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1992年
投资组合选择、均值-方差分析、市场模型、残差风险与系统风险、多因子模型、风格因子投资组合
夏普（1963）首先提出了证券收益的市场模型（或称对角线模型），该模型将均值-方差投资组合选择的必要输入变量大幅降低，并显著简化了最优均值-方差投资组合的计算（特雷诺-布莱克，1973）。该模型：证券j的实现超额收益与市场范围因素M（这个因素对所有的证券都一样）的超额收益之间是线性回归关系：
r j-r=α j+（r M-r）β j+ε j （2-7）
其中，α j与β j使E（ε j）=ρ（ε j，r M）=0
市场模型构建中的同义反复
为了看清这一点，假定我们观察到证券收益的时间序列是r j1，r j2，…，r jt，…相应的市场收益是r M1，r M2，…，r Mt，…在时点t，如果不对ε j进行限制那么一定存在α j与β j使r jt-r=α j+（r Mt-r）β j+ε jt这个等式成立。如果要求E（ε j）=0，那么通过选择α j使E（r j）-r=α j+［E（r M）-r］β j=0。现在如果进一步要求ρ（ε j，r M）=0，那么我们可以选择β j使Cov（ε j，r M）=0，即要求Cov［r j-r-α j-（r M-r）β j］=0。通过计算可知，β j=Cov（r j，r M）/Var（r M）。
如果我们假定“市场因素”在文字上表示所有证券构成的“市场投资组合”的收益，那么这意味着市场投资组合的贝塔β M ≡Σ jχ jβ j，其中χ j表示证券j在组合中所占的市场价值比例，它自身之和一定等于1。
为了看清这一点，假定χ j表示证券j在组合中所占的市场价值比例，j=1，2，…，m，那么r M≡Σ jχ jr j且Σ jχ j=1。那么，β M≡Σ jχ jβ j一定等于1，这是因为之前的关于β j的等式：β M=Σ jχ jβ j=Σ jχ jCov（r j，r M）/Var（r M）=Cov（Σ jχ jr j，r M）/Var（r M）=Cov（r M，r M）/Var（r M）=Var（r M）/Var（r M）=1。
另外一个有趣的结果是，即便单只股票的阿尔法可以非0，但是市场阿尔法α M≡Σ jχ jα j一定等于0。
对市场阿尔法等于0的证明
对所有证券j来说，市场模型如下：
r j-r=α j+（r M-r）β j+ε j
对模型重新表述，将两边各乘以χ j，并将所有证券加总，会有：
Σ jχ jr j-rΣ jχ j=Σ jχ jα j+（r M-r）Σ jχ jβ j+Σ jχ jε j
由于r M≡Σ jχ jr j且Σ jχ j=1，α M≡Σ jχ jα j，β M≡Σ jχ jβ j，那么：
r M-r=α M+（r M-r）β M+Σ jχ jε j
等式两边都取预期，并令μ M≡E（r M）
μ M-r=α M+（μ M-r）β M+Σ jχ jE（ε j）
由于E（ε j）=0，且β M=1，μ M-r=α M+（μ M-r）×1，因此α M=0
为了这个同义反复的构建，夏普加入了另一个假设，即对于任何两只证券j和k，ρ（ε j，ε k）=0。这将系统性风险β j与残差或证券的特有风险Var（ε j）做了明显区分。夏普这样写道：
对角线模型的主要特征是假定不同证券的收益只通过与一些基本的因素共同相关而发生联系……这个模型有两个特征：无须假定证券之间的相互关系，且存在大量证据表明它能解释此种关系的大部分内容。（p.281） 17
通过市场模型解决投资组合选择问题
使用市场模型假设，可以很容易看到：
（1）μ j=r+（μ M-r）β j+α j
（2）σ 2j=β 2jσ 2M+ω 2j
（3）σ jk=β jβ kσ 2M
其中，μ j≡E（r j），μ M≡E（r M），σ 2M≡Var（r M），ω 2j≡Var（ε j），σ jk≡Cov（r j，r k）。如果没有市场模型，那么从无风险证券和m个证券中解决投资组合选择问题需要的输入变量：m个均值μ j，m个方差σ 2j，1/2m（m-1）个协方差σ jk，1个无风险利率r，这使得整个估计值为1/2m（m+3）+1。有了市场模型，我们只需要m个阿尔法α j，m个贝塔β j，m个残值方差ω 2j以及r、μ M、σ 2M，总共3（m+1）个估计值。例如，如果m=100，那么没有市场模型的情况下需要5151个估计值，而有了市场模型只需要303个估计值。
这是对市场模型的横截面式的应用。第二项应用就是对同一只证券的时间序列应用，假设ρ（ε j，t，ε j，t+k）=0，其中ε j，t表示证券j在时点t的残差，ε j，t+k表示同只证券在t+k时的残差。
