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1977年
基础定理、市场的单一价格法则、套利、状态价格、完全市场、资本资产定价模型（CAPM）、布莱克-斯科尔斯公式、完美市场、价值附加
罗斯（1977）为罗斯（1976年12月）的套利定价理论（APT）提供了一个直观的介绍。该文还对金融经济学一些重要结论进行了简单介绍和证明。阿罗（1953）推导了在均衡中存在状态价格的充分条件。罗斯和鲁宾斯坦指出，尽管偏好凹性对阿罗的其他结论很重要，但对于状态价格的存在并不是必需的。罗斯定义“无套利”为这样一种情况：一个人无法从现有证券中构造一个投资组合，这些现有证券的特征是，在所有状态下都有非负收益，至少在一个状态下有正收益，而成本为零或为负。罗斯为“金融经济学最基本定理”给出了第一个完整清晰的表述：
当且仅当状态价格存在时无套利存在。 35
（详见pp.201～203，214～215。） 36罗斯的证据是一个非饱和投资者的均衡环境，但他对偏好无限制。该证据首次公开发表于考克斯-罗斯（1976） [119]（特别见p.385）。罗斯在罗斯（1978年7月） [120]为其结论提供了一份正式的证明，该文获得1978～1979年度的利奥·梅内姆奖。该奖项是芝加哥大学为商学院教师发表杰出论文而颁发的。瓦里安（1987） [121]对罗斯的研究进行了精彩地总结。
与无套利相关的另一条件为单一价格定理，意思是两个投资组合不可能收益相同而成本却不同。无套利意味着单一价格定理，但单一价格定理并不一定代表无套利。金融模型通常使用的前提是无套利是一个不输定理：如果它是对的，就有助于我们理解证券价格；如果它是错的，那我们的分析能帮助我们辨认任何能为我们带来利润的套利机会。这样我们就不难理解为什么在实际生活中套利机会那么少，是因为在完备市场中仅有一位“理性”投资者的交易活动就能消除套利。
罗斯假设，存在完美市场，没有交易摩擦如买卖佣金、价差、卖空限制、不同证券收取不同税收以及杠杆约束。在这种情况下，投资者就可以从可获得的证券集中构建任意投资组合，使得投资组合的收益等于构成证券收益之和。在该例中，单一价格定理意味着现值附加，即既然两者收益相同，那么投资组合的成本或者现价就等于投资组合中所有证券的成本之和。
罗斯的无套利定理
为清晰起见，我们假设只有三种状态s=1，2，3和三只证券j=1，2，3；X sj为证券j在状态s下的收益；P j为证券j的价格。我们构建一个投资组合，持有每只证券n j个单位（如果买入n j>0，如果卖出，n j<0）。这样，每个状态下投资组合的收益为：
状态1的收益=n 1X 11+n 2X 12+n 3X 13
状态2的收益=n 1X 21+n 2X 22+n 3X 23
状态3的收益=n 1X 31+n 2X 32+n 3X 33
投资组合成本=n 1P 1+n 2P 2+n 3P 3
可以说，无套利意味着不管我们选择什么样的投资组合权重（n 1，n 2和n 3），如果状态1的收益≥0，状态2的收益≥0，状态3的收益也≥0，那么投资组合的成本≥0（最后一个不等式表示只要有一个状态的收益为正，那么投资组合的成本就为正）。
定理提出两个观点：
（1）如果无套利，就存在状态价格。
（2）如果存在状态价格，就无套利。
第二个很好证明，我先证明第一个。假设当π s>0时存在状态价格：
考察一个收益为非负的投资组合：
上式左右两边同时乘以（正的）状态价格π 1，π 2和π 3并不改变不等式：
把上面三个不等式加起来，得到：
将括号中的项式代成当前价格，就得到：
n 1P 1+n 2P 2+n 3P 3≥0
即这样的投资组合必须有非负成本，第二个观点得证。
现在看看第一个观点：如果无套利，就存在状态价格。如果无套利，单一价格定理必须成立，从我们以前的分析知道伪状态价格λ s也就存在。而且这些价格必须为正。
