E［r jU′（W i1）］=μ jE［U′（W i1）］+Cov［r j，U′（W i1）］
这样便有：
μ j=r+{－E［U′（W i1）］} －1Cov［r j，U′（W i1）］
根据托宾（1958），判定均值-方差偏好的一种方法是假定所有证券的收益r j是联合正态分布的。由于联合正态分布随机变量的权重之和自身也是正态分布的，尤其W i1是正态分布的，那么（r j和W i1）也是联合正态分布的。鲁宾斯坦（1973年10月）和斯坦（1973）推导出的联合正态协方差定理认为：如果x和y是联合正态分布的，g（y）是y的任何可微分函数，且E|g′（y）|<∞，那么Cov［x，g（y）］=E［g′（y）］Cov（x，y）。使用这个定理，可知：
Cov［r j，U′（W i1）］=E［U″（W i1）］Cov（r j，W i1）
将上式带入之前的结果：
首先，重写表述为：
（μ j－r）θ －1i=Cov（r j，W i1）
现在，将所有的投资者加总：
（μ j－r）Σ iθ －1i=Cov（r j，Σ iW i1）
加总要求W M0r M=Σ iW i1，这是因为各部分之和必定要等于市场投资组合。最后，带入之前的结果：
μ j=r+θCov（r j，r M），其中θ≡W M0（Σ iθ －1i）－1>0
CAPM背后的关键直觉是托宾（1958）的投资组合分离定理：在存在无风险证券的情况下，投资者对风险资产比例构成的选择与他的风险规避程度无关，也与财富无关。在夏普均衡状态下，这意味着经济系统中的所有投资者风险证券的投资组合都是一样的（这是因为他们具有相同的信念、相同的均值-方差偏好，只是在风险规避与财富上存在差异而已）。换言之，富裕的且风险规避程度比较低的投资者可能将更多的钱财配置到风险投资组合上，但是这个投资组合的构成比例对所有的投资者来说都是一样的。如果在均衡状态，证券的供应等于证券的需求，那么这个投资组合一定是市场投资组合：如果所有的证券由某个人持有，这就是他们所能持有的唯一投资组合。这就是为什么所有的投资者在度量一只证券的风险时，使用的是证券的收益与市场投资组合收益之间的协方差。这是因为这个指标度量了该证券对投资组合收益方差的贡献。市场投资组合就是托宾的切线投资组合，因此它也是均值-方差有效的。该模型首次将市场投资组合放在了中心位置。
默顿（1990）在《连续时间金融》（Continuous-Time Finance）一书的第2章“投资组合选择与资本市场理论导论：静态分析”中，这样评论道：
因为在构建市场投资组合时可以不考虑偏好、财富分配或者证券的联合概率分布，这些模型（例如，CAPM）更可能生成可检验的假设。此外，市场投资组合效率为使用“代表性人”来推导整体经济模型中的均衡价格提供了坚实的微观经济学基础，即市场投资组合当且仅当存在一个凹面效用函数才是有效的，这使得在最初财富等于国家财富的情况下，使预期价值最大化会导致市场投资组合成为最优投资组合。（p.44） 19
这既是一个好消息也是坏消息。说它是个好消息是因为度量风险的关键变量（市场投资组合的收益）现在终于被确定了；说它是个坏消息是因为将这个模型应用到现实问题时，原则上意味着必须知道这个世界上所有的资产价值是如何变动的——而这个数字很难在互联网上找到！
在金融学中，人们对CAPM等式的检验花费的精力是最多的。但是结果却是含糊不清的，而且在许多方面都是令人沮丧的。并不是说等式被证实是错误的，而是问题出在如何度量市场投资组合收益（罗尔，1977）和预期收益上。这使得很难证实模型的正确性。实际上，正如CAPM模型后来的归纳那样，该模型的中心内容是：在其他条件不变的情况下，证券的价格会提高（下降）到它们的报酬倾向整体消费或整体财富低（高）。直觉上，这源自消费者（投资者）边际效用递减。真正的定价等式可能并不是完全来自CAPM，但是许多金融学家坚信，无论其形式如何它都会体现这个原则。
资本资产定价模型的发现是投资理论史上最为神秘的事件之一。尽管夏普毫无争议地获此殊荣，但对另外3位金融学家中到底是谁发现了CAPM却存在争议，他们是林特纳（1965年2月）、莫森（1966）和特雷诺（1999）。真实的故事是怎样的呢？幸运的是，克拉格W.弗伦奇为这个谜提供了一个答案。 [47]在马科维茨（1952年3月）和托宾（1958）的启发下，这4位经济学家采用近乎相同的假设（均值-方差偏好、完美与竞争市场、存在无风险证券以及同质预期）且获得类似的两个结论：①所有的投资者不论他们在偏好与财富上存在怎样的差别，都会将财富在两项投资组合中配置：现金与市场投资组合；②类似的CAPM定价等式。有人可能辩称，夏普事实上并没有强调所有的投资者必须持有市场投资组合，因为他允许一些证券可用其他证券来复制，从而有证券收益的单数协方差矩阵。不过，在缺乏复制的条件下，事实上所有的投资者持有的都是市场投资组合。