有时作如下假定是很有用的：即市场模型与夏普（1964）、林特纳（1965年2月）、莫森（1966）以及特雷诺（1999）的资本资产定价模型（CAPM）同时成立。在这种情况下，可以看到所有的证券α j=0。
尤金E.法玛1973年对他在1968年发表的文章进行了修改后发现了市场模型中存在一个逻辑上的不一致，即便r M和ε j如特雷诺-布莱克（1973）假定的那样是联合正态分布的，这种不一致仍然存在。 [41]
如果将“指数”当做市场投资组合，那么在市场模型中会出现一个“不一致”
如果χ jj是证券j的市场投资组合比例，那么Σ jχ j=1，那么市场模型Σ jχ jr j-r=（r M-r）Σ jχ jβ j+Σ jχ jε j。因为r M=Σ jχ jr j，因此很容易从市场模型中看到市场投资组合自身Σ jχ jβ j=1，那么Σ jχ jε j=0。但是这与市场模型的假设是矛盾的，市场模型中对于所有证券j来说，ρ（ε j，ε k）=0。例如，假设市场只包含两只证券，那么χε 1+（1-χ）ε 2=0。因此，ε 1=-［（1-χ）/χ］ε 2。这意味着ρ（ε 1，ε 2）=-1，这明显与市场模型的关键假设ρ（ε 1，ε 2）=0相矛盾。不过，正如法玛所注意到的那样，对大多数实用目的来说，这种不一致是可以忽略的。尤其是在规模“很大”的市场，χ≈1/m，那么Var（Σ jχ jε j）=［Σ jVar（ε j）］/m 2。随着m→∞，Var（Σ jχ jε j）→0，因此Σ jχ jε j≈0。
这个模型为最优投资组合构建的输入变量提供了最标准的度量方法。此外，它还为检验夏普（1964）、林特纳（1965年2月）、莫森（1966）以及特雷诺（1999）的证券预期收益决定因素的均衡模型提供了关键的因素。它的许多统计特征在后续的文章中被研究。例如，约翰D.马丁和罗伯特C.克莱姆科斯基检验了ε j是否独立于r M。 [42]他们提出了三种替代性检验。第一，计算|ε j|与r M的相关度。第二，巴特利特检验，对r M相似的观察值进行归组，而后看ε j的响应值的范围。第三，戈德菲尔德-匡特检验，开始时对r Mt的观察值按照从低到高的顺序进行排序，然后省略掉中间1/3范围的观察值。而后对最低1/3的观察值与最高1/3的观察值分别进行回归，从而分别计算出ε j的标准差。如果不存在异方差，那么这两个标准差相互之间会很接近。对于马丁-克莱姆科斯基的样本来说，他们发现对于大多数股票而言使用市场模型时异方差不是一个问题。
大约30年后，夏普（1992）对他的市场模型进行了重温，并承认了许多因子在其中的作用。根据投资组合收益的多因素模型：
r pt=Σ kβ PkF kt+ε pt，证券P=1，2，…，J，因子k=1，2，…，K （2-8）
其中，r pt表示在时点t投资组合的实现收益，有足够的因子F k使得残差ε pt在所有投资组合之间是独立的（时间序列上也是独立的）。夏普将风格分析定义为在如下情况下对多因子模型的应用：
（1）任一投资组合的因子暴露之和等于1，即Σ kβ Pk=1。
（2）每一个因子可以通过证券投资组合被完美复制，不存在卖空且这些投资组合能以很低的交易成本被管理。
（3）不存在两个包含相同证券的投资组合。
（4）一般而言，因子暴露不能为负（即β Pk≥0）。
因子暴露是通过对观察到证券收益与因子收益使用二项规划来使残差收益ε pt最小。这意味着，投资组合的实现收益可以分解为两部分：第一，风格构成，这一部分可以通过复制一个因子投资组合而实现；第二，选择构成ε pt。风格构成与投资组合收益之间的R 2表示的是投资组合的收益能有多大的比例由风格来解释，而1减去R 2表示投资组合收益能有多大的比例由选择来解释。
夏普建议使用12因子投资组合，即复制了如下12个因素：①国库券；②中期政府债券；③长期政府债券；④公司债券；⑤抵押证券；⑥大盘价值股票；⑦大盘成长股票；⑧中盘股票；⑨小盘股票；⑩非美国证券；欧洲股票；日本股票。作为举例演示，夏普使用风格分析研究了麦哲伦投资基金1985～1989年的业绩。基金的风格是暴露于大盘成长股、中盘股与小盘股，这个风格能解释其收益97.3%的变动。在这5年间，该基金的业绩超出风格基准业绩累计达25%，这在统计意义上与经济意义上都是显著的。但是，必须记住的是夏普并没有对挑选麦哲伦基金进行调整，而实际上该基金受到广泛关注。见格雷厄姆-多德（1934）对麦哲伦基金的关注性评论。事实上，夏普报告称，在包含成本的情况下，在相同的期间636只共同基金（他观察到的基金）的业绩平均每年要比基准业绩低0.89%。