如果存在完全市场，这个很好证明。在完全市场中，我们总是能构造这样一个投资组合：在一种状态下收益为1美元，而在其他所有状态收益都为0。这样的证券价格不可能为负，因为如果这样就存在套利机会；因此，伪状态价格必须为正。既然我们可以对任何状态都可以进行同样的分析，那么所有伪状态价格都必须为正，从而状态价格π s也为正。
另一方面，如果市场不完全，那么尽管无套利仍然意味着存在正的伪状态价格，但证明要复杂得多。事实上，发现这一证明是罗斯对金融学文献最大的贡献。我不在这里赘述，详细的证明请见约翰H.科克兰（2001）的《资产定价》（Asset Pricing） [122]一书。不过，我仍希望读者从直观上就能接受这一结论。 37
对于状态价格的存在，鲁宾斯坦和罗斯都没有要求必须存在完全市场。如果不同证券的数目少于状态的数目，只要无套利，那么能解释所有证券价格的状态价格就依然存在。不过，状态价格不再是唯一的。即，存在几个状态价格集，都能解释现有证券的价格。这意味着，如果我们给经济体增加一只证券，再仅仅根据无套利原则来猜测它的准确价格，是无法做到的。然而，即便是证券数目少于状态数目，这些证券的价格仍会围绕任何新增证券价格的周围设定套利的上限和下限。
如果不同证券的数目等于状态数目（一个完全市场），状态价格将是唯一的（如前所述）。现在我们给经济体增加任意一只新证券，只要无套利，我们就能根据其他证券的价格准确为该新证券定价。这就是现代期权定价理论描述的情况。其基本定理保证，衍生物和其他证券一样，可以根据它们收益的加权平均进行定价：P=Σ sπ sX s。现代理论的聪明之处在于找到了一个实现完全市场和精确计算状态价格（π s）的方法。在该例中，期权的价格可以由其他相关证券特别是标的资产和无风险债券的价格确定。
运用该基本定理就能很轻松地证明现值的价值附加定理：两笔现金流的现值等于其现值之和。瓦里安（1987）阐述了如何使用基本定理来证明一份标准欧式期权价值的套利下限。
运用基本定理证明欧式期权价值的下限
π s=当且仅当时间t发生状态s时收到1美元的现值
S s=资产在时间t状态s的收益
S 0=资产的现值
d=资产在时间t内的收益率
r=时间t内的无风险收益率
C 0=一份标准欧式期权的现值，期权在状态s的收益为max（0，S s-K）
K=期权的行权价格
如果无套利，根据基本定理，一定存在状态价格π s>0，这样：
从上式可以得到 。
而且，如果S 0d -t-Kr -t<0，显然C 0≥0。因此，C 0≥max（0，S 0d -t-Kr -t）
该基本定理还可以用于推导CAPM的估值公式。从无套利假设开始，这意味着任何证券j的价格P j与其现金流X sj与状态价格π s>0的乘积相关：
将状态价格分解为主观概率p s、风险规避调整Y s与无风险收益率r，即π s=p sY s/r。然后使用期望符号就得到：
对任意两个随机变量x和y，E（xy）=Cov（x，y）+E（x）E（y），且E（Y）=1：
假设无股利，证券的收益率r j≡X j/P j，这样等式两边都除以P j就得到：
重新排列后得到：
要解释我们刚才做的工作，我们可以说，如果无套利，就必须存在一个随机变量Y，对所有证券（以及投资组合 38）都一样，使得任意证券（或投资组合）的期望收益都等于无风险收益加上风险调整。
该结论非常吸引人，因为它来自金融经济学最基本的假设：无套利（以及完备市场）。很高兴我们至少知道，不管什么影响着Y，只要知道了如何度量该变量，我们就能用它来计算所有证券以及投资组合的价值。但它也让人担忧，因为不知道到底什么决定Y。为了找到Y，CAPM作了进一步的假设，包括投资者理性与风险规避、证券收益的联合正态分布以及所有投资者都持类似信念等。这样，正如我前文所述的——详见夏普（1964）的分析——可以得到，Y以一种简单的方式受到市场投资组合的影响。但正如过去30年资产定价研究所指出的那样，我们可以进行其他假设，然后推导出其他的Y，进而得到与经验现实更为接近的模型。
从基本定理角度出发我还推导出了布莱克-斯科尔斯（或标准二项式）公式。模型有7个假设，从最宽松的开始，以最严格的结束：
（1）至少存在一只标的股票、（无风险）现金和一份期权；
