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1951年
序数效用与基数效用、帕累托最优、竞争均衡的优化
边沁（1780）宣称：人生的目标是追求幸福，而且幸福可以量化；因此，人们在做决策时，谨慎地计算自己的幸福程度，权衡优势与劣势。边沁写道：
自然界将人类置于两个主宰者的支配之中：痛苦和快乐。只有苦乐能指出我们应该做什么以及决定我们去做什么。是非的标准乃至因果的联系，都由它们定夺。
他还认为，财富是获得幸福的手段（因而从某种程度上说是衡量幸福的指标之一），但是越来越多的财富带来的幸福增量则是逐渐减少的——就是我们现在所说的“财富的边际效用递减”（据此他推出赌博是“不好”的、保险是“好”的）。社会的目标是要让所有社会成员的幸福最大化，对每个人的幸福值进行平等加权再求和就得到所有成员的幸福值。把这些想法综合起来就要求进行把财富从富人转向穷人这样的重新分配，虽然边沁意识到该政策的好处需要与生产率动力降低的弊端进行权衡。财富再分配的问题之一在于如何确定哪些人是社会“成员”（只有选民，只有男人，还是只有居民？）。尽管这些观点后来被现代经济学家几度修改，但“效用函数之父”的称号边沁当之无愧。
相反，希腊哲学家们则认为，每个人在社会中都扮演着各自的角色；有些人生来就是奴隶，而另一些人——哲学家们——就应该是统治者。男人天生就比女人优越。在他们的正义观中，某些人为其他人谋幸福，或者某些人应该获得比别人更多的幸福，这都是天经地义的。
帕累托（1906）认识到，接受边沁提出的效用基数假设，只需简单地将偏好解释为序数，也可以得到同样的结论。但更重要的是，他意识到艾尔弗雷德·马歇尔（1842年7月26日—1924年7月13日）（1890）的《经济学原理》（Principles of Economics）以及其他人利用效用进行人与人之间的福利比较太强，因而引出了现在所称的“帕累托最优”：一种均衡状态，在这种均衡下，不存在另外的资源分配方式可以在不损害一部分人福利的情况下增加另一部分人的福利（每个人都用效用评估自己的福利）。后来有人指出，竞争均衡就是帕累托最优，自此帕累托最优就成为亚当·斯密的“看不见的手”的强有力支持。
阿罗（1951）也证明了德布勒（1959）描述的竞争均衡的两个优化定理：
第一优化定理：如果存在均衡，而且所有与偏好和生产相关的资源都由市场定价，则竞争均衡定是帕累托最优；即消费者之间的资源配置均衡发生任何变动都不可能在不损害一部分人利益的情况下改善另一部分人的利益。
这样我们为亚当·斯密（1776）的“看不见的手”找到了现代证据。
第二优化定理：如果生产规模不存在递增收益且其他某些小条件得到满足，那么对于资源的初始禀赋分配而言，帕累托最优就是竞争均衡 5。
第二个定理为判断某个配置是否为帕累托最优提供了一个有效的方法。假定所有消费者的效用函数为凹性，那么当且仅当该配置在服从消费总供给约束条件下已经最大化消费者效用的正加权平均之和时，该配置才是帕累托最优。
帕累托最优是竞争价格体系的现代支持证据之一［其他的支持理由与激励和信息沟通相关（哈耶克，1945）］：即，竞争价格体系实现了资源在消费者和企业之间的分配，而且不存在另一种分配方式能在不损害一部分消费者利益的情况下提高另一部分消费者的利益。第二个支持理由是，竞争价格体系的均衡存在于“经济的核心”：资源配置使得每个人至少不差于他的初始禀赋（每个人生来就带着一定的初始禀赋）。
当然，帕累托最优配置组合并不是独一无二的，竞争价格体系只是挑选其中一个而已。但阿罗指出，通过重新安排消费者的禀赋（在交换或生产发生之前）竞争价格体系可以实现任何帕累托最优配置。因此，首先重新分配财富，然后让价格体系自由运转，社会就能实现它所需要的帕累托最优配置。由于现代经济学家对人与人财富的比较避而远之，因此，经济学家不会跳出来指出最初的财富分配应该是什么，那是政治学家的事情。经济学家总是回避最让人头疼的问题。
这些定理由杰勒德·德布勒分别在1951年和1954年的两篇文章中证明。 [20]