现在看起来特雷诺和夏普是几乎同时独立发现了这些结果。特雷诺很早就将他的文章《市场价值、时间与风险》（Market Value，Time and Risk）（最早见1961年8月8日）传阅，这篇文章中已经包含了1962年文章的一些结果。而夏普的基本结果最先出现在1961年他的博士论文中。这篇博士论文的题目是“基于一个简化的证券之间关系模型的投资组合分析”，对博士论文的拓展形成了最终版的CAPM，且在1962年的一次讨论会上进行了陈述。早前，在1960年特雷诺把他1961年那篇文章的草稿寄给哈佛的林特纳，因此不清楚林特纳1965年的文章在多大程度上受到特雷诺的影响（不过林特纳在他的文章从未提过特雷诺）。由于莫森在自己的文章中引用到夏普，因此看来他的著作不是独立进行的。
与特雷诺、林特纳和莫森等其他公式相比，夏普使用的是几何学。在另外3篇文章中莫森的文章是最后写的，因此也是使用数学表述最清晰、最精确的。
在夏普的论文发表之后的5个月，林特纳（1965年2月）的论文也发表了。林特纳的开篇使用的是托宾（1958）的分离定理，而后是均值-方差偏好。尽管他声称，在二项效用或证券收益联合正态分布条件下，均值-方差偏好与预期效用最大化是一致的。但是林特纳并没有继续推演出具体的结果。不过他清晰地表述并证明了托宾（1958）的分离定理：在均衡状态假设投资者具有相同的信念，这会促使“投资者的最佳选择是相同的股票组合”，每只股票在这个组合中的比例“可被解释为第i只股票的整体市场价值与所有股票市值的比例”（p.25）。而且林特纳具有建设性地将CAPM的风险调整项分解为如下两项的乘积：①他所谓的“每元风险的市场价格”，所有证券的这项风险都是相同的；②股票的风险，每只股票的风险是不同的，在数量上这个风险等于每只股票各自收益的方差加上自己的收益与所有股票收益的协方差。不幸的是，林特纳的写作风格使得他的结果很难被理解。他的习惯是使用非常长的句子来陈述所有条件，并经常用斜体字来帮助读者摘取最重要的思想。尽管如此仍很难读出哪些是重要的、哪些是不重要的。例如，在股票风险问题上，他没有意识到在现实中会存在很多的股票，这使得股票自己的方差与协方差之和相比在决定风险方面是微不足道的。
证明：在大规模市场中自身方差对价值的负向效应
假设市场投资组合中的构成是x 1，x 2，…，x j，…，x k，…，x m，它们各自的收益是r 1，r 2，…，r j，…，r k，…，r m，其中m表示市场投资组合中证券的数量，这样市场投资组合的收益r M=Σ jx jr j。对于给定的证券k，Cov（r k，r M）=Cov（r k，Σ jx jr j）=x kVar（r k）+Σ j≠kx jCov（r k，r j）。假定所有的x j=1/m，所有的协方差都等于Cov。那么
因此，随着m增大，Var（r k）对Cov（r j，r M）的作用相对于Cov来说可以忽略不计。
林特纳后续文章对CAPM的解释就更为清晰。 [48]他尝试将异质信念融入CAPM之中，但是却不能推出解析解的结果。林特纳1970年研究了CAPM的一个特例。 [49]所有投资者的财富函数都是指数效用函数，差别在于指数（A）不同：
U（W i）~－A ie －Wi/Ai
这样，他就可以推出之前证明结果的一个特例。其中，投资者风险规避函数的谐均值θ i=A i且θ≡W M0（Σ iθ －1i） －1，这个结果与威尔逊（1968）的类似。使用上述结果，林特纳成为第一个对CAPM进行比较统计的学者。例如他问道：在其他因素不变的情况下，当有越来越多的投资者加入市场中时，市场对风险是怎样定价的。最后，林特纳在投资者对证券收益均值与协方差的判断存在异质以及限定卖空的条件下进行了研究。 [50]不幸的是，在这两个限制条件下他得出的结果过于复杂。
看起来莫森并不知道林特纳的文章，他更关注的是夏普的文章，他写道：
夏普的文章用准动态的术语讨论了资产价格的决定因素。他对市场特征的一般性描述类似于本文。而且，他的结论也与本文一致。但是，夏普在设置均衡条件上不够准确，这使得他的部分论证有些模糊。本文可视作对夏普文中模糊点的再阐述与进一步精确。（p.769） 20
莫森在一开始的时候，设置了联立方程用以描述模型。他计算未知数，发现它们等于方程式的个数。莫森假设投资者要使效用函数最大化，在该效用函数中变量包括投资组合收益的均值和方差。不过，与夏普、林特纳（1965年2月）及特雷诺不同，莫森没有明确地研究二项函数或联合正态分布的作用。他的结论是：“在均衡状态下，每个投资者持有的风险资产的比例构成一定是相同的，价格由此决定。”（p.775）这意味着所有的投资者持有现金的同时也持有我们现在所称的“市场投资组合”。
CAPM对后来的金融学学术研究产生了巨大的影响。现在许多专业人士一般都用CAPM来作为评价投资业绩的基础。而且，自其被发现以来它促进了指数基金的发展。资本资产定价模型这个称呼来自于夏普的文章，这篇文章是夏普获得1990年诺贝尔经济学奖的主要原因。