（2）在这些证券之间不存在套利； 39
（3）没有期权，市场是完全的；
（4）通过动态完整性市场得以保存；
（5）只需要两只证券就能使市场达到动态完整；
（6）各个日期状态重新组合；
（7）未来的状态价格与今天的状态价格相同。 40
第1个假设和第2个假设给了我们三个假设：对当前股票价格S 0、无风险收益率r以及当前期权价格C 0，分别有：
X s是在期权到期日标的股票价格，K是期权的行权价格，t是其至到期日的年度化时间，π s是状态价格。
第3个假设告诉我们，如果我们知道所有证券包括期权的当前价格（包括S 0和r），我们就能推导出用这些证券价格表述的状态价格（如同前例中所述的）。接着我们可以使用这些状态价格来求剩余的期权价格。最后我们就可以得到将期权价格C 0与股票价格S 0、无风险收益率r以及经济体中许多其他证券的价格联系起来的关系式。
根据阿罗（1953）得知，第4个假设意味着，我们可以通过不断修改投资组合从而保存市场的数目。我们可以得到一个股票价格的演变图，类似于布莱克-斯科尔斯（1973）所分析的状态空间演变图。
布莱克-斯科尔斯（1973）的贡献在于给出了另外三个非常聪明的假设。首先，他们假设只需要两只证券——股票和现金——就能保证市场动态完整。这表示在任何一天投资者都可以构造一个由这两只证券组成的投资组合，该投资组合能在下一期重新创造期权的收益模式。这意味着状态空间演变受限于股票价格随时间的二项式移动，如图2-2所示。
图2-2 二项式状态空间移动
暂时停在该假设，我们可以得到布莱克-斯科尔斯模型的一个重要特征：如果已知股票价格的状态空间演变，即便不知道任何其他证券的价格，根据S 0和r我们就可以算出当前期权价格C 0。 41事实上，已经有人付出巨大努力尝试在这样的路径依赖环境中为期权估值；但是如果没有进一步的假设，就无法得到反映期权价值的简单公式，而且期权通常是利用帕斯卡-费马（1654）的数学后向递归方法来估值的。
为了得到这一公式，布莱克-斯科尔斯假设状态空间重新组合，这样，在图2-2“重组二项式状态空间演变”图中来自不同状态的节点结合在一起。
没有假设7，二项式可以随时间上下移动，取决于同时的股票价格。例如，波动性（反映在移动规模中）在股价高时较小，而在股价低时较大。 42
图2-3 重组二项式状态空间演变
最后，布莱克和斯科尔斯假设，状态价格是不变的，这样，在任何节点如果π μ和π d是日期0的状态价格，那么它们也是所有未来节点的状态价格：在布莱克-斯科尔斯的术语中，股票波动性是固定的，且无风险收益也是固定的，因为r=1/（π μ+π d）。总之，从之前给定的假设1和假设2得到的等式开始，布莱克和斯科尔斯成功地找到了能得到他们公式的状态价格。根据标准二项式期权定价模式，n次二项式上（u）下（d）移动直至到期日的状态价格变成：
而且，
得到这一步，经济学就结束了；再用点考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（1979）说明的数学方法，就能推导出著名的布莱克-斯科尔斯公式了。
斯图尔特C.迈尔斯（1968） [123]根据投资者可以交易一个收益覆盖所有状态所有日期的完整状态证券集思想，推出了许多推论。特别是，他从个体消费者/投资者的角度，推导出了为不同时期现金流进行估值的基本表达式，表达式为期望现金流的加权之和，其中每笔现金流的权重为该状态和日期消费的边际效用除以当前消费的边际效用。
在不一定完整的市场环境，约翰B.朗（1972，特别见pp.169~170） [124]也独立地推出了一个相似的等式。
阿夫拉姆·贝加（1971，特别见p.364，公式3.4.3）可能是最早呈现用类似方法得到前文CAPM证据的文献。 [125]然而，尽管贝加提出了定价关系式P=Σ sπ sX s和不等式π s>0，他并没有考察状态价格存在的条件，而且他做了不必要的完全市场假设。很明显他试图保持较高程度的适用性，他没有像迈尔斯（1968）和鲁宾斯坦（1976年秋季号）那样对状态价格（π s）和边际效用之间的关系进行探讨。