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1965年
肯尼思·约瑟夫·阿罗 发表了《风险规避理论》（The Theory of Risk Aversion），选自《风险承担理论论文集》（Markham，1971年），pp.90~120。
风险规避、绝对风险规避、相对风险规避、有利赌博定理
普拉特（1964）提出了绝对风险规避与相对风险规避的思想，他使用的方法是为了接受一项赌博所需要获得的风险溢价。如果U（W）表示财富的效用，那么A（W）≡-U″（W）/ U′（W）是绝对风险规避，R（W）≡-WU″（W）/U′（W）是相对风险规避。
A（W）和R（W）是单值函数。这使得可以使用这些指标来对不同个人的风险规避程度进行比较。假定有两个投资者a和b，一项赌博能以相同概率的形式对他们的财富增加或消减Δ。为了接受这项赌博，在且只在A a（W）>A b（W）的情况下，投资者a支付的金额必须要比投资者b多。考虑另一项赌博，将财富改变至WΔ和W/Δ具有相同的概率，其中Δ>1。为了接受这项赌博，在且只在R a（W）>R b（W）的情况下，与投资者b相比投资者a必须将其财富中的很大一部用来支付。根据普拉特的说法，对绝对风险规避思想的表述可以追溯到罗伯特·斯卡莱夫一篇未公开发表的手稿。 [45]18
对风险规避的一个度量指标是确定量π，其被定义为赌博输赢Δ各50%概率的情况下的类似财富效用。
对少量风险（即Δ接近于0），可以看到π=1/2σ 2ΔA（W 0）
阿罗（1965/B）在不知道普拉特研究内容的情况下独立提出了绝对与相对风险规避的特性。阿罗假定一个投资者将其财富在无风险证券和风险证券之间进行配置。如果A′（W）大于等于或小于0，那么投资者的绝对风险规避分别是增长或稳定或下降的。阿罗指出，当且仅当投资者的效用函数的绝对风险规避是增长或稳定或下降的时候，随着投资者财富的增加，投资者将降低或稳定或提高在风险证券上的投资金额。与之类似，如果R′（W）大于或等于或小于0，那么投资者的相对风险规避分别是增长或稳定或下降的。阿罗指出，当且仅当投资者的效用函数的相对风险规避是增长或稳定或下降的时候，随着投资者财富的增加，投资者将降低或稳定或提高在风险证券上的投资比例。从经验角度来看，几乎所有投资者行为的绝对风险规避都是下降的，大多数行为的相对风险规避是下降的。对阿罗研究结果的总结首先出现在阿罗（1963年2月）。 [46]
阿罗也推演出了第二个基础结果：在一般条件下，不满足的风险规避者总会将一些财富（可能是少量的）投入到一项有利的赌博之中。为了简单起见，假定无风险（现金）的收益率是0，投资者的最初财富是W 0，他必须决定从现金中拿出多少配置到风险投资R之中，R的预期收益率E（r R）>0，从而形成一项有利赌博。假定A是最初配置到风险投资的财富，0≤A≤W 0，那么预期财富W 1=W 0+Ar R。假定投资者选择A来使他的预期财富效用E［U（W 1）］最大化，E［U（W 1）］=E［U（W 0+Ar R）］≡J（A），其中J是一个函数表示将A转换为预期效用。阿罗指出，风险规避U″/（W 1）<0意味着当且仅当E（r R）>0时A>0（pp.98~102）。
对阿罗结果［即理性的风险规避投资者一定会投资（可能很少）有利赌博］的证明
可观察到：
J′（A）=E［U′（W 1）r R］且J″（A）=E［U″（W 1）r 2R］
由于风险规避U″（W 1）<0，因此对于所有A来说J″（A）<0。假定J（A）在任何一处都凸向原点，那么J（A）将是以下三种形状之一：①它在J（0）点达到顶峰而后随着A从0提高到W 0而下降；②它可以在J（A）点达到最高点，0<A<W 0，而在A点的两侧都呈现递减状态；③它可能在J（W 0）达到最高点，而随着A从W 0降到0而递减。在第一种情况下，J′（0）≤0，在最大值点A=0，W 1=W 0，因此U′（W 1）=U′（W 0），正向稳定。从之前有关J′（A）的等式可看出，如果J′（A）=U′（W 0）E（r R）≤0。因此，对于第一种情况，当且仅当E（r R）≤0的时候A=0。换质位命题就是：当且仅当E（r R）>0的时候A>0。对于第二种情况，J′（A）=E［U′（W 1）r R］=0，这可以分解为：
J′（A）=E［U′（W 1）］E（r R）+Cov［U′（W 1），r R］=0
因为随着r R的增加，风险规避U′（W 1） 递减，因此Cov［U′（W 1），r R］<0。从而 E［U′（W 1）］E（r R）>0，且由于不满足意味着E［U′（W 1）］>0，那么E（r R）>0。对于第二种情况，内部价值A是最优点，E（r R）>0。对于第三种情况，在A=W 0这个最大点，J′（W 0）≥0，因此根据之前有关J′（A）的等式可看出，J′（A）=E［U′（W 0+W 0r R）r R］≥0，得到与情况②类似的结论。总结来看，在这些情况下当且仅当E（r R）>0，A>0。
直觉上，对于足够小的赌博（小是因为投资者只押注很小比例的财富），每单位押注的风险可以随着个人的爱好而足够小，同时能够获得正向的预期收益。这种有益的效应最终将使用少量的押注而超出风险的负向效应。换言之，在少量风险的情况下效用函数近乎呈线性，风险规避近乎消失。
由于夏普（1964）、林特纳（1965年2月）、莫森（1966）和特雷诺（1999）的CAPM满足于阿罗的条件，因此在这个模型中没有投资者会卖空市场投资组合，因此卖空约束条件并不会改变这个模型的